1. ‫‪Pr:HAMID‬‬
‫4002 ‬ ‫الدورة العادية‬ ‫01 نقط‬
‫✔ الجزء اللول :‬
‫1‬ ‫لنكن ‪ f‬الالةا العدديةا للمتغيا اليقيق ‪ x‬ا ا العرفةا عا ‪ ℝ‬بماا يلا : 2‬
‫‪f (x)=1− x− x‬‬
‫2‬ ‫1+ ‪e‬‬
‫1‬ ‫1‬
‫‪ −x =1− x‬ا لكا ‪ x‬من ‪ℝ‬‬ ‫ا ا ا ا 1_ا أ(ا تيققا منا أنا :‬ ‫5,0‬
‫1+ ‪e‬‬ ‫1+ ‪e‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ب(استنتجا أنا ‪ f‬دالةا فرديةا .‬ ‫5,0‬
‫ا ا ا 2_ا أحسبا )‪lim f (x‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫∞+→ ‪x‬‬
‫2 1− ‪1 e x‬‬
‫( −=)‪ f '(x‬لكا ‪ x‬من ‪ℝ‬‬ ‫52,1 ا 3_ا أ(ا بيا أنا : )‬ ‫ا ‬
‫1+ ‪2 e x‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ب(اعطا جدولا تغياتا الالة ‪ f‬ا عا [ ∞+ ; 0 [ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫الدوال السية واللوغاريتمية‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ج(استنتجا أن ‪ 1− x2 ⩽ 1 x‬ا لك ‪ x‬ا من[ ∞+ ; 0 [ا ا ا ا ا ‬ ‫5,0‬ ‫ا ا ‬
‫1+ ‪e‬‬ ‫2‬
‫1‬
‫ا ا ا ا 4-ا بيا أن 0=])‪ lim [f (x)−(1− x‬ثما أولا هندا سياا هذها التيجةا .‬ ‫5,0‬
‫∞+→ ‪x‬‬ ‫2‬
‫1‬
‫ا 5,1 ا ا ا 5-أنشئا فا العلما ⃗ ; ⃗ ; ‪ (o‬الستيقيما ال يا معادله ‪ y=1− x‬ا ثما أنشئا النحن )‪. (C‬‬
‫)‪i j‬‬
‫2‬
‫0‬ ‫‪−x‬‬
‫1‬ ‫1+‪e‬‬ ‫1‬ ‫‪e‬‬
‫ا 52,1 ا 6_أ(ا بملحظةا 1+‪ 1+ex = e−x‬ا بيا أنا لكا ‪ x‬من ‪∫ 1+ex dx=ln ( 2 ) ℝ‬‬
‫1−‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ب(ا أحسبا مساحةا الزيالستوىا الحصورا بيا النحن‬ ‫57,0‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ومورا الفاصيلا والستيقيميا ذاا العادلةا 1−=‪ x‬وا 0=‪x‬‬
‫✔ الجزء الثاني :‬
‫ا لنكنا ) ‪ (u n‬التتالةا العدديةا العرفةا بماا يلا :‬
‫2‬
‫−1= 1+‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ℕ‬‬ ‫‪u‬‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا ا 1=0 ‪ u‬ا وا ‬
‫1+ ‪e‬‬‫‪n‬‬
‫ا ا 1_ا بيا بالتجعا أنا 0‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ℕ‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫1‬
‫ا ا 2_ا أ(تيققا باستعمالا نتيجةا السؤالا الالثا جا منا الءزءا الولا ،ا منا أن: ‪ u n+1 ⩽ u n‬لك ‪ n‬من ‪ℕ‬‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫2‬
‫ا ا ا ا ا ا ا ا ب(إستنتجا أنا التتالةا ) ‪ (u n‬تناقصيةا .‬ ‫5,0‬ ‫ا ‬
‫‪n‬‬
‫1‬
‫ا 3_ ا بيا أن: ) (⩽‪ u n‬لكا ‪ n‬ا من ‪ ℕ‬ثما أحسب ‪. lim u n‬‬ ‫57,0‬
‫∞+→ ‪n‬‬ ‫2‬