Funciones exponenciales          y logaritmicas                       1
Funciones Exponenciales                          2
Ejemplos:  f ( x) = 2    x  Es una función exponencial con base 2.  Veamos con la rapidez que crece:   f (3) = 23 = 8  f (...
Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por:  f ( x) = a      ...
Ejemplo 1:Evaluación de funciones exponencialesSea f ( x ) = 3 y evalúe lo siguiente:               x a ) f ( 2 ) = 32 = 9...
Función Exponencial NaturalLa función exponencial natural es la función exponencial                   f ( x) = e     xcon ...
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Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminación de un virusUna enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad p...
Solución:Ejemplo anteriora) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0).             10000       10000   v(t ) = ...
Solución:Ejemplo anterior (cont)c) Grafique la función y describa el comportamiento.    2000        0                     ...
Interes compuestosEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula                             nt               r    ...
EjemploCálculo del interés compuestoUna suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%anualmente. Calcule las cant...
Definiciónde la función logarítmica• Sea a un número positivo con a ≠ 1 . La  función logarítmica con base a, denotada por...
ComparaciónComparemos la forma Exponencial y la forma LogarítmicaLogarítmica:                           Exponencial:      ...
EjemploFormas logarítmicas y exponenciales   Forma Logarítmica Forma Exponencial    log10 100000 = 5          105 = 100000...
Evaluación de logarítmos log10 1000 = 3   10 = 1000                       3 log 2 32 = 5     2 = 32                   5 lo...
Propiedad de los logarítmos        Propiedad                       Razón   log a 1 = 0           Se debe elevar a a la pot...
EjemploAplicación de las propiedades logarítmicaslog 5 1 = 0           Propiedad 1log 5 5 = 1           Propiedad 2log 5 5...
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Familia de FuncionesLogarítmicas                       y = log 2 x                              y = log 3 x               ...
Logarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10Definición: Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo com...
De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que:          log 10 = 1          log 100 = 2Cómo se calcula l...
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Propiedades de los logarítmos naturalesPropiedad         Razónln 1 = 0          Se tiene que elevar e a la potencia 0     ...
EjemploElevar la función logaritmo natural  a ) ln e8   =8                       Definición de                            ...
Funciones Logarítmicas                         26
Leyes de los logarítmosEn esta sección se estudian las propiedades delos logarítmos. Estas propiedades dan a lasfunciones ...
Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmosSea a un número positivo, con a ≠ 1 . Sea A, B y C númerosreales cualesquier...
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesEvalúe cada expresión:             a) log 4 2 + log 4 32...
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones  a ) log 4 2 + log 4 32                           = log...
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones                              80b) log 2 80 − log 2 5 = ...
EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones     1             −1c ) − log 8 = log 8 3     3        ...
EjemploExpandir expresiones logarítmicas Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión. a ) log 2...
EjemploCombinar expresiones logarítmicasCombinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión:            1a )3 log x + lo...
Cambio de base• Sea:       y = log b x• Entonces se forma de manera exponencial:           b =x             y• Se toma el ...
Fórmula de cambio de base                   log a x                y=                   log a bPor consiguiente, si x = a,...
Fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de basea ) log8 5Se usa la fórmula de cambio de base ...
Ecuaciones Exponenciales y       Logarítmicas                        38
Ecuacionesexponenciales y logarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que  la variable ocurre en el exponente....
Ecuacionesexponenciales y logarítmicas       2 =7         x      ln 2 = ln 7          x      x ln 2 = ln 7             ln ...
Normas para resolver ecuaciones exponenciales1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la   ecuación.2) Tome el loga...
EjemploResolver una ecuación exponencialEncuentre la solución de:   3x+2 = 7Solución:                x+2            3     ...
EjemploResolución de una ecuación exponencialResuelva la ecuación:   8e   2x                                  = 20Solución...
EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y hazla gráfica Resuelva la ecuación: e 3− 2 x = 4     Algebr...
EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y hazla gráfica Resuelva la ecuación:      e 3− 2 x = 4 Soluc...
EjemploUna ecuación exponencial de tipo cuadráticoResuelva la ecuación:     e −e −6 = 0                          2x    xSo...
EjemploResolver una ecuación exponencialResuelva la ecuación:   3 xe x + x 2 e x = 0Solución: Primero se factoriza el lado...
Ecuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de lavariable.log 2 ( x + 2) = 5Para ...
