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100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 1

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100 problemas maravillosos de matemáticas - Libro 1

  1. 1. MARAVILLOSOS PROBLEMAS DE MATEMÁTICAS Libro 1 http://matemelga.wordpress.com/
  2. 2. Si A , B ,C y D son cuatro vértices consecutivos de un polígono regular tal que ADACAB 111 += , ¿cuántos lados tiene este polígono? SOLUCIÓN Tengamos en cuenta las siguientes convenciones: • n es número de lados del polígono • 0≠= n π α es la mitad del ángulo central, y NOPMONAOM ===α • El radio del polígono es 1 • O es el centro del polígono regular • M , N y P son los puntos medios del los segmentos respectivos AB , AC y AD • Los triángulos OMA , ONA y OPA son rectángulos, respectivamente, en M , N y P (véanse las mediatrices de los segmentos del enunciado, señaladas por líneas de puntos) En estas condiciones, • en el triángulo rectángulo OMA se verifica que αα senABsenAM .2=⇒= • en el triángulo rectángulo ONA se verifica que αα 2.22 senACsenAN =⇒= • en el triángulo rectángulo OPA se verifica que αα 3.23 senADsenAP =⇒= Por lo tanto, ⇒+=⇒+=⇒+= αααααα 3 1 2 11 3.2 1 2.2 1 .2 1111 sensensensensensenADACAB ⇒= − ⇒=−⇒ ααα αα ααα 2 1 3. 3 2 1 3 11 sensensen sensen sensensen ⇒      −+ =−=⇒ 2 . 2 cos.2 2 1 3. .2cos.2 ba sen ba bsenasenpues sensensen sen ααα αα ⇒=⇒≠= αααα αα α 32cos.2.2)0( 2 1 3 2cos.2 sensensenpues sensen ( )aasenasenpuessensen cos..2234 ==⇒ αα , lo que quiere decir, en el contexto del problema, que 7 7 734 =⇒==⇒==+ n n ππ απααα El polígono tiene 7 lados
  3. 3. Dos matemáticos se encuentran en la calle después de mucho tiempo sin verse. − ¡Cuánto tiempo sin verte! − ¡Vaya!, parece que fue ayer. − Y qué, ¿te casaste? − Si, tengo tres hijas preciosas. − ¿Qué edad tienen? − Pues no te voy a decir la edad que tiene cada una, pero sí te diré que el producto de sus edades es 36 y que la suma es el número de la casa de enfrente. El amigo mira el número del portal y saca papel y lápiz. Hace unos cálculos y al cabo de unos segundos exclama: − Me faltan datos. − Sí, claro. La mayor toca el piano. El amigo da inmediatamente la respuesta. ¿Serás tú capaz de darla tú también? SOLUCIÓN Escribimos todos los productos de tres números cuyo resultado sea 36: • 1 x 1 x 36 = 36 El portal debería ser el 38 (=1+1+36) • 1 x 2 x 18 = 36 El portal debería ser el 21 (=1+2+18) • 1 x 3 x 12 = 36 El portal debería ser el 15 (=1+3+12) • 1 x 4 x 9 = 36 El portal debería ser el 14 (=1+4+9) • 1 x 6 x 6 = 36 El portal debería ser el 13 (=1+6+6) • 2 x 2 x 9 = 36 El portal debería ser el 13 (=2+2+9) • 2 x 3 x 6 = 36 El portal debería ser el 11 (=2+3+6) • 3 x 3 x 4 = 36 El portal debería ser el 10 (=3+3+4) La duda del amigo (falta de un dato) sólo puede deberse a que el número de la casa que ve no muestra de manera unívoca el resultado, por lo que el portal debe ser el 13, al haber dos conjuntos de edades que determinan dicho número; 1, 6 y 6, y 2, 2 y 9 y existir, por tanto, una ambigüedad. La última afirmación del padre señala que existe una niña mayor que las otras, por lo que Las edades de las hijas son 2, 2 y 9 años
  4. 4. Hace tres siglos, lejanas praderas del Oeste americano eran habitadas por diferentes tribus de indios como los SHYS, los BADMILKS y los HOTEGGS. Los SHYS eran grandes guerreros y dotados de una increíble inteligencia, equiparable a su prudencia. Sus defectos eran muy notorios: muy tímidos y, monógamos acérrimos (se casaban nada más superar la pubertad), muy celosos, hasta tal punto que si se enteraban de que su mujer les había engañado, al día siguiente de saberlo, ¡LA MATABAN! Los BADMILKS se caracterizaban por las reivindicaciones permanentes sobre una parte del territorio ocupado por los SHYS: habían organizado todos los domingos manifestaciones reivindicativas cerca del campamento de éstos que degeneraban, indefectiblemente, en batallas campales en las que, casi nunca, llegaba la sangre al río. Hasta tal punto llegó el mosqueo de los SHYS que, un sábado al amanecer, se encaminaron todos sus guerreros hacia el territorio de los BADMILKS a fin de dar a esta tribu un escarmiento tal que les dejase sin ganas de seguir con la monserga dominical. Sólo quedaron en su campamento los ancianos y los niños, además de las mujeres de los guerreros. No contaron los SHYS con que una avanzadilla de HOTEGGS, famosos en todos aquellos confines por las notables dosis de seducción que ejercían sobre las mujeres, llegase a mediodía de ese funesto sábado a su campamento. Para ser breve, diré que hubo allí unos cuántos líos de faldas entre las SHYS casadas y los atractivos HOTEGGS y que, al atardecer, dejaron unas cuantas caras risueñas y cuerpos relajados en el campamento. Aunque no todo fueron alegrías: un venerable anciano observó TODO lo que pasó allí, quedando escandalizado. Al llegar los guerreros, esa misma noche, de su victoriosa escaramuza contra los BADMILKS, el anciano decidió inmediatamente darles a conocer la gran desgracia con suma discreción: a todos y cada uno de ellos les entregó, sin articular palabra, una lista en la que se encontraban los nombres de todas y cada una de las "alegres" mujeres excepto, en cada caso y si fuera una de ellas, la del receptor de la lista. Los guerreros SHYS entendieron el mensaje y uno de ellos, GRAND-BULL, recogió su lista, que contenía cuatro nombres, y se sentó inmediatamente en la entrada de su tienda cavilando sobre si había sido engañado o no. Antes de la medianoche del día de autos, ¡GRAND-BULL DEDUJO CÓMO Y CUÁNDO SABRÍA SI SU MUJER LE HABÍA ENGAÑADO O NO Y, ADEMÁS, DETERMINÓ EL DÍA EN QUE, EN CASO DE SER UNA MUJER INFIEL, TENDRÍA QUE MATARLA! Postdata: Así me contaron la historia y así os la transmito. Le he dado vueltas durante mucho tiempo y me he rendido: no sé cómo, aún siendo tan inteligente, pudo deducir GRAND-BULL todo eso.
  5. 5. SOLUCIÓN Grand-Bull recibe una lista de cuatro nombres. Si su mujer le ha engañado habrá listas de 5 nombres recibidas por los no engañados. Si no le ha engañado, habrá listas de 3 y 4 nombres: 3 para los engañados y 4 para los no engañados. Grand-Bull se pone en ‘lo mejor’ (su mujer no le ha engañado) y, por tanto, en la situación (hipotética) de un indio que haya recibido una lista de 3 nombres. Al sólo conocer esa lista este indio razonará de manera idéntica a Grand-Bull, por lo que supondrá que puede haber listas de 2 y 3 nombres si su mujer no le ha engañado y de 3 y 4 si le ha engañado. Y siguiendo el mismo razonamiento se llegará a pensar en la posibilidad de que haya listas de 1 y 2 nombres, pues todos los indios han recibido lista. Si alguien recibiese una lista con un solo nombre deduciría el mismo domingo que su mujer lo había engañado, por lo que el lunes la mataría. Si no hubiera ninguna muerte el lunes no habría listas de 1, por lo que ese día sabría, quien tuviera una lista con 2, que su mujer le engañaba y el martes la mataría. Sucesivamente y al no haber muertes ese día, quien tuviera una lista con 3 personas mataría el miércoles a su mujer si ésta le hubiera sido infiel. Grand-Bull, pues, esperó al miércoles. Ese día supo si su mujer le engañaba o no. Si no hubo muertes se convenció de que había listas de 4 y de 5 personas y que su mujer le fue infiel, por lo que mató el jueves a su mujer. Grand-Bull supo el miércoles si su mujer le había engañado o no y, en caso de infidelidad (si no hubieran habido muertes dicho miércoles), la mató el jueves
  6. 6. La distancia por ferrocarril entre Madrid y A Coruña es de 600 kilómetros. Un tren sale de Madrid hacia A Coruña con una velocidad de 160 km/h, y, simultáneamente, otro de A Coruña a Madrid a 140 km/h. En ese mismo momento un halcón peregrino (velocísimo), situado en la locomotora del primer tren, comienza a volar siguiendo la vía férrea hacia A Coruña a una velocidad constante de 175 km/h. Al cabo de cierto tiempo llega al tren que viene en sentido contrario, toca la locomotora y, sin perder tiempo, se vuelve hacia el primer tren repitiendo este vaivén hasta que los trenes se encuentran y, en el inevitable choque, aplastan al halcón, que muere. ¿Cuáles son los kilómetros recorridos por el halcón desde que comienza el trayecto hasta que muere? SOLUCIÓN Según la velocidad acumulada de los dos trenes (160 km/h + 140 km/h = 300 km/h), al cabo de dos horas chocan, pues uno ha recorrido 320 km y el otro 280 km. Esto quiere decir que el halcón ha estado volando durante 2 horas a una velocidad de 175 km/h, por lo que habrá recorrido exactamente 350 km. El halcón ha recorrido 350 km
  7. 7. Con operaciones matemáticas, hay que conseguir realizar todos los cálculos con exactamente tres cifras iguales (de 1 a 9) que tengan, como resultado, 6 (Por ejemplo, con el 2: 2+2+2=6) SOLUCIÓN • 6)!111( =++ • 6222 =++ • 6333 =−× • 6444 =−+ • 6555 =÷+ • 6666 =−+ • 6777 =÷− • 6888 =+− • 6999 =−×
  8. 8. En la pared interior de un vaso cilíndrico, de 10 cm de diámetro y 20 cm de altura, hay una gota de miel situada a 3 cm del borde del recipiente. En la pared exterior, y en el punto exactamente opuesto a la gota, se encuentra una mosca. (Ese punto es tal que el segmento que forma con la gota tiene de punto medio el del segmento-eje del vaso cilíndrico) ¿Cuál es el camino más corto que puede seguir la mosca para llegar a la gota de miel?, ¿qué longitud debe recorrer la mosca? SOLUCIÓN Evidentemente, al estar el exterior del vaso, la mosca deberá llegar al borde para poder entrar al interior y llegar a la gota. Desplegando la superficie lateral del cilindro se observa la ruta más corta: El camino más corto (en azul) es de la misma longitud que el segmento MG' , siendo 'G el punto simétrico de la gota de miel G respecto del lado superior de la superficie. Se construye el triángulo rectángulo formado por los puntos 'G , M (mosca) y P (punto de intersección del lado derecho de la superficie y de la recta paralela al lado superior). La mitad de la anchura de la superficie es cmrPM ππ 5== y cmPG 20'= Por tanto, por el teorema de Pitágoras, se obtiene que el camino mide ( ) cmx 43,25205 22 =+= π El camino más corto que debe recorrer la mosca hasta la gota de miel mide 25,43 cm
  9. 9. Dos nómadas se detuvieron en un oasis a descansar y reponer fuerzas después de una larga travesía por el desierto. Cuando iban a ponerse a comer se les presentó un peregrino hambriento y sin provisiones. Los nómadas, solidarios, distribuyeron equitativamente entre los tres sus exiguos alimentos. El primero llevaba 5 panes y el otro, 3. El peregrino, agradecido por su hospitalidad, les recompensó con 8 monedas de plata. ¿Cómo se las debieron repartir los dos nómadas de manera justa? SOLUCIÓN Al repartirse los 8 panes, cada uno comió 3 8 de los panes. El primer nómada aportó 5 panes, de los cuales se comió 3 8 y dio al peregrino 3 7 3 8 5 =− El segundo nómada aportó 3 panes, de los cuales se comió 3 8 y dio al peregrino 3 1 3 8 3 =− La conclusión que se obtiene es que el peregrino comió 7 veces más pan del primer nómada que del segundo por lo que, para repartirse justamente las monedas del peregrino, El primer nómada toma 7 monedas y el segundo nómada 1 moneda
  10. 10. Dado el sistema      =++ =++ =++ 15. 35. 8. zyzy zxzx yxyx , hallar zyxzyx ..+++ si 0,, >zyx SOLUCIÓN Los tres términos independientes son cuadrados menos una unidad, lo que da una idea de por donde se puede continuar: ( )( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( ) ( )( ) ( ) ( )( )( ) ⇒       =+++ =+++ =+++ ⇒      =++ =++ =++ ⇒      =+++ =+++ =+++ ⇒      =++ =++ =++ 5761.1.1 1441.1.1 3241.1.1 161.1 361.1 91.1 161. 361. 91. 15. 35. 8. 2 2 2 zyx zyx zyx zy zx yx zyzy zxzx yxyx zyzy zxzx yxyx ( ) ( ) ( ) 36.. 7 1 2 7 81 21 2 9 1 64 9 576 1 4 36 144 1 4 81 16 324 1 2 2 2 =+++⇒        = = = ⇒        =+ =+ =+ ⇒          ==+ ==+ ==+ ⇒ zyxzyx z y x z y x z y x x+y+z+x.y.z=36
