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Modulo Estadística 2011

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Modulo Estadística 2011

  1. 1. MODULO EDUCATIVO DEL CURSODE MÉTODOS ESTADÍSTICOSAutor: Msc. César A. Zatta SilvaUniversidad Señor de Sipan2011-I
  2. 2. INTRODUCCIÓN Las acciones que acometemos hoy se basan en un plan de ayer y las expectativas del mañana.Para satisfacer las necesidades de conocimiento sobre los Métodos Estadísticos, seha diseñado este módulo teniendo en consideración los objetivos señalados en lascompetencias, capacidades y actitudes que el alumno debe alcanzar en este curso.Se contempla en este curso que los estudiantes conozcan el origen de la palabraestadística, las técnicas de recolección, organización, conservación, y tratamientode los datos para su análisis y posterior interpretación de la información.En nuestros días, son de uso cotidiano las diferentes técnicas estadísticas quepartiendo de observaciones muestrales o históricas, crean modelos lógico-matemáticos que se "aventuran" describir o pronosticar un determinado fenómenocon cierto grado de certidumbre medible.El avance tecnológico en la informática ha contribuido enormemente al desarrollode la estadística, sobre todo en la manipulación de la información, pues en elmercado existen paquetes estadísticos de excelente calidad como el SPSS y MSExcel que ya existe en el computador sin mayores exigencias técnicas,
  3. 3. ContenidoSemana 1 Introducción, reseña histórica, contenidos. Objetivos. Definición de Estadística. Conceptos básicos importantes. Importancia y objeto de la estadística. Elementos básicos: Población, muestra, variable, unidad de estudio, parámetro. Clasificación de las variables.Semana 2 Organización y presentación de los datos. Tablas de distribución de frecuencias. Tipos de tablas estadísticas. Procesamiento de datos en cuadros y gráficos estadísticos.Semana 3 Métodos Estadísticos en la investigación, etapas de la investigación estadística: Planeamiento, organización, análisis e interpretación de datos, formulación de conclusiones. Técnicas de recolección de datos, observación, entrevista, cuestionario, encuestas por muestreo, sistemas de recolección.Semana 4 Medidas de Tendencia Central: Media Aritmética. Media Ponderada. Mediana. Moda. Medidas de Posición: Cuartiles. Deciles y Percentiles.Semana 5 Medidas de Dispersión. Descripción de las medidas de dispersión: Rango, Desviación y Varianza para datos simples y agrupados, Coeficiente de VariaciónSemana 6 Introducción al Cálculo de Probabilidades. Experimento aleatorio, espacio muestral, suceso o evento. Definición de Probabilidad Clásica, Probabilidad de Frecuencia Relativa, Probabilidad Subjetiva. Combinación, Variación, Permutación.Semana 7 Probabilidad de un evento. Teorema de la adición y de la complementación. Reglas de multiplicación y de probabilidad total. Probabilidad Condicional. Teorema de Bayes.Semana 8 Variables aleatorias. Función de probabilidad. Variables aleatorias discretas y continuas. Distribuciones discretas de probabilidad. Distribución Binomial y de Poisson. Distribuciones continuas de probabilidad. Distribución Normal. Uso de TablasSemana 9 Primer Examen ParcialSemana 10 Introducción a la Inferencia Estadística. Métodos y distribuciones de muestreo. Muestreo de la población. Métodos de muestreo probabilístico. Error de muestreo. Distribución de muestreo de medias muestrales. Tamaño de muestra.Semana 11 Introducción a la Teoría de la estimación Estadística.Estimaciones puntuales e Intervalos de Confianza sobre parámetros.Semana 12 Prueba de Hipótesis, introducción, hipótesis estadísticas, pasos para una verificación de hipótesis. Hipótesis para la media poblacional. Prueba de Hipótesis para una varianza poblacional y una proporción poblacional.Semana 13 Análisis de tendencia o series de tiempo. Análisis de regresión, formas de encontrar la regresión simple. Método de los mínimos cuadrados. La tendencia lineal.Semana 14 Correlación y desviación estándar. Tasas y Números Índices, aplicación de los números índices.Semana 15 Control de Calidad y Procesos Estadísticos. Aplicación de la estadística en trabajo de Investigación. Presentación de Diagnóstico en Proyecto Integrador.Semana 16 Segundo Examen Parcial
  4. 4. Semana 1 ESTADÍSTICALa Estadística es la ciencia que nos ofrece un conjunto de métodos y técnicas para: Recolectar,Resumir, Procesar, Presentar , Analizar e Interpretar un conjunto de datos, con la finalidad deconocer el problema, proyectar su comportamiento y colaborar en la toma de decisiones sobredicho problema.Otra definición: La estadística es una rama de las matemáticas, constituye uno de los idiomasesenciales para comunicarse en el mundo universal de la ciencia y la tecnología. Aquellosprofesionales que no conozcan Estadística tendrán serias dificultades para ser expertos en surespectivo campo científico.ImportanciaLos métodos estadísticos tradicionalmente se utilizan para propósitos descriptivos, paraorganizar y resumir datos numéricos. La estadística descriptiva, por ejemplo trata de latabulación de datos, su presentación en forma gráfica o ilustrativa y el cálculo de medidasdescriptivas.Ahora bien, las técnicas estadísticas se aplican de manera amplia en mercadotecnia, contabilidad,control de calidad y en otras actividades; estudios de consumidores; análisis de resultados endeportes; administradores de instituciones; en la educación; organismos políticos; médicos; y porotras personas que intervienen en la toma de decisionesMétodo que sigue la Estadística Recolectar Resumir y Ordenar Procesar ESTADISTICA Tomar decisiones Analizar e Interpretar PresentarClasificación: La Estadística para su mejor estudio se ha dividido en dos grandes ramas: laEstadística Descriptiva y la Inferencial.Estadística Descriptiva: Comprende a los procesos de consolidación, resumen y descripción delos datos recopilados. Consiste sobre todo en la presentación de datos en forma de tablas ygráficas. Esta comprende cualquier actividad relacionada con los datos y está diseñada pararesumir o describir los mismos sin factores pertinentes adicionales; esto es, sin intentar inferirnada que vaya más allá de los datos, como tales.Estadística Inferencial: Incluye procedimientos que permiten la extrapolación y generalizaciónsobre características que tipifican a todos los elementos de la población. Es decir, la inferencia
  5. 5. estadística es el proceso de hacer afirmaciones o predicciones sobre toda la población tomandocomo base sólo a la información recabada a través de una muestra representativa.CONCEPTOS FUNDAMENTALES 1. POBLACIÓN: Es el conjunto de todos los datos que intervienen en una investigación. Al número de elementos de una población se denota por “N.” Población finita: Es el conjunto finito de unidades de análisis donde se puede identificar a un elemento inicial y/o a un elemento final. Ejemplo: Población de hoteles de Lima, población de agencias de viaje existentes en la ciudad de Cajamarca, turistas de nacionalidad alemana que ingresaron al Perú en el año 2000. Población Infinita: Conjunto infinito de elementos donde no se podría identificar a una unidad inicial ni a la unidad final. Ejemplo: la población de los peces del mar, los árboles de la selva peruana 2. MUESTRA: Es una parte de la población y como tal es también un conjunto de datos. Al número de elementos de una muestra se denota por “n”. Una muestra tiene 2 características principales: Es representativa y es adecuada. Muestra No Probabilística: Corresponde al subconjunto de observaciones elegidas siguiendo un criterio de representatividad establecida arbitrariamente por el investigador. Ejm. Analizo todos los ratones que son de color blanco del total de ratones Muestra Probabilística: Comprende a las observaciones realizadas en unidades que han sido elegidas siguiendo un criterio probabilístico, esto es a cada unidad de la población se asigna probabilidad conocida para estar incluida como parte de la muestra. Ejm. Sacar 2 pelotas blancas de una canasta de 8 pelotas entre blancas y negras. 3. UNIDAD DE ESTUDIO: Es el objeto o elemento indivisible que será estudiado. Es quien nos va a dar la información. Ejemplo: Se va a estudiar la capacidad hotelera de la ciudad de Lima, se define la unidad de análisis “hotel” 4. VARIABLE: Es una característica de estudio de una población, que toma diferentes valores Las variables son características observables referidas a la unidad de estudio. Se denota por las letras X, Y, Z, etc. Se clasifican en: 4.1 Variable cualitativa : Son aquellas variables que expresan cualidades o atributos, y que por tanto su medida no tiene un carácter numérico, esta variables pueden ser: Nominales Sus valores representan un atributo a manera de etiqueta y no contiene información sobre ordenamiento. Ejm. Sexo del cliente, nacionalidad del entrevistado, etc. Ordinales Sus valores sí representan un ordenamiento del atributo. Ejm. Grado de educación del entrevistado, grado de satisfacción sobre la atención recibida por el cliente, etc.
  6. 6. 4.2 Variable Cuantitativa: Comprende aquellos conceptos que sí pueden ser expresados en forma numérica porque corresponde a criterios de cantidad. Pueden ser: v. c. Discretas Son variables que toman valores que se expresan en números enteros. Es el resultado del proceso de conteo. Ejm. Número de empleados, Número de habitaciones, Total de alumnos, etc. v.c. Continuas Son aquellas variables que sus cantidades se expresan con números reales, es decir, tienen parte fraccionaria. Son el resultado del proceso de medición. Ejm. Ingresos totales mes de julio, costo de servicio diario del hotel, toneladas embarcadas, etc.Ejemplos:El alumno deberá identificar las variables para las unidades de estudio siguiente*UNIDAD DE ESTUDIO: EstudianteVariables: Peso, edad, talla, tipo de sangre, color de ojos, ingreso familiar, número de hermanos,etc.*UNIDAD DE ESTUDIO: EmpresaVariables: Ventas, ganancias, número de trabajadores, número de computadoras, gastos enpublicidad, etc. Práctica Calificada Nº 01 A. Determina la población y la muestra, y la variable de los siguientes ejemplos: 1. Tiempo dedicado a las tareas domésticas por los hombres y las mujeres que trabajan fuera del hogar en Lambayeque 2. Estudios que quieren hacer las alumnas y los alumnos del Colegio Manuel Pardo al terminar la Educación Secundaria 3. Intención de voto en unas elecciones municipales 4. Horas que dedican a ver televisión los estudiantes de educación primaria del colegio San José 5. Número de aparatos de radio que hay en los hogares chiclayanos 6. Se quiere realizar un estudio para determinar la cantidad promedio de huevos que ponen los pingüinos hembras en el período reproductivo en Puerto Maldonado. 7. Se quiere determinar la audiencia de cierto programa televisivo de televisión de aire. 8. Se requiere determinar el grado de afectación que tuvo la salmonella en las gallinas provenientes de las granjas del empresario Gonzales 9. Se quiere estimar el grado de aceptación que tiene la mermelada de carambola en la zona oeste de Chiclayo B. De las siguientes variables, determinar cuáles son cualitativas y cuales son cuantitativas discretas o cuantitativas continuas 1. Precio del pollo 2. Angulo de inclinación de los puentes 3. Grado de instrucción de los postulantes 4. Color de ojos de las finalistas 5. Peso promedio de las bolsas 6. Número de taxis que ingresan por hora a Chiclayo 7. Comida favorita 8. Número de goles marcados por la selección 9. Profesión que te gusta
  7. 7. 10. Coeficiente intelectual de tus compañeros de clase 11. El color de los ojos de tus compañeros de clase 12. Temperaturas registradas en verano 13. Número de acciones vendidas en la Bolsa de valores 14. Diámetro de las ruedas de varios coches 15. Censo anual de los españoles 16. Número de libro en un estante 17. Litros de agua contenidos en un depósito 18. La profesión de una persona 19. Suma de puntos obtenidos en un lanzamiento de dados C. Determina lo siguiente:CASO Nº 01:Dentro de los estudios sociales que realiza el Dr. Pauling sobre rendimiento y característicascognoscitivas de los alumnos pertenecientes al Colegio Público San Carlos, ha llegado aresultados inesperados. Unidad de estudio Variable de estudio Población MuestraCASO Nº 02Un proveedor de servicios de línea blanca desea saber cuál es la marca preferida de cocinas delas amas de casa pertenecientes a la ciudad de Chiclayo. Para llevar a cabo esta investigación,selecciona a 120 amas de casa que fueron escogidas según la zona de la ciudad de Chiclayo. Unidad de estudio Variable de estudio Población MuestraCASO Nº 03Un investigador de mercado quiere saber cuál es la marca de detergente que más se utiliza o másprefieren las amas de casa de la ciudad de Chiclayo. Para llevar a cabo esta investigaciónselecciona una muestra de 504 amas de casa que fueron escogidas según zona o urbanización dela ciudad de Chiclayo. Unidad de estudio Amas de casa Variable de estudio Marca de detergente (tipo cualitativa nominal) Población Amas de casa de la ciudad de Chiclayo Muestra 504 amas de casaCASO Nº 04:El Ingeniero de Producción de Cerveza Cristal en Motupe, dentro de su evaluación diaria, deseasaber si el brix (grado de azúcar), porcentaje de alcohol, tiempo de maduración, etc, hancumplido con las parámetros de calidad en la producción del fin de semana. Unidad de estudio Cerveza Variable de estudio Brix, porcentaje de alcohol, tiempo maduración (cuantitativa) Población Producción de cerveza del fin de semana Muestra Producción de cerveza de un día
  8. 8. CASO Nº 05:Un investigador social desea saber cuáles son las características socio demográficas que influyenen el rendimiento académico de los Estudiantes de la Universidad Señor de Sipan, de laespecialidad de Ingeniería Agroindustrial matriculados en el 2º Semestre-Año 2006. Unidad de estudio Estudiante Variable de estudio Características socio demográficas Población Estudiantes matriculados de Ing. Agroindustrial de la USS (cualitativa) Muestra Alumnos matriculados del 2º semestreCASO Nº 06:El gerente del Grifo “San Luis” ubicado en el ovalo está haciendo un estudio de factibilidad paradeterminar si es conveniente la instalación de un nuevo servidor de gasolina en dichoestablecimiento. Para realizar este estudio toma información sobre el tiempo que se demora endar el servicio y el tiempo que demora en llegar el usuario (automóvil). Unidad de estudio Usuario de automóvil Variable de estudio Tiempo en dar el servicio y tiempo llegar usuario (cuantitativa) Población Todos los clientes del grifo Muestra Algunos clientes del grifoCASO Nº 07Un investigador de mercado quiere saber cuál es la marca de jabones que más se utiliza o másprefieren las empleadas de casa de la ciudad de Tarapoto. Para llevar a cabo esta investigaciónselecciona una muestra de 610 empleadas que fueron escogidas según zona o urbanización de laciudad de Tarapoto. Unidad de estudio Variable de estudio Población Muestra
  9. 9. Semana 2 ORGANIZACIÓN DE DATOS Y DISTRIBUCIONES DE FRECUENCIAFrecuencia: (fi) Número de individuos o elementos que pertenecen o aparecen en cadacategoría.1. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUALITATIVAS: Comprende la representacióngráfica de conceptos cualitativos y/o atributos que se registran para las unidades de análisis.Ejemplo:El número de turistas que registraron su ingreso por el aeropuerto de Chiclayo el mes deFebrero, se registra según su nacionalidad NACIONALIDAD Número de Turistas (fi) Argentina 20 Boliviana 10 Brasileña 5 Venezolana 15 TOTAL 502. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS DISCRETAS: Comprendeclasificaciones de variables que sólo toman valores enteros, por tanto las unidades de análisis seordenan de acuerdo con sus propios valores. Ejm:Las puntuaciones obtenidas por los 30 alumnos del curso de Física I, fueron:[12,11,13,13,10,10,12,12,09,09,08,14,12,11,14,14,14,10,10,14,13,13,11,11,14,13,14,13,14,12]Se consolida la información en una Tabla de Frecuencia: Frecuencia Acumulada Notas Frecuencia Frecuencia Absoluta Relativa Xi Absoluta ( fi ) Relativa ( hi) (Fi) (Hi) 08 1 0.03 1 0.03 09 2 0.07 3 0.10 10 4 0.13 7 0.23 11 4 0.13 11 0.36 12 5 0.17 16 0.53 13 6 0.20 22 0.73 14 8 0.27 30 1.00 TOTAL 30 1.00El gráfico que corresponde a esta tabla de frecuencia se denomina: Histograma Histograma de frecuencias absolutas Histograma de frecuencias absolutas acumuladas
  10. 10. 3. ORGANIZACIÓN DE VARIABLES CUANTITATIVAS CONTINUAS: Comprendeclasificaciones de unidades de análisis resultantes de una medición, que en ocasiones tomanvalores decimales. Ejemplo:El Gran Hotel Chiclayo, durante los últimos 32 días, el valor de las compras en revistas yperiódicos para la sala de recepción fueron:Esta información diaria y dispersa no permitirá analizar su comportamiento, es necesarioresumirla en una tabla de frecuencia. Para organizar una tabla de frecuencia se deberá seguir elprocedimiento siguiente:* Elegir el número de intervalos de clase ( k ) Se puede utilizar la regla se Sturges: k = 1 + 3.322 log n Donde:k = número de intervalos n = número de datos En el ejemplo: k = 1 + 3.322 Log(32) = 5.967 = Aprox. 6 intervalos* Determinar el Tamaño del Intervalo de Clase ( c ) c = A/k A= Amplitud de los datos = (Observación máxima – Observación Mínima) = 10.2 – 5.2 =5.0 k=6 Por tanto: c = 5.0 / 6 = 0.8333 = Aproximadamente = 0.9* Realizar la clasificación y el conteo de datos en cada clase construida* Construir la Tabla de Frecuencia Frecuencia Frecuencia Frec. Acumul. Frec. Acumul. Intervalo de clase Marca de Clase Absoluta Relativa Absoluta Relativa (escala de gasto) Xi fi hi Fi Hi [ 5.2 – 6.1 ) 5.65 3 0.094 3 0.094 [ 6.1 – 7.0 ) 6.55 5 0.156 8 0.250 [ 7.0 – 7.9 ) 7.45 9 0.281 17 0.531 [ 7.9 – 8.8 ) 8.35 7 0.219 24 0.750 [ 8.8 – 9.7 ) 9.25 5 0.156 29 0.906 [ 9.7 – 10.6 ) 10.15 3 0.094 32 1.000 TOTAL 32 1.000
  11. 11. Análisis de la distribución de frecuencias: * ¿Cuántos días el hotel gastó “de 7.0 a menos de 7.9 soles”? : 9 días * ¿Cuántos días el hotel gastó “menos de 7.9 soles”? : 17 días * ¿Cuántos días el hotel gastó “menos de 9.7 soles”? : 29 días * ¿Qué porcentaje de días el hotel gastó “menos de 7.9 soles”? : 53.1% * ¿Qué porcentaje de días el hotel gastó “más de 7.9 soles”? : 46.9 %Polígono de Frecuencias: Es la línea que une los puntos medios de los lados superiores (marcasde clase) de un histograma. Los puntos o vértices del polígono de frecuencias están situados, portanto, en las marcas de clase, ya que estos corresponden a los puntos medios de los intervalos.Histograma y Polígono de Frecuencias
  12. 12. USO DE MS EXCELConstrucción tablas tipo A en EXCEL: Para variables cualitativas y cuantitativas discretasColor f F h HAzul =contar.si($B$2:$H$11;B14) 21Rojo 16Verde 13Negro 8Blanco 12Construcción tablas tipo B en EXCEL: Para variables cuantitativas continuasLas densidades de los materiales en estudio fueron:n = contar (celda inicio: celda final)K = numero de intervalos, con fórmulaXmin= Valor Mínimo = MIN (celda)Xmax= Valor Máximo = MAX( celda)Rango = Max – MinC = R/K Intervalos f = Frecuencia (datos; grupos) B2:H8 Todos los datos = Frecuencia (B2:H8; D22:D28) D22:D28 La columna de datos del límite superior
  13. 13. PRESENTACIÓN DE DATOS MEDIANTE GRÁFICOS ESTADÍSTICOSLos gráficos son medios popularizados y a menudo los más convenientes para presentar datos, seemplean para tener una representación visual de la totalidad de la información. Los gráficosestadísticos presentan los datos en forma de dibujo de tal modo que se pueda percibir fácilmentelos hechos esenciales y compararlos con otros.TIPOS DE GRÁFICOSGráficos de barras verticalesRepresentan valores usando trazos verticales, aislados o separados unos de otros, según lavariable a graficar sea discreta o continua. Pueden usarse para comparar y representar: una serie;dos o mas seriesGráficos de barras horizontalesRepresentan valores discretos a base de trazos horizontales, aislados unos de otros. Se utilizancuando los textos correspondientes a cada categoría son muy extensos. Pueden usarse para unaserie, dos o más series.
  14. 14. Gráficos de barras proporcionales Se usan cuando lo que se busca es resaltar la representación de los porcentajes de los datos que componen un total. Las barras pueden ser: Verticales u HorizontalesGráficos de líneasEn este tipo de gráfico se representan los valores de los datos en dos ejes cartesianos ortogonalesentre sí. Estos gráficos se utilizan para representar valores con grandes incrementos entre sí. Sepueden usar para representar una serie, dos o más series.Gráficos circularesEstos gráficos nos permiten ver la distribución interna de los datos que representan un hecho, enforma de porcentajes sobre un total. Se suele separar el sector correspondiente al mayor o menorvalor, según lo que se desee destacar. Pueden ser: En dos dimensiones o tres dimensionesGráficos de ÁreasEn estos tipos de gráficos se busca mostrar la tendencia de la información generalmente en unperíodo de tiempo. Pueden ser para representar una, dos o más series; en dos dimensiones o en tresdimensiones.
  15. 15. PRACTICA CALIFICADA Nº 02USANDO EL PAQUETE O SOFTWARE RESPECTIVO, RESOLVER LOS SIGUIENTES EJERCICIOS1. ¿Qué es frecuencia absoluta?2. Cómo se obtiene: 2.1 ¿La frecuencia acumulada? 2.2 ¿La frecuencia relativa? 2.3 ¿La frecuencia relativa acumulada3. En una distribución de frecuencias ¿se pueden establecer conclusiones porcentuales,utilizando solamente la frecuencia relativa? ¿Por qué?4. ¿Por qué se recurre al agrupamiento en distribuciones de frecuencias por intervalos?5. ¿Cómo se determina el número de intervalos y la amplitud de ellos?6. ¿Qué es una marca de clase?7. La siguiente tabla relaciona las ausencias al trabajo de 50 obreros, durante el mes deoctubre, en la fábrica de confecciones "La Unión".1 0 2 1 3 1 4 3 2 53 2 4 2 0 3 1 2 0 21 1 0 1 0 0 1 2 1 34 0 2 3 2 0 0 2 5 22 4 2 1 3 1 2 1 0 2 7.1 Construir una distribución de frecuencias simple. 7.2 Sacar 3 conclusiones.8. Años de experiencia de las 50 operarias de agro exportadora “La Calidad”Ordenar la Información y responder:8.1 ¿Qué porcentaje de las obreras tiene experiencia inferior o igual a 6 años?8.2 ¿Qué porcentaje tiene experiencia entre 5 y 7 años (incluyendo los extremos)?
  16. 16. 9. Peso de los sacos de ají páprika que fueron cosechados en los primeros 50 días deproducción de la empresa Exporta SACConstruir una distribución de frecuencias y resaltar 3 conclusiones10. Consumo de agua, en m3de 184 familias n un barrio residencial de una ciudaddurante el mes de octubre:Construir una distribución de frecuencias por intervalos.Comparar las distribuciones con intervalos y sin intervalos; y las conclusiones que deellas se deriven.
  17. 17. Semana 3 MÉTODOS ESTADÍSTICOS EN LA INVESTIGACION Y RECOLECCIÓN DE LA INFORMACIÓNEl método estadístico, parte de la observación de un fenómeno, y comono puede siempre mantener las mismas condiciones predeterminadas o avoluntad del investigador, deja que actúen libremente, pero se registranlas diferentes observaciones y se analizan sus variaciones.Para el planeamiento de una investigación, por norma general, se siguenlas siguientes etapas:1. PLANTEAMIENTO DEL PROBLEMAAl abordar una investigación se debe tener bien definido qué se va a investigar y por qué se pretendeestudiar algo. Es decir, se debe establecer una delimitación clara, concreta e inteligible sobre el o losfenómenos que se pretenden estudiar, para lo cual se deben tener en cuenta, entre otras cosas, larevisión bibliográfica del tema, para ver su accesibilidad y consultar los resultados obtenidos porinvestigaciones similares, someter nuestras proposiciones básicas a un análisis lógico; es decir, sedebe hacer una ubicación histórica y teórica del problema.2. FIJACIÓN DE LOS OBJETIVOSLuego de tener claro lo que se pretende investigar, debemos presupuestar hasta dónde queremosllegar; en otras palabras, debemos fijar cuáles son nuestras metas y objetivos.Estos deben plantearse de tal forma que no haya lugar a confusiones o ambigüedades y debe,además, establecerse diferenciación entre lo de corto, mediano y largo plazo, así como entre losobjetivos generales y los específicos.3. FORMULACIÓN DE LAS HIPÓTESISUna hipótesis es ante todo, una explicación provisional de los hechos objeto de estudio, y suformulación depende del conocimiento que el investigador posea sobre la población investigada. Unahipótesis estadística debe ser susceptible de demostrar, esto es, debe poderse probar para suaceptación o rechazo.Una hipótesis que se formula acerca de un parámetro (media, proporción, varianza, etc.), con elpropósito de rechazarla, se llama Hipótesis de Nulidad y se representa por Ho; a su hipótesiscontraria se le llama Hipótesis Alternativa (H1).4. DEFINICIÓN DE LA UNIDAD DE OBSERVACIÓN Y DE LA UNIDAD DEMEDIDALa Unidad de Observación, entendida como cada uno de los elementos constituyentes de lapoblación estudiada, debe definirse previamente, resaltando todas sus características; pues, al fin decuentas, es a ellas a las que se les hará la medición. La unidad de observación puede estar constituidapor uno o varios individuos u objetos y denominarse respectivamente simple o compleja.El criterio sobre la unidad de medición debe ser previamente definido y unificado por todo el equipode investigación. Si se trata de medidas de longitud, volumen, peso, etc., debe establecerse bajo quéunidad se tomarán las observaciones ya sea en metros, pulgadas, libras, kilogramos, etc.
  18. 18. Asociado a la unidad de medida, deben establecerse los criterios sobre las condiciones en las cualesse ha de efectuar la toma de la información.5. DETERMINACIÓN DE LA POBLACIÓN Y DE LA MUESTRAEstadísticamente, la población se define como un conjunto de individuos o de objetos que poseenuna o varias características comunes. No se refiere esta definición únicamente a los seres vivientes;una población puede estar constituida por los habitantes de un país o por los peces de un estanque,así como por los establecimientos comerciales de un barrio o las unidades de vivienda de unaciudad.Existen desde el punto de vista de su manejabilidad poblaciones finitas e infinitas. Aquí el términoinfinito no está siendo tomado con el rigor semántico de la palabra; por ejemplo, los peces dentro deun estanque son un conjunto finito; sin embargo, en términos estadísticos, puede ser consideradocomo infinito.Muestra es un subconjunto de la población a la cual se le efectúa la medición con el fin de estudiarlas propiedades del conjunto del cual es obtenida.En la práctica, estudiar todos y cada uno de los elementos que conforman la población no esaconsejable, ya sea por la poca disponibilidad de recursos, por la homogeneidad de sus elementos,porque a veces es necesario destruir lo que se está midiendo, por ser demasiado grande el número desus componentes o no se pueden controlar; por eso se recurre al análisis de los elementos de unamuestra con el fin de hacer inferencias respecto al total de la población.Existen diversos métodos para calcular el tamaño de la muestra y también para tomar los elementosque la conforman, pero no es el objetivo de este curso estudiarlos. Diremos solamente que la muestradebe ser representativa de la población y sus elementos escogidos al azar para asegurar la objetividadde la investigación.6. LA RECOLECCIÓNUna de las etapas más importantes de la investigación es la recolección de la información, la cual hade partir, a menos que se tenga experiencia con muestras análogas, de una o varias muestras piloto enlas cuales se pondrán a prueba los cuestionarios y se obtendrá una aproximación de la variabilidad dela población, con el fin de calcular el tamaño exacto de la muestra que conduzca a una estimación delos parámetros con la precisión establecida.El establecimiento de las fuentes y cauces de información, así como la cantidad y complejidad de laspreguntas, de acuerdo con los objetivos de la investigación son decisiones que se han de tomarteniendo en cuenta la disponibilidad de los recursos financieros, humanos y de tiempo y laslimitaciones que se tengan en la zona geográfica, el grado de desarrollo, la ausencia de técnica, etc.Es, entonces, descubrir dónde está la información y cómo y a qué "costo" se puede conseguir; esdeterminar si la encuesta se debe aplicar por teléfono, por correo, o si se necesitan agentes directosque recojan la información; establecer su número óptimo y preparar su entrenamiento adecuado.7. CRITICA, CLASIFICACIÓN Y ORDENACIÓNDespués de haber reunido toda la información pertinente, se necesita la depuración de los datosrecogidos. Para hacer la crítica de una información, es fundamental el conocimiento de la poblaciónpor parte de quien depura para poder detectar falsedades en las respuestas, incomprensión a las
  19. 19. preguntas, respuestas al margen, amén de todas las posibles causas de nulidad de una pregunta onulidad de todo un cuestionario.Separado el material de "desecho" con la información depurada se procede a establecer lasclasificaciones respectivas y con la ayuda de hojas de trabajo, en las que se establecen los crucesnecesarios entre las preguntas, se ordenan las respuestas y se preparan los modelos de tabulación delas diferentes variables que intervienen en la investigación.El avance tecnológico y la popularización de los computadores hacen que estas tareas, manualmentedispendiosas, puedan ser realizadas en corto tiempo.8. LA TABULACIÓNUna tabla es un resumen de información respecto a una o más variables, que ofrece claridad al lectorsobre lo que se pretende describir; para su fácil interpretación una tabla debe tener por lo menos: Untitulo adecuado el cual debe ser claro y conciso.La Tabla propiamente dicha con los correspondientes subtítulos internos y la cuantificación de losdiferentes ítems de las variables, y las notas de pie de cuadro que hagan claridad sobre situacionesespeciales de la tabla, u otorguen los créditos a la fuente de la información.9. LA PRESENTACIÓNUna información estadística adquiere más claridad cuando se presenta en la forma adecuada. Loscuadros, tablas y gráficos facilitan el análisis, pero se debe tener cuidado con las variables que se vana presentar y la forma de hacerlo. No es aconsejable saturar un informe con tablas y gráficosredundantes que, antes que claridad, crean confusión.Además la elección de determinada tabla o gráfico para mostrar los resultados, debe hacerse no sóloen función de las variables que relaciona, sino del lector a quien va dirigido el informe.10. EL ANÁLISISLa técnica estadística ofrece métodos y procedimientos objetivos que convierten las especulacionesde primera mano en aseveraciones cuya confiabilidad puede ser evaluada y ofrecer una premisamedible en la toma de una decisión.Es el análisis donde se cristaliza la investigación. Esta es la fase de la determinación de losparámetros y estadísticos muestrales para las estimaciones e inferencias respecto a la población, elajuste de modelos y las pruebas de las hipótesis planteadas, con el fin de establecer y redactar lasconclusiones definitivas.11. PUBLICACIÓNToda conclusión es digna de ser comunicada a un auditorio. Es más, hay otros estudiosos del mismoproblema a quienes se les puede aportar información, conocimientos y otros puntos de vista acercade él.
  20. 20. MÉTODOS DE RECOLECCIÓN DE DATOS PARA UNA INVESTIGACIÓN En una investigación científica se procede básicamente por observación, por encuestas o entrevistas a los sujetos de estudio y por experimentación.FUENTES DE INFORMACIÓNUnidades Estadísticas: Elementos componentes de la población estudiada.Ejemplo: personal de una empresa, habitantes del distrito de Oyotún, etc.La población en una investigación debe ser definida con precisión.
  21. 21. FUENTES DE INFORMACIÓN PRIMARIAS SECUNDARIAS Los datos provienen Los datos parten de datos pre- directamente de la población elaborados, ejemplo: anuarios o muestra de la población estadísticos, de Internet, de medios de comunicación.Se subdividen Observación Directa: Deben ser analizadas bajo 4 preguntas básicas que son:en: Cuando el investigador toma • ¿Es pertinente? cuando la información se adapta a los directamente los datos de la población. objetivos Ejm: un científico realiza un experimento. • ¿Es obsoleta? cuando ha perdido actualidad • ¿Es Fidedigna cuando la veracidad de la fuente de Observación Indirecta: origen no es cuestionada Cuando los datos no son obtenidos • y ¿Es digna de Confianza? si la información ha sido directamente por el investigador. obtenida con la metodología adecuada y honestidad Usa un cuestionario u otro medio necesaria, con objetividad, naturaleza continuada y para obtener los datos. exactitud Debe realizar una encuesta
  22. 22. Encuesta: Constituye el término medio entre la observación y la experimentación. Enella se pueden registrar situaciones que pueden ser observadas y en ausencia depoder recrear un experimento se cuestiona a la persona participante sobre ello.La encuesta es un método descriptivo con el que se pueden detectar ideas,necesidades, preferencias, hábitos de uso, etc.
  23. 23. Codificación. Una vez cumplimentados los cuestionarios, viene la fase derecuento de las respuestas. Cuando estas son numéricas no hay ningunadificultad, pero cuando las preguntas han tenido una contestación no numérica, espreciso traducir estas respuestas a números.Esto se conoce con el nombre de codificación.
  24. 24. Por ejemplo:¿Como ves el estado actual del Instituto?Muy Bien …………….. 5Bien …………….. 4Regular …………….. 3Mal …………….. 2Muy Mal …………….. 1No sabe/No contesta …………….. 0
  25. 25. EJEMPLO DECUESTIONARIO
  26. 26. REPASO: En el siguiente blog www.ingenieriainvestigacazasi.blogspot.com encontrará información adicional sobre los temas descritos, tales como:  Ficha Técnica-Encuesta INEI 2007  Modelo de Encuesta – INEI  Caso – Preferencia por Leche Envasada  Encuesta Servicio PLAZA VEA  Estadística en la Investigación Científica  Resultado Encuesta (Modelo Computacional) Se solicita organizarse en grupos y presentar el resultado de un cuestionario aplicado a determinada población sobre un tema libre.
  27. 27. Semana 4 MEDIDAS DE TENDENCIA CENTRALLas medidas de tendencia central,llamadas así porque tienden alocalizarse en el centro de lainformación, son de gran importanciaen el manejo de las técnicas estadísticas,sin embargo, su interpretación no debehacerse aisladamente de las medidas dedispersión, ya que la representatividadde ellas está asociada con el grado deconcentración de la información.Las principales medidas de tendencia central son:1. MEDIA ARITMETICA: Se conoce comúnmente como promedio. La media aritmética se calcula como la suma de todos los valores que toma la característica en estudio dividida por el número total de unidades experimentales observadas. En símbolos:Como ejemplo, consideremos 10 pacientes de edades 21 años, 32, 15, 59, 60, 61, 64, 60, 71, y 80. _ x = 21+32+15+59+60+61+64+60+71+80 = 52.3 años 10Interpretación: La edad media de estos pacientes es de: 52.3 años  Si se trata de datos agrupados se utiliza para variables discretas:Donde: Xi = valores que toma la variable, fi = Frecuencia absoluta, n = total de datosEjemplo:
  28. 28. Un investigador social está interesado en conocer el número promedio de hijos en una muestra de 10 familiasentrevistadas para una encuesta en particular. Luego de efectuar el trabajo de recolección de datos, el listadode las familias con su correspondiente número de hijos se formó la siguiente tabla: Familia No Número de Hijos 1 2 2 4 3 4 4 3 5 4 6 3 7 3 8 3 9 6 10 3Con esta información se construye la tabla de frecuencias de la siguiente manera: Número de Hijos (Xj) Frecuencia (fj) Xjfj 2 1 2 3 5 15 4 3 12 6 1 6 Total 10 35 _Luego: x = 35 = 3.5 10Interpretación:La familia promedio proporcionada por la encuesta es aquella que presenta entre 3 y 4 hijos; el valor 3,5 es elresultado matemático del cálculo de la media aritmética pero no es un valor posible de la variable por supropia definición.  En el caso de datos numéricos continuos agrupados en intervalos de clase, el cálculo de la media aritmética es similar al caso anterior, es decir : _ Y = ∑Yi fi nCuando se agrupan datos continuos en intervalos de clase, se pierde la información original. Luego, parasolucionar este problema, Yi se calcula como el promedio entre los extremos de cada intervalo, es decir Yirepresenta el punto medio del intervalo de clase.Ejemplo:Calcular la media aritmética de la longitud de 100 tornillos fabricados por una máquina.(Tabla 1)
  29. 29. Luego: _ Y = ∑Yi fi = 1014,0 = 10,14 mm N 100Interpretación : En promedio el proceso productivo fabrica tornillos de 10,14 mm de longitud 2. MEDIANA: (Md o Me) Es el valor que ocupa la posición central de un conjunto de observaciones ordenadas. El 50% de las observaciones son mayores que este valor y el otro 50% son menores.A continuación se muestran los criterios para construir la mediana. Se puede construir los siguientes criterios:• Lo primero que se requiere es ordenar los datos en forma ascendente o descendente, cualquiera de los doscriterios conduce al mismo resultado.• Si n (tamaño de la muestra) es impar, entonces, la mediana coincide con el valor medio, el cual correspondeal dato Xn/2.• Si n (tamaño de la muestra) es par, no existe un solo valor medio, si no que existen dos valores medios, ental caso, la mediana es el promedio de esos valores, es decir, los sumamos y luego los dividimos por dos.La Mediana para datos no agrupadosEjemplo 1:Dados los siguientes datos: 1, 2, 3, 4, 0, 1, 4, 3, 1, 1, 1, 1, 2, 1, 3 correspondientes al número de hijos de 15empleados de una empresa. Para la obtención de la mediana se deberán de ordenar.Tomemos el criterio de orden ascendente con lo que, tendremos: 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4
  30. 30. Por otro lado el número de datos n = 15, siendo el número de datos impar se elige el dato que se encuentra ala mitad, una vez ordenados los datos, en este caso es 1. 0, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 1, 2, 2, 3, 3, 3 4, 4 MedianaInterpretación: El número mediano de hijos para estos empleados es 1.Ejemplo 2:Las calderas de una planta de energía de vapor a alta presión tuvieron las siguientes eficiencias en porcentajes:90,3 - 91,6 - 90,9 - 90,4 - 90,3 - 91,0 - 87,9 - 89,4El tamaño de la muestra, n=8, número par. Luego los ordenamos y la mediana es la semisuma de los valorescentrales o sea el promedio de esos valores.87,9 - 89,4 - 90,3 - 90,3 - 90,4 - 90,9 - 91,0 - 91,6Mediana = 90,3 + 90,4 = 90,35 2Interpretación: El número mediano de eficiencia en porcentaje de las calderas de una planta de energía es de90,35 % aunque el mismo no sea un valor posible de la variable.  Hallar la mediana de los siguientes datos: 7,10,15,13,10,12La Mediana para datos agrupadosSi tenemos datos agrupados en tablas simples de frecuencia, procedemos de la siguiente manera:• Calculamos el orden que ocupa la Mediana, lo llamaremos orden de la mediana, cuya fórmula es: Orden = n (este valor lo observamos en la frecuencia acumulada) 2Ejemplo 1:Supongamos que el gerente de personal de una empresa obtuvo los siguientes datos, correspondientes alnúmero de días que 19 de sus empleados faltan por enfermedad en un año.Luego: Orden = 19 = 9.5 (está contenido en Fj = 10) 2Los datos se presentan en la siguiente tabla:
  31. 31. La mediana es 8Interpretación: El 50 % de los 19 empleados faltan menos de 8 días y el 50% restante más de 8 días.Ejemplo 2: Supongamos que la siguiente tabla corresponde a la vida útil en horas de 100 válvulasOrden = 100 + 1 = 101 = 50,5 2 2Esto nos indica que la mediana se encuentra entre el lugar 50 y el lugar 51. Pero, qué valores ocupan esoslugares?Por lo explicado anteriormente, desde el lugar 38 y hasta el lugar 57, hay valores 39. Luego el valor número50 y el valor número 51 son 39. Entonces: Mediana = 39 + 39 = 39 2 Si los datos están agrupados en intervalo de clase, veamos cómo se calcula la medianaEjemplo: Tenemos los siguientes datos agrupados en una Tabla de Frecuencia que representan los montos de40 préstamos personales, en dólares, en una compañía financiera de consumidores. (Tabla Nº 4)
  32. 32. En este caso se emplea la siguiente fórmula:Dónde:Li = Límite Inferior del intervalo que contiene a la MedianaFi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior i-ésimafi = Frecuencia en la clase que contiene a la medianaHi-1 = Frecuencia Relativa Acumulada en la clase anterior i-ésimahi = Frecuencia Relativa en la clase que contiene a la medianac =Tamaño del intervalo de clase.Mediana = 930.64 3. MODA: (Mo) La moda es el valor que aparece con mayor frecuencia, es decir, el que ocurre más frecuentemente.Se dice que cuando un conjunto de datos tiene una moda la muestra es unimodal, cuando tiene dos modasbimodal, cuando la muestra contiene más de un dato repetido se dice que es multimodal y un último caso escuando ningún dato tiene una frecuencia, en dicho caso se dice que la muestra es amodal.Moda para datos no agrupadosSi tenemos datos sin agrupar, la encontramos fácilmente observando cuál es el valor que más se repite.Ejemplos:1.- Determinar la moda del siguiente conjunto de datos:a).- 1, 2, 3, 3, 4 , 5, 6, 7, 7, 3, 1, 9, 3Respuesta: La moda de este conjunto de datos es igual a 3 y si considera unimodal.b).- 1, 2, 3, 4, 4, 5, 2, 1, 3, 4, 2, -3, 4, 6, 3, 3Respuesta: Las modas de este conjunto de datos son 3 y 4 ya que ambas tienen la más alta frecuencia, por loque la muestra es bimodalc).- 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9Respuesta: La muestra no contiene ningún dato repetido por lo que se considera que la muestra es amodal.
  33. 33. Moda para datos agrupados En datos agrupados en tablas simples de frecuencias, nos fijamos que valor corresponde a la mayor frecuencia absoluta. En la siguiente tablaEn este ejemplo, la mayor frecuencia absoluta es 4, que corresponde al valor 10. Luego la Moda es10.Interpretación: La cantidad de días más frecuente que los empleados faltan por enfermedad es 10. En datos agrupados en intervalos de clases, existen varios métodos para calcular la Moda. Cada método puede darnos un valor diferente, pero aproximado, para un mismo conjunto de datos. Se puede hallar de la siguiente manera:Donde: Li= extremo inferior de la clase modald1= (fi – fi-1), d2 = ( fi – fi+1)Ejemplo: Hallar la moda de la tabla Nº 4Solución: Mo = 685Interpretación: El monto de préstamos personales en dólares más frecuente otorgados por una compañíafinanciera de consumidores es de 685 dólares.
  34. 34. MEDIDAS DE POSICIÓN NO CENTRALES. CUARTILESLos cuarteles de una distribución, como si nombre lo indica, son valores de la variable que dividen alconjunto de datos (ordenados de menor a mayor) en cuatro subconjuntos que contienen la mismacantidad de datos.Para calcular los cuartiles de una distribución de frecuencias se procede del mismo modo que en elcaso de la mediana, salvo que ahora dividiremos a la distribución de la variable en cuatro partesiguales en lugar de dos.A partir de esta definición es evidente que la mediana coincide con el segundo cuartil. Los cuartelesse simbolizan con la letra Q.Ejemplo:Supongamos que un veterinario ha registrado los pesos de 8 pollos de seis semanas de vida y ordenóde menor a mayor, obteniendo:150 - 151 - 152 - 154 - 155 - 156 - 157 - 159 gramos.La mediana de este conjunto de datos estará posicionada entre el 4º y 5º valor de la serie, siendo:Mediana = Q2 = 154,5 gramosEl primer cuartel Q1, debe dividir a la primera mitad de la serie en dos partes iguales, por lo cual Q1se ubicará entre el 2º y el 3º valor de la serie.Luego:Q1 = 151,5 gramosDel mismo modo Q3, el tercer cuartel, divide a la segunda mitad de la serie en dos partes iguales.Es decir:Q3 = 156,5 gramosInterpretación:Si Q1 = 151,5 gramos significa que el 25 % de los pollos tendrán un peso inferior a 151,5 gramos yel 75 % un peso superior a ese valor.Si Q2 = 154,5 gramos significa que el 50 % de los pollos tendrán un peso inferior a 154,5 gramos yel 50% restante superior a ese peso.Si Q3 = 156,5 gramos significa que el 75 % de los pollos tendrán un peso inferior a 156,5 y un 25%será superior a ese peso.
  35. 35. * Cuando se trata de cuartiles para datos agrupados continuos, se aplica la fórmula de interpolación:Dónde: n/4: es el número total de observaciones dividido por 4Fj-1 : es el mayor de las frecuencias acumuladas que no supera a n/4Fj : es la frecuencia acumulada que le sigue a Fj-1Xj-1 : es el extremo inferior del intervalo que tiene como frecuencia acumulada F.c ó h : amplitud de dicho intervaloPara la tabla No 1 (longitud de los tornillos), calcular Q1 y Q3.Respuestas: Q1= 8,36 mm Q3= 11,57mmInterpretación: Q1= Este valor indica que el 25% de los tornillos miden menos de 8,36 mm mientrasque el 75% restante mide más de 8,36mmQ3 = Este valor indica que el 75% de los tornillos miden menos de 11,57 mm mientras que el 25%restante mide más de 11,57mm. PERCENTILES:Los percentiles de una distribución, como su nombre lo indica, son valores de la variable, quedividen al conjunto de datos (ordenados de menor a mayor) en cien partes iguales.Los percentiles tienen el mismo significado y la misma forma de cálculo que los cuartiles. Así,cuando se habla del percentil 15 se quiere expresar que es el valor de la variable que deja el 15% delos datos a su izquierda y el 85 % de los mismos a su derecha o lo que es lo mismo decir que es elvalor de la variable que deja al 15 % de los datos por debajo de él y el 85% por encima.Se puede emplear la siguiente fórmula:Li = Límite Inferior del intervalo que contiene al PercentilFi-1 = Frecuencia Acumulada en la clase anterior k-ésimafi = Frecuencia en la clase que contiene al Percentilc =Tamaño del intervalo de clase.k = 1%, 2%, 3%, ... , 97%, 98%, 99% Percentiles
  36. 36. Práctica Calificada Nº 041. ¿Qué es una medida de tendencia central?2. ¿Cuáles son las principales medidas de tendencia central?3. Defina: media aritmética mediana y moda.4. ¿Cuándo se utiliza la media aritmética ponderada?5. Enuncie las propiedades de la media aritmética6. Para cada información de los ejercicios del capítulo 3, calcular e interpretar la media aritmética, lamediana y la moda. 7.Elaborar la tabla de frecuencia y determinar las medidas de tendencia central8. Los siguientes datos representan las temperaturas observadas al proceso de fermentación en un día cualquiera de producción de cerveza “ALE”. Determine utilizando intervalos: la media, mediana y moda a la siguiente tabla de frecuencia: 25 33 27 20 14 21 33 29 25 17 31 18 16 29 33 22 23 17 21 26 13 20 27 37 26 19 25 24 25 20 25 29 33 17 22 25 31 27 21 14 24 7 23 15 21 24 18 25 23 249. Los estadísticos del programa de “Comida Sobre Ruedas”, el cual lleva comidas calientes a enfermos confinados en casa, desean evaluar sus servicios. El número de comidas diarias que suministran aparece en la siguiente tabla de frecuencia. Calcular la media, mediana y la moda. Número de Número de comidas por día días 0-5 3 5 - 10 6 10 - 15 5 15 - 20 8 20 - 25 2 25 - 30 3
  37. 37. 10. Las edades de 50 de los directores ejecutivos de las mejores corporaciones de la nación reportadas aparecen en la siguiente tabla de frecuencias. Calcule e interprete la media, la mediana y la moda. Además, calcule e interprete: Q1 y P15. Edades Frecuencias 50 y menos de 55 8 55 y menos de 60 13 60 y menos de 65 15 65 y menos de 70 10 70 y menos de 75 3 75 y menos de 80 111. Una granja ganadera registró durante febrero el nacimiento de 29 terneros, cuyos pesos al nacer (en kilogramos) fue el siguiente: 22,31,33,34,35,36,37,38,38,39,40,40,40,41,41,42,42,42,42,42,43,43,44,45,46,46,46,46,5012. Los datos anteriores al ser dispuestos en una tabla de distribución de frecuencias se obtuvieron en la siguiente tabla resultante. Calcular la el promedio y la mediana para datos agrupados y no agrupados; y comparar resultados13. Ingresando a la biblioteca Digital E-libro , de la USS, busquen en el libro: Título Estadística Autor: Colegio24hs Editorial: Colegio24hs Publicado: 2004Y desarrollen los ejercicios 1 al 5, de la página 47 a la 49 según corresponda a encontrar la mediaaritmética, la mediana, y la moda.
  38. 38. Semana 5 MEDIDAS DE DISPERSIÓNLas medidas de dispersión muestran la variabilidad de unadistribución, indicando por medio de un número la tendencia delos datos a dispersarse respecto al valor central o media. Cuantomayor sea ese valor, mayor será la variabilidad, cuanto menor sea,más homogénea será a la media. Así se sabe si todos los casos sonparecidos o varían mucho entre ellos.Las medidas de dispersión más usuales son:1. RANGO ESTADÍSTICO, AMPLITUD Ó RECORRIDO.Es la medida de variabilidad más fácil de calcular. Es la diferencia entre el valor mínimo y el valormáximo en un grupo de números. Para averiguar el rango de un grupo de números:  Ordenamos los números según su tamaño  Restamos el valor mínimo del valor máximo R= Xmáx. - Xmín.Ejemplo:a. Para una muestra (1, 45, 50, 55, 100), el dato menor es 1 y el dato mayor es 100. Sus valores seencuentran en un rango de: Rango = 100 – 1 = 99b. Hallar el rango de los conjuntos: x= 12, 6, 7, 3, 15, 10, 18, 5 y= 9, 3, 8, 8, 9, 8, 9, 18 En ambos casos, rango: 18 – 3 = 15; sin embargo si ordenamos se ven como sigue:x = 3, 5, 6, 7, 10, 12, 15, 18 y = 3, 8, 8, 8, 9, 9, 9, 18hay mucha más dispersión en “x” que en “y”, por lo que “y” consiste esencialmente en ochos ynueves, pero en este caso el rango no indica diferencia entre ambos conjuntos, no es una buenamedida de la dispersión. Cuando hay valores muy extremos, el rango es una pobre medida de ladispersión.
  39. 39. 2. LA VARIANZA. (S2 ó δ2)Es una variable estadística que mide la dispersión de los valores respecto a un valor central (media).Específicamente, la varianza es una medida de que tan cerca o que tan lejos están los diferentesvalores de su propia media aritmética.Cuando más lejos están las Xi de su propia media aritmética, mayor es la varianza; cuandomás cerca estén las Xi a su media menos es la varianza. La Varianza es el cuadrado de ladesviación estándar  Para datos no agrupados  Para datos agrupadosLa variancia de los valores: (x1 x2 … xk) que ocurren con las frecuencias (f1 f2 … fk) es:
  40. 40. 3. DESVIACION ESTANDAR (S ó δ) . (ó DESVIACIÓN TIPICA)La varianza a veces no se interpreta claramente, ya que se mide en unidades cuadráticas. Para evitarese problema se define otra medida de dispersión, la desviación estándar, que se halla como la raízcuadrada de la varianza. La desviación estándar o desviación típica nos informa sobre la dispersiónde los datos respecto al valor de la media; cuanto mayor sea su valor, más dispersos estarán los datos.Desviación Estándar: S = √S2 ó δ = √ δ2 (Es la raíz cuadrada de la varianza)Propiedades de la Desviación EstándarA su vez la desviación estándar, también tiene una serie de propiedades que se deducen fácilmente delas de la varianza (ya que la desviación típica es la raíz cuadrada positiva de la varianza):1. La desviación estándar es siempre un valor no negativo S2. Es la medida de dispersión óptima por ser la más pequeña.3. La desviación estándar toma en cuenta las desviaciones de todos los valores de la variable4. Si a todos los valores de la variable se le suma una misma constante la desviación estándar novaría.5. Si a todos los valores de la variable se multiplican por una misma constante, la desviación estándarqueda multiplicada por el valor absoluto de dicha constante.Para el ejemplo anterior, la desviación estándar es 1.293 soles.
  41. 41. 4. COEFICIENTE DE VARIABILIDAD Es una medida de variabilidad de los datos que se expresa en porcentaje, en la cual se compara la desviación estándar con el respectivo valor del promedio de los datos, se expresa en porcentaje:
  42. 42. Practica Calificada Nº 051. ¿Cuál es la utilidad de las medidas de dispersión?2. ¿Cuáles son las principales medidas de dispersión?3. ¿Cuál es la medida adecuada para comparar la dispersión entre varias variables que poseandiferente magnitud o diferente unidad de medida?4. Para cada una de las informaciones de las unidades 2 y 4 de las sesiones anteriores, calcular einterpretar:4.1 Rango4.2 Desviación media4.3 Desviación Estandar4.4 Coeficiente de variabilidad5. La tabla de frecuencias exhibe las edades de una muestra de 36 personas que asistieron a una película: Años f 8-13 2 14-19 7 20-25 13 26-31 5 32-37 9Hallar:a. La mediab. La varianzac. La desviación6. La siguiente tabla muestra los coeficientes de inteligencia de 480 niños de una escuela elemental C.I. 70 74 78 82 86 90 94 98 102 106 110 114 118 122 126 fi 4 9 16 28 45 66 85 72 54 38 27 18 11 5 2Calcula: a) El C.I. promedio de los niños estudiados b) Su desviación.7. El entrenador de un equipo de baloncesto duda entre seleccionar a Elena o María. Los puntos conseguidos por cada una, en una semana de entrenamiento fueron:Elena 18 23 22 24 19 25 16María 18 26 18 28 22 17 18 a. ¿Cuál de las dos tiene mejor media? b. Calcula la desviación típica. ¿Cuál de las dos es más regular? c. Si tú fueras el entrenador, a quién seleccionarías?
  43. 43. Semana 6 INTRODUCCIÓN A LAS PROBABILIDADES “Los planes corresponden al hombre, las probabilidades a Dios.” Proverbio chino 1. EXPERIMENTO ALEATORIO: Es cualquier hecho o fenómeno cuyo resultado no puede predecirse antes de que suceda. Ejemplo: - Rendir un examen y observar su resultado - Tirar una moneda y observar cual de las caras queda hacia arriba - El lanzamiento de 2 dados paralelamente y observar el puntaje obtenido - Elegir un cliente del restaurante y preguntar su opinión sobre el servicio recibido. 2. ESPACIO MUESTRAL: Es el conjunto de todos los resultados posibles de un experimento aleatorio. Se representa comúnmente con la letra S. Ejemplos: * En el experimento aleatorio de lanzar una moneda 3 veces El espacio muestral es un conjunto formado por 8 elementos:
  44. 44. * En el experimento aleatorio de lanzar un par de dados, el espacio muestral es:3. EVENTO O SUCESO: Es un subconjunto de elementos que pertenecen al espacio muestral y que cumple una característica determinada. Ejemplos:* Del espacio muestral, lanzamiento de un dado; el evento A= puntaje obtenido es mayor de 3 A= [4,5,6]* Al lanzar una moneda 3 veces, el evento de obtener por lo menos dos caras es: E = [(C,C,C), (C,C,S), (C,S,C), (S,C,C)] ; tiene 4 elementos* Al lanzar un par de dados, el evento “la suma es igual a 7” será:4. PROBABILIDADEs una medida que expresa la “tasa de ocurrencia de un evento a largo plazo”. El valor de estamedida está comprendido entre [0 y 1].La probabilidad de que ocurra un evento A se define como el valor que corresponde al número decasos “favorables” entre el número de casos “posibles”:Ejemplos: Si se lanza un dado, cual es la probabilidad de obtener un puntaje impar. Rpta. 0.5 De un juego de 52 naipes se extrae una carta al azar (aleatoria), cuál es la probabilidad de obtener un puntaje mayor de 9. Rpta. 0.3077 Si se lanza un dado 2 veces cuál es la probabilidad de que: - Se obtenga un puntaje igual a 8 - Se obtenga un puntaje <= a 4 - Se obtenga un puntaje < a 5 pero >= a 2
  45. 45. OPERACIONES CON PROBABILIDADES1. Eventos Mutuamente ExcluyentesDos eventos son mutuamente excluyentes cuando “no pueden ocurrir los dos al mismo tiempo”, esdecir la ocurrencia de uno de ellos impide automáticamente la ocurrencia del otro. Por tanto, si 2eventos son mutuamente excluyentes no habrá intersección entre ellos.Si el evento A y el evento B son excluyentes: A∩B = 0, Luego P(A∩) = 0Ejemplo: Los clientes de una agencia de turismo se clasifican según nacionalidad y edad:¿Cuál es la probabilidad de elegir un cliente joven o adulto? P(J U A) = P(J) + P(A) = 130 + 40 = 170 = 0.85 200 200 2002. Intersección de Eventos: En el ejemplo anterior, calcular la probabilidad de que un clienteelegido sea Joven o Extranjero:P(J U E) = P(J) + P(E) – P(J∩E) = 130 + 80 - 30 = 180 = 0.9 200 200 200 200Si A y B son no excluyentes: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(A∩B) “o” = unión “y” = intersecciónEjemplos:1. De la urna que tienes a la derecha, sacamos una bola a azar y anotamos su número a) Describe el espacio muestral. ¿Cuántos casos tiene? b) Describe los siguientes sucesos: Bola Roja = A; Bola Verde = B; Bola Azul = C; Bola Roja con número impar = D; Bola con número par = F c) Calcula la probabilidad de cada uno de los sucesos anteriores2. ¿Cuál es el espacio muestral correspondiente al lanzamiento de una moneda? ¿Cuál es la probabilidad de cada una de las dos caras?3. Si se lanza un dado, cuál es la probabilidad de obtener un puntaje impar
  46. 46. 4. Al extraerse una carta de un juego de 52 naipes, cual es la probabilidad de que ésta sea de color rojo o tenga un puntaje menor de 5.5. En una encuesta aplicada a 50 estudiantes secundarios, 22 alumnos manifestaron inclinación por laQuímica, 28 por Estadística y 10 alumnos por ambos cursos. Si se selecciona al azar a uno de estosalumnos:a) ¿Cuál es la probabilidad de que les guste Química o Estadística?b) ¿De qué se incline por Química y Estadística?c) ¿Qué no le guste ninguno de los 2 cursos?6. En un salón de clase hay 15 alumnos y 24 alumnas, la tercera parte de los hombres y la mitad demujeres son de Chiclayo. Hallar la P[ ] de que sea alumno ó sea de Chiclayo; y de que sea alumna yque haya nacido fuera de Trujillo. TÉCNICAS DE CONTEORepaso de Factorialesn! = 1x2x3x4x……xn0! = 11! = 1PERMUTACIÓN “Pn”Una permutación es un conjunto de arreglos diferentes de n en n elementos de un total de nSe lee: Pn = permutación de n elementos.Fórmula: Pn = n!Ejemplo:1. De cuántas formas diferentes se pueden sentar 3 personas ABC en 3 asientos consecutivos:[ ABC, ACB, BAC, BCA, CAB, CBA ] P3 = 3! = 62. Cuántas juntas directivas diferentes se podrían formar con las personas ABC y D, si dicha juntatiene los cargos de Presidente, Vicepresidente, Secretario y Tesorero.P4 = 4! = 24 juntas mCOMBINACIÓN C = m! n (m-n)! n!Se lee: “combinación de n en n elementos de un total de m”Son arreglos diferentes de n en n elementos de un total de m, en los cuales no interesa el orden enque se presentan.Ejm. Se desea elegir un comité de 3 personas entre 8 candidatos, cuantos comités diferentes puedenformarse:
  47. 47. 8C3= 8! = 8! 56 formas diferentes (8-3)! 3! 5! 3! mVARIACIÓN V = m!__ n (m-n)!Se lee: “Variación de n en n elementos de un total de m”. Sí interesa el orden de los elementos.Ejm. Se desea formar una junta directiva con los cargos de presidente, secretario y tesorero. Si hay 8candidatos, cuantas juntas directivas diferentes se podría formar: 8! = 8! = 8x7x6x5! = 336 formas diferentes (8-3)! 5! 5!Ejemplos para el Aula: 1. Si un conjunto A tiene 5 elementos. ¿Cuántas duplas se pueden formar con los elementos de A?. 2. En el concurso de belleza de Miss Universo, se suelen elegir primero 15 semifinalistas, luego se eligen 5 finalistas. ¿De cuántas formas diferentes se pueden ocupar las 5 primeras posiciones entre las 15 semifinalistas? 3. La junta directiva de la compañía ABC consta de 15 miembros. ¿De cuántas formas se puede elegir presidente, vicepresidente y secretario? 4. ¿Cuántos equipos de basquet de cinco hombres se pueden formar de una escuadra de 12 hombres si no tienen en cuenta las posiciones de juego? 5. En una clase de estadística hay 30 estudiantes 24 hombres y 6 mujeres. ¿De cuántas formas distintas se puede construir un comité de cuatro estudiantes? ¿De cuántas formas distintas se puede construir un comité de cuatro estudiantes si dos deben ser mujeres?
  48. 48. Practica Calificada N° 06ACTIVIDAD Nº 1A continuación se describen varias situaciones. Contesta la pregunta, en cada caso, razonando las respuestas:a) En una clase de 30 alumnos, 12 chicos y 18 chicas, cada uno escribe su nombre en una papeleta y laintroduce en una caja. ¿Qué es más probable que aparezca el nombre de una chica o de un chico?b) Se lanza un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6. ¿Qué es más probable que salga el 5 o el 1?c) Si lanzas una ficha cuyas caras son verde y rojo ¿qué color esperas que salga?ACTIVIDAD Nº 2Indica el espacio muestral de los siguientes sucesos:a) Obtener par, al lanzar un dado cúbico con las caras numeradas del 1 al 6.b) Lanzamos dos monedas al aire.c) Obtener impar al lanzar un dado cúbico.ACTIVIDAD Nº 3En cada uno de los siguientes experimentos aleatorios, diga cuál es la probabilidad de que ocurra el sucesoque se indica:a) CESTA I CESTA II b) BOLSA I BOLSA IISe extrae una pieza de fruta Se extrae una bolaSuceso: OBTENER UNA PERA Suceso: OBTENER UNA BOLA VERDEACTIVIDAD Nº 4Resolver:1. Hallar la probabilidad de sacar por suma 4 o 11 al lanzar dos dados.2. Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 amarillas y 7 verdes. Se extrae una al azar, calcular la probabilidad de que: Sea roja. Sea verde. Sea amarilla.3. Se extrae aleatoriamente una baraja de un juego de 52 cartas. ¿Cuál es la probabilidad de que la cartaseleccionada? a) Sea un “as” b) Sea una carta negra ó un número menor de 5 c) Sea número 8 y de color rojo4. De 100 personas que fueron consultadas sobre sus preferencias a la hora de realizar un deporte, 50practicaban fútbol, 40 practicaban baloncesto y 30 practicaban ciclismo. Además, 25 personas practicabanfutbol y baloncesto, 15 practicaban fútbol y ciclismo, y 12 practicaban baloncesto y ciclismo. Por último, tansólo 5 personas practicaban los tres deportes. El resto no sabe o no contesta.a) Representa el diagrama de Venn correspondiente.b) Calcula las siguientes probabilidades: P(practicar fútbol), P(practicar fútbol y baloncesto), P(practicar sólociclismo), P(practicar los tres deportes), P(practicar alguno de los tres deportes), P(no practicar ninguno de lostres deportes.
  49. 49. Permutaciones, Combinaciones, Variaciones1. ¿De cuántas maneras se pueden colocar dos anillos diferentes en la misma mano, demodo que no estén en el mismo dedo?2. Al lanzar cinco dados de distintos colores ¿cuántos resultados podemos obtener?3. Con los números 1,2,3,4,5 y 6:3.1 ¿Cuántos números distintos de siete cifras podríamos formar?3.2 ¿Podremos numerar a los 3224564 habitantes de una ciudad con esosnúmeros?4. Se lanzan al aire uno tras otro cinco dados equilibrados de seis caras. ¿Cuál es elnúmero de casos posibles?5. ¿Cuántos números de seis cifras existen que estén formados por cuatro números dosy por dos números tres?6. Lola tiene 25 bolitas (10 rojas, 8 azules y 7 blancas) para hacerse un collar.Engarzando las 25 bolitas en un hilo, ¿cuántos collares distintos podrá realizar?7. ¿Cuántas palabras distintas, con o sin sentido, podremos formar con las letras de lapalabra educación? ¿y con la palabra vacaciones?8. Un grupo de amigos formado por Raúl, Sonia, Ricardo y Carmen organizan unafiesta, acuerdan que dos de ellos se encargarán de comprar la comida y las bebidas¿De cuántas formas posibles puede estar compuesta la pareja encargada de dichamisión?9. Una fábrica de helados dispone de cinco sabores distintos (vainilla, chocolate, nata,fresa y cola) y quiere hacer helados de dos sabores ¿Cuántos tipos de helado podránfabricar?10. Un grupo de amigos y amigas se encuentran y se dan un beso para saludarse. Si sehan dado en total 21 besos, ¿cuántas personas había?11. En una carrera de 500 metros participan doce corredores ¿De cuántas maneraspueden adjudicarse las medallas de oro, plata, bronce?12. ¿De cuántas formas pueden cubrirse los cargos de presidente, vicepresidente,secretario y tesorero de un club deportivo sabiendo que hay 14 candidatos?
  50. 50. Semana 7 PROBABILIDADES CONDICIONALESHasta ahora se ha estudiado la probabilidad absoluta de un evento, es decir sin relacionarlo uno conotro. Sin embargo pudiera ser de interés calcular la probabilidad de que ocurra un evento de ciertoespacio muestral “S” a la luz de que otro evento de ese mismo espacio “S” ocurra.Sean A y B dos eventos de un mismo espacio muestral S. La probabilidad condicional de A, dadoque ha ocurrido B (o viceversa), está dado por: P[ A/B ] = “ probabilidad de que ocurra A habiendo sucedido B” P[ A/B ] = P[A∩B] = n (A∩B) P[B] n(B) P[B/A] = “probabilidad de que ocurra B habiendo sucedido A” P[ B/A ] = P[B∩A] = n (B∩A) P[A] n(A)Ejemplos:1. En una empresa el 50% de trabajadores trabaja por la mañana, el 30% lo hace por las tardes y el 20% tantoen la mañana como por la tarde; si se escoge aleatoriamente a un trabajador cualquiera:a) Cual es la probabilidad de que trabaje en la mañana si se conoce que labora en la tardeb) Cual es la probabilidad de que trabaje por las tardes si se conoce que labora por la mañanaSOLUCIÓNA= labora en la mañana …………. 50%B= labora en la tarde …………….. 30%A Π B = labora en los dos turnos … 20% a) P[A/B] = P[A ∩ B] = 20/30 = 2/3 ó 66.67% P[B]
  51. 51. b) P[B/A] = P[B ∩ = 20/50 = 2/5 ó 40% A] P[A]2. De todos los alumnos que el ciclo pasado llevaron los cursos de Estadística Aplicada y Matemática I, setienen los siguientes datos: El 20% desaprobaron Matemática I El 35% desaprobaron Estadística Aplicada El 10% desaprobaron ambos cursosSi se escoge aleatoriamente a un alumno que lleva estos cursos, cual es la probabilidad de que este: a) Haya sido desaprobado en Matemática I conociéndose que fue desaprobado en Estadística Aplicada b) Haya sido desaprobado en Estadística Aplicada conociéndose que fue desaprobado en Matemática I c) De que haya sido desaprobado en Matemática I ó Estadística AplicadaSOLUCIÓN:M = desaprobó Matemática I =20%E = desaprobó Estad. Aplicada =35%M ∩ E = desaprobaron ambos cursos = 10 a) P[M/E] = 10/35 = 2/7 = 28,57% b) P[E/M] = 10/20 = ½ = 50% c) P[E UM] = P[E] + P[M] – P[E ∩ = 35/100 + 20/100 – 10/100 = 9/20 = 45% M]3. En la parte preferencial de un teatro solamente hay 120 asientos, los cuales son de 2 colores, azules onegros; algunos son de madera y otros son metálicos. El resumen se presenta en el recuadro siguiente: Asientos Metálicos Madera Total Azul 35 45 80 Negro 18 22 40 Total 53 67 120Si se selecciona aleatoriamente uno de estos asientos, calcule la probabilidad de que este sea: a) De color azul b) De color negro metálico c) El asiento elegido sea de madera d) Sea de color azul si se sabe que es de metal e) El asiento sea de madera si se sabe que es de color negro f) El asiento no sea de color azulSOLUCIÓNA= Azul, N=Negro, M=Metálico, Ma=Madera a) P[A] = n(A)/n(S) = 80/120 = 2/3 = 66.47% b) P[N ∩ M] = n(M ∩ N)/n(S) = 18/120 = 9/60 = 3/20 = 15% c) P[Ma] = 67/120 = 55.83 % d) P[A/M] = P[A ∩ M] / P[M] = n(A ∩ M) / n(M) = 35/53 = 66.04% e) P[M/N] = P[Ma ∩ N]/ P[N] = n(Ma ∩ N)/n(N) = 22/40 = 11/20 = 55%
  52. 52. Complemento de un suceso=> P[M’]= 1 – P[M] Sea de color azul: P[A], complemento = 1 – P[A] f) P[A]’ = 1 – P[A] = 1 - 80/120 = 40/120 = 4/12 = 1/3 = 33.33%TEOREMA DE BAYESEs un caso particular de la probabilidad condicional.Si A1, A2, A3, …, An, son sucesos mutuamente excluyentes de los cuales al menos uno de lossucesos Ai (i=1,2,3,…,n) debe ocurrir y siendo B un suceso cualquiera del espacio muestral, laprobabilidad de que ocurra el suceso “Ak” habiendo ocurrido B se puede definir como: P[Ak / B] = P[Ak] . P[B/Ak] ∑ P[Ai] . P[B/Ai]Ejemplo 11. En una empresa el 50% de trabajadores pertenecen al área técnica profesional, el 30% sonoficinistas y el 20% pertenecen al área de personal de servicio; se sabe además que el 8, 9 y 10% delos técnicos profesionales, oficinistas y personal de servicio respectivamente son provincianos. a) Represente las condiciones enunciadas en un árbol de probabilidades b) Si se selecciona al azar un trabajador, cual es la probabilidad de que este sea técnico profesional o personal de servicio. c) Sea técnico profesional si se conoce que es provinciano d) Sea de personal de servicio si se sabe que es de la capitalSOLUCIÓNT= técnico profesional P=provincianoO=oficinistas C=capitalS=personal servicio a) Árbol de probabilidades b) P[T U S] = P[T] + P[S] – P[T ∩ S] = 50/100 + 20/100 – 0 = 70/100 = 70% c) P[T/P] = _________50/100 x 8/100_______________________ 50/100x8/100 + 30/100x9/100 + 20/100x10/100 = 50 x 8_____________ = ___400 = 400/870 = 40/87 ó 45.98% 50x8 + 30x9 + 20x10 400+270+200 d) P[S/C] = P[S].P[C/S] P[T].P[C/T] + P[O].P[C/O] + P[S].P[C/S]
  53. 53. = 20/100 . 90/100 50/100x92/100 + 30/100x91/100 + 20/100x90/100 = 1800 = 1800 / 9130 = 180/913 ó 19.72 % 4600 + 2730 + 1800Ejemplo 2El 70% de los pacientes de un hospital son mujeres y el 20% de ellas son fumadoras. Por otro lado el40% de los pacientes hombres son fumadores. Se elige al azar un paciente del hospital. ¿Cuál es laprobabilidad de que sea fumador?Solución Diagrama de Árbol para el ejemplo:Ejemplo 3Consideremos un control de calidad de una empresa en el cual se desea saber la probabilidad de queun determinado artefacto tenga una vida útil superior a las 1200hs. Para ello el dpto. de Control deCalidad separa 500 unidades de la producción y mide la vida útil de cada unidad. Los resultados deobservan en la siguiente tabla: Duración(en hs) Frec. Abs.(fi) Frec. Relat. Menos de 800 10 2% 800 a 899 40 8% 900 a 999 55 11% 1000 a 1099 70 14% 1100 a 1199 85 17% 1200 a 1299 115 23% 1300 a 1399 84 17% 1400 a más 41 8% Total 500 100%P(A) = 115 + 84 +41 ó = 23% + 17% + 8% 500 = 48%
  54. 54. Práctica Calificada N° 07Ejercicio 1:Tres máquinas, A, B y C, producen el 45%, 30% y 25%, respectivamente, del total de las piezasproducidas en una fábrica. Los porcentajes de producción defectuosa de estas máquinas son del 3%,4% y 5%. a. Seleccionamos una pieza al azar; calcula la probabilidad de que sea defectuosa. b. Tomamos, al azar, una pieza y resulta ser defectuosa; calcula la probabilidad de haber sido producida por la máquina B. c. ¿Qué máquina tiene la mayor probabilidad de haber producido la citada piezaEjercicio 2:Tras un estudio estadístico en una ciudad se observa que el 70% de los motoristas son varones y, deestos, el 60% llevan habitualmente casco. El porcentaje de mujeres que conducen habitualmente concasco es del 40%. Se pide: a. Calcular la probabilidad de que un motorista elegido al azar lleve casco. b. Se elige un motorista al azar y se observa que lleva casco. ¿Cuál es la probabilidad de que sea varón?Ejercicio 3:En una ciudad, el 35% vota al partido A, el 45% vota al partido B y el resto se abstiene. Se sabeademás que el 20% de los votantes de A, el 30% de los de B y el 15% de los que se abstienen, sonmayores de 60 años. Se pide: a. Hallar la probabilidad de que un ciudadano elegido al azar sea mayor de 60 años. b. Hallar la probabilidad de que un ciudadano mayor de 60 años se haya abstenido.Ejercicio 4:Los alumnos de Primero de Biología tienen que realizar dos pruebas, una teórica y otra práctica. Laprobabilidad de que un estudiante apruebe la parte teórica es de 0.6, la probabilidad de que apruebela parte práctica es de 0.8 y la probabilidad de que apruebe ambas pruebas es 0.5. a. ¿Son independientes los sucesos aprobar la parte teórica y la parte práctica? b. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno no apruebe ninguno de los dos exámenes? c. ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno apruebe solamente uno de los dos exámenes? d. Se sabe que un alumno aprobó la teoría. ¿Cuál es la probabilidad de que apruebe también la práctica?Ejercicio 5:El 35% de los créditos de un banco es para vivienda, el 50% para industrias y el 15% para consumodiverso. Resultan fallidos el 20% de los créditos para vivienda, el 15% de los créditos para industrias
  55. 55. y el 70% de los créditos para consumo. Calcula la probabilidad de que se pague un crédito elegido alazar.Ejercicio 6:El volumen de producción en tres plantas diferentes de una fábrica es de 500 unidades en la primera,1000 unidades en la segunda y 2000 en la tercera. Sabiendo que el porcentaje de unidadesdefectuosas producidas en cada planta es del 1%, 0.8% y 2%, respectivamente, calcula laprobabilidad de que al seleccionar una unidad al azar sea defectuosa.Ejercicio 7:El 20% de los empleados de una empresa son ingenieros y otro 20% son economistas. El 75% de losingenieros ocupan un puesto directivo y el 50% de los economistas también, mientras que de los noingenieros y no economistas solamente el 20% ocupan un puesto directivo. ¿Cuál es la probabilidadde que un empleado directivo elegido al azar sea ingeniero?
  56. 56. Semana 8 VARIABLES ALEATORIAS DISCRETAS Y CONTINUAS DISTRIBUCIONES DE PROBABILIDADES En el cálculo de probabilidades, generalmente, es más sencillo identificar los eventos numéricamente, y no con la simple descripción del suceso que pueda ocurrir, es más, en muchas ocasiones no podemos registrar todos los sucesos inmersos en el espacio muestral del experimento. Debemos recurrir a cuantificar esos símbolos iniciales en números reales que se puedan operar matemáticamente.Variable AleatoriaDefinición: Una variable aleatoria es una función definida sobre un espacio muestral a losnúmeros reales. Si ese espacio muestral especificado como dominio es numerable, decimosque la variable es de tipo discreto, en caso contrario diremos que es de tipo continuo.En el experimento de lanzar una moneda, una vez, definimos la variable aleatoria X: elnúmero de sellos obtenido.En la tirada de dos dados si X es la suma obtenida:
  57. 57. FUNCIÓN DE PROBABILIDADLas variables aleatorias, transforman eventos del espacio muestral en eventos numéricos, loscuales desde luego, tienen asociada una probabilidad de ocurrencia.1. Función de Probabilidad f(x)=p(X=x): Es una función definida sobre una variable aleatoria a losreales en el intervalo [0,1] que cumple con los axiomas de la teoría de la probabilidad.2. Función de Distribución F(x)=p(X=x)Es la acumulada de una función de probabilidad.-: Limite inferior de la variable X
  58. 58. Ejemplo:En el Lanzamiento de una Moneda,X: Número de SellosEjemplo:X es la Suma Obtenida en el Lanzamiento de dos Dados:Ejemplo: ¿ Cuál es la probabilidad que un disparo impacte a menos de 15 cm del centro? ¿ a más de9 centímetros? ¿Entre 7 y 14 centímetros?
  59. 59. CUESTIONARIO Y EJERCICIOS PROPUESTOS1. Defina: Variable aleatoria, variable aleatoria discreta, variable aleatoria continua, funciónde probabilidad y función de distribución.2. En el ejercicio de la ficha de dominó, si X representa la diferencia absoluta entre los dosnúmeros, representar y calcular la probabilidad de ocurrencia de los siguientes eventos:2.1 La diferencia sea menor o igual a 52.2 La diferencia sea mayor que 22.3 La diferencia sea mayor que 2 pero menor o igual 52.4 La diferencia sea mayor que 5 ó menor que 3
  60. 60. DISTRIBUCIÓN BINOMIAL
  61. 61. DISTRIBUCIÓN DE POISSONLa distribución de Poisson es de gran utilidad cuando tenemos variables distribuidas a través deltiempo ó del espacio. Es el caso del número de llamadas que entran a una central telefónica en unaunidad de tiempo, la cantidad de personas que atiende un cajero en una hora, los baches porkilómetro en una autopista, los artículos defectuosos que hay en un lote de producción; amén de suutilización como aproximación binomial cuando p es muy cercano a cero, o n superior a 30. (p<0.1 ,n>30).La función de probabilidad de Poisson es:
  62. 62. Ejemplo:Un cajero de un banco atiende en promedio 7 personas por hora, cual es la probabilidad de que ununa hora determinada:1. Atienda menos de 5 personas2. Atienda más de 8 personas3. Atienda más de 5 pero menos de 8 personas4. Atienda exactamente 7 personasConsultando la tabla para la distribución de Poisson:Ejemplo:En cierto núcleo poblacional, el 0.5% es portador del V.I.H. En una muestra de 80 personas, cual esla probabilidad:1. De que haya alguna persona portadora.2. No haya personas portadoras.Solución:
  63. 63. DISTRIBUCIÓN NORMALDada la caracterización propia de este modelo continuo, donde coinciden las medidas de tendenciacentral, media, moda y mediana; la simetría respecto a estos parámetros y la facilidad de suaplicación hacen de la distribución normal, una herramienta de uso común, máxime que la mayoríade las variables económicas y sociales se ajustan a una función normal.La distribución normal, también es útil como aproximación de los modelos binomial y poissonexpuestos anteriormente, y yendo un poco más adelante, sustentados en el teorema del “límitecentral” podemos afirmar que, cuando el tamaño de la muestra es lo suficientemente grande,podemos asumir el supuesto de normalidad para una suma de variables.La forma acampanada de la variable normal, resalta la perfección de esta curva definida por losparámetrosSin embargo, existen infinitas distribuciones normales, ya que por cada media aritmética óvarianza diferente se describe una función también diferente:
  64. 64. Normal Diferente Media Igual VarianzaNormal Diferente Varianza Igual Media
  65. 65. Las gráficas de este tipo son muy corrientes: Hay pocos individuos en losextremos y un aumento paulatino hasta llegar a la parte central delrecorrido, donde está la mayoría de ellos.
  66. 66. DEFINICIÓN :Es la distribución más importante en la estadística.Es una distribución simétrica con respecto a su promedio, teniendo la media,mediana y moda el mismo valor. El valor máximo ocurre cuando U = Me = MoEn el caso de laDistribución normal deparámetros x y σ, dicha función viene dada por: <= >=
  67. 67. Z=x–u δ Casos: I. P [x≤x] = P [ Z ≤ x – u ] δ II. P [x≥x] = 1 – P[x ≤ x] = 1 – P[ Z ≤ x – u ] δ III. P[a ≤ x ≤ b] = P[x ≤ b] – P[x ≤ a] = P[Z ≤ b – u ] – P[Z ≤ a – u ] δ δa) Tenga un contenido mayor a 1020 cm3 u = promedio = 1000 cm3 σ = 30 cm3 P [x > 1020] = 1 – P[ x ≤ 1020] = 1 – P[ z ≤ 1020 – 1000 ] 30 = 1 – P [ z≤ 0,67] Buscar en tablas 0,67 = 1 – 0,74857 = 025143 ó 25.14%b) Tenga un contenido menor a 975 cm3 P[ x < 975 ] P [ z ≤ 975 – 1000 ] 30 P [ z ≤ -0.833] = 0,20327 ó 20.33%c) Contenga entre 980 y 1030 cm3 P [980 ≤ x ≤ 1030] P [ z≤ 1030 – 1000 ] – P[z ≤ 980 – 1000 ] 30 30 P [ z≤ 1 ] – P [z ≤ -0.666 ] ……………………….. Ver en tablas 0.84134 - 0.25143 0.58991 ó 58.99%
  68. 68. 2. Una prueba acelerada de duración en un gran número de pilas alcalinas tipo D, reveló que la duración media para un caso específico antes que falle es 19 h. La distribución de las duraciones se aproxima a una distribución normal. La desviación estándar de la distribución fue de 1.2 h.Calcular:a) Probabilidad que dure más de 21 horasb) Probabilidad que dure como máximo 17.8 horasc) Probabilidad de que su duración esté comprendida entre 18.7 y 19.3 h
  69. 69. Nota: Las tablas utilizadas en esta sesión, se encuentrancolgadas en el Aula Virtual de la USS y en el blog:www.ingenieriainvestigacazasi.blogspot.com
  70. 70. Practica Calificada N° 081. La probabilidad de que un visitante efectúe una compra en un almacén, durante undía dado es 0.8. Si al negocio entran 20 clientes, ¿cuál es la probabilidad de que elalmacén realice: 1.1 Exactamente 16 ventas? 1.2 Menos de 17 ventas? 1.3 Más de 14 ventas? 1.4 Exactamente 5 ventas? 1.5 ¿Cuál es el número esperado de ventas?2. Si un almacén tiene en promedio 5 ventas por hora. ¿Cuál es la probabilidad de queen una hora determinada: 2.1 Haya exactamente 4 ventas? 2.2 Haya más de 3 ventas? 2.3 No se efectúen ventas?3. Una de cada 10 personas mayores de 40 años de una comunidad, sufren dehipertensión. Se toma una muestra de 50 personas mayores de 40 años.Utilizando primero la distribución binomial y luego la aproximación a la distribuciónde Poisson, responder y comparar los resultados: 3.1 ¿Cuál es la probabilidad que haya más de 4 hipertensos? 3.2 ¿Cuál es la probabilidad que haya exactamente 5hipertensos?4. Un lote de arandelas tiene un diámetro normal con media 10 milímetros ydesviación típica 0.5 milímetros. Se toma una arandela al azar. ¿Cuál es laprobabilidad de que tenga un diámetro: 4.1 Superior a 10.5 milímetros? 4.2 Entre 9 y 11 milímetros? 4.3 Menos de 9 milímetros?
  71. 71. Semana 10 INTRODUCCIÓN A LA INFERENCIA ESTADÍSTICA La preparación de un proyecto de investigación es unatarea compleja, ya que se han de tener en cuenta multitud deaspectos para que el documento final contemple todos losapartados que cualquier estructura estándar considera y paraque todos los investigadores sepan con qué y cómo debenproceder en todas las etapas de ejecución del estudio planteado. Uno de los dilemas que se presenta cuando se inicia laelaboración del proyecto es decidir sobre los individuos oelementos que se incluirán en el estudio: qué característicastendrán «criterios de inclusión y exclusión», a cuántos pacientesse estudiará «tamaño de la muestra» y cómo se elegirán paraque entren a formar parte del estudio «técnica de muestreo». Estudiar a toda la población, que sería la manera más exacta de conocer lo que se pretendeestudiar, es casi imposible en la práctica. Entre los motivos que lo impiden se encuentran la falta detiempo, la escasez de recursos humanos y económicos, la dificultad para acceder a todos los sujetos,etc., por lo que se estudia sólo a una parte de ellos, para, posteriormente, generalizar o inferir losresultados obtenidos a toda la población. Por tanto, cuando se habla de sujetos de estudio, se ha de diferenciar claramente entrepoblación, muestra e individuo.
  72. 72. TEOREMA DEL MUESTREODISEÑO DE MUESTRA 1. Definir la Población Meta: Conjunto de Elementos que poseen la información que se busca 2. Determinar el Marco de la Muestra: Lista o grupo de indicaciones para identificar a la población meta Listas:  Directorio Telefónico de Organizaciones  Lista de correo

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