Algebra

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clases de matematica 1º medio

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Algebra

  1. 1. Álgebra Introducción al álgebra PPTCANMTALA03002 Propiedad Intelectual Cpech
  2. 2. APRENDIZAJES ESPERADOS <ul><ul><li>Minimizar las respuestas erróneas en conceptos básicos del álgebra, al no cometer errores comunes. </li></ul></ul>
  3. 3. Contenidos <ul><li>Definiciones </li></ul>1.1 Término algebraico 1.2 Expresión algebraica 2. Operaciones algebraicas 2.1 Adición y sustracción 2.2 Multiplicación 1.3 Términos semejantes 3. Planteamiento de enunciados 4. Inducción en el álgebra
  4. 4. 1. 1 Término algebraico <ul><ul><li>Es la relación entre números y letras donde intervienen operaciones como la multiplicación, división, potencias y/o raíces. </li></ul></ul><ul><ul><li>Consta de un “factor numérico”, denominado coeficiente y un “factor literal”. </li></ul></ul>Ejemplos: 23x 5 y 8 , mn 3 p, 3a 4 b, 1. Definiciones 2q 5p
  5. 5. <ul><ul><li>Es la relación entre términos algebraicos, mediante la adición y/o sustracción. </li></ul></ul>1. 2 Expresión algebraica Ejemplos: 1) 9x 7 – 4 5y 2) 5m 2 + 2ab 3 – 4p + 3q 3) 6x 4 y 5 + 3pq – 7m 2
  6. 6. <ul><ul><li>Clasificación: </li></ul></ul>Monomio <ul><ul><li>Expresión algebraica que consta de un término algebraico. </li></ul></ul>Ejemplos: Polinomio <ul><ul><li>Expresión algebraica que consta de dos o más términos algebraicos. </li></ul></ul>36x 5 , 73p 4 q 2 8ab 3 ,
  7. 7. 2) Trinomio : Polinomio que consta de tres términos algebraicos. Ejemplo: 3a 6 b 2 + 8ab – 5a 7 Ejemplo: 1) Binomio: Polinomio que consta de dos términos. 2m 3 n 4 + 7ab
  8. 8. Son aquellos términos algebraicos, o monomios que tienen los mismos factores literales. Ejemplo: - Los términos y son semejantes. - Los términos y NO son semejantes. 1. 3 Términos Semejantes 7m 3 n 2m 3 n 3p 2 9p 5
  9. 9. 2 . Operaciones algebraicas 2 . 1 Adición y Sustracción Sólo pueden ser sumados o restados los coeficientes numéricos de los términos semejantes. Ejemplo: mn 5 p + 4mn 5 p – 8mn 5 p = (1 + 4 – 8) mn 5 p = (5 – 8) mn 5 p = (– 3) mn 5 p = – 3mn 5 p
  10. 10. Ejercitemos Error común 9x 18x + 9 ∙ = x 3 1. 18x + 9 ∙ = x 3 = 27x 3
  11. 11. (Simplificando) 18x + 3x = 3 ¿Cómo se resuelve correctamente? 1 (Reduciendo términos semejantes) 21x Ejercitemos 18x + 9 ∙ = x 3
  12. 12. Ejercitemos Error común 1 10 x 5 + x 15 = 2. x 10 2x 20 =
  13. 13. Ejercitemos (Aplicando m.c.m.) 1 5 Otro error común x 5 + x 15 = 2. 3x + x 15 = 2x 5
  14. 14. (Aplicando m.c.m.) (Reduciendo términos semejantes) ¿Cómo se resuelve correctamente? Ejercitemos x 5 + x 15 = 3x + x 15 = 4x 15
  15. 15. Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Error común 16x 2 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = 7x 2 + 9x 2 =
  16. 16. Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Otro error común 4x + 7x + 2x 2 + 3x 2 = 11x 2 + 5x 4 (Reordenando los términos) (Reduciendo términos semejantes)
  17. 17. Ejercitemos 3. 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x = Otro error común (4 + 3 + 2 + 7)x 6 = 16x 6
  18. 18. ¿Cómo se resuelve correctamente? Ejercitemos 4x + 7x + 2x 2 + 3x 2 = 11x + 5x 2 (Reduciendo términos semejantes) (Reordenando los términos) 4x + 3x 2 + 2x 2 + 7x =
  19. 19. Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 1, 2, 3, 4, 8 y 9 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.
  20. 20. 6a ∙ 3ab = 2 . 2 Multiplicación Se multiplican los coeficientes numéricos y los factores literales entre sí. Ejemplo: <ul><ul><li>Monomio por monomio: </li></ul></ul>Se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Ejemplo: <ul><ul><li>Monomio por polinomio: </li></ul></ul>18a 2 b 5pq 3 (2p 3 q + 4pq 5 – 6pq) = 10p 4 q 4 + 20p 2 q 8 – 30p 2 q 4
  21. 21. Recordemos que: La propiedad distributiva de la multiplicación con respecto a la adición es: a ∙ (b + c) = a ∙ b + a ∙ c
  22. 22. Ejercitemos Error común 5x + 10 (Reduciendo términos semejantes) (Distribuyendo) 3(x + 7) + 2(x + 3) = 1. 3x + 7 + 2x + 3 =
  23. 23. Ejercitemos 5x + 27 (Reduciendo términos semejantes) ¿Cómo se resuelve correctamente? (Distribuyendo) 3x + 21 + 2x + 6 = 3(x + 7) + 2(x + 3) = 1.
  24. 24. Ejercitemos Error común 5x + 6 (Distribuyendo) Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área. Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)? 2. 5 (x + 6) =
  25. 25. Ejercitemos 5x + 30 ¿Cómo se resuelve correctamente? (Distribuyendo) Debemos multiplicar los lados de un rectángulo para encontrar su área. Si x > 0, entonces ¿cuál es el área de un rectángulo de lados 5 y (x + 6)? 2. 5 (x + 6) =
  26. 26. Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 5 y 13 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.