  11. 11. Reconstruir la división exacta siguiente, averiguando todas las cifras que intervienen en ella: SOLUCIÓN Si nos fijamos en el desarrollo de la división, observamos que, en dos casos, se ‘bajan’ dos cifras del dividendo, por lo que las segunda y cuarta cifras del cociente serán iguales a cero Por otro lado, la primera cifra del dividendo debe ser 1. Tenemos entonces Al multiplicar el divisor (de tres cifras) por 8 obtenemos un número de tres cifras, por lo que la primera cifra del divisor debe ser un 1. Además, en la primera resta que se produce en la división se obtiene un número de dos cifras, por lo que el minuendo deberá ser 10xx y el sustraendo 9xx, y lo mismo pasa en la siguiente resta Evidentemente, la segunda cifra del divisor debe ser un 2, la tercera del dividendo un 0 y la segunda del primer sustraendo un 9… y en la segunda resta igual, por lo que la quinta cifra del dividendo es un 0 Está claro ya que la primera cifra del cociente es un 8 y la última del divisor es un 4, la cuarta del dividendo es un 2 (así como la tercera del primer y segundo sustraendos) y la primera de la segunda resta es un 1 (igual que la primera del último sustraendo) Por fin, al tener el último sustraendo cuatro cifras, es inmediato deducir que la última cifra del cociente es un 9 completándose entonces, al saber divisor y cociente, el resto de dígitos de la división
  12. 12. Tengo tres dados con letras diferentes. Al tirar los dados puedo formar palabras tales como OSA, FIN, VID, REY, ATE, SOL, MIA, ESA, CAE, GOL, PIO, SUR, pero no puedo formar palabras tales como DIA, VOY y RIN. ¿Cuáles son las letras de cada uno de los dados? SOLUCIÓN Numeramos los dados 1, 2 y 3 Al poderse escribir ATE, ESA, CAE, OSA, SOL y GOL, los dados tienes las letras: 1: A,L 2: T,S,C,G 3: E,O Como se puede escribir PIO y DIA, 1: A,L 2: T,S,C,G,I 3: E,O Al no poderse escribir DIA, pero sí VID y MIA, 1: A,L,D 2: T,S,C,G,I 3: E,O,V,M Retomamos PIO: 1: A,L,D,P 2: T,S,C,G,I 3: E,O,V,M De SUR y FIN deducimos que U, R, F y N completan los dados 1 y 3, por lo que Y completa el 2: 1: A,L,D,P 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M De REY y SUR obtenemos: 1: A,L,D,P,R 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M,U Y al no poderse escribir RIN y sí FIN, 1: A,L,D,P,R,N 2: T,S,C,G,I,Y 3: E,O,V,M,U,F Los dados tienen las caras ADLNPR, CGISTY, EFMOUV
  13. 13. En una biblioteca, dispuestos de forma usual, hay cuatro tomos de una enciclopedia teniendo cada tomo un espesor de 4 centímetros, tapas incluidas. El espesor de cada tapa es de 0,25 centímetros. Una polilla comienza a devorar lo que encuentra a partir de la primera página del primer tomo y se abre camino en dirección a la última página del cuarto tomo, que también se come. Suponiendo que tarda un día en recorrer medio centímetro, ¿cuántos días tardará en realizar su destructora labor? SOLUCIÓN Teniendo en cuenta la disposición habitual de los tomos, después de la primera página del primer tomo se encuentra la tapa y, a continuación, el segundo y tercer tomos, la tapa del cuarto tomo y la última página de dicho tomo. En total devora 0,25+4+4+0,25 = 8,50 centímetros, además de la última página. En resumen, 8,50:0,50 = 17 La polilla tarda 17 días
  14. 14. Tres marineros y un mono llegan, tras un naufragio, a una isla desierta. Durante todo el día se dedican a recoger cocos, con los que forman un montón común. Al llegar la noche, cansados por el trabajo hecho, se van a dormir dejando para el día siguiente el reparto de los cocos. Durante la noche uno de los marineros, desconfiando de los otros dos, decide hacerse con su parte, procediendo a formar tres montones iguales y guardando uno de ellos. Como al hacerlo le sobra un coco, se lo da al mono. El segundo marinero despierta más tarde y, teniendo la misma idea, hace lo mismo con los cocos que dejó el primero. Al hacerlo también le sobra un coco y se lo da al mono. Casi al amanecer se despierta el tercer marinero y hace lo mismo que sus compañeros con los cocos que aún quedan en el montón. A éste también le sobra un coco que se lo da al mono. Por la mañana, aunque el montón de cocos está reducido, los tres marineros se sienten igualmente culpables y no dicen nada sobre lo que han hecho durante la noche. Proceden al reparto de los cocos, les sobra uno y se lo dan al mono. ¿Cuál es la mínima cantidad de cocos que había en el montón inicial?, ¿cuántos cocos se lleva cada uno de los marineros? SOLUCIÓN Llamemos N a la cantidad inicial de cocos y A , B , C a los que cogen, inicial y sucesivamente, los tres marineros. El primer marinero hace los montones de A cocos, se lleva A cocos y da uno al mono: 13 += AN El segundo marinero, con el resto, hace lo propio con los restantes: 131 +=−− BAN El tercer marinero, con el resto, hace lo propio con los restantes: 1311 +=−−−− CBAN Al final, se hacen tres montones de D cocos y sobra uno, que se lo dan al mono: 13111 +=−−−−−− DCBAN Con estas cuatro ecuaciones, obtenemos De la primera y la segunda, 132 += BA De ellas y la tercera, 132 += CB Y de todas las anteriores y la última, 132 += DC Despejando sucesivamente llegamos a ⇒ + =⇒ + =⇒ + = 8 1927 4 59 2 13 D A D B D C 8 6581 + =⇒ D N , usando también la ecuación inicial. De ahí, 8 1 810 8 6581 + ++= + = D D D N y, para que este valor sea entero y mínimo, se deduce que 792617117 =⇒=⇒=⇒=⇒= NABCD Es muy sencillo recrear los repartos y hallar la cantidad de cocos que se llevó cada uno. Inicialmente había 79 cocos y los marineros se llevaron, respectivamente, 33, 24 y 18 cocos. El mono se llevó 4
  15. 15. Si una cuerda se corta en trozos de 20 centímetros, sobra un trozo de 15 centímetros. Si la longitud de la cuerda hubiese sido el triple de la original, ¿habría sobrado algún trozo? SOLUCIÓN Llamamos x a los trozos de 20 centimetros en los que se corta la cuerda. La cuerda medirá entonces 20x+15… Si triplicamos su longitud medirá ahora 3.(20x+15) = 60x+45 = 20.3x+20.2+5 = 20.(3x+2)+5, por lo que Sobrará un trozo de 5 centímetros
  16. 16. Un cazador camina 3 kilómetros hacia el sur, después 1 kilómetro hacia el este y ve un oso. Asustado, corre 3 kilómetros hacia el norte volviendo al punto de partida. ¿De qué color es el oso? SOLUCIÓN La trayectoria que lleva el cazador solo puede realizarse en el Polo Norte o en el Polo Sur, y en éste no hay osos. Está, por tanto, en el Polo Norte y El oso es de color blanco Una cuerda, de 20 metros de longitud, tiene sus extremos atados a la parte superior de dos postes de 12 metros de altura cada uno. Si la cuerda cuelga a 2 metros del suelo, ¿cuál es la separación entre ambos postes? SOLUCIÓN Con los datos que se dan, solo puede producirse esta situación: Los postes están juntos Un tren sale de Madrid hacia Barcelona a 120 kilómetros por hora. Simultáneamente, otro tren sale de Barcelona a Madrid a 160 kilómetros por hora. En el preciso instante en que se encuentren, ¿cuál estará más cerca de Barcelona? SOLUCIÓN Si se entiende bien lo que dice el enunciado, Los trenes estarán a la misma distancia de Barcelona
  17. 17. Un barco, fondeado en un puerto, tiene desplegada una escala para poder desembarcar en los botes. La escala, desde la cubierta hasta el agua, tiene 22 escalones de 20 cm. de altura cada uno. Si la marea sube a razón de 10 cm. por hora, ¿cuántos escalones cubrirá al cabo de 10 horas? SOLUCIÓN La marea sube y con ella se lleva al barco hacia arriba también, por lo que El agua no cubrirá ningún escalón Una araña teje su tela en el marco de una ventana, duplicando cada día la superficie hecha hasta entonces, y tarda 30 días en cubrir el hueco de la ventana. Si en vez de una araña fueran dos, al mismo ritmo de trabajo, ¿cuánto tiempo tardarían en cubrir dicho hueco? SOLUCIÓN El día 29 la araña llena la mitad de la superficie, por lo que dos arañas cubrirían la totalidad. Por tanto Dos arañas tardarán 29 días Un caracol sube verticalmente por una tapia de 10 metros de altura. Durante el día sube 2 metros, y durante la noche resbala, retrocediendo un metro. ¿Cuántos días tardará en subir la tapia? SOLUCIÓN Todos los días subirá 2 metros y bajará por la noche 1 metro hasta el noveno día. Empezará con 8 metros subidos y, al subir otros 2, llegará a la cima de la tapia y habrá acabado su “escalada”. La tapia la subirá en 9 días
  18. 18. Con el número 2 y la raiz cuadrada podemos construir recursivamente estos bonitos números: ...2.2.2.2.2=a y ...22222 +++++=b ¿Cuál es el mayor de los dos?, ¿cuánto valen cada uno de ellos? SOLUCIÓN aaa .2...2.2.2.2.2...2.2.2.2.2 2 ==⇒= , y como 20 =⇒≠ aa Por otro lado, ⇒+=+++++=⇒+++++= bbb 2...22222...22222 2 022 =−−⇒ bb , cuyas soluciones son 1− y 2 , y como 20 =⇒> bb … y la conclusión es que Los dos números son iguales y su valor es 2
  19. 19. Tenemos 9 sacos que contienen bolas de 10 gramos cada una y un saco que contiene bolas de 9 gramos. No se sabe cuál es este último saco y se trata de determinarlo mediante una sola pesada en una balanza. ¿Cómo se hará? SOLUCIÓN Se colocan en la balanza 1 bola del primer saco, dos del segundo, 3 del tercero y, así, sucesivamente hasta poner 10 del décimo. Se pesan y se observa el resultado. Ese valor resultante nos dirá los gramos que faltan hasta llegar a 900, que serían los hipotéticos que resultarían si todos los sacos tuvieran bolas de 10 gramos. Ese número nos da la cantidad de bolas de 9 gramos pesadas y, por tanto, el número del saco que las contiene. El saco es el indicado por el número de gramos que faltan, en la pesada, para llegar a 900
  20. 20. En un huerto había 49 árboles dispuestos como se ve en la figura adjunta. Al hortelano le pareció que había demasiados árboles y quiso despejar el huerto, cortando los que sobraban, para plantar mejor unos cuadros de flores. Llamó a un peón y le dijo: deja nada más que 5 filas de 4 árboles cada una. Los demás árboles, córtalos y quédate con la leña. Cuando terminó, salió el hortelano y miró el trabajo. ¡El huerto estaba casi arrasado!. En vez de 20 árboles, el peón sólo había dejado 10 y había cortado 39. ¿Cómo había cortado los árboles el peón? SOLUCIÓN
  21. 21. SOLUCIÓN Estudiemos el problema realizando un esquema. t es el tiempo que tardarían en juntarse los barcos en el punto A, al poner los piratas el rumbo adecuado para alcanzarlos lo más rápidamente posible. El triángulo rectángulo AGP nos dará, por el teorema de Pitágoras, ese tiempo: horasttt 29894,0 71,100 9 )20(3)3,17( 222 ==⇒=+ y, por tanto, millasAP 9788,529894,020 =×= , distancia que recorrería el barco pirata. Cuando estén a una milla de distancia podrán disparar los cañones los piratas. Y eso sucederá cuando estén ambos en las posiciones B y C. Como los triángulos ABC y AGP son semejantes, por lo que millasAPAC GP BC AP AC 9929,1 3 9788,5 3 1 ==×=⇒= En resumen, el barco pirata habrá recorrido, hasta C, millasACAPCP 9859,39929,19788,5 =−=−= Al marchar a 20 millas por hora, tardará en llegar a C nutosmihorashorastmillast 122,0199,0 20 9859,3 '9859,3'20 =≅==⇒= Los piratas podrán disparar al cabo de 12 minutos de haber avistado el galeón y puesto el rumbo adecuado
  22. 22. Cuatro exploradores, en una noche cerrada, necesitan cruzar un puente desde un mismo lado. Sólo tienen una linterna, necesaria para marchar a través del puente (en dirección a un lado o a otro) que, estrecho y débil de estructura, no permite que más de dos personas lo atraviesen a la vez. El puente es lo suficientemente largo para que sea imposible lanzar la linterna de un extremo a otro. Los exploradores, de distintas edades, tienen una velocidad individual para cruzarlo de manera que uno sólo lo podría cruzar en 1 minuto, otro en 2 minutos, el tercero en 5 minutos y el último en 10 minutos. Como los exploradores pueden caminar a velocidades diferentes, cada vez que una pareja de exploradores cruza el puente lo hace a la velocidad del que va más lento. Con estos datos, ¿qué estrategia tienen que usar los exploradores para poder pasar todos de un lado del puente al otro en el mínimo tiempo?... y… ¿cuál es ese mínimo tiempo que pueden tardar en cruzarlo? SOLUCIÓN 1er viaje: van los exploradores 1 y 2 con la linterna. En total, 2 minutos. 2o viaje: vuelve el explorador 2 con la linterna. Pasaron ya 2 + 2 = 4 minutos. 3er viaje: van los exploradores 3 y 4 con la linterna. Tardan 10 minutos, y más los 4 de antes suman 14 minutos. 4o viaje: vuelve el explorador 1 (que había quedado en la otra orilla después del primer viaje) con la linterna. Ya suman 15 minutos. 5o viaje: Van de nuevo los exploradores 1 y 2. Total: 17 minutos. Tardan 17 minutos (mínimo tiempo) en atravesar el puente con la estrategia citada anteriormente
  23. 23. Tengo 6 trozos de cadena, cada uno de 4 eslabones, y quiero hacer, con todos ellos, una única cadena. El herrero me cobra 20 euros por soldar un eslabón y 5 euros por cortarlo. ¿Por cuánto dinero puedo tener la cadena unida completa? SOLUCIÓN Se deben cortar los cuatro eslabones de un trozo y unir los otros 5 trozos con ellos, por lo que el precio será: 5 euros x 4 cortes = 20 euros más 20 euros x 4 soldaduras = 80 euros El precio de unir la cadena es de 100 euros
  24. 24. Calcula el resultado de elevar al cuadrado el número 1234567890987654321234567890987654321 y restarle el producto de 1234567890987654321234567890987654322 por 1234567890987654321234567890987654320 SOLUCIÓN Si llamamos p = 1234567890987654321234567890987654321, la operación es p2 – (p + 1) x (p – 1) = p2 – (p2 – 1) = p2 – p2 + 1 = 1 El resultado es 1
  25. 25. Dividir la figura amarilla con dos rectas en cuatro partes de manera que, uniéndolas, se construya un cuadrado. SOLUCIÓN Se corta por las líneas rojas que se muestran y la figura queda dividida en cuatro partes, que reubicamos quedando así un cuadrado:
  26. 26. En un campeonato de tenis se juega a eliminatoria única con sus respectivos jugadores exentos en determinadas rondas, que pasan sin jugar. Si se inscriben 67 jugadores, ¿cuántos partidos deberán jugarse hasta que se proclame un vencedor del torneo? SOLUCIÓN Si es a eliminatoria única en cada partido se elimina un jugador y, como hay un ganador de 67 jugadores (66 perdedores), Se juegan 66 partidos hasta determinar el ganador
  27. 27. En la cocina había una tarta de cumpleaños que ha desaparecido. La familia tiene cinco hijos: Antonio, Benito, Conrado, Diego y Emilio, y la madre sabe que alguno, o varios, son los autores del desaguisado y les interroga. He aquí sus respuestas: • Antonio: Ha sido uno solo de nosotros. • Benito: No, de dos de nosotros. • Conrado: No, de tres de nosotros. • Diego: No, de cuatro de nosotros. • Emilio: Entre todos nos la comimos. La madre sabe que los inocentes dicen la verdad y que los culpables, que se la han comido, mienten. ¿Quién o quiénes se comieron la tarta? SOLUCIÓN Como los cinco dicen frases incompatibles entre sí solo caben dos posibilidades: a) Que sólo uno diga la verdad. Los otros cuatro mienten y son los que se han comido la tarta. La afirmación verdadera es "Cuatro de nosotros se la comieron". Diego dice la verdad y los demás mienten. b) Que no la diga ninguno. Pero, si todos mienten, la tarta no se la comió nadie y esto es incompatible con lo que sabe la madre. La tarta se la comieron Antonio, Benito, Conrado y Emilio
  28. 28. Cuenta la leyenda que un velero pirata llegó a una remota isla perseguido por galeones españoles y, en ella, el capitán escondió el botín que llevaba a bordo, fruto de sus abordajes. Desembarcó, con sus secuaces, en una playa desierta donde había una palmera y una roca. Clavó en la playa su espada y, desde ella, caminó en linea recta hasta la palmera. Estando en ella giró 90º en sentido contrario de las agujas del reloj y anduvo (siempre en línea recta) la misma distancia anterior, en donde hincó una estaca. Volvió a la posición de la espada y caminó, también en línea recta, hasta la roca y, girando 90º en el mismo sentido de las agujas del reloj, repitió la misma distancia, y del mismo modo, hasta un punto en donde clavó otra estaca. Buscó el punto medio entre las dos estacas y allí ordenó enterrar el tesoro. De inmediato mandó recoger la espada y las estacas para, así, proteger la situación exacta del tesoro. Volvió al barco con su tripulación y siguió con sus fechorías… hasta que pasaron diez años. Entonces volvió a la isla y desenterró el tesoro. ¿Cómo consiguió localizar el tesoro con la ayuda, únicamente, de la situación de la palmera y de la roca, que aún permanecían allí? SOLUCIÓN Vemos en la imagen adjunta el esquema del problema. Vamos a demostrar que la posición del tesoro sólo depende de la posición de la palmera y de la roca, que permanecen en la isla en la segunda visita del pirata. Con esos dos elementos determinaremos inmediatamente la situación del tesoro. Para ello, consideramos el esquema sin elementos ‘de adorno’ y establecemos un sistema cartesiano en el que el eje de abcisas es la recta que pasa por P y R y el eje de ordenadas la perpendicular a la anterior pasando por M, punto medio de P y R:
  29. 29. Usando vectores, ),( qpaMSMPSP −−−=−= y el perpendicular con el mismo módulo (en sentido contrario a las agujas del reloj) es ),(1 paqPE −−= Por otro lado, ),( qpaMEMRER −−=−= y el perpendicular con el mismo módulo (en el sentido de las agujas del reloj) es ),(2 paqRE +−−= Por tanto, los vectores de posición de los puntos correspondientes a las estacas son, respectivamente, ),(11 paqaPEMPME −−+−=+= , coordenadas cartesianas del punto 1E , y ),(22 paqaREMRME +−−=+= , coordenadas cartesianas del punto 2E Evidentemente, el punto medio de 1E y 2E será ),0( aM − , punto de localización del tesoro. Claramente se ve que su situación solo depende de la de la palmera y la de la roca. El tesoro se encuentra en la mediatriz del segmento formado por la palmera y la roca y a la misma distancia del punto medio que la mitad de la distancia entre ellas
  30. 30. ¿Qué área es mayor, la parte roja o la parte blanca de la figura? SOLUCIÓN Basta dividir la figura en polígonos iguales (uno blanco y otro rojo) como se ve para determinar que Las áreas son iguales
  31. 31. María está disfrutando de un viaje de placer de un mes en Roma con Luís. En este momento, el hijo de ambos tiene 21 años menos que ella. En 6 años, el chico será, exactamente, 5 veces menor que ella. ¿Qué están haciendo, con seguridad, estos días? SOLUCIÓN El niño tiene hoy a años y su madre b años, 21 años mayor que el hijo: por tanto, b = a+21. Si en 6 años el muchacho será 5 veces menor que su madre se cumplirá que 5.(a+ 6) = b+6 El sistema formado por las dos ecuaciones nos permite deducir (sustituyendo b en la segunda ecuación) que a=-3/4. Entonces, el niño tiene hoy -3/4 de año, que representan -9 meses: dentro de 9 meses nacerá el niño, por lo que María y Luís están haciendo el amor (con éxito de embarazo)
  32. 32. Juan, José y Jaime son tres amigos aficionados al atletismo que deciden competir entre ellos haciendo una carrera de 5 kilómetros cada día. Para hacerlo más interesante establecen que, en cada carrera, el primero obtendrá 50 puntos, el segundo 20 y el tercero 10. Cuando acaben la temporada, el que tenga más puntos será invitado por los otros dos a una cena. Juan queda segundo veinte veces más que tercero y, finalmente, obtiene 2700 puntos. ¿Cuántos días compiten? SOLUCIÓN Llamamos x al número de veces que Juan queda tercero, x20 a las veces que queda segundo e y a las veces que gana la carrera. Entonces, yxyxxN +=++= 2120 será el número de carreras realizadas y, por tanto, el número de días que compiten. Si Juan obtiene 2700 puntos, es evidente que ⇒=+⇒=+×+ 270050410270050202010 yxyxx 5 854 5 41270 270541 x x x yyx −−= − =⇒=+⇒ Como x e y indican las veces que ha quedado tercero y primero (respectivamente), esos números deben ser enteros positivos por lo que debe cumplirse que 135 =⇒= yx , únicos valores que permiten la afirmación anterior. En conclusión, Juan queda 5 veces tercero, 100 veces segundo y 13 veces primero, por lo que Compiten 118 días
  33. 33. Sustituye, en la suma siguiente, las letras por cifras (de 0 a 9) teniendo en cuenta que a cada letra distinta le corresponde una cifra diferente SOLUCIÓN Evidentemente M=1. Por tanto, las últimas cifras de la izquierda implican que S vale 8 o 9, y O vale 0 o 1. Si fuera S=8 tendríamos que O=0 y E=9, lo cual es imposible pues se deduciría que N=0, hecho contradictorio al ser la letra N distinta de la letra O. En resumen, M=1, S=9 y, en consecuencia, O=0 pues E no puede ser 9. Se deduce entonces que E+1=N, por lo que • N+R=10+E, que conduce a que R=9, contradictorio con el hecho de que S=9 y R no es S • N+R+1=10+E, que permite deducir que R=8 De R=8 y E+1=N se obtiene por descarte, con las cifras que quedan, que N=6 y E=5. Por último, fácilmente puede obtenerse que Y=2 y D=7. En conclusión la suma pedida es
  34. 34. Me encontré el otro día a un antiguo alumno. Después de una agradable conversación y, hablando de lo mucho que le gustaban las matemáticas, le comenté: “Fíjate. Tengo el doble de la edad que tú tenías cuando yo tenía la edad que tú tienes” ¿Cuáles son nuestras edades actuales si entre los dos tenemos 105 años? SOLUCIÓN Llamemos x a mi edad e y a la del alumno. Cuando yo tenía la edad que él tiene han pasado yx − años, por lo que yo tenía y años y él, ( ) xyyxy −=−− 2 años. En consecuencia, ⇒−=−= xyxyx 24)2.(2 yx 43 =⇒ Por otro lado, 105=+ yx . Tomando las dos ecuaciones se obtiene que ( )⇒−=⇒−= xxxy 105.43105 ⇒=⇒−=⇒ 420744203 xxx 60=x e 45=y Por tanto Tengo 60 años y el alumno tiene 45 años
  35. 35. ¿Cuántos kilómetros nos quedan si, después de haber recorrido la tercera parte de la carretera, faltan 50 kilómetros para llegar a la mitad? SOLUCIÓN Llamemos x al total de kilómetros de la carretera. Según lo que nos dice el enunciado, 50 6 50 32 =⇒++= xxx x , luego la carretera tiene 300 kilómetros. Entonces, hemos recorrido 100 3 300 3 == x kilómetros y, por tanto, Faltan 200 kilómetros
  36. 36. Un punto está situado en el interior de un cuadrado y su distancia respectiva a tres vértices consecutivos es de 3, 4 y 5 cm. ¿cuánto mide el lado del cuadrado? SOLUCIÓN Sea x el lado del cuadrado. Trazamos las alturas OF y OG , respectivas de los triángulos AOB y BOC También, hacemos pBF = , qBG = Por el teorema de Pitágoras, ( ) ( ) ⇒     −=−−= −=−−= 22222 22222 45 43 qqxOG ppxOF       − = + = ⇒    −= += ⇒    −=−+− −=−+− ⇒ x x q x x p xqx xpx qqqxx pppxx 2 9 2 7 92 72 16225 1629 2 2 2 2 222 222 Por otro lado, y por el mismo teorema, 222 4=+ qp . Sustituyendo queda ⇒=+−⇒= +−+++ ⇒=      − +      + 224 2 24242222 641304216 4 81184914 16 2 9 2 7 xxx x xxxx x x x x 065340130682 2424 =+−⇒=+−⇒ xxxx Resolvemos la ecuación bicuadrada:    ≅ ≅ ⇒±=−±=⇒ 43,1 65,5 9666,1417651717 22 x x x , rechazando los valores negativos que se obtienen dado el contexto del problema. Evidentemente, la única solución válida es la primera, pues el lado del cuadrado debe ser, al menos, mayor que 3, por lo que El lado del cuadrado mide 5,65 cm
