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2 limites

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2 limites

  1. 1. NOCIÓN DE LÍMITE DE UNA FUNCIÓN LÍMITE ACERCAMIENTO Si f(x) se acerca a un valor L conforme x se aproxima a un valor a, podemos escribir: lim f(x) L x a
  2. 2. LÍMITES lim f(x) x a L lim f(x) x a lim f(x) x a LSi L es finito y ambos límites lateralescoinciden, se dice que el límite existe yvale L
  3. 3. Consideramos la función f ( x) x2 1Dando valores a xpor la izquierda, se acercan cada vez más a 5 x 2 f(x) 5por la derecha, se acercan cada vez más a 5 x 2 f(x) 5Decimos que el límite de la función cuando x tiende a 2 es 5 Expresado: lim( x 2 1) 5 x 2
  4. 4. Tomamos un punto cerca de 2:Cuanto más nos acercamosa 2, el valor de la función y f ( x)se acerca más a 1Decimos que cuando x tiende 2a 2, la función tiende a 1 1 lim f ( x) 1 x 2 1 2 3
  5. 5. ES MUY IMPORTANTE DESTACAR LO SIGUIENTE: A la hora de calcular el límite de una función en un punto, no interesa lo que vale la función en ese punto sino a su alrededor. Cuando se acerca a 3 por la izquierda, la función se aproxima a 2 Cuando se acerca a 3 por la derecha, la función se aproxima a 2 Sin embargo, el valor de la función en el punto 3 es 4 lim f ( x) 2 f (3) 4 x 3
  6. 6. En general, para calcular límites sustituiremos la variable por el valor donde queremos calcular el límite. 5 5 lim x 5 x 2 3 2 3 2 x2 x 1 5 5 1 25 6 lim x 2 50 x 5 5 2 3NOTA: Aunque el límite de la función en un punto no es el valorde la función en dicho punto, muchas veces coincidenLa condición para que exista el límite de una función en unpunto es que existan sus límites laterales y que sean iguales
  7. 7. PROPIEDADES
  8. 8. PROPIEDADESlim f(x) g(x) lim f(x) lim g(x)x a x a x alim f(x).g(x) lim f(x) . lim g(x)x a x a x a lim f(x) x alim f(x)/g(x)x a lim g(x) x alim K.g(x) K lim g(x)x a x a n nlim f(x) lim f(x)x a x a
  9. 9. REGLAS# 1: Evaluar para saber si se trata de un límite directo o estamos en presencia de una forma indeterminada# 2: INTENTAR desaparecer la indeterminación a través de operaciones algebraicas: factorización, productos notables, racionalización, sustitución de alguna identidad trigonométrica ...si fuera el caso...
  10. 10. REGLAS: Teorema del Sandwich h(x) f(x) L g(x) cEn caso de que se cumpla la siguiente relación (paratoda x perteneciente a algún intervalo abierto quecontenga a c): g(x) f(x) h(x)y además se cumple: lim g(x) lim h(x) L x c x cEntonces: lim f(x) L x c
  11. 11. 8 Consideremos la función f ( x) x2 Valor de la función en las proximidades de 0: 8 8 x 0,3: f (0,3) 2 8,8888.... 0,3 0, 09 8 8 x 0,1: f (0,1) 2 800 0,1 0, 01 8 8 x 0, 002 : f (0, 002) 2 2000000 0, 002 0, 000004Cuando x toma valores cerca de 0, la función toma valores muy grandes Si esto sucede, decimos que el límite es infinito y se expresa así: 8 lim x 0 x2
  12. 12. LÍMITES DEL TIPO k/0 1 1 lim x 0 x 0No se puede dividir por 0, y que tienda a o es tratar dedividir el numerador entre algo que se hace cada vez máspequeño por lo que el resultado es cada vez mayor por loque se dice tiende a infinito ∞Para saber si tiende a +∞ o -∞ calculamos los límites laterales 1 1 lim x 0 x 0 1 no existe lim x 0 x 1 1 lim x 0 x 0
  13. 13. Es el valor al que se aproxima una función cuando xtoma valores cada vez mayores .Podríamos decir, cuando x tiende a + o a -Se expresan : lim f ( x) l x x 5Sea la función f ( x) xAl dar a x valores muy grandes, la función se acerca cadavez más a 1 x f(x) 1 x 5 DEDUCIMOS ENTONCES QUE: lim 1 x x
  14. 14. OPERACIONES CON ∞ k k k 0 k 0 k 0 k 0 0 0 k 0 0 0En los productos y los cocientes se ha de tener siempre encuenta la regla de los signos.En las divisiones por cero hay que tener en cuenta el “signodel cero”.
  15. 15. INDETERMINACIONESEn algunos casos , los resultados no están perfectamente definidos y lamisma operación pueden dar lugar a distintos resultados Ejemplo: lim x x lim 0 0 x x lim 2 x x lim x x x lim x 2 x lim x x xEl resultado es distinto cada vez, depende de las expresiones quenos den el ∞ Estas expresiones se llaman indeterminaciones y son: 0 0 0 0 1 0 0
  16. 16. LÍMITE INFINITODe un POLINOMIO: da el término de mayor grado 2lim 3x 2 x lim 3x 2 3 x Si el grado del Xx En denominador es 5 = al numerador laslim 3x 3 5 x 2 6 x 4 lim 3x 5 3 X tienden a 1x x En el denominador es > al numerador,De FUNCION RACIONAL : Dividimos a tiende a 0todos por el literal de mayor grado 5x5 6x2 3 5x5 6 x 2 3 x5 x5 x5 5limx 3x 4 3x 4 0 x5 x5 7 x 4 3x 3 3x 2 7 x 4 3x 3 3x 2 x5 0 lim 0x 3x 5 4 x 6 5 3x 5 4 x 6 5 3 x5 5x5 6 x 2 3 5x5 6 x 2 3 5 lim x 3x 5 4 3x 5 4 3
  17. 17. LÍMITE 0/0 DE UNA FUNCIÓN RACIONALSi en una función racional se obtiene indeterminación 0/0 se simplifica 5 x 5 6 x 2 3x 0 x 5x 4 6x 3 lim lim lim 5 x 4 6 x 3 3 x 0 x 0 x 0 x x 0Si no se puede extraer factor común habrá que factorizar y simplificar. x2 x 6 0 lim x 2 x 2 0Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado 2 1 12 4 1 6 x 2 x x 6 0 x 21 x 3La factorización se hace multiplicando x menos una raíz por x menosla otra x2 x 6 x 2 x 3 lim lim lim x 3 5 x 2 x 2 x 2 x 2 x 2
  18. 18. x2 1 EJEMPLO lim x 1 2x 2 x2 1 0 lim x 1 2x 2 0Para factorizar el numerador se resuelve la ecuación de 2º grado ose aplican los productos notables x2 1 x 1 x 1Podemos sacar factor común en el denominador 2x 2 2 x 1 x2 1 x 1 x 1 x 1 2 lim lim lim 1 x 1 2x 2 x 1 2 x 1 x 1 2 2
  19. 19. El límite de una suma es igual x 5x 2 a la suma de los límites de losCalcular lim x 7x 4 2 x3 1 sumandos. x 5x 2 x 5x 2lim lim limx 7x 4 2 x3 1 x 7x 4 x 2 x3 1Calculamos el primer límite x x 1lim lim x 7x 4 x 7x 7 x 5x 2 1 lim x 7x 4 2 x3 1 7 Calculamos el segundo límite 5x 2 5x 5 5lim 3 lim lim 0x 2x 1 x 2 x3 x 2x2
  20. 20. La función f (x) = 2 /(x - 2)2 , cuando x 2, 2Se trata de hallar lim x 2 (x 2) 2Si x 2, x 2 0, x 2 2 0 Ya que el cuadrado siempre es positivo 2 2Entonces, 2 x 2 0En este caso, a pesar de ser un límite k/0, no hace falta calcular los límiteslaterales ya que el denominador siempre será positivo por el cuadrado 2 lim x 2 (x 2) 2
  21. 21. Si es f (x) = 3/(2x – 1), cuando x 1/2, se cumple: 3 f ( x) 3 / (2 x 1) 2x 1 1 1 Si x por la derecha, 2. 1 0 (con valores positivos) 2 2 3 3 lim x 1/ 2 2 x 1 0 1 1 Si x por la izquierda, 2. 1 0 (con valores negativos) 2 2 3 3 lim x 1/ 2 2 x 1 0No existe , porque los límites obtenidos por izquierda y derecha son diferentes
  22. 22. x2 x 1 x2 1 Cuando x 0, la función f ( x) tiene límite: x x a) 1 b) 0 c) 1 Calculando límites directamente: x2 x 1 x2 1 lim -Indeterminación- x 0 x xSe debe simplificar la función:x2 x 1 x2 1 ( x2 x 1) ( x 2 1) x2 x 1 x2 1 x = 1 x x x x xAhora se calcula el límite: x2 x 1 x2 1 lim( 1) 1 lim x 0 x 0 x x
  23. 23. Cuando x 1, f ( x) ( x 1) / ( x 1) tiende a: a) 1 b) 1 c) 0Hallar el límite de la función cuando x 1: x 1f ( x) ( x 1) / ( x 1) x 1 x 1 1 1 0 lim 0 x 1 x 1 1 1 2 La función tiende a 0
  24. 24. x2 x 1 x3 1 Cuando x 0, la función f ( x) tiende a: x x a) 1 b) 0 c) 1Hallar el límite de la función cuando x 0 pero antes , se hacen lasoperaciones indicadas y se simplifica todo lo posible:x2 x 1 x3 1 ( x2 x 1) ( x3 1) x2 x 1 x3 1 = = = x x x x x2 x x3 x( x 1 x 2 ) 2 = = x 1 x x xY ahora si se calcula el límite:lim( x 1 x 2 )= 0 1 02 1x 0
  25. 25. Una función es continua en un punto a si se verifica:1. Existe límite de la función en dicho punto, es decir, existe: lim f ( x) x a2. Existe valor de la función para x = a, es decir, existe: f (a)3. Ambas cosas son iguales: lim f ( x) f ( a) x a Esta función no es continua en el punto 3. lim f ( x) 2 x 3 f (3) 4 lim f ( x) f (3) x 3
  26. 26. EJEMPLOS: f ( x) 2 x 2 3x 1 (es continua en cualquier punto) g ( x) x3 3x 2 5 (siempre es continua) h( x) 4 x 7 (también es continua)
  27. 27. EJEMPLOS: 5x 1 Es continua en cualquier punto menos enf ( x) el punto 3 porque si damos a x el valor de 3, x 3 el denominador se anula. x 7 Es continua en cualquier punto porque elg ( x) denominador no se anula nunca. x2 4
  28. 28. xLa función f ( x) El denominador no se anula nunca x 4 16 porque el exponente de x es par entoncesa ) Es continua en todos los puntos x4 + 16 siempre es mayor que 0b) Es discontinua en x 0c) Es discontinua en x 2 La función es continua en todos los puntos. La función f ( x) ( x3 x) / ( x 2 9) x2 9 0 a) No tiene discontinuidades x2 9 b) Tiene una única discontinuidad x 9 c) Tiene dos discontinuidades x 3Hay dos puntos que anulan al denominador. La función tiene dos discontinuidades
  29. 29. La función definida por ( x 2 3x 9)( x 3)f ( x) , con f ( 3) 3 y f (3) 9/2 ( x 3)( x 3)a) No tiene discontinuidades Puntos de discontinuidad son +3, –3, donde el denominadorb) Tiene una única discontinuidad se anula.c) Tiene dos discontinuidadesPunto x = 3: Hallamos límite de f (x), en dicho punto: ( x 2 3 x 9)( x 3) x 2 3x 9 32 3.3 9 27 9lim limx 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 3 3 6 2Como f (3) = 9/2, la función es continua.Punto x = - 3: Hallamos límite de la f(x) en dicho punto: ( x 2 3 x 9)( x 3) x 2 3x 9 si x 3 por la izquierdalim limx 3 ( x 3)( x 3) x 3 x 3 si x 3 por la derechaNo existe límite, luego la función es discontinua.

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