  27. 27. <ul><ul><li>Permite expresar la información mediante operaciones con números y letras. </li></ul></ul>Lenguaje algebraico 3 . Planteamiento de enunciados Ejemplos: 3(x + 4) El triple, de x aumentado en 4 3x + 4 El triple de x, aumentado en 4 6x El séxtuple de un número x x – 3 Un número x disminuido en 3 x + 8 Un número x aumentado en 8 La tercera parte de un número x Lenguaje algebraico Lenguaje usual Una coma puede hacer la diferencia al momento de expresar una frase en lenguaje algebraico.
  28. 28. Ejercitemos Error común <ul><li>“ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q </li></ul><ul><li>aumentada en 5 años” se puede expresar como </li></ul>Luego, el enunciado se puede expresar como P = 3Q + 5 Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad
  29. 29. Ejercitemos Otro error común Q = 3(P + 5) <ul><li>“ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q </li></ul><ul><li>aumentada en 5 años” se puede expresar como </li></ul>Luego, el enunciado se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad
  30. 30. Ejercitemos ¿Cómo se resuelve correctamente? P = 3(Q + 5) <ul><li>“ La edad P de mi padre equivale a tres veces, mi edad Q </li></ul><ul><li>aumentada en 5 años” se puede expresar como </li></ul>Luego, el enunciado se puede expresar como Sea: P: edad de mi padre Q: mi edad
  31. 31. Ahora a practicar Resuelve los ejercicios 6 y 7 de la guía Introducción al álgebra y luego tu profesor los revisará paso a paso en la pizarra.
  32. 32. <ul><ul><li>El álgebra trabaja con un método conocido como “método inductivo”. </li></ul></ul><ul><ul><li>Este método determina que, para probar una generalidad, siempre debemos realizar la demostración con el menor número del conjunto en que estamos trabajando y luego probar la misma generalidad para “n” y “n + 1”. Con esto demostramos la generalidad para cualquier número. </li></ul></ul>4. Inducción en el álgebra <ul><ul><li>Este método nos puede parecer muy complicado, y si bien en la PSU no alcanzamos a demostrar, sí debemos aprender a utilizarlo para deducir afirmaciones que sabemos que NO son correctas o creemos que NO son correctas. </li></ul></ul>
  33. 33. 4. Inducción en el álgebra <ul><ul><li>Si a y b son números enteros, entonces ¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)? </li></ul></ul><ul><ul><li>(a + b) es un número entero distinto de cero. </li></ul></ul><ul><ul><li>(a · b) es un número entero distinto de cero. </li></ul></ul><ul><ul><li>es un número entero. </li></ul></ul><ul><ul><li>Sólo I </li></ul></ul><ul><ul><li>Sólo III </li></ul></ul><ul><ul><li>Sólo I y II </li></ul></ul><ul><ul><li>Sólo II y III </li></ul></ul><ul><ul><li>Ninguna de ellas. </li></ul></ul>Ejemplo: a b
  34. 34. 4. Inducción en el álgebra Resolución <ul><ul><li>Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada </li></ul></ul><ul><ul><li>una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no </li></ul></ul><ul><ul><li>cumpla con la afirmación entonces la descartamos como </li></ul></ul><ul><ul><li>verdadera. </li></ul></ul><ul><ul><li>Afirmación I: </li></ul></ul><ul><ul><li>Si a = – 2 y b = 2 , entonces aplicando la suma tenemos </li></ul></ul><ul><ul><li>que </li></ul></ul><ul><ul><li>– 2 + 2 = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre. </li></ul></ul>
  35. 35. 4. Inducción en el álgebra <ul><ul><li>Afirmación II: </li></ul></ul><ul><ul><li>Si a = – 2 y b = 0, entonces aplicando la multiplicación, </li></ul></ul><ul><ul><li>tenemos que </li></ul></ul><ul><ul><li>– 2 · 0 = 0 </li></ul></ul><ul><ul><li>La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre. </li></ul></ul>Resolución <ul><ul><li>Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada </li></ul></ul><ul><ul><li>una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no </li></ul></ul><ul><ul><li>cumpla con la afirmación entonces la descartamos como </li></ul></ul><ul><ul><li>verdadera. </li></ul></ul>
  36. 36. 4. Inducción en el álgebra <ul><ul><li>Afirmación III: </li></ul></ul><ul><ul><li>Si b = 3 y a = 2, entonces aplicando la división NO resulta </li></ul></ul><ul><ul><li>un número entero. </li></ul></ul><ul><ul><li>La afirmación es Falsa. NO siempre ocurre. </li></ul></ul>Resolución <ul><ul><li>Debemos analizar cada una de las opciones. Si en cada </li></ul></ul><ul><ul><li>una de ellas encontramos un ejemplo numérico que no </li></ul></ul><ul><ul><li>cumpla con la afirmación entonces la descartamos como </li></ul></ul><ul><ul><li>verdadera. </li></ul></ul>Por lo tanto, ninguna de ellas es siempre verdadera.
  37. 37. Recordemos que: Esta forma de probar afirmaciones SÓLO nos sirve para aquellas que creemos y/o sabemos que no son verdaderas. NO para probar afirmaciones verdaderas, sino para probar falsas.
  38. 38. Ahora a practicar Resuelve los ejercicios que faltan de la guía y el profesor los corregirá finalmente en la pizarra.
  39. 39. Siempre al resolver un ejercicio de álgebra ten presente NO cometer los errores comunes.

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