  37. 37. Teniendo en cuenta que todas las letras se corresponden con los diez dígitios del sistema decimal (de 0 a 9) y que a letras diferentes les coresponden dígitos diferentes, hallar el valor de la suma. SOLUCIÓN Haciendo la descomposición numérica obtenemos que ⇒++=++++++++ JJJIHGFEDCBA 10100101001010010100 ( ) ( ) ⇒=+++++×+++×⇒ JIFCHEBGDA 11110100 ( ) ( ) JIHGFEDCBAHEBGDA 111999 =+++++++++++×+++×⇒ Por otro lado, sabemos que ⇒−=++++++++⇒=+++++++++ JIHGFEDCBA 45459876543210 ( ) ( ) ( ) ( ) ⇒=+++×+++×⇒=−+++×+++×⇒ JHEBGDAJJHEBGDA 1124599911145999 (dividiendo por 9) ( ) 9 112 59 J HEBGDA =++++++×⇒ Como el primer miembro de la igualdad es un valor entero, el segundo también debe serlo. Y, entonces, si 112y 9son primos entre sí, J debe ser un múltiplo de 9 por lo que, al ser un dígito, 9=J y JJJ = 999
  38. 38. Un grupo de soldados, en una parada militar, va desfilando en formación rectangular de 20 metros de largo y avanzando con paso uniforme. La mascota, una cabra, parte del centro de la última fila en línea recta hasta el centro de la primera fila y regresa del mismo modo hasta el centro de la última fila. En el momento de alcanzar el centro de la última fila, los soldados han recorrido exactamente 20 metros. Suponiendo que se desplace con velocidad constante y que no pierda tiempo en los giros, ¿cuántos metros ha recorrido la cabra? SOLUCIÓN Construimos el esquema: La cabra, según el esquema anterior, ha recorrido x220 + metros. Llamamos v a la velocidad de los soldados w a la de la cabra, ambas constantes. Teniendo en cuenta la fórmula espacio = velocidad x tiempo, planteamos las igualdades siguientes para el tiempo 1t transcurrido en el que la cabra va en la misma dirección que los soldados: w v x x twx tvx = + ⇒    ×=+ ×= 2020 1 1 Para el tiempo 2t en el que van en direcciones opuestas: w v x x twx tvx = − ⇒    ×= ×=− 2020 2 2 Y, por igualación obtenemos que 2104002400 20 20 222 =⇒=⇒−=⇒ − = + xxxx x x x x Por tanto, la distancia recorrida por la cabra es 28,4822020220 =+=+ x metros La cabra ha recorrido 48,28 m
  39. 39. Los números primos se distribuyen de forma ‘aleatoria’ (hasta la fecha, pues no se ha conseguido demostrar aún que sigan alguna pauta regular) en el conjunto de los números naturales y suelen aparecer habitualmente cuando recorremos dicho conjunto pero, ¿existe algún conjunto de un millón de números naturales consecutivos que no contenga ningún primo?... si existe, ¿podrías indicar uno? SOLUCIÓN Existe. Basta tomar el número 2!10000011 +=x y tomar la sucesión de números consecutivos 1000000,...,2,1!1000001 =∀++= iixi . Todos los números son compuestos pues cada ix es divisible por 1000000,...,1,1 =∀+ ii Un conjunto de un millón de números naturales consecutivos y compuestos puede ser el que se cita
  40. 40. Estamos ante un grifo y tenemos dos cubos vacíos en los que caben 3 y 5 litros respectivamente. ¿Cómo podemos llenar, en el cubo de 5 litros, 4 litros exactos de agua si no tenemos más medidas que esas? SOLUCIÓN Seguimos los siguientes pasos: 1. Llenamos el recipiente de 3 litros (R3) y volcamos su contenido en el de 5 litros (R5) 2. Repetimos la operación otra vez: llenamos R3 y volcamos su contenido en R5 hasta completarlo. En ese momento, R5 estará lleno y R3 contendrá un litro. 3. Vaciamos R5 y volcamos el litro de R3 en R5 4. Por tercera vez llenamos R3 y volcamos su contenido en R5, que contendrá exactamente los 4 litros. Siguiendo los 4 pasos anteriores se soluciona el problema
  41. 41. Si un ciclista marcha con una velocidad de 20 kilómetros a la hora, llega a Fraga una hora después del mediodía. Si la velocidad es de 30 kilómetros por hora, alcanza Fraga una hora antes del mediodía. ¿A qué velocidad debe ir para llegar a Fraga exactamente a mediodía? SOLUCIÓN Llamamos t al tiempo que tardaría el ciclista en llegar a Fraga a mediodía. Según el enunciado, usando la fórmula tiempovelocidadespacio ×= , ( ) ( ) 55010130120 =⇒=⇒−×=+× tttt horas. Por tanto, el recorrido es de ( ) 1201520 =+× kilómetros y, la velocidad que debe llevar para estar en Fraga a mediodía es hkm horas kilómetros velocidad /24 5 120 == La velocidad debe ser de 24 kilómetros por hora para llegar a Fraga a las 12 del mediodía
  42. 42. Cuatro matrimonios están tomando tapas en un bar. Silvia toma una tapa, Raquel dos, Tere tres y Merche cuatro. Rubén toma las mismas tapas que su mujer, Marcos el doble que la suya, Tomás el triple que la suya y Sebastián cuatro veces más que la suya. Si en la mesa quedan 32 palillos, desechos de cada una de las respectivas tapas consumidas, ¿cómo se llama la mujer de Tomás? SOLUCIÓN Las mujeres consumen, en total, 10 tapas, por lo que los hombres comen 22. Como 22 es par en la consumición de los hombres, o bien 22 es la suma de cuatro impares, imposible por las condiciones del problema, o de cuatro impares, también imposible, o de dos pares y dos impares, lo cual nos determina cuatro posibilidades (1x1+2x2+3x3+4x4=30, 3x1+2x2+1x3+4x4=26, 1x1+4x2+3x3+2x4=26, 3x1+4x2+1x3+2x4=22), siendo la correcta la correspondiente a Parejas Consumición Silvia-Tomás 1+3x1=4 Raquel-Sebastián 2+4x2=10 Tere-Rubén 3+1x3=6 Merche-Marcos 4+2x4=12 que hacen un total de 32 palillos. La mujer de Tomás es Silvia
  43. 43. A Nazario le han encargado que decore, con plantas y flores a su gusto, un parterre ya delimitado en forma de corona circular, con una fuente en el centro. Necesita saber los metros cuadrados que tiene, por lo que le pide a su hijo Pablo que haga las mediciones correspondientes. Pablo, con notable eficacia, trae una única medida de 8 metros dentro del parterre y asegura que, con ella, se puede determinar perfectamente el área de la corona circular. ¿Cómo ha medido?, ¿cuál es el valor de la superficie del parterre? SOLUCIÓN Pablo mide la longitud de una cuerda, de la circunferencia exterior, tangente a la circunferencia interior. Si r es el radio de la circunferencia interior y R el radio de la exterior puede observarse claramente que, por el teorema de Pitágoras, 164 2 8 222 2 22 ==−⇒      += rRrR . Como el área de una corona circular es la diferencia entre medidas de la superficie del círculo mayor y la superficie del círculo menor, ( ) 22222 27,5016 mrRrRÁrea ==−=−= ππππ La superficie del parterre es de 50,27 metros cuadrados
  44. 44. El radio del círculo inscrito en un triangulo rectángulo mide 2 cm y el del circunscrito 5 cm. ¿ Cuánto mide la suma de los catetos ? SOLUCIÓN Se trata de hallar la suma NQNPS += Si el radio del círculo circunscrito al triángulo rectángulo es 5 cm, la hipotenusa, que equivale al diámetro, mide 10 cm: 10=PQ cm. Consideramos los triángulos formados por el centro del círculo inscrito y los vértices del triángulo: NOP , POQ y QON . La suma de sus áreas equivale al área del triángulo rectángulo. Por tanto, ⇒ × =++=++ 22 2 2 2 2 2 NQNPNQPQNP ÁreaÁreaÁrea QONPOQNOP 2 10 2 NQNP S NQNP NQPQNP × =+⇒ × =++⇒ Por otro lado, ( ) 404102 22222 ++=⇒×++=+⇒ SSNQNPNQNPNQNP , aplicando el teorema de Pitágoras en el triángulo rectángulo y la igualdad deducida anteriormente. En resumen, 14014042 =⇒=−− SSS , única solución válida en el contexto del problema (la otra es de valor negativo). Por lo tanto, La suma de los catetos es 14 centímetros
  45. 45. Mariano González no ha cumplido aún los 40 y ya tiene familia numerosa. Si escribimos tres veces seguidas su edad, el número obtenido es el producto de su edad por la de su mujer y la de cada uno de sus cinco hijos. ¿Cuál es la edad de todos los miembros de la familia? SOLUCIÓN Si ab es la edad de Mariano, el número resultante de escribir tres veces su edad es abbababababaababab 10101)10(101011010110101011010010001000010000 =+×=+×=+++++= Si descomponemos factorialmente el número que se obtiene, 37137310101 ×××= y, por tanto, abababababab ××××××=××××== 3713731137137310101 Por lo tanto no podemos saber la edad de Mariano, pero La mujer de Mariano tiene 37 años y sus hijos tienen 1, 1, 3, 7 y 13 años
  46. 46. Se celebró un sorteo con premios en el que participaron 1958 personas. El 89% consiguió un premio y del 11% restante la mitad obtuvo dos y la otra mitad ninguno. ¿Cuántos premios se repartieron? SOLUCIÓN Es evidente: el promedio de premios del 11% restante de los participantes es 1, por lo que, teniendo en cuenta que el 89% recibió un premio… hubo tantos premios como participantes, por lo que Se repartieron 1958 premios
  47. 47. Un viajante está reservando una habitación en un hotel para una semana. Al ir a dar su tarjeta de crédito se da cuenta de que la ha perdido. Llama al banco y le dicen que tardarán una semana en darle una nueva. Entonces propone al dueño del hotel pagarle con una cadena de oro de 7 eslabones, en la que cada eslabón vale exactamente el precio de una noche. En el momento en que reciba la tarjeta de crédito pagará con ella y el hostelero le devolverá la cadena. Éste está de acuerdo, pero prefiere cobrar cada día con un eslabón. Como luego va a tener que recomponer la cadena, el viajante piensa cortar el mínimo numero posible de eslabones. ¿Cuántos cortará? SOLUCIÓN Basta que corte el tercer eslabón y deje tres trozos: uno de un eslabón (el cortado), otro de dos y otro de cuatro. Así, el primer día pagará con un eslabón. El segundo entregará el trozo de dos eslabones y recibirá el que entregó el día anterior, que volverá a entregarlo en tercer día. El cuarto día entregará el trozo de cuatro eslabones y recibirá los otros dos trozos. El quinto, sexto y séptimo día repetirá el proceso de los tres primeros días. Sólo tendrá que cortar un eslabón
  48. 48. Intercalando las operaciones matemáticas pertinentes (¡valen todas y los paréntesis!) hay que conseguir a) Con seis unos hacer 100, con seis doses hacer 100… y, así, hasta con seis nueves. b) Con cinco unos hacer 10, con cinco doses hacer 10… y, así, hasta con cinco nueves. c) Con cuatro nueves hacer 2, con cuatro ochos hacer 3, con cuatro sietes hacer 4, con cuatro seises hacer 5, con cuatro cincos hacer 6, con cuatro cuatros hacer 7, con cuatro treses hacer 8, con cuatro doses hacer 9 y con cuatro unos hacer 10 SOLUCIÓN a) La expresión general, para cualquier dígito x de 1 a 9, es ( ) xxxxxx ÷− b) La expresión general, para cualquier dígito x de 1 a 9, es ( ) xxxxx ×÷− c) La expresión general, para cualquier dígito x de 1 a 9, es xxxx −÷ Las expresiones anteriores son las óptimas para determinar los valores con las condiciones indicadas
  49. 49. A Krans le entusiasma el submarinismo y, junto con unos amigos, ha descubierto un pequeño cofre del cargamento del galeón español 'Mercedes' oculto entre los restos del naufragio. Uno de ellos, argumentando que no todos llevan el mismo tiempo buceando, propone repartirlo en base a sus edades dando dos monedas de oro al más joven, cuatro monedas al siguiente, ocho, dieciseis... y así sucesivamente. Krans, que casualmente es el más joven, consigue convencerles de hacer partes iguales (sus dos metros de altura ayudaron bastante). ¿Cuántos submarinistas encontraron el tesoro teniendo en cuenta que eran menos de veinte? SOLUCIÓN Si son n submarinistas, con el reparto original 222...168642 1 −=++++++ +nn será el número de monedas que hay, con 2≥n . Por otro lado, si hacen partes iguales, y recibe cada uno m monedas, se cumplirá que nmn ×=−+ 22 1 Entonces, ( ) nmnn ×=−×=−+ 12222 1 es un número par, lo que indica que, al menos uno de los dos números, m o n , es par y, además, ( ) n m n 122 −× = a) Si n es impar: n es divisor de 12 −n , lo cual no se cumple para ningún valor impar menor a 20 . b) Si n es par: 2/ 12 n m n − = y 2/n debe ser impar, luego 18,14,10,6,2=n . Se cumple para 2=n ( )3=m , 6=n ( 21=m ) y 18=n ( 29127=m ) Hay tres soluciones posibles: 2 amigos que se reparten 3 monedas cada uno 6 amigos que se reparten 21 monedas cada uno 18 amigos que se reparten 29127 monedas cada uno
  50. 50. La serpiente del Paraíso Terrenal mentía los martes, jueves y sábados. Los demás días decía la verdad. - Eva, cómete una manzana. - No puedo, lo tengo prohibido. -Aprovecha. Hoy es sábado y Él está descansando. - No, no… tal vez mañana. - Mañana es miércoles y será tarde. Y ella comió y así nos va a todos. ¿Qué día de la semana fué? SOLUCIÓN Como la serpiente miente el sábado es imposible que sea sábado, por lo que está mintiendo y el día es el martes o el jueves. Si dice ‘mañana es miércoles’ y está mintiendo no puede ser martes, por lo que el día en el que se produce la conversación debe ser Jueves
  51. 51. En el triángulo ABC dibujamos siete segmentos, paralelos al lado BC, que dividen en 8 partes iguales al lado AC. Si BC = 10 centímetros, ¿cuál es la suma de las longitudes de los 7 segmentos? SOLUCIÓN Basta girar 180º el triángulo original y adjuntarlo, construyendo así un paralelogramo en el que se complementan todos los segmentos a la misma longitud que el lado BC. Por lo tanto, la suma pedida será la mitad de la que suman los siete de la nueva construcción, a razón de 10 centímetros cada uno. Suman 35 centímetros
  52. 52. Teniendo en cuenta que a letras diferentes les corresponden dígitos diferentes y que O no es nulo, hallar el valor de la suma. SOLUCIÓN Debe estar claro que 30 ≤< O y, por tanto, OS += 104 o OS += 204 o OS += 304 De ahí, 2=O y , entonces, 3=S o 8=S , porque del caso OS += 204 no obtenemos valor válido. De lo anterior, y mediante deducciones elementales, llegamos a tres posibilidades cuando 3=S : y a dos en el caso de 8=S :
  53. 53. A Josepha Braum le preguntaron en una ocasión: ¿qué hacia usted el 30 de diciembre de 1829? Uffff, no tengo ni idea, contestó. Eso sí, sé que tenía tantos años como los que suman las cuatro cifras del año de mi nacimiento. ¿Cuál es la fecha de su nacimiento? SOLUCIÓN Vamos a calcular el año de su nacimiento. No pudo nacer en el siglo XVIII porque el mayor valor de la suma de las cifras sería 269971 =+++ y, sin embargo, su edad debería ser 30. Años anteriores aumentan la diferencia entre la suma de las cifras y la edad. Por tanto, suponemos que nació en el año ab18 y tenía cumplidos los años en 1829. Entonces, ( ) ⇒++=−−⇒++=++−⇒+++=− bababababaab 910299101800182981181829 20211 =+⇒ ba , ecuación diofántica que intentamos resolver: 2 510 2 1120 20211 a a a bba −−= − =⇒=+ . Si hacemos tbta 11102 −=⇒= y, no existe ningún valor de t para el que a y b sean cifras del sistema decimal: no hay, en este caso, solución. La única posibilidad que queda es que naciese en ab18 pero aún no hubiera cumplido años en 1829 a 30 de diciembre. En ese supuesto ( ) ⇒++=++−⇒+++=−− bababaab 91018001828811811829 2 1 59 2 1119 2111991028 a a a bbababa − +−= − =⇒+=⇒++=−−⇒ . Entonces, tbtat a 11421 2 1 +=⇒−=⇒= − y las únicas cifras válidas son para 0=t . En ese caso 1=a y 4=b , por lo que Josepha Braum nació el 31 de diciembre de 1814
  54. 54. En una maratón han participado 6522 personas. El 56,56565656…% de los que llegaron a la meta eran hombres y el 56,756756756…% de quienes acabaron eran menores de 40 años. ¿Cuánta gente abandonó? SOLUCIÓN Escribamos, en forma de fracción, los porcentajes dados respecto al número total s de personas que acabaron la prueba: ssde 99 5600 %56,56 = son hombres y ssde 37 2100 %756,56 = son menores de 40 años. Son fracciones irreducibles y como s es entero debe ser múltiplo de 99 y de 37 (primos entre sí) y menor que 4000 El único valor válido es 366399371 =××=s personas alcanzaron la meta, por lo que 337 personas abandonaron la maratón
  55. 55. Al encontrarse en la celebración de un cumpleaños, dos hombres se saludaban con un apretón de manos y tanto dos mujeres como mujer y hombre se daban un beso. Alguien contó que se dieron, en total, 21 apretones de manos y 34 besos. ¿Cuántas personas estaban en la fiesta? SOLUCIÓN Vamos a llamar h al número de hombres y m al número de mujeres. Echando mano de la combinatoria, si hubo 21 apretones de manos entre cada dos hombres se cumple que ( ) 704221 2 1 2 2 2 =⇒=−−⇒= −× =      = hhh hhh Ch , única solución positiva. Hay 7 hombres. Para el caso de los besos, éstos se realizan con una mujer y una mujer o una mujer y un hombre, por lo que el número de besos será ( ) 406813347 2 1 347 2 2 =⇒=−+⇒=+ −× ⇒=+ mmmm mm mCm , única solución positiva. Hay 4 mujeres. Por tanto, 11 personas estuvieron en la celebración
  56. 56. Los números reales no nulos a y b verifican la igualdad 1 2 44 22 = − ba ba . Encuentra, razonadamente, todos los valores tomados por la expresión 22 22 ba ba + − SOLUCIÓN Sabemos que 0≠a y 0≠b . Entonces, ⇒=−−−⇒=−−⇒−=⇒= − 00221 2 2244422444422 44 22 babbababababa ba ba ( )( ) ( ) 02222222 =+−+−⇒ babbaba , y como 2222222 200 babbaba =⇒=−−⇒≠+ En conclusión, 3 1 32 2 2 2 22 22 22 22 == + − = + − b b bb bb ba ba , pues 02 ≠b Por tanto, La expresión vale siempre 1/3
  57. 57. En la construcción de una casa dos albañiles, Ramiro y Roque, se repartieron a ojo unos 100 ladrillos en dos montones de modo que quedaran los dos más o menos parejos. Se pusieron a trabajar y mientras que Ramiro los colocaba en columnas de cinco ladrillos, Roque lo hacía en columnas de siete. Cuando acabaron, a Ramiro le quedaban 2 ladrillos sin colocar y a Roque cuatro ladrillos. ¿ De cuantos ladrillos era cada montón ? SOLUCIÓN Sean a el número de columnas que puso Ramiro y b el número de las columnas que puso Roque. Entonces, 4855025 ≈⇒≈+ aa y 4675047 ≈⇒≈+ ab . De ahí, podemos deducir, por defecto y por exceso que 109 oa = y 76 ob = . Los únicos valores que hacen que haya exactamente 100 ladrillos son 9=a ( )4725 =+a y 7=b ( )5347 =+b , por lo que El montón de Ramiro era de 47 ladrillos y el montón de Roque era de 53 ladrillos
  58. 58. Tenemos las sucesiones a) 1, 2, 3, 5, 16, … b) 1, 2, 3, 7, 16, … c) 1, 2, 3, 7, 22, … ¿Cuáles son los dos siguientes términos de cada una de estas sucesiones?, ¿cuál es la regla de construcción respectiva? SOLUCIÓN a) La sucesión se puede definir con los dos primeros números de manera arbitraria y cada término, a partir del tercero, es la diferencia entre los cuadrados de los dos términos anteriores: 3,,2,1 2 2 2 121 ≥∀−=== −− naaaaa nnn b) La sucesión se puede definir con los dos primeros números de manera arbitraria y cada término, a partir del tercero, es la suma del precedente y el cuadrado del situado dos lugares antes: 3,,2,1 2 2121 ≥∀+=== −− naaaaa nnn c) La sucesión se puede definir con los dos primeros números de manera arbitraria y cada término, a partir del tercero, es el producto de los dos anteriores aumentado en una unidad: 3,1,2,1 2121 ≥∀+×=== −− naaaaa nnn Por lo tanto, los dos términos siguientes de cada sucesión serán a) …, 231, 53105, … b) …, 65, 321, … c) …, 155, 3411, …
  59. 59. Un perro está persiguiendo a un conejo tratando de darle caza. Cada 5 saltos que da el conejo el perro da 4, pero 8 saltos de éste equivalen a 11 saltos de aquél. Si el conejo lleva 66 saltos suyos de ventaja, ¿cuántos saltos dará el perro para alcanzar al conejo? SOLUCIÓN Como los saltos perro-conejo están en la proporción de longitudes de 8 11 , mientras el conejo da 5 saltos el perro da 5,5 2 11 4 8 11 ==× saltos como el conejo. Es decir, el perro le gana medio salto al conejo cada 5 saltos de éste o, lo que es lo mismo, el perro gana un salto conejil cada 10 del conejo. Por tanto el perro, para llegar a alcanzarlo, necesitará que el conejo de 660 saltos si éste lleva 66 saltos de ventaja. El perro habrá dado 72666066 =+ saltos de conejo que, según la proporción dada, equivalen a 528 11 8 726 =× saltos perrunos. El perro da 528 saltos hasta alcanzar al conejo
  60. 60. Tengo 2 hijos y uno de ellos es varón, ¿cuál es la probabilidad de que los dos lo sean? SOLUCIÓN Las posibilidades de hijos e hijas son VH, HV, VV, HH (V: varón y H: Hembra). Si hay un hijo varón sólo las tres primeras posibilidades son válidas, de las cuales una (VV) es la que sería favorable, luego La probabilidad de que sean dos varones es ⅓
  61. 61. Una atleta debe transportar una pértiga de 5 metros en un avión. La compañía no permite bultos con dimensiones superiores a los 3 metros. ¿Cómo puede enviarla si la pértiga no puede plegarse ni doblarse? SOLUCIÓN Usando una caja cúbica cuyas dimensiones sean 3x3x3 metros y colocando la pértiga en una diagonal de la caja. La diagonal vale 20,5333 222 =++=d metros, por lo que puede contener a la pértiga, que mide 5 metros.
  62. 62. En un almacén de frutas hay mucha actividad. Tanta que, un día, se equivocaron en el etiquetado de un encargo. Tenían preparadas tres cajas: una sólo de melocotones, otra sólo de peras y otra con una mezcla de peras y melocotones. Pusieron las etiquetas en cada una de las cajas: ‘melocotones’, ‘peras’, ‘peras y melocotones’… pero ninguna se correspondía con su contenido. ¿De qué caja hay que sacar una sola pieza de fruta para observarla y, después, colocar cada etiqueta en la caja adecuada? SOLUCIÓN Se saca una pieza de la caja rotulada con ’peras y melocotones’ pues ahí sólo hay melocotones o sólo peras al no estar la etiqueta acorde con su contenido. Hay dos posibilidades: • Si sacamos una pera, esa caja debe rotularse con ‘peras’, la que dice ‘peras’ debe rotularse con ‘melocotones’ y la que dice ‘melocotones’ debe rotularse con ‘melocotones y peras’. • Si sacamos un melocotón, esa caja debe rotularse con ‘melocotones’, la que dice ‘melocotones’ debe rotularse con ‘peras’ y la que dice ‘peras’ debe rotularse con ‘melocotones y peras’.
  63. 63. Rosendo y Marisol tienen un cierto número de cromos cada uno (R y M). En la escuela están aprendiendo las cuatro operaciones básicas: Rosendo suma ambos números (R+M) y Marisol los multiplica (RxM). No contentos con eso, Rosendo resta el menor del mayor (R-M o M-R) y Marisol divide el mayor por el menor (R/M o M/R). Por último, suman los cuatro resultados y obtienen 243. Cuantos cromos tiene cada uno? SOLUCIÓN Hagamos, suponiendo que MR > , la factorización de la última operación efectuada: ( ) ( ) ⇒ ++ ×=      ++×=+×+=+×+−++ M MM R M MR M R MRR M R MRMRMR 121 22 2 ( ) ( ) 52 2 32431 1 ==+×= + ×⇒ M M R M M R De ahí se deducen dos posibilidades: a) ( ) 54,2273,931 322 ==⇒====+ RM M R M , y b) ( ) 24,83,8131 42 ==⇒===+ RM M R M Por tanto, Rosendo puede tener 54 cromos y Marisol 2 … o … Rosendo puede tener 24 cromos y Marisol 8 … o viceversa
  64. 64. Un numero natural a está formado por más de una cifra. Al multiplicar a por 29 se obtiene a, pero precedido y seguido por otra cifra B, es decir: ax29 = BaB. ¿Cuál es el mínimo número a que cumple esas condiciones? SOLUCIÓN Si ( ) ( ) 19 110 11019101029 +× =⇒+×=×⇒+×+×==× n nn B aBaBaBBaBa De ahí, mn ×=+ 19110 , pues B es una cifra. Es decir, 19 110 + = n m debe ser un número natural. El mínimo que cumple las condiciones es 52631579=m , pues 110110000000005263157919 9 +=+=× Por tanto ( ) 52631579 19 110 ×= +× = B B a n y el mínimo número natural buscado es (para 1=B ), 52631579
  65. 65. Quiero construir un calendario con dos cubos, los cuales indicarán el día a día de los meses. ¿Qué cifras deberé colocar en cada cara de los dos cubos para que se puedan indicar los 31 días de un mes cualquiera? SOLUCIÓN En un dado pueden ponerse las cifras 0, 1, 2, 3, 4 y 5, y en el otro, las cifras 0, 1, 2, 6, 7 y 8. En caso de necesidad del 9, se pone el 6 dándole la vuelta.