Normas para resolver ecuacioneslogarítmicas1)Aísle el término logarítmico en un lado de laecuación; podría ser necesario c...
EjemploResolver ecuaciones logarítmicasDe cada ecuación despeje x.       a ) ln x = 8         ln x = 8            x = e8  ...
EjemploResolver una ecuacion logarítmicaResuelva la ecuación:   4 + 3 log(2 x) = 16Solución: Se aísla primero el término l...
EjemploResolver una ecuación logarítmica de maneraalgebraica y gráficaResuelva la ecuación (1): log( x + 2) + log( x − 1) ...
EjemploResolver una ecuación logarítmica de maneraalgebraica y gráficaResuelva la gráfica (2): log( x + 2) + log( x − 1) −...
EjemploResolver una ecuación de manera gráficaResuelva la ecuación:              x 2 = 2 ln( x + 2)Solución: Primero se mu...
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  1. 1. Funciones exponenciales y logaritmicas 1
  2. 2. Funciones Exponenciales 2
  3. 3. Ejemplos: f ( x) = 2 x Es una función exponencial con base 2. Veamos con la rapidez que crece: f (3) = 23 = 8 f (10) = 210 = 1024 f (30) = 230 = 1,073,741,824 3
  4. 4. Funciones Exponenciales La función exponencial con base a se define para todos los números reales x por: f ( x) = a x donde a > 0; a ≠ 0 Ejemplos de funciones exponenciales: f ( x) = 2 x h( x ) = 3 x q ( x) = 10 x Base 2 Base 3 Base 10 4
  5. 5. Ejemplo 1:Evaluación de funciones exponencialesSea f ( x ) = 3 y evalúe lo siguiente: x a ) f ( 2 ) = 32 = 9  2 −2 b) f  −  = 3 3 ≈ 0.4807  3c) f ( 2) = 3 2 ≈ 4.7288 5
  6. 6. Función Exponencial NaturalLa función exponencial natural es la función exponencial f ( x) = e xcon base e . Es común referirse a ella como la función exponencial. f ( x) = e x 6
  7. 7. Ejemplo:Evaluar la función exponencialEvalúe cada expresión correcta hasta cinco decimales.Solución: a )e 3 ≈ 20.08554 b)2e −0.53 ≈ 1.17721 c)e 4.8 ≈ 121.51042 7
  8. 8. Ejemplo:Modelo exponencial para la diseminación de un virusUna enfermedad infecciosa comienza a diseminarse en unaciudad pequeña con 10,000 habitantes. Después de t días, elnúmero de personas que ha sucumbido al virus se modelamediante la función: 10000 v(t ) = − 0.97 t 5 + 1245eContesta:a)Cuántas personas infectadas hay por el virus. (t = 0)b) Calcule el número de personas infectadas despues de undía y depués de cinco días.c) Grafique la función y describa el comportamiento. 8
  9. 9. Solución:Ejemplo anteriora) Cuántas personas infectadas hay por el virus (t = 0). 10000 10000 v(t ) = = =8 5 + 1245e 0 1250 8 personas tienen inicialmente la enfermedad.b) Calcule el número de personas infectadas después de un día y cinco días. (t = 1, t = 2, t = 5) Días Personas infectadas 1 21 2 54 5 678 9
  10. 10. Solución:Ejemplo anterior (cont)c) Grafique la función y describa el comportamiento. 2000 0 12 El contagio comienza lento, luego aumenta con rapidez y luego se estabiliza cuando estan infectados cerca de 2000 personas. 10
  11. 11. Interes compuestosEl interés compuesto se calcula mediante la fórmula nt  r A(t ) = P1 +   ndonde: A(t) = cantidad después de t años P = principal r = tasa de interés por año n = número de veces que el interés se compone por año t = número de años 11
  12. 12. EjemploCálculo del interés compuestoUna suma de $1000 se invierte a una tasa de interés de 12%anualmente. Calcule las cantidades en la cuenta después detres años si el interés se compone anualmente, cada medio año,por trimestre, mensualmente o diario.Solución: Datos P = 1000 r = 12% = 0.12 t=3 12
