Matematica financeira cavanha f

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Matematica financeira

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Matematica financeira cavanha f

  1. 1. MATEMATICA FINANCEIRA Guia de Bolso
  2. 2. MATEMATICA FINANCEIRA Guia de Bolso Armando Oscar Cavanha Filho UALITYMARK
  3. 3. Copyright © 1998 by Armando Oscar Cavanha Filho Todos os direitos em iíngua portuguesa reservados á Qualitymark Editora Ltda. É proibida a duplicado ou r e p r o d u j o deste volume, ou de palle do mesmo, sob qualquer meio, sem autorizado expressa da Editora. Direfao Editorial SAIDUL R A H M A N M A H O M E D Produfáo Editorial EQUIPE Q U A L I T Y M A R K Capa EQUIPE Q U A L I T Y M A R K Editorajáo Eletronica UNIONTASK T E C N O L O G I A E SERVIAOS CIP-Brasil. Catalogaipao-na-fonte. Sindicato Nacional dos Editores de Livros, RJ. C371m Cavanha Filho, Armando Oscar Matemática financeira: guia de bolso / Armando Oscar Cavanha Filho. - Rio de Janeiro: Qualitymark Ed., 1998. Supervisao: Eduardo Fortuna. ISBN 85-7303-180-8 1. Matemática financeira. 2. Investimentos - Análise. I. Título. 98-1120 CDD 513.93 CDU 51-7:336 1998 Qualitymark Editora Ltda. Rúa Felipe Camarao, 73 20511-010 - Rio de Janeiro - RJ Tel.: (021) 567-3311/3322 Fax: (021) 204-0687 QualityPhone: 0800-263311 E-Mail: quality@unisys.com.br IMPRESSO NO BRASIL
  4. 4. DEDICATORIA "0 problema comega quando consideramos a verdade inde- penderse de nossa consciéncia." Albert Einstein (Reflexoes filosóficas, pág. 39, Alvorada) Aos meus fllhos Ricardo e Rodrigo. (Abril 98)
  5. 5. APRESENTACÁO Cada vez mais se torna necessário conhecer as bases do cál- culo de viabilidade económica, dos principals mecanismos de comparagáo entre investimentos produtivos. Os proflssionais ligados a empresas, ou aqueles que sao li- beráis, passam a tomar declsóes de investimentos com base téc- nica, reduzindo a chance de ¡nsucesso económico. Esta publicagáo tem a Intengáo de iniciar o interessado ñas questóes da matemática tinanceira e nos principáis criterios de decisáo económica. Neste espago, procura-se dar urna visáo ge- ral e fornecer ferramentas básicas para cálculos do dia-a-dia, relacionados aos critérios de decisáo económica mais usuals.
  6. 6. NOTA DO EDITOR Nem o autor nem a Editora se responsabilizan! pelo acertó ou erro em transagóes comerciáis que tenham porventura toma- do por base os conceitos, fórmulas e software desta publicagáo. Qualquer assunto, ou parte da obra, só pode ser utilizado com a competente observagáo e conferencia por parte de profissional habilitado em Economía ou ciencia correlata. Armando Oscar Cavanha Filho
  7. 7. SUMARIO 1 - INTRODUQÁO 1 2 - PAGAMENTO ÚNICO 5 3 - SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS 8 4 - JUROS 16 5 - SÉRIE NAO-UNIFORME 18 6 - SOFTWARE FIN 2 2 7 - CRITÉRIOS PARA DECISÁO ECONÓMICA 29 8 - CRITÉRIOS PARA DECISAO ECONÓMICA ENVOLVENDO RISCO 43 9 - FORMULARIO 53 REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 57 OUTRAS PUBLICAQOES DISPONÍVEIS 59
  8. 8. Capítulo 1 INTRODUQÁÜ AMatemática Financeira tem base nos conceitos de fluxo monetário, tempo e equivalencia financeira. Trata-se da relagáo entre os valores financetros e o tempo a que tais valores estáo associados. O fluxo monetário caracteriza-se por conviverem, distribui- das na escala de tempo, entradas e saídas de valores monetarios, tantas quantas houver, representando eventos e suas dimensóes financeiras. Isto quer dizer que estáo distribuidos pagamentos e recebimentos ao longo do tempo, que náo podem ser somados, diminuidos, multiplicados ou divididos, sem que se utilizem re- cursos que compensem as distancias entre tais valores na escala de tempo em que se encontram. Com respelto ao TEMPO, pode-se afirmar que náo existe valor monetário isoladamente, mas sempre correlacionado a um determinado tempo ou período. Um valor monetário no- minal hoje é diferente deste mesmo valor nominal daqul a dois anos. Exemplo: Seria o mesmo, em termos económicos, ter $1.000 hoje, e ter $1.000 daqul a cinco anos? Ou ainda, qual o valor que urna pessoa está disposta a pagar hoje, para receber $10.000 daqui a 20 anos?
  9. 9. 14 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO t t e m p o Na escala de tempo sao considerados o momento zero (0), que pode ser a data de inicio de um projeto ou de urna aplicagáo financeira inicial, bem como o tempo final (N), quando finda o projeto ou a aplicagáo. Trata-se de urna sequéncia de períodos iguais, repetidos N vezes. A unidade de medida pode ser qual- quer unidade de tempo, como segundos, minutos, horas, días, semanas, meses, anos, décadas, séculos, etc. Nos cálculos f¡- nanceiros, as unidades mais comuns sao meses e anos. Por equivalencia financeira entende-se que fluxos de valores diferentes, com igual número de períodos ou náo, podem ter o mesmo valor equivalente, ou seja, podem ter a mesma RESPOS- TA FINANCEIRA. Outro conceito, náo menos importante, é o dos JUROS, que representam urna parcela, em valor, referente ao uso de um recur- so monetário deslocado no tempo, remunerando este desloca- mento. A TAXA DE JUROS corresponde ao fator percentual que, aplicado ao valor monetário em questáo, resulta na parcela de juros. Juros ocorrem, de rendimentos de capital, ou advlndos de empréstimos ou investimentos empresariais. Capital é o conjunto de bens á dlsposigáo do sistema econó- mico para uso na capacidade produtiva da natureza (energia, ter-
  10. 10. Matemática Financeira 15 ra, matéria-prima) e do trabalho humano, traduzido para dinhei- ro, o que permite equaiizar as diferentes formas de capital em sistemas comparáveis. Para efeito desta publicagáo, será utilizada a seguinte con- vengo: W 1 / A elxo horizontal = eixo do tempo, de zero (tempo hoje) a N (tempo final) flechas para cima = entradas de valores, valores algé- bricos positivos, receltas flechas para baixo = saídas de valores, valores algé- bricos negativos, despesas P = capital, valor atual, valor hoje, valor no tempo zero, principal S = valor futuro, valor final, montante R = elemento da série uniforme, prestagao, remuneragáo por período
  11. 11. 4 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO N = número de periodos, tempo i = taxa d,e juros por período de capitalizagao (valor deci- mal) ¡% = taxa de'juros por período de capitalizagao (valor per- centