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Minimos cuadrados

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Espero sea de su agrado

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  • Es un tema sumamente importante que esperaba encontrar
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Minimos cuadrados

  1. 1. Fís. Abraham Vilchis Uribe © Mínimos Cuadrados Método objetivo para encontrar La ecuación de un Modelo Lineal
  2. 2. Resumen del Método Gráfico <ul><li>Limitaciones </li></ul><ul><li>Es subjetivo, depende de la persona que grafica y de su criterio . </li></ul><ul><li>Proporciona un intervalos grande y pesimista </li></ul><ul><li>No es reproducible, cada experimentador proporci o na diferentes aproximaciones para datos iguales </li></ul><ul><li>Ventajas </li></ul><ul><li>Es buen estimador cuando se tiene pocos resultados (menos de diez). </li></ul><ul><li>Nos permite decidir si vale la pena efectuar un experimento más preciso. </li></ul><ul><li>En caso de no contar con una calculadora o computadora, éste método nos permite efectuar una estimación válida. </li></ul>
  3. 3. Método de los Mínimos Cuadrados Subsana limitaciones del método anterior <ul><li>Ventajas adicionales </li></ul><ul><li>Es objetivo, sólo depende de los resultados experimentales. </li></ul><ul><li>Es reproducible, proporciona l a mism a ecuación no importa quién realice el análisis . </li></ul><ul><li>Proporciona una estimación probabilística de la ecuación que representa a unos datos experimentales. </li></ul><ul><li>Proporciona intervalos pequeños de error. </li></ul><ul><li>Restricciones </li></ul><ul><li>Sólo sirve para ajustar modelos lineales </li></ul><ul><li>Requiere tener, al menos, diez mediciones bajo las mismas circunstancias experimentales. </li></ul><ul><li>Tales resultados deben estar descritos por una distribución de probabilidad conocida. La más común es la distribución normal o gaussiana. </li></ul><ul><li>Se requiere de algún equipo de cálculo, de lo contrario, es muy engorroso. </li></ul>
  4. 4. Definiciones Preliminares <ul><li>El método de los mínimos cuadrados nos permite encontrar la ecuación de una recta a partir de los datos experimentales . </li></ul><ul><li>Es decir, utilizando solamente las mediciones experimentales se obtendrá la pendiente y la ordenada al origen de la recta que mejor se ajuste a tales mediciones </li></ul>
  5. 5. Definiciones Preliminares <ul><li>ASÍ PUES, SOLAMENTE NOS SIRVE PARA AJUSTAR </li></ul><ul><li>MODELOS LINEALES </li></ul><ul><li>SI ESTE NO ES EL CASO , SE DEBE BUSCAR OTRO MÉTODO DE AJUSTE </li></ul>
  6. 6. Definiciones Preliminares <ul><li>El método de los mínimos cuadrados se calcula en base al siguiente </li></ul><ul><li>CRITERIO </li></ul><ul><li>La distancia del punto experimental a la “mejor recta” es mínima. </li></ul>
  7. 7. GRÁFICAMENTE
  8. 8. GRÁFICAMENTE <ul><li>DIBUJAMOS UNOS EJES DE COORDE-NADAS </li></ul>0 x y
  9. 9. GRÁFICAMENTE <ul><li>GRAFICAMOS LOS PUNTOS EXPERIMEN-TALES </li></ul>0 + + + + + + + + + + + x y
  10. 10. GRÁFICAMENTE <ul><li>T RAZA-MOS LA MEJOR RECTA DE TAL MANERA QUE: </li></ul>0 + + + + + + + + + + + x y L
  11. 11. GRÁFICAMENTE <ul><li>CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. </li></ul>0 + + + + + + + + + + + x y δy δ y = y i – y(x i ) L
  12. 12. GRÁFICAMENTE <ul><li>CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. </li></ul><ul><li>Para todos los puntos </li></ul>0 + + + + + + + + + + + x y δy x i y i y(x i ) δ y = y i – y(x i ) δ y = y i – (mx i + b) L
  13. 13. GRÁFICAMENTE <ul><li>CRITERIO: La distancia, δ y, del punto experimental a la “mejor recta”, L, es mínima. </li></ul><ul><li>Esta distancia se tomará al cuadrado. </li></ul>0 + + + + + + + + + + + x y δy x i y i y(x i ) δ y = y i – y(x i ) δ y = y i – (mx i + b) δ y 2 =[ y i – (mx i + b)] 2 ... Ec. 1 L
  14. 14. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b .
  15. 15. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados,
  16. 16. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente
  17. 17. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error
  18. 18. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error , y de la ordenada al origen
  19. 19. CALCULANDO LOS VALORES DE la pendiente, m, y de la ordenada, b . Al efectuar la minimización de la ecuación uno respecto a todos los puntos experimentales bajo el criterio de los mínimos cuadrados, el procedimiento nos arroja el valor de la pendiente con su error , y de la ordenada al origen con su error ; de la “mejor recta”:
  20. 20. ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO .
  21. 21. ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN ,
  22. 22. ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL :
  23. 23. ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL: VD = pendiente VI + ord. al origen y = (m ± S m ) x + (b ± S b ) ; donde la y está en las unidades u , y la x está en las unidades u´ .
  24. 24. ESCRIBIENDO LA ECUACIÓN DEL MODELO . AL OBTENER LOS VALORES DE LA PENDIENTE Y DE LA ORDENADA AL ORIGEN, PODEMOS ENTONCES ESCRIBIR LA ECUACIÓN DE LA RECTA EN LA FORMA USUAL: VD = pendiente VI + ord. al origen y = (m ± S m ) x + (b ± S b ) ; donde la y está en las unidades u , y la x está en las unidades u´ . Al reportar de esta manera, conocemos la ecuación del modelo con un 68% de probabilidad asumiendo que los resultados se distriubuyen normalmente
  25. 25. EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS:
  26. 26. EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS: #/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml 1 10 9.9 2 15 15.3 3 20 19.8 4 25 25.2 5 30 29.9 6 35 35.3 7 40 39.8 8 45 45.2 9 50 49.9 10 55 55.1
  27. 27. EJEMPLO SE TOMARON DIFERENTES VALORES DE MASA Y VOLUMEN DE AGUA PARA DETERMINAR SU RELACIÓN , Y LA DENSIDAD DEL AGUA. SE CONTROLÓ LA MASA OBTENIÉNDOSE LOS SIGUIENTES RESULTADOS: <ul><li>Se desea encontrar la ecuación que ajusta estos datos utilizando el método de los Mínimos Cuadrados y </li></ul><ul><li>Determinar el valor de la densidad del agua. </li></ul>#/CANT. M, ± 0.1, g V, ± 0.6, ml 1 10 9.9 2 15 15.3 3 20 19.8 4 25 25.2 5 30 29.9 6 35 35.3 7 40 39.8 8 45 45.2 9 50 49.9 10 55 55.1
  28. 28. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos:
  29. 29. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml .
  30. 30. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g .
  31. 31. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), donde M está en g, y V está en ml.
  32. 32. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, observamos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m.
  33. 33. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
  34. 34. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos:
  35. 35. EJEMPLO Utilizando una hoja de cálculo obtenemos: La pendiente: m = 1.000 ± 0.005 g/ml . La ordenada al origen: b = 0.032 ± 0.167 g . La ecuación será : M = (1.000 ± 0.005 ) V + (0.0 ± 0.2 ), dondeM está en g, y V está en ml. Comparando los modelos teórico y experimental, sabemos que la densidad es el inverso de la pendiente: ρ = 1/m. Calculando obtenemos: Así pues, la densidad será: ρ = 1.000 ± 0.005 g/ml .
  36. 36. Resumiendo <ul><li>Método gráfico </li></ul><ul><li>MÉTODO SUBJETIVO, PROPORCIONA ERRORES GRANDE S Y ES UNA ESTIMACIÓN PESIMISTA . </li></ul><ul><li>SON NECESARIAS MENOS DE DIEZ MEDICIONES. </li></ul><ul><li>NO ES REPRODUCIBLE </li></ul><ul><li>NO ES NECESARIO TENER UNA CALCULADORA O COMPUTADORA. </li></ul><ul><li>PERMITE DECIDIR SI SE HACE UN EXPERIMENTO Y UN ANÁLISIS MÁS CUIDADOSO. </li></ul><ul><li>Mínimos cuadrados </li></ul><ul><li>MÉTODO OBJETIVO . </li></ul><ul><li>PROPORCIONA ERRORES PEQUEÑO S </li></ul><ul><li>Y ES UNA ESTIMACIÓN PROBABILÍSTIC A . </li></ul><ul><li>SE REQUIER DE, AL MENOS, DIEZ MEDICIONES BAJO LAS MISMAS CIRCUNSTANCIAS EXPERIMENTALES </li></ul><ul><li>Y DISTRIBUCIÓN DE PROBABILIDAD CONOCIDA . </li></ul><ul><li>ES REPRODUCIBLE.. </li></ul><ul><li>SE NECESITA ALGÚN APARATO PARA CALCULARLO. </li></ul>

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