Problemas de Rotacional y Divergencia
1) Divergencia y rotacional. Sea F un campo vectorial diferenciable y r el vector
po...
2) Principio de Cavalieri. Determinar por el principio de Cavalieri el volumen de un
toro de revolución caracterizado por ...
3) Calcular ∫∫D
yx
dxdyee 2
, donde D es la región limitada por el cuadrado 1=+ yx
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SOLUCIÓN
Desarrollando la expresión 1...
SOLUCIÓN
El integrando no reconoce una primitiva de
sencilla formulación, sino que la misma debe
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Problemas de rotacional y divergencia

  1. 1. Problemas de Rotacional y Divergencia 1) Divergencia y rotacional. Sea F un campo vectorial diferenciable y r el vector posición. Demostrar que la divergencia del campo vectorial F×r es igual al producto interno de r y el rotacional de F. SOLUCIÓN Sea: F(x; y; z) = (F1(x; y; z); F2(x; y; z); F3(x; y; z)) r(x; y; z) = (x; y; z) Tenemos: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) QED·;;)·;;( · ;; 123123 123123 211332 211332 211332321 Fr rF kji rF ×∇=      ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ ∂ ∂ − ∂ ∂ = =      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ +      ∂ ∂ − ∂ ∂ = ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ + ∂ ∂ − ∂ ∂ = =− ∂ ∂ +− ∂ ∂ +− ∂ ∂ =×∇ −−−==× y F x F x F z F z F y F zyx y F x F z x F z F y z F y F x z F x z F y y F z y F x x F y x F z xFyF z zFxF y yFzF x xFyFzFxFyFzF zyx FFF
  2. 2. 2) Principio de Cavalieri. Determinar por el principio de Cavalieri el volumen de un toro de revolución caracterizado por los radios r y R. SOLUCIÓN Expresado en términos más pedestres, un toro es una argolla que se obtiene haciendo rotar un disco de radio r alrededor de un punto situado a una distancia R del centro del disco. En la figura apreciamos las vistas transversal y superior del toro. Si cortamos transversalmente el toro a una cierta altura z, la sección será una corona circular de los siguientes radios mayor y menor: radio mayor: 22 zrR −+ radio menor: 22 zrR −− (Dejamos al alumno demostrar esto usando el teorema de Pitágoras y el hecho de que el radio del disco que rotando genera el toro es r.) El área de la corona circular vendrá dada entonces por: ( ) ( ) ( ) 22 2 22 2 222 menor 2 mayor 4 zrRzrRzrRRRA −=    −−−−+=−= πππ Y ésta es el área transversal que se obtiene seccionando el toro con un plano a una altura z. Por el principio de Cavalieri, para obtener el volumen del toro tenemos que integrar estas áreas transversales entre el mínimo z y el máximo z, los cuales valores se puede ver en la figura que son -r y r: 221 2 22 tabla 22 2sen 22 44 Rr r zr zr z RdzzrRV r r r r πππ =      +−=−= − − ↓ − ∫ R R + rR - r R R + rR - r 22 zrR −− 22 zrR −+ 22 zrR −− 22 zrR −+ x x z z y r r -r
  3. 3. 3) Calcular ∫∫D yx dxdyee 2 , donde D es la región limitada por el cuadrado 1=+ yx . SOLUCIÓN Desarrollando la expresión 1=+ yx para los cuatro cuadrantes (esto es, reemplazando los valores absolutos de x y y por x, -x, y o -y según corresponda) llegamos a que la región de integración es el cuadrado de la figura. Por lo tanto podemos expresar la integral de la siguiente manera: [ ] [ ] [ ] [ ] 3 2 12 3 21 6 1 3 22 3 2 2 2 2 13 1 2 2 2 1 1 0 23 2 0 1 2 23 2 1 1 0 232 2 1 0 1 223 2 1 1 0 2222 2 12222 0 12 1 1 0 1 1 2 0 1 1 1 2 1 0 1 1 2 0 1 1 1 22 3333 33 22 −−− − − − − − +− − −− + −+− − −−+ −+−−−+ − +− − − + −− +− − − + −− −+−−=      −−++      −−+= =      −−+      +=−+− =−+−= =      +      =+ += ∫∫ ∫∫ ∫∫∫ ∫ ∫∫ ∫ ∫ eeeee e e e ee e e e e ee e dxeedxee dxeeedxeee dx e edx e edydxee dydxeedxdyee x xx x xxxx xxxxxx x x y x x x y x x x yx D x x yxyx 4) Cambio en el orden de integración. Calcular ∫ ∫ 4 0 2 2/ 2 y x dxdye x - y = 1 x + y = 1x - y = -1 x + y = -1 x y 1 1-1 -1
  4. 4. SOLUCIÓN El integrando no reconoce una primitiva de sencilla formulación, sino que la misma debe expresarse mediante series. Para evitar esto, podemos intentar cambiar el orden de integración. Proponemos así: 12 4 2 0 22 0 22 0 2 0 2 2 0 2 0 24 0 2 2/ 2 −===    = == ∫∫ ∫ ∫ ∫∫ ∫ eexdxedxdye dydxedxdye xx x x x x y x x y x 2 1 x 4 x y = 2x x = y/2

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