  13. 13. Definiciónde la función logarítmica• Sea a un número positivo con a ≠ 1 . La función logarítmica con base a, denotada por log a , se define log a x = y ⇔ a = x y log a x Así, es el exponente al que se debe elevar la base a para dar x. 13
  14. 14. ComparaciónComparemos la forma Exponencial y la forma LogarítmicaLogarítmica: Exponencial: Exponente Exponente log a x = y a y =x Base Base En ambas formas la base es la misma. 14
  15. 15. EjemploFormas logarítmicas y exponenciales Forma Logarítmica Forma Exponencial log10 100000 = 5 105 = 100000 log 2 8 = 3 2 =8 3 1 −3 2 =1 log 2 = −3 8 2 log 5 s = r 5r = s 15
  16. 16. Evaluación de logarítmos log10 1000 = 3 10 = 1000 3 log 2 32 = 5 2 = 32 5 log10 0.1 = −1 −1 1 10 = = 0.1 10 1 log16 4 = 1 2 16 = 4 2 16
  17. 17. Propiedad de los logarítmos Propiedad Razón log a 1 = 0 Se debe elevar a a la potencia 0 para obtener 1. log a a = 1 Se debe elevar a a la potencia 1 para obtener a. log a a = x x a xa a la potencia x Se debe elevar para obtener . log a x a log a x =x es la potencia a la cual se debe elevar a para obtener x. © copywriter 17
  18. 18. EjemploAplicación de las propiedades logarítmicaslog 5 1 = 0 Propiedad 1log 5 5 = 1 Propiedad 2log 5 5 = 8 8 Propiedad 35 log 5 12 = 12 Propiedad 4 18
  19. 19. EjemploGraficación de funciones logarítmicasTraza la gráfica de f ( x) = log 2 x Solución:Para construir una tabla de valores, se eligen los valores para xcomo potencias de 2 de modo que pueda hallar con facilidad suslogaritmos. x log 2 x f ( x) = log 2 x 2 3 3 22 2 21 1 0 20 = 1 2 −1 -1 -2 2 −2 -3 2 −3 19
  20. 20. Familia de FuncionesLogarítmicas y = log 2 x y = log 3 x y = log 5 x y = log10 x 20
  21. 21. Logarítmos ComunesVeamos logarítmos con base 10Definición: Logarítmo común El logarítmo con base 10 se llama logarítmo común y se denota omitiendo la base: log x = log10 x 21
  22. 22. De la definición de logarítmo se puede encontrar facílmente que: log 10 = 1 log 100 = 2Cómo se calcula log 50?No tenemos un número tal que 10 y = 50, 1 es pequño y 2 esdemasiado grande. 1 < log 5 50 < 2Las calculadoras científicas tienen una tecla equipada que da losvalores de manera directa de los logaritmos comunes. 22
  23. 23. EjemploEvaluación de logarítmos comunesUse una calculadora para hallar los valores apropiados def(x) = log x, use los valores para bosquejar una gráfica. x Log x 4 0.01 -2 3 f ( x) = log x 0.1 -1 2 0.5 1 -0.30 0 1 2 3 4 5 5 6 1 0 4 0.602 5 0.699 10 1 23
  24. 24. Propiedades de los logarítmos naturalesPropiedad Razónln 1 = 0 Se tiene que elevar e a la potencia 0 para obtener 1.ln e = 1 Se tiene que elevar e a la potencia 1 para obtener e.ln e x = x Se tiene que elevar e a la potencia x x para obtener e . ln x es la potencia a la cual e debee ln x =x ser elevada para obtener x. © copywriter 24
  25. 25. EjemploElevar la función logaritmo natural a ) ln e8 =8 Definición de logarítmo natural 1 b) ln 2  = ln e −2 = −2 e  Definición de logarítmo natural c) ln 5 ≈ 1.609 Uso de la calculadora © copywriter 25
  26. 26. Funciones Logarítmicas 26
  27. 27. Leyes de los logarítmosEn esta sección se estudian las propiedades delos logarítmos. Estas propiedades dan a lasfunciones logarítmos una amplia variedad deaplicaciones.Ya que los logarítmos son exponentes, lasleyes de los exponentes dan lugar a las leyesde los logarítmos. 27