  66. 66. La hierba crece en todo el prado con igual rapidez y espesura. Se sabe que 70 vacas se la comerían en 24 días y 30 vacas en 60 días. ¿Cuántas vacas se comerían toda la hierba en 96 días? SOLUCIÓN Llamamos x al número de vacas que se pide y llamamos y al crecimiento diario de la hierba expresado en partes de la que hay inicialmente en el prado. Si en un día hay un crecimiento de y , en 24 días habrá un crecimiento de y24 . Tomando todo el pasto como una unidad, en 24 días las 70 vacas comerán y241+ . En un día, por tanto, comerán 24 241 y+ y una de las vacas comerá, en un día, 70.24 241 y+ Por el mismo razonamiento, una de las 30 vacas (que consumen toda la hierba en 60 días) comerá en un día, 60.30 601 y+ Evidentemente las cantidades deben ser idénticas, por lo que 480 1 60.30 601 70.24 241 =⇒ + = + y yy Es decir, cada día, una vaca consume 1600 1 60.30 480 1 601 60.30 601 = + = + y Para x vacas, que consumen todo en 96 días, se cumplirá que 20 1600 1 96 480 1 961 =⇒= + x x , por lo que 20 vacas se comerían toda la hierba del prado en 96 días
  67. 67. ¿Cuál es la sucesión que sigue en la siguiente lista de sucesiones? • 4 14 24 30 31 32...... • 3 6 7 9 10 11...... • 5 6 7 10 15 16........ • 1 2 4 5 8 11........ SOLUCIÓN Son sucesiones formadas por los números naturales que contienen a cada una de las cinco vocales. La primera sucesión es cuAtro, cAtorce, veinticuAtro, treintA, … La segunda, trEs, sEis, siEtE, nuEvE, … La tercera, cInco, seIs, sIete, dIez, … La cuarta, unO, dOs, cuatrO, cincO, … Por lo tanto, la última será 1, 4, 9, 15, 19, 21, …
  68. 68. Un número entero positivo se escribe con tres cifras distintas. Obtenemos tres números de dos cifras cada uno suprimiendo la cifra de las centenas, la de las decenas y la de las unidades. La suma de esos tres números es la mitad del número de tres cifras inicial. ¿Cuál es ese número? SOLUCIÓN Sea el número cbaabc ++= 10100 . El enunciado nos dice que ⇒ ++ =++=+++++⇒=++ 2 10100 21120101010 2 cba cbacbcaba abc bcacab baccba 420031260 −=⇒=−−⇒ De ahí se deduce que 1. 1=a y 53 ≤≤ b . Como las cifras son distintas sólo cabe que 3=b y 8=c o bien 5=b y 0=c . 2. 2=a y 98 ≤≤ b . Como las cifras son distintas sólo cabe que 9=b y 4=c Por tanto, el número puede ser 138, 150 o 294
  69. 69. ¿Cuántas cifras tiene el número N = 4994 .51989 ? SOLUCIÓN ( ) 5105525254 198819881988198999421989994 ×=××=×=×=N . Esto es, N es el número formado por la cifra 5 seguida de 1988 ceros. Por tanto, N tiene 1989 cifras
  70. 70. Un rayo ha partido una antena de comunicaciones que medía 25 metros y la parte superior ha quedado con el extremo en el suelo formando un triángulo rectángulo de 15 metros de base ¿A qué altura se ha roto la antena? SOLUCIÓN Si llamamos x a la altura de la parte que ha quedado en pie, aplicando el teorema de Pitágoras obtenemos: ( ) ⇒+−=+⇒−=+ 22222 506252252515 xxxxx 840022562550 =⇒=−=⇒ xx Por tanto, La antena se ha partido a 8 metros de altura
  71. 71. Un agricultor tenía 5 sacos de patatas y pidió a su hijo que los pesara para llevarlos al mercado. El hijo, para enredar un poco, los pesó de dos en dos de todas las maneras posibles y obtuvo 46, 48, 49, 50, 51, 52, 53, 54, 56 y 57 kg ¿Cuánto pesa cada saco sabiendo que todos los valores son enteros y distintos? SOLUCIÓN Vamos nombrar los pesos de los cinco sacos como V , W , X , Y y Z , ordenados de menor a mayor valor. Si consideramos los dos primeros los de menos peso, lógicamente se verificará que 46=+WV y, de manera similar con los de mayor peso, 57=+ ZY En resumen, también deducimos de ahí que 1035746 =+=+++ ZYWV Por otro lado en las diez pesadas los sacos intervienen cuatro veces cada uno, , por lo que ( ) 516575654535251504948464 =+++++++++=++++× ZYXWV , por lo que el peso total de los sacos será la cuarta parte de ese valor: 129=++++ ZYXWV Así, el peso 26103129 =−=X kg, con lo que ya tenemos el peso del saco intermedio. Los pesos de los demás oscilarán, lógicamente, entre 2248 =− X y 3056 =− X al no intervenir X ni en la primera ni en la última pesada. Como todos los sacos tienen distinto peso, los dos primeros deben cumplir 242246 +==+WV (no hay más posibilidades lógicas con las condiciones establecidas y obtenidas), con lo que ya tenemos los pesos 22=V kg y 24=W kg Con el mismo razonamiento debe verificarse que 292857 +==+ ZY o que 302757 +==+ ZY En el primer caso ( 29,28 == ZY ) debería aparecer, en la lista, el peso 552926 =+=+YX y no aparece, por lo que no puede cumplirse esta posibilidad. Por tanto, debe ser ⇒+==+ 302757ZY 27=Y kg y 30=Z kg Ya tenemos los pesos de los cinco sacos y es sencillo comprobar, sumando dos a dos, que coinciden las sumas con los valores de la lista de pesadas indicada. En conclusión, Los pesos de los sacos son 22 kg, 24 kg, 26 kg, 27 kg y 30 kg
  72. 72. Un tipógrafo, para enumerar todas las páginas de un libro, ha empleado 2989 dígitos. ¿Cuántas páginas tiene el libro? SOLUCIÓN Hay 9 páginas de una cifra (de 1 a 9), 90 de dos cifras (de 10 a 99), 900 de tres cifras (de 100 a 999), 9000 de cuatro cifras (1000 a 9999) que rebasan nuestros datos. Para páginas de una cifra necesitaremos 9 dígitos, para páginas de dos cifras necesitaremos 90 x 2 = 180 dígitos, para páginas de tres cifras necesitaremos 900 x 3 = 2700 dígitos… luego, hasta páginas de de tres cifras se usan 9 + 180 + 2700 = 2889 dígitos. Hasta los dígitos dados faltan 2989 – 2889 =100 dígitos para indicar páginas de cuatro dígitos, por lo que habrá 100/4 = 25 páginas que si empiezan por 1000 acabarán en 1024. Por tanto, El libro tiene 1024 páginas
  73. 73. Una agencia turística ofrece tres tipos de viajes a China: • China Panorámica, por 1600 euros/persona • China Esencial, por 1700 euros/persona • China Pais de Dragón, por 1800 euros/persona Una semana la empresa recaudo 20000 euros por la venta de esos tipos de viaje. ¿Cuántos viajes de estos tipos se vendieron, en total, la citada semana? SOLUCIÓN Llamamos X , Y y Z a la cantidad de viajes vendidos de cada uno de los citados, y en el mismo orden, en esa semana. Tendremos entonces que 20018171620000180017001600 =++⇒=++ ZYXZYX Debe cumplirse también, por los datos indicados, que 120 ≤≤ X , 110 ≤≤ Y y 110 ≤≤ Z 16 28 12 16 1817200 200181716 ZY ZY ZY XZYX −− +−−= −− =⇒=++ , y la última fracción debe ser un número entero. Nombramos ahora al valor entero 2 84 2 168 1682 16 28 Y t Yt ZtZY ZY t −−= −− =⇒−=+⇒ −− = , por lo que Y debe ser un número par. Estudiamos ahora las posibilidades, siendo la cantidad de viajes siempre enteros y positivos o nulos: Y t 2 84 Y tZ −−= tZYX +−−=12 ZYX ++ 0 0 4 8 12 0 -1 12 -1 Imposible 2 0 3 7 12 2 -1 11 -2 Imposible 4 0 2 6 12 4 -1 10 -3 Imposible 6 0 1 5 12 6 -1 9 -4 Imposible 8 0 0 4 12 8 -1 8 -5 Imposible 10 0 -1 3 Imposible 10 -1 7 -6 Imposible Todas las posibilidades admisibles conducen al mismo resultado, por lo que se deduce que 12 viajes se contrataron en esa semana
  74. 74. Tres amigos intentan acertar el número de judías contenidas en un tarro de cristal. José dice que hay 260, María cree que hay 274 y Carmen propone que hay 234 judías. Ninguno ha acertado. Uno se ha equivocado en 9, otro en 17 y un tercero en 31 judías. ¿Cuántas judías contiene el tarro? SOLUCIÓN La cantidad de judías del tarro se obtendrá según los valores de las cantidades propuestas más/menos los desfases respecto a la cantidad correcta. Calculamos las diferencias entre la cantidad menor y las restantes y comparamos el resultado con los valores de los desfases: • 260 – 234 = 26 = 9 + 17 • 274 – 234 = 40 = 9 + 31 Que nos invita a pensar que José y María se han excedido y Carmen ha dado el resultado por defecto. Al comprobar la tercera diferencia, 274 – 260 = 14 = 31 – 17, confirmamos el hecho, por lo que se cumple que 234 + 9 = 260 – 17 = 274 – 31 = 243 y se deduce que El tarro contiene 243 judías
  75. 75. Hay dos trozos de mecha que se consumen, cada uno de ellos al prenderlos, en un minuto. ¿Cómo medir 45 segundos con ellos si no se pueden cortar y su velocidad de quemado no es uniforme? SOLUCIÓN Tomamos la primera mecha y la encendemos por los dos extremos. A la vez, encendemos la segunda mecha por un extremo. La primera se consume en 30 segundos. En ese instante encendemos el otro extremo de la segunda mecha. Ésta (que ya llevaba 30 segundos consumiéndose) se consumirá, entonces, en 15 segundos más, logrando nuestro propósito.
  76. 76. Manolo, Paco y Tobías pusieron el dinero que tenían encima de la mesa y empezaron a jugar a un juego en el que el que pierde divide el dinero que tiene en dos partes iguales y se lo entrega a los otros dos jugadores. Hicieron seis jugadas y, al final, Manolo se quedó con 11 euros, Paco con 3 euros y Tobías sin nada. ¿Con cuánto dinero empezó cada uno? SOLUCIÓN Es uno de los problemas en los que hay que empezar a pensar desde el final e ir hacia atrás, pero antes hay que considerar que el dinero ni aparece ni desaparece, por lo que hay siempre 14 euros en juego. Además, el jugador que tiene menos, en cada jugada, es el que perdió en la jugada anterior… y recibe y tiene (al llegar a la jugada sin nada) la mitad de lo que se reparte en la jugada actual. Es evidente que Tobías fue el que perdió en la última jugada (: la sexta), pues se quedó sin nada y siempre se queda así el que pierde. Además, el que menos tiene (pero tiene algo) ha perdido el juego anterior (en este caso, Paco), pues recibe lo que ahora tiene sin haber tenido nada y es la mitad de lo que tenía Tobías. En conclusión, al finalizar la quinta jugada, Tobías tenía 6 euros (que repartió por mitades al perder la sexta), Paco no tenía nada (había repartido, al perder, 12 euros) y Manolo tenía 8 euros. Al acabar la cuarta jugada, que perdió Tobías, éste no tenía nada (había repartido 4 euros, 2 a cada uno), Paco tenía 12 euros y Manolo 2 euros… y así sucesivamente… Hacemos un esquema, en forma de tabla, para ver como transcurrió todo: Jugada Manolo Paco Tobías 6ª =+ 38 11 euros =+ 30 3 euros 0 euros (Pierde) Tobías ha repartido 6 euros (3 + 3) 5ª =+ 62 8 euros 0 euros (Pierde) =+ 60 6 euros Paco ha repartido 12 euros (6 + 6 ) 4ª =+ 20 2 euros =+ 210 12 euros 0 euros (Pierde) Tobías ha repartido 4 euros ( 2 + 2 ) 3ª 0 euros (Pierde) =+ 46 10 euros =+ 40 4 euros Manolo ha repartido 8 euros ( 4 + 4 ) 2ª =+ 62 8 euros =+ 60 6 euros 0 euros (Pierde) Tobías ha repartido 12 euros (6 + 6 ) 1ª =+11 2 euros 0 euros (Pierde) =+111 12 euros Paco ha repartido 2 euros (1 + 1) 1 euro 2 euros 11 euros Situación inicial Manolo empezó con 1 euro, Paco con 2 euros y Tobías con 11 euros
  77. 77. Teniendo en cuenta que a letras distintas les corresponden dígitos diferentes, descifrar esta suma tan evidente: SOLUCIÓN De la primera columna se deduce que E debe ser una cifra par y, además, al observar la primera y cuarta columnas de la suma es evidente que, en la última, se arrastra cifra por lo que debe ser 4>E Veamos las posibilidades: • 6=E o Entonces, 273 ==⇒= OyDS . De ahí solo cabe la posibilidad de 84 == CyI • 8=E o Entonces, 94 =⇒= DS , y puede ser 216 ==⇒= CyIO 7=O , y • 05 == CyI , o • 26 == CyI Por lo tanto hay cuatro soluciones posibles:
  78. 78. Diez amigos ganan en la ruleta diferentes cantidades de dinero (siempre valores enteros) y deciden que el que más ha ganado dará dinero a los restantes de modo que todos ellos (los restantes) tripliquen el dinero obtenido por cada uno. Una vez hecho esto observan que las cantidades son las mismas, solo cambia lo que tiene cada uno de ellos de modo tal que el que más ha ganado es el que menos tiene. Si entre todos ellos han ganado 1180960 euros, ¿cuánto dinero tenian inicialmente? SOLUCIÓN Si las cantidades, antes y después del reparto, son las mismas y todas (menos la mayor) se han triplicado, dichas cantidades deben estar en una progresión geométrica de razón 3. Si llamamos x a la menor de ellas, tenemos que 11809603...2793 9 =+++++ xxxxx . De la suma resulta que 40118096029524 13 1310 =⇒== − − xxx . Por tanto, Tenían, de menor a mayor, 40 euros, 120 euros, 360 euros, 1080 euros, 3240 euros, 9720 euros, 29160 euros, 87480 euros, 262440 euros y 787320 euros
  79. 79. Si el número de mi casa fuera múltiplo de 3 sería un número entre 50 y 59. Si no fuera múltiplo de 4, estaría comprendido entre 60 y 69. Si no fuese múltiplo de 6, sería un número entre 70 y 79. ¿Cuál es el número de mi casa? SOLUCIÓN Está claro que el número debe estar comprendido entre 50 y 79, pues de lo contrario debería ser múltiplo de 6 y no de 3, lo cual es imposible. Por la primera condición, si fuera múltiplo de 3 podría ser el 51, el 54 o el 57. En ese caso, por la segunda condición, debería ser múltiplo de 4 (al estar fuera del ámbito entre 60 y 69) y en ningún caso se cumple para los tres números anteriores. Por tanto, no es múltiplo de 3, ni (en consecuencia) tampoco de 6 y debe estar entre 70 y 79. Y debe ser también múltiplo de 4 por la segunda afirmación. El único número, entre 70 y 79, que cumple esas condiciones es el 76 En conclusión, El número de mi casa es el 76
  80. 80. Un sultán dejó a sus hijas un cierto número de perlas y determinó que la división se hiciera del siguiente modo: La hija mayor se quedaría con una perla y un séptimo de lo que quedara. La segunda hija recibiría dos perlas y un séptimo de lo restante, la tercera joven recibiría tres perlas y un séptimo de lo que quedara. Y así sucesivamente. Las hijas más jóvenes presentaron demanda ante el juez alegando que, por este complicado sistema de división, resultaban fatalmente perjudicadas. El juez, que era hábil en la resolución de problemas, respondió prestamente que las reclamantes estaban engañadas y que la división propuesta por el viejo sultán era justa y perfecta. Y tenía razón. Hecha la división, cada una de las hermanas recibió el mismo número de perlas. ¿Cuántas perlas había?, ¿cuántas eran las hijas del sultán? SOLUCIÓN Llamemos x al número de perlas a repartir. Según el enunciado, la hija mayor se queda con 7 6 7 1 1 + = − + xx perlas. Quedan, entonces, 7 66 7 6 − = + − xx x perlas para repartir con las demás. La segunda hija se queda con 49 786 49 206 2 7 2 7 66 2 + = − += − − + xx x perlas. Como ambas hijas se quedan, según el juez, con la misma cantidad de perlas, se verifica que 36786427 7 786 6 49 786 7 6 =⇒+=+⇒ + =+⇒ + = + xxx x x xx perlas son las que el sultán repartió entre sus hijas. A partir de aquí, el reparto se hace elemental: la mayor y la segunda se quedan, cada una, con 6 7 636 = + perlas y se deduce que habrá seis hijas Vamos a comprobar que las demás también se quedarán con la misma cantidad: Después de las dos primeras quedan 24 perlas. La tercera hija se queda con 6 7 324 3 = − + perlas y quedan 18 perlas. La cuarta se queda con 6 7 418 4 = − + perlas y quedan 12 perlas. La quinta se queda con 6 7 512 5 = − + perlas y quedan 6 perlas. Por último, la sexta hija recibe 6 7 66 6 = − + perlas también, acabándose el reparto. En conclusión, El sultán repartió 36 perlas de manera equitativa entre sus 6 hijas
  81. 81. Sobre una mesa hay 7 dados, uno encima del otro, formando una torre de siete dados de altura. ¿Cuántos puntos hay a la vista sabiendo que la cara que está más arriba de la torre es un 5? SOLUCIÓN Las caras opuestas de un dado siempre suman 7, por lo que las caras ocultas de los seis dados inferiores sumarán 7 x 6 = 42 puntos. El dado superior tiene el 5 como cara descubierta, por lo que la cara tapada será la de 2 puntos. En total habrá 42 + 2 = 44 puntos ocultos. La suma de las seis caras de de cada dado es de 21 puntos, por lo que hay, en total, 21 x 7 = 147 puntos. Y como hay 44 ocultos, Hay 103 puntos visibles en la torre de dados
  82. 82. Un agricultor tiene un terreno, en forma cuadrada, de 10000 metros cuadrados. Lo divide mediante tres rectas: una diagonal y otras dos, paralelas entre sí, uniendo cada vértice libre con el punto medio del lado opuesto. Queda así dividido el terreno en seis trozos. ¿Cuál es valor del área de uno de los dos trozos de mayor superficie? SOLUCIÓN Se observa claramente que, al realizar la construcción, se obtienen seis trozos que son simétricos y de igual superficie dos a dos (: se han nombrado con las mismas letras). Es evidente que, dada la superficie cuadrada y su valor, el lado del terreno es de 10010000 = metros, y la mitad del lado mide 50 metros. Así, las superficies mayores abarcan ( )CBCCBBAA +×−=+++−=+ 210000)''(10000' metros cuadrados. Como CB + es un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 100 y 50 metros, su área es 2500 2 50100 = × =+ CB metros cuadrados. Entonces, 50002500210000' =×−=+ AA metros cuadrados Por lo tanto, al ser los dos trozos iguales, Los trozos de mayor superficie tienen, cada uno, 2500 metros cuadrados de área
  83. 83. En un torneo de fútbol han participado 4 equipos: Aviación, Barcino, Celtas y Deportivo, y todos los equipos se enfrentaron una vez entre sí. El campeonato finalizó con la siguiente clasificación: Puntos Goles favor Goles Contra 1. Aviación 5 3 1 2. Barcino 5 4 3 3. Celtas 3 2 2 4. Deportivo 1 0 3 Determinar los resultados de todos los partidos jugados, sabiendo que cada partido ganado otorga tres puntos y cada empate otorga un punto. SOLUCIÓN Al ser un campeonato en el que los cuatro juegan entre sí una sola vez, se han jugado todas las combinaciones de cuatro elementos tomados dos a dos: 6 !2!2 !4 2 4 2,4 = × =      =C partidos. Los indicamos: a) Aviación – Barcino b) Celtas – Deportivo c) Aviación – Celtas d) Barcino – Deportivo e) Deportivo – Aviación f) Celtas – Barcino El Deportivo solo obtuvo un punto, por lo que empató un partido y perdió dos. El partido empatado tuvo de resultado 0 – 0. Aviación y Barcino, al llegar a cinco puntos, debieron ganar un partido y empatar dos cada uno. Por tanto, Celtas debió empatar uno o tres (para mantener la paridad de los empates) pero, al tener tres puntos, fueron tres (todos) los que empató. Se sigue entonces, vista la tabla de goles, que el partido b) Celtas – Deportivo quedó 0 – 0. Aviación y Barcino ganaron al Deportivo (único que perdió partidos) y Barcino por un gol, por lo que Aviación le ganó por dos según la tabla de goles. Evidentemente, como el Deportivo no metió ningún gol, el partido e) Deportivo – Aviación finalizó 0 – 2 y el partido d) Barcino – Deportivo, 1 – 0. Quedan tres empates por determinar. Viendo la sección de goles a favor y en contra, queda claro que solo pudo suceder que el partido a) Aviación – Barcino quedase 1 –1, el partido c) Aviación – Celtas, 0 – 0, y el partido f) Celtas – Barcino, 2 – 2. En resumen, los resultados fueron: Aviación, 1 – Barcino, 1 Celtas, 0 – Deportivo, 0 Aviación, 0 – Celtas, 0 Barcino, 1 – Deportivo, 0 Deportivo, 0 – Aviación, 2 Celtas, 2 – Barcino, 2
  84. 84. En una excursión al campo me encuentro con un granjero. Al preguntarle qué número de animales tiene, me dice: "Todos son caballos menos seis, todos son cerdos menos seis y todos son patos menos seis" ¿Cuántos animales tiene el granjero? SOLUCIÓN Llamamos x , y , z a las cantidades respectivas de caballos, cerdos y patos que posee el granjero. Si t es el número total de animales, se cumple que        −= −= −= =++ 6 6 6 tz ty tx tzyx . Sumando las tres últimas igualdades tenemos: 9182183 =⇒=⇒−=++= tttzyxt Por lo tanto, El granjero tiene 9 animales
  85. 85. Sea A la suma de las cifras del numero 44444444 y B la suma de las cifras de A. ¿Cuánto vale la suma de las cifras del número B? SOLUCIÓN El número de cifras que posee viene dado por 708,162104444log44444444log 4444 =×= : tiene 16211 cifras. Por tanto, A es la suma de las 16211 cifras del número 4444 4444 En ese caso, A estará entre 1 (si sus cifras son todo ceros salvo la primera, cosa imposible) y 145899916211 =× (si sus cifras son todo nueves, cosa imposible también), valores extremos. Siguiendo el razonamiento B , suma de las cifras de A , estará entre 1 y 45 (caso de 99999=A ), considerando también situaciones extremas. En resumen, la suma de las cifras de B se situará entre 1 y 12 (caso de 39=B ) Estudiamos ahora qué valor debe ser. Lo hacemos por congruencias con módulo 9. En dicho módulo cualquier número es congruente con la suma de sus cifras: )9(mod71644444444 ≡=+++≡ , )9(mod4497744442 ≡=×≡ , )9(mod1284744443 ≡=×≡ , )9(mod71744444 ≡×≡ . )9(mod47744445 ≡×≡ … Resumiendo,        =≡ +=≡ +=≡ • • • 3)9(mod14444 23)9(mod44444 13)9(mod74444 nsi nsi nsi n n n . Como el exponente es )9(mod744441314814444 4444 ≡⇒+×= y la suma de sus cifras y la suma de la suma de sus cifras: )9(mod7)9(mod7 ≡⇒≡ BA . Y la suma de las cifras de B también lo será con 7 módulo 9. El único número que cumple esas condiciones entre 1 y 12 (valores que puede tomar B ) es, precisamente, 7 . Por lo tanto, La suma de las cifras de B es 7
  86. 86. Una habitación sin ventanas, con su puerta de entrada cerrada, tiene una bombilla en su interior que la puede iluminar. En la pared exterior, y a diez metros de la puerta de acceso a la habitación, hay tres interruptores, uno de los cuales la enciende. ¿Cómo averiguar, entrando una sola vez en la habitación, cuál es el interruptor que enciende la bombilla? SOLUCIÓN Se pulsa el primer interruptor, dejándolo activado durante 5 minutos. Se le retorna a su posición inicial y se pulsa el segundo interruptor. Se entra en la habitación y a)Si la bombilla está encendida, el segundo interruptor la activa b) Si la bombilla está apagada y caliente, el primer interruptor la activa c) Si la bombilla está apagada y fría, el tercer interruptor la activa
  87. 87. Joan compra lápices para sus alumnos (como recuerdo de su boda) a 18 céntimos cada uno. Al cabo de un rato vuelve a la papelería a comprar más. En vista de que es un buen cliente, el dueño le rebaja el precio y compra los lápices a 17 céntimos cada uno. En total Joan gasta 3,51 euros en los lápices. ¿Cuántos lápices ha comprado? SOLUCIÓN Llamamos x al número de lápices comprados por 18 céntimos e y al número de lápices comprados a 17 céntimos. Entonces, y según el enunciado, 17 11 20 17 18351 3511718 x x x yyx − +−= − =⇒=+ Si llamamos 17 11 x t − = se deduce que tx 1711−= e ttxy 18920 +=+−= El único valor de t que hace a x e y positivos (por ser cantidades de objetos) es 0=t . Por tanto, 11=x e 9=y y, en ese caso, Joan compró 20 lápices
  88. 88. El coronel del regimiento ha hecho una apuesta con el capitán de una de las compañías. Ganará si averigua, sin verlo, las taquillas que quedarán abiertas en el cuartel en las condiciones que propone su subalterno. Hay mil soldados, cada uno con su respectiva taquilla y todas éstas cerradas. El capitán coloca a todos los soldados en formación y pide al primero que abra todas las taquillas. Después, al segundo le pide que cierre las que tengan numeración par. Más tarde, al tercero le pide que cambie el estado (si está cerrada la abre, si esta abierta la cierra) de las taquillas numeradas con múltiplos de tres, al cuarto que haga lo mismo con las taquillas numeradas con múltiplos de cuatro y así, sucesivamente y con la misma petición, hasta que el último soldado de los mil hace la labor encomendada. ¿Qué número deberá dar el coronel para acertar y ganar la apuesta? SOLUCIÓN Todas las taquillas están, inicialmente, cerradas. Al terminar todo el proceso, volverán a estar cerradas aquellas cuyo número de referencia tenga un número par de divisores y abiertas las que tengan un número con una cantidad impar de divisores. Los únicos números que tienen una cantidad impar de divisores son los cuadrados perfectos (los demás tienen divisores que se van emparejando para, al multiplicarse entre sí, dar dicho número) menores que mil, por lo que las taquillas que quedarán abiertas serán la numeradas con 1=12 , 4=22 , 9=32 , ... , 900=302 y 961=312 Definitivamente Quedan 31 taquillas abiertas
  89. 89. ¿Cuál es el número más grande que puede crearse a partir de tres ceros, usando las operaciones matemáticas que se deseen y que no impliquen la aparición de ningún otro dígito? SOLUCIÓN No hay límite para crear números tan grandes como se deseen. Basta escribir y calcular, por ejemplo, (…(((0!+0!+0!)!)!)!........)! con la cantidad de factoriales que se quiera.
