Criterios de convergencia para series

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Criterios de convergencia para series

  1. 1. chaaahacker@gmail.com Criterios de Convergencia para Series1 Serie Geom´trica eSea (a.rn )n∈N una sucesi´n geom´trica de t´rmino a y raz´n r. Se llama serie gem´trica a la o e e o esucesi´n de sumas parciales asociada a una sucesion geom´trica, es decir toda serie de la forma: o e ∞ a.rn = a + a.r + a.r2 + . . . + a.rn + . . . con a = 0 , a, r ∈ R n=0 ∞Sea la serie geom´trica, e a.rn si: n=0 1. r ≥ 1, la serie diverge a +∞ (si a > 0) o a −∞ (si a < 0). a 2. |r| < 1, la serie converge y su suma vale 1−r . 3. |r| = −1, la serie es oscilante, aunque las sumas parciales est´n acotadas. a 4. r < −1, la serie es oscilante y las sumas parciales tienden, en valor absoluto a +∞.2 Serie arm´nica o ∞ ∞ 1 1Se llama serie arm´nica a las serie o n y se llama serie arm´nica generalizada a o nα con n=1 n=1α > 0. ∞ 1Sea la serie arm´nica generalizada, o nα si: n=1 1. α ≥ 1, la serie diverge. 2. α > 1, la serie convege.3 Criterios de convergencia para series de t´rminos no e negativosA continuacion se nombrar´n algunos criterios para determinar la convergencia de series de at´rminos no negativos. e (a) Primer criterio de comparaci´n para la convergencia de series de t´rminos no o e ∞ ∞ negativos: Sean an y bn dos series de t´rminos no negativos: e n=1 n=1 ∞ ∞ 1. Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y bn converge entonces la seri an n=1 n=1 tambi´n converge. e ∞ ∞ 2. Si an ≤ bn desde un cierto n0 en adelante y an diverge entonces la serie bn n=1 n=1 tambi´n diverge. e 1
  2. 2. ∞ ∞(b) Segundo criterio de comparaci´n: Sean o an y bn dos series de t´rminos no e n=1 n=1 an+1 bn+1 negativos tales que desde un cierto n0 en adelante se verifica: an ≤ bn , entonces: ∞ ∞ 1. Si bn converge, an converge. n=1 n=1 ∞ ∞ 2. Si an diverge, bn diverge. n=1 n=1 ∞ ∞(c) Criterio del l´ ımite para la convergencia: Sean an y bn dos series dadas, si n=1 n=1 lim an = k, k = 0, k = ∞, entonces ambas series se comportan del mismo modo, es n→∞ bn decir, ambas son convergentes o ambas son divergentes. Observaci´n: Cuando el t´rmino general de la serie es el cociente de dos expresiones en o e n, restamos el grado del denominador menos el grado del numerador; si ´sta diferencia e es menor que 0, la serie diverge, basta ver que el l´ ımite del t´rmino general es infinito e ∞ 1 (distinto de cero); si la diferencia es mayor que 0, la comparamos con la serie nα siendo n=1 α dicha diferencia, mediante el criterio del l´ ımite. ∞(d) Criterio de Cauchy (Criterio de la ra´ Sea ız): an una serie de t´rminos no negativa e n=1 dada, entonces: √ ∞ 1. Si lim n a n = k < 1, la serie an converge. n→∞ n=1 √ ∞ 2. Si lim n a n = k > 1, la serie an diverge. n→∞ n=1 √ 3. Si lim n an = 1, no se asegura nada. n→∞ ∞(e) Criterio de D’Alembert (Criterio del cociente): Sea an una serie de t´rminos e n=1 no negativos dada, entonces: ∞ an+1 1. Si lim = k < 1, la serie an converge. n→∞ an n=1 ∞ an+1 2. Si lim an = k > 1, la serie an diverge. n→∞ n=1 an+1 3. Si lim an = 1, no se asegura nada. n→∞ ∞(f) Criterio de Raabe: Sea an una serie de t´rminos no negativos dada: e n=1 ∞ an+1 1. Si lim n.(1 − an ) = t > 1, la serie an converge. n→∞ n=1 ∞ an+1 2. Si n→∞ n.(1 − lim an ) = t < 1, la serie an diverge. n=1 an+1 3. Si n→∞ n.(1 − lim an ) = 1, dudoso. 2
  3. 3. 4 Series Alternadas ∞Las series del tipo (−1)n+1 an con an > 0, para todo n, se llaman series alternadas. n=1Es decir una serie es alternada si tiene t´rminos positivos y negativos alternadamente, ejemplo: e ∞ 1 1 1 1 (−1)n+1 = 1− + − + ... ±... n=1 n 2 3 45 Criterio de Leibnitz para la convergencia de series al- ternadas ∞Sea (−1)n+1 an , una serie alternada, si: n=1 1. a> an+1 para todo n ∈ N (decreciente),y 2. n→∞ an = 0, lim ∞entonces la serie (−1)n+1 an converge. n=1 ∞Definici´n: Sea o (−1)n+1 an una serie alternada: n=1 ∞ ∞ ∞ 1. Si la serie |(−1)n+1 an | = an es convergente, diremos que la serie (−1)n+1 an es n=1 n=1 n=1 absolutamente convergente. ∞ ∞ ∞ 2. Si la serie alteranda |(−1)n+1 an | = an es divergente, diremos que la serie (−1)n+1 an n=1 n=1 n=1 es condicionalmente convergente. 3

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