  28. 28. Leyes de los logarítmosLeyes de los logarítmosSea a un número positivo, con a ≠ 1 . Sea A, B y C númerosreales cualesquiera con A > 0 yB > 0 .Ley Descripción1) log a ( AB) = log a A + log a B El logarítmos de un producto de números es la suma de los logarítmos de los números.  A2) log a   = log a A − log a B El logarítmo de un cociente de  B números es la diferencia de los logarítmos de los números. ( )3) log a Ac = C log a A El logarítmo de una potencia de un número es el exponente multiplicado por el logarítmo de número. 28
  29. 29. EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresionesEvalúe cada expresión: a) log 4 2 + log 4 32 b) log 2 80 − log 2 5 1 c) − log 8 3 29
  30. 30. EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones a ) log 4 2 + log 4 32 = log 4 (2.32) = log 4 64 = 3 Propiedad utilizada: 1) log a ( AB ) = log a A + log a B 30
  31. 31. EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones 80b) log 2 80 − log 2 5 = log 2 5 = log 2 16 = 4 Propiedad utilizada:  A 2) log a   = log a A − log a B B 31
  32. 32. EjemploUso de las leyes de los logarítmos para evaluar expresiones 1 −1c ) − log 8 = log 8 3 3  1 1 1 1 = log 1 3 = 3 = 8 =   8 3 23 2   1 = log  = log(1) − log(2) 2 ≈ −0.301 Propiedad utilizada: ( ) 3) log a Ac = C log a A 32
  33. 33. EjemploExpandir expresiones logarítmicas Use las leyes de logarítmos para expandir o desarrollar cada expresión. a ) log 2 (6 x) = log 2 6 + log 2 x Ley 1 ( b) log 5 x y3 6 ) = log 5 x 3 + log 5 y 3 Ley 1 = 3 log 5 x + 6 log 5 y Ley 3  ab  c) ln 3   c = ln(ab) − ln 3 c Ley 2 = ln a + ln b − ln c1 3 Ley 1 1 = ln a + ln b − ln c Ley 3 3 33
  34. 34. EjemploCombinar expresiones logarítmicasCombinar en un solo logarítmo, la siguiente expresión: 1a )3 log x + log( x +1) = log x 3 + log( x +1)1 2 2 = log( x 3 ( x +1)1 2 1b)3 ln s + ln t − 4 ln(t 2 + 1) = ln s 3 + ln t 1 2 − ln(t 2 +1) 4 2 = ln( s 3t 1 2 ) − ln(t 2 +1) 4  s3 + t  = ln   (  t 2 +1 4 )   34
  35. 35. Cambio de base• Sea: y = log b x• Entonces se forma de manera exponencial: b =x y• Se toma el logarítmo base a en cada lado: log a ( b y ) = log a x• Ley 3 de logarítmo: y log a b = log a x• Se divide entre ambos logarítmos: log a x y= log a b 35
  36. 36. Fórmula de cambio de base log a x y= log a bPor consiguiente, si x = a, entonces log a a = 1 y esta fórmulase convierte en: 1 log b a = log a b 36
  37. 37. Fórmula de cambio de baseEvaluar logarítmos con la fórmula de cambio de basea ) log8 5Se usa la fórmula de cambio de base con b = 8 y a = 10: log10 5 Nota: Se tiene la log8 5 = ≈ 0.77398 misma respuesta si log10 8 se usa log10 ó ln.b) log 9 20Se usa la fórmula de cambio de base con b = 9 y a = e: ln 20 log 9 20 = ≈ 1.36342 ln 9 37
  38. 38. Ecuaciones Exponenciales y Logarítmicas 38
  39. 39. Ecuacionesexponenciales y logarítmicas• Una ecuación exponencial es aquella en la que la variable ocurre en el exponente. • Por ejemplo: 2 =7 x• La variable x representa una dificultad por que esta en el exponente. Para tomar este caso se toma el logarítmo en cada lado y luego se usan las reglas de los logarítmos.Veamos: 39
  40. 40. Ecuacionesexponenciales y logarítmicas 2 =7 x ln 2 = ln 7 x x ln 2 = ln 7 ln 7 x= ≈ 2.807 ln 2 Recuerde la regla 3 40
  41. 41. Normas para resolver ecuaciones exponenciales1) Aísle la expresión exponencial en un lado de la ecuación.2) Tome el logarítmo de cada lado, luego utilice las leyes de los logarítmos para “bajar el exponente”.3) Despeje la variable. 41
  42. 42. EjemploResolver una ecuación exponencialEncuentre la solución de: 3x+2 = 7Solución: x+2 3 =7 Si verificas en tu calculadora: x+2 ( − 0.228756 ) + 2 log(3 ) = log 7 3 ≈7 ( x + 2) log 3 = log 7 log 7 ( x + 2) = log 3 log 7 x= − 2 ≈ −0.228756 log 3 42
  43. 43. EjemploResolución de una ecuación exponencialResuelva la ecuación: 8e 2x = 20Solución: Ojo: 8e 2 x = 20 El, ln e = 1 20 Si verificas en tu calculadora: e = 2x 8 2 ( 0.458 ) 8e ≈ 20 ln e 2 x = ln 2.5 2 x = ln 2.5 ln 2.5 x= ≈ 0.458 2 43
  44. 44. EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y hazla gráfica Resuelva la ecuación: e 3− 2 x = 4 Algebraicamente Solución (1): e 3− 2 x = 4 ln ( e 3− 2 x ) = ln 4 3 − 2 x ln ( e ) = ln 4 1 3 − 2 x = ln 4 2 x = 3 − ln 4 1 x = (3 − ln 4) ≈ 0.807 2 44
  45. 45. EjemploResolver una ecuación exponencial en forma algebraica y hazla gráfica Resuelva la ecuación: e 3− 2 x = 4 Solución (2): Se gráfican las ecuaciones, y = e3− 2 x y y=4 4 y=4 3 y = e3− 2 x 2 1 0 1 2 3 4 5 5 6 45
  46. 46. EjemploUna ecuación exponencial de tipo cuadráticoResuelva la ecuación: e −e −6 = 0 2x xSolución: e2 x − e x − 6 = 0 (e ) − e − 6 = 0 x 2 x (e − 3)(e + 2) = 0 x x e −3 = 0 x o ex + 2 = 0 ex = 3 e = −2 x 46
  47. 47. EjemploResolver una ecuación exponencialResuelva la ecuación: 3 xe x + x 2 e x = 0Solución: Primero se factoriza el lado izquierdo de la ecuación. 3 xe + x e = 0 x 2 x xe (3 + x) = 0 x Se divide entre ex x(3 + x) = 0 Las soluciones son: x =0 3+ x = 0 x = −3 47
  48. 48. Ecuaciones LogarítmicasUna ecuación logarítmica es aquella en la ocurre un logarítmo de lavariable.log 2 ( x + 2) = 5Para despejar x, se escribe la ecuación en forma exponencial. x + 2 = 25 = 32 − 2 = 30Otra forma de considerar el primer paso es elevar la base, 2, a cadala de ecuación. 2 log 2 ( x +2 ) = 25 x + 2 = 25 x = 32 − 2 = 30 Los pasos se resumen a continuación. 48
  49. 49. Normas para resolver ecuacioneslogarítmicas1)Aísle el término logarítmico en un lado de laecuación; podría ser necesario combinarprimero los términos logarítmicos.2)Escriba la ecuación en forma exponencial (oeleve la base a cada lado de la ecuación).3)Despeje la variable. 49
  50. 50. EjemploResolver ecuaciones logarítmicasDe cada ecuación despeje x. a ) ln x = 8 ln x = 8 x = e8 x ≈ 2981 b) log 2 (25 − x) = 3 25 − 7 = 23 25 − x = 8 x = 25 − 8 = 17 50
  51. 51. EjemploResolver una ecuacion logarítmicaResuelva la ecuación: 4 + 3 log(2 x) = 16Solución: Se aísla primero el término logarítmico. Esto permiteescribir la ecuación en forma exponencial. 4 + 3 log(2 x) = 16 3 log(2 x) = 16 − 4 3 log(2 x) = 12 log(2 x) = 4 2 x = 10 4 2 x = 10000 x = 5000 51
  52. 52. EjemploResolver una ecuación logarítmica de maneraalgebraica y gráficaResuelva la ecuación (1): log( x + 2) + log( x − 1) =1 log[ ( x + 2)( x − 1)] = 1 ( x + 2)( x − 1) = 10 x 2 + x − 2 =10 x 2 + x −12 = 0 ( x + 4)( x − 3) = 0 x = −4, x = 3 52
  53. 53. EjemploResolver una ecuación logarítmica de maneraalgebraica y gráficaResuelva la gráfica (2): log( x + 2) + log( x − 1) − 1 = 0 y = log( x + 2) + log( x − 1) − 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 6 53
  54. 54. EjemploResolver una ecuación de manera gráficaResuelva la ecuación: x 2 = 2 ln( x + 2)Solución: Primero se mueven todos los términos a un lado de laecuación. x 2 − 2 ln( x + 2) = 0Luego se hace la gráfica: y = x − 2 ln( x + 2) 2 4 3 2 1 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 5 6 54

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