Revista deybis

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Revista deybis

  1. 1. POLINOMIOS INTERPOLANTES “La pequeña publicación del saber, la cual te facilita tu entendimiento” Llévala siempre con tigo. Revista Clásica del Análisis Numérico. DEYBIS AVENDANO 18.053.663 1
  2. 2. Contenidos en esta Edición. Polinomios Interpolantes. La introducción a la teoría de la interpolación. Tablas de Diferencia. Polinomios Interpolantes, Newton-Gregory, Gauss. Interpolación de Hermite. Polinomio interpolante de Lagrange. Diferencias divididas y la formula general de newton. Aplicación de los métodos numéricos y Resolución de Problemas. Conclusión Final. 2
  3. 3. Interpolación Polinómica. El Problema De La Interpolación consiste en construir una función que pase por los valores conocidos (llamados polos) y utilizar ésta como aproximación de la función primitiva. Para calcular el valor de la función para una abscisa diferente de las conocidas, debemos utilizar otra función que la aproxime y, naturalmente, el valor que obtengamos será una aproximación del valor real. De igual forma puede suceder que sepamos la expresión analítica de la función, pero puede que sea lo suficientemente complicada como para calcular aproximaciones a los valores de la función a partir de otros ya conocidos. Interpolación polinómica. Es cuando se utilizan polinomios como funciones de aproximación. Extrapolación. Se presenta cuando en la abscisa para la que queremos encontrar un valor aproximado de la función se encuentra fuera del mayor intervalo definido por las abscisas de los polos. Tabla De Diferencias. Dados los valores de una función desconocida correspondiente a dichos valores de x, ¿cuál es el comportamiento de la función?; el propósito es determinar dicho comportamiento, con las muestras de los pares de datos (x, f(x)); se encontrará un polinomio que satisfaga un conjunto de puntos seleccionados (xi, f(xi)) donde los valores que aporten el Polinomio y la función se comportan casi de la misma manera, en el intervalo en cuestión. Si se desea encontrar un polinomio que pase a través de los mismos puntos que la función desconocida se puede establecer un sistema de ecuaciones, pero este proceso es un poco engorroso; resulta conveniente arreglar los datos en una tabla con los valores de x en forma ascendente. Además de las columnas para x y para f(x) se deberán tabular las diferencias de los valores funcionales. Cada una de las columnas de la derecha de f(x), 3
  4. 4. se estima o determina calculando las diferencias entre los valores de la columna a su izquierda. La siguiente tabla es una tabla típica de diferencias (ejemplo): x f(x) 0,0 D f(x) D 2f(x) D 3f(x) D 4f(x) 0,000 0,203 0,2 0,203 0,017 0,220 0,4 0,423 0,024 0,041 0,261 0,6 0,684 0,044 0,085 0,346 0,8 1,030 0,052 0,096 0,181 0,527 1,0 0,020 1,557 0,211 0,307 0,488 1,015 1,2 2,572 Polinomio Interpolante de Newton-Gregory. Cuando la función ha sido tabulada, se comporta como un polinomio, se le puede aproximar al polinomio que se le parece. Una forma sencilla de escribir un polinomio que pasa por un conjunto de puntos equiespaciados, es 4
  5. 5. la fórmula del Polinomio Interpolante de Newton-Gregory (en avance y retroceso). Polinomio Interpolante de Gauss. Hay una gran variedad de fórmulas de interpolación además del Método de Newton-Gregory, difieren de la forma de las trayectorias tomadas en la tabla de diferencias; Por ejemplo la fórmula del Polinomio Interpolante de Gauss (en avance y retroceso), donde la trayectoria es en forma de Zig-Zag, es decir los valores desde el punto de partida Xo serán seleccionados en forma de zig-zag. En el caso de la fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia abajo, luego hacia arriba, luego hacia abajo, y así sucesivamente. En fórmula de avance los valores son tomados en forma de zig-zag, iniciando primero hacia arriba, luego hacia abajo, luego hacia arriba, y así sucesivamente. Interpolación De Hermite. Aquí buscamos un polinomio por pedazos Hn(x) que sea cúbico en cada sub intervalo, y que interpole a f(x) y f'(x) en los puntos. La función Hn(x) queda determinada en forma única por estas condiciones y su cálculo requiere de la solución de n sistemas lineales de tamaño 4x4 cada uno. La desventaja de la interpolación de Hermite es que requiere de la disponibilidad de los lo cual no es el caso en muchas en muchas aplicaciones. Interpolación Usando Splines. Los dos tipos de polinomios por pedazos que hemos discutidos hasta ahora tienen la desventaja de que su segunda derivada no es continua en los puntos de interpolación. Se ha observado que en aplicaciones gráficas, el ojo humano es capaz de detectar discontinuidades en la segunda derivada de una función, haciendo que los gráficos con este tipo de funciones no luzcan 5