  90. 90. Una cuadrilla de jardineros debía segar dos prados, uno de los cuales tenía doble superficie que el otro. Durante media jornada del primer día todos los jardineros trabajaron en el prado grande. En la otra media, la mitad siguió en el prado grande y la otra mitad trabajó en el pequeño. Al acabar ese día, el trabajo quedó listo, faltando solo una parte del prado pequeño, que ocupó toda la jornada siguiente a un solo jardinero. Sabiendo que una jornada o día son ocho horas de trabajo, ¿de cuántos jardineros constaba el grupo? SOLUCIÓN Llamamos S a la superficie del prado pequeño, S2 será la del grande. Sea, también, x el número de jardineros. En la primera media jornada se realiza doble trabajo sobre el prado grande que en la segunda media jornada al estar trabajando en él el doble de jardineros. Está claro, pues, que en la primera media jornada se ha segado SS 3 4 2 3 2 = y en el día el doble, S 3 8 , quedando para el día siguiente SSS 3 1 3 8 3 =− de todo el terreno. Por tanto, si el trabajo siempre es uniforme, cada jardinero siega, en toda una jornada, S x3 8 Respecto al día siguiente, por consiguiente, se cumplirá que 8 3 1 3 8 =⇒= xSS x En conclusión, había 8 jardineros
  91. 91. Halla todos los números enteros n tales que n+98 dividido por n+19 es un número entero. SOLUCIÓN Sea Ζ∈= + + a n n 19 98 . Entonces ( ) ( ) anaaannnan 1998119981998 −=×−⇒+=+⇒+×=+ De ahí 1 1998 − − = a a n y, haciendo 1−= at , ( ) 19 79197911998 −= − = +×− = tt t t t n Como 79 es un número primo, los únicos valores válidos (por ser n un número entero) son: • 601 =⇒= nt • 981 −=⇒−= nt • 1879 −=⇒= nt • 2079 −=⇒−= nt En conclusión, El número n puede tomar los valores -98, -20, -18 y 60
  92. 92. El jefe del destacamento quiere ordenar sus soldados formando un cuadrado (el mismo número de personas en cada fila y en cada columna) pero le sobran nueve soldados. Decide poner un soldado más en cada fila y columna, pero entonces le faltan cuatro soldados. ¿De cuántos soldados consta el grupo? SOLUCIÓN Sea x el número de soldados del destacamento que se sitúan en cada fila de la primera distribución que hace el jefe. Según las condiciones del problema, ( ) 419 22 −+=+ xx , por lo que ⇒=⇒−++=+ 1224129 22 xxxx 6=⇒ x , por lo que 45962 =+ Por tanto, El destacamento está formado por 45 soldados
  93. 93. Tenemos siete figuras de porcelana exactamente idénticas en la forma y una octava (también igual) que pesa un poco menos que las otras. La diferencia es tan leve que, pesándolas con nuestras manos, no nos damos cuenta de cuál es. Por eso tenemos una balanza con dos platos: para conseguir descubrir cuál es la figura que tiene un peso distinto a las demás. ¿Cómo podemos identificarla con solo dos pesadas? SOLUCIÓN De las ocho piezas, ponemos tres en cada uno de los platillos de la balanza. Puede suceder que 1. pesen igual: entonces, la de menos peso estará entre las dos restantes. Basta colocar cada una de esas dos en los respectivos platillos y se identificará la pieza buscada al encontrarse en el platillo más elevado. 2. pesen distinto: tomamos las tres figuras que están colocadas en el platillo que indica menos peso. Cogemos dos de ellas y las colocamos una en cada platillo, I. Si pesan igual, la restante es la buscada. II. Si pesan distinto, la que queremos descubrir es la situada en el platillo que está más elevado. Siguiendo el proceso descrito se identifica la figura de menor peso
  94. 94. Un vendedor de huevos hace su primera venta dando al cliente la mitad de los huevos que lleva en su cesta más medio huevo. Al segundo cliente, le vende la mitad de los huevos que le quedan más medio huevo. Con el tercero hace lo mismo y con el cuarto también, momento en el que se queda sin huevos. ¿Con cuántos huevos empezó la venta? SOLUCIÓN Si llamamos x al número de huevos inicial, seguimos el proceso del enunciado y • 1er cliente: le vende 2 1 2 1 2 + =+ xx , por lo que quedan 2 1 2 1 − = + − xx x huevos • 2o cliente: le vende 4 1 2 1 4 1 + =+ − xx , por lo que quedan 4 3 4 1 2 1 − = + − − xxx huevos • 3er cliente: le vende 8 1 2 1 8 3 + =+ − xx , por lo que quedan 8 7 8 1 4 3 − = + − − xxx huevos • 4o cliente: le vende 16 1 2 1 16 7 + =+ − xx , por lo que quedan 0 16 15 16 1 8 7 = − = + − − xxx huevos por lo que la venta empezó con 15 huevos
  95. 95. Un loco del volante atropella a una anciana y se da a la fuga. Tres testigos ven la matrícula de su coche. El primero sólo ve las dos primeras cifras de la izquierda, y recuerda que son iguales; el segundo sólo ve las dos últimas cifras, y dice que también son iguales; el último recuerda que el número de la matrícula tiene cuatro cifras distintas de cero y que es un cuadrado perfecto. ¿Cuál es el número de matrícula del automóvil? SOLUCIÓN El número de la matrícula, según los testigos, corresponde al formato xxyy y, como es un cuadrado perfecto, 2 abxxyy = , siendo ab y múltiplo de 11 al serlo también la matrícula. Entonces, ( ) 222 10011101001000 abyxabyyxxabxxyy =+×⇒=+++⇒= y yxyx 0100 =+ es un número múltiplo de 11 por lo que 11=+ yx , y esto siempre considerando la condición de divisibilidad por 11 y de que estamos hablando de que las incógnitas son cifras por lo que x e y son mayores que 1 Por último, como la matrícula es un cuadrado perfecto, y solo puede ser 4 , 5, 6 o 9 Los únicos números que cumplen estas últimas condiciones son 7744 , 6655, 5566 y 2299 , de los cuales solo el primero es un cuadrado perfecto, por lo que el número de matrícula del coche es 7744
  96. 96. ¿Cuál es el menor número de cuadraditos que hay que sombrear en este tablero para que la figura resultante tenga algún eje de simetría? SOLUCIÓN Los ejes de simetría de un tablero con estos cuadrados son uno de estos cuatro: Por lo que, después de un breve análisis visual, la simetría más adecuada a conseguir con un mínimo número de cuadraditos rellenados es la tercera: Se necesitan rellenar dos cuadraditos (marcados en azul) para conseguir una simetría
  97. 97. Desde un punto M exterior a una circunferencia se trazan una tangente MT y una secante MB, que corta a la circunferencia en A y B y pasa por el centro. Sabiendo que los segmentos exteriores MT= 15 cm y MA = 5 cm, ¿cuál es el área del círculo limitado por la circunferencia? SOLUCIÓN Llamando r al radio de la circunferencia obtenemos las medidas de los lados del triángulo MTO , rectángulo en T al ser MT tangente a la circunferencia. Así, por el teorema de Pitágoras, ( ) ⇒+=+ 222 155 rr 20200102252510 22 =⇒=⇒+=++⇒ rrrrr cm Entonces el área del círculo es ππ 4002 =r cm2 , luego el área del círculo es 400π = 1256,6371 cm2
  98. 98. Halla, en función de n, la suma de los n sumandos 7 + 77 + 777 + ……………. + 77…..7 En la que cada sumando tiene una cifra 7 más que el anterior SOLUCIÓN ( )=++++×=×++×+×+×=++++ 9......99...999999 9 7 9.......99 9 7 ........999 9 7 99 9 7 9 9 7 7.......7........777777 ( ) ( )       − − − ×=−++++×=−++−+−+−×= + nn n nn 110 1010 9 7 10...101010 9 7 110...110110110 9 7 1 3232 al ser n 10...101010 32 ++++ la suma de n términos de una progresión geométrica de razón 10 Por tanto, la suma es         − − × + n n 9 1010 9 7 1
  99. 99. La figura representa el plano de la planta de un piso con seis habitaciones y entre las que se distribuyen un frigorífico, un piano, una cama, una mesa y una estantería. Otra habitación queda libre. Están comunicadas entre sí como se ve y por las las puertas puede pasar cualquier mueble. Las habitaciones son de reducidas dimensiones por lo que, en cada una, solo cabe un mueble que no se puede desmontar. ¿Cuál es la menor cantidad de movimientos (y cuáles son) para permutar el piano y la estantería, trasladando aquél a la habitación de ésta y viceversa? SOLUCIÓN Si llamamos a los muebles C (cama), E (estantería), F (frigorífico), M (mesa) y P (piano), los movimientos se harán trasladando cada mueble a la habitación libre que quede en cada momento y, para permutar piano y estantería, pueden ser P – E – M – P – F – C – P – M – E – F – M – P – C – M – F – E – P con una mínima cantidad de desplazamientos. La mínima cantidad de movimientos es 17
  100. 100. Tres ladrones (Agustín, Benito y Carmelo) fueron capturados mientras robaban en el palacio de un gobernador despótico y excéntrico, siendo condenados a muerte por éste. Antes de cumplirse la sentencia, el gobernador se arrepintió de su severidad y decidió indultar a uno de los tres presos. Para conseguir que esta gracia recayese en el más inteligente de los tres reos dispuso lo siguiente: mostró, a la vista de los tres condenados, tres tiras de paño blancas y dos negras. Después, ordenó que, a la espalda de cada preso y por separado, se colgase una de estas cinco tiras. Hecho esto, permitió que los presos se viesen libremente entre sí pero que no se comunicasen entre ellos. Prometió la libertad al primero que supiera acertar, con un razonamiento infalible, el color de su propia tira. Agustín vió las tiras de Benito y de Carlos, como éstos también vieron las de los otros. Esperó un rato y , al fin, pidió ser llevado ante el gobernador al que expuso su respuesta acertada. ¿De qué color llevaba la cinta?, ¿cómo lo razonó? SOLUCIÓN Si alguien de los tres hubiera visto dos tiras negras, inmediatamente hubiera expuesto que él la llevaba blanca y se hubiera salvado. Al transcurrir un tiempo y no decir nadie nada, no había dos tiras negras colgadas de las espaldas de los reos. Y más: nadie podía llevarla negra. En ese caso, quien viese una negra debería pensar, igual que Agustín, que él la llevaba blanca… porque, en caso de llevarla negra, alguien de los tres hubiera pedido ser llevado inmediatamente al gobernador. En conclusión, esa duda permanente se debía a que todos la llevaban blanca… ¡y Agustín fue el más rápido de los tres! Agustín llevaba la tira blanca (como los demás) y expuso al gobernador el razonamiento descrito
  101. 101. El precio de una botella y su tapón es de un euro con diez céntimos. La botella cuesta un euro más que el tapón. ¿Cuánto vale cada cosa? SOLUCIÓN Evidentemente la botella cuesta 1,05 euros y el tapón 0,05 euros En un cajón hay 30 pares de calcetines sueltos y revueltos, 15 negros y 15 blancos. Si la habitación donde está se encuentra a oscuras, ¿cuál es la mínima cantidad de calcetines que deben sacarse del cajón para calzarse adecuadamente? SOLUCIÓN En el peor de los casos, los dos primeros calcetines extraídos pueden ser de distinto color, por lo que hay que sacar 3 calcetines para asegurarse que al menos dos son del mismo color y calzarse correctamente. En un cajón hay 30 pares de guantes sueltos y revueltos, 15 negros y 15 blancos. Si la habitación donde está se encuentra a oscuras, ¿cuál es la mínima cantidad de guantes que deben sacarse del cajón para poder usarlos adecuadamente? SOLUCIÓN En el peor de los casos, al principio se pueden extraer 15 guantes blancos de una misma mano y 15 guantes negros, también de una misma mano, por lo que hay que sacar 31 guantes para asegurarse que al menos dos son del mismo color y uno de cada mano para poder usarlos correctamente.
  102. 102. Un hortelano pone a la venta un buen cuadro de lechugas, sembradas en hileras iguales. Por la mañana vende tantas veces diez lechugas como hileras hay y por la tarde diez veces tantas lechugas como plantas había en cada hilera, y aún le queda por vender una sola planta. ¿Cuántas lechugas tenía plantadas si había menos de dos mil? SOLUCIÓN Llamamos x al número de hileras que hay e y al número de lechugas de cada hilera. Según el enunciado, ( ) 10 110 1101011010 − + =⇒+=−⇒++= y y xyxyyxxy . Se deduce rápidamente, de la ecuación anterior, que 11=y y 111=x (únicos valores válidos) por lo que había 1221 lechugas
  103. 103. En una encuesta sobre alimentación cárnica se obtiene que al 70% de las personas les gusta el cerdo, al 75% el pollo, al 80% el conejo y el 85% la ternera. ¿A cuántas personas les gusta los cuatro tipos de carne? SOLUCIÓN Calculemos resultados parciales por partes. Les gusta cerdo y pollo: al 100% - 70% = 30% no les gusta el cerdo y al 100% - 75% = 25% no les gusta el pollo, luego al 30% + 25% = 55% no les gusta o el cerdo o el pollo… por lo que al 45% les gusta ambos productos. Les gusta el conejo y la ternera: al 100% - 80% = 20% no les gusta el conejo y al 100% - 85% = 15% no les gusta la ternera, luego al 20% + 15% = 35% no les gusta el conejo o la ternera… por lo que al 65% les gusta los dos tipos de carnes. Según lo anterior al 100% - 45% = 55% no les gusta, a la vez, cerdo y pollo y al 100% - 65% = 35% no les gusta, a la vez, conejo y ternera. Por lo tanto, 55% + 35% = 90% no les gusta cerdo y pollo o conejo y ternera. Se deduce, pues, que al 10% de las personas encuestadas les gusta los cuatro tipos de carnes

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