  6. 6. uniformes. Esto motiva el uso de los splines que son funciones s(x) continúas por pedazos con las siguientes propiedades: 1. s(x) es polinomio cúbico en . 2. existen y son continuas en . 3. s(x) interpola a la función f en los datos. 4. s(x) es continua en el intervalo. Si escribimos, entonces tenemos un total de 4n desconocidas. Las condiciones 2) y 4) nos dan 3(n-1) ecuaciones mientras que de 3) obtenemos n+1 para un total de 4n-3(n-1)-(n+1)=2 grados de libertad. Estos grados de libertad se fijan imponiendo condiciones de frontera adicionales en s(x). Polinomio Interpolante De Lagrange. Para construir un polinomio de grado menor o igual que n que pase por los n+1 puntos: , donde se supone que si i ¹ j. Este Polinomio Pn es la fórmula del Polinomio Interpolante de Lagrange. Esta fórmula si puede aplicarse independientemente del espaciamiento de la tabla, pero tiene el inconveniente de que no se conoce el grado del polinomio. Como no se conoce, se tiene que determinar iterativamente. Se propone un grado, se realiza la interpolación, se propone el siguiente grado se vuelve a interpolar y se compara con algún criterio de convergencia, si se cumple terminamos si no, se repite el procedimiento. 6
  7. 7. Diferencias Divididas Y La fórmula General De Newton. En la aplicación del Polinomio de Interpolación por diferencias divididas de Newton, no es necesario que los datos tabulados sean necesariamente equiespaciados o que los valores deban estar ordenados en forma ascendente. El valor que aporta el polinomio de Newton está sujeto a un error. Nota: El polinomio de Newton en diferencias divididas es entonces: p(x)=f[x0]+(x-x0) f[x0,x1]+ (x-x0)(x-x1) f[x0,x1]+ +(x-x0)(x-x1) (x-xn-1) f[x0,x1, ... , xn]. Polinomios de interpolación de Lagrange. Formula. Aplicación De Los Métodos Numéricos De Interpolación En La Resolución De Problemas. Para datos tabulados en forma equiespaciada o no equiespaciada, a través de una serie de técnicas que antes de la llegada de las computadoras tenían gran utilidad para la interpolación, sin embargo, con fórmulas como las de Newton-Gregory, Gauss, Lagrange, Hermite, Newton, etc., son compatibles con computadoras y debido a las muchas funciones tabulares disponibles, como subrutinas de librerías; dichas fórmulas tienen relevancia en la solución de ecuaciones diferenciales ordinarias. Una gran cantidad de problemas físicos están descritos por ecuaciones diferenciales en las que interviene un operador Laplaciano (la ecuación de Laplace, la ecuación de onda, la ecuación de Schrödinger, etc.). Matemáticamente, estas ecuaciones corresponden a casos particulares del problema de Sturm-Liouville, vale decir, ecuaciones de autovalores para un operador diferencial autoadjunto. No entraremos en los detalles de esta 7
  8. 8. discusión. Sólo diremos que los polinomios de Hermite son un caso particular de soluciones a un problema de Sturm-Liouville. Dichas soluciones forman un conjunto completo y ortogonal, con cierta función de peso. En el caso de familias de polinomios ortogonales, existen relaciones de recurrencia que vinculan cada polinomio con los de grados inmediatamente anterior y posterior, y típicamente poseen una función generatriz, así_ como operadores de subida y de bajada. En los capítulos siguientes encontraremos nuevas familias de polinomios ortogonales. Todos ellos provienen de sendos problemas de Sturm-Liouville, y por tanto no será extraño encontrar las mismas características que hemos identificado en los polinomios de Hermite. 8
  9. 9. Conclusión. Este material es de gran apoyo para el estudiante e investigador que este conociendo los polinomios Interpolantes y con el todos los contenidos mencionados anteriormente, Como escritor de este tema espero que el mismo les sea de gran ayuda y utilidad. Muchas Gracias. El Autor. Polinomios Interpolantes. Segunda edición. Febrero de 2014. Autor: Deybis Avendano C.I. 18.053.663 San Felipe- Edo Yaracuy. Venezuela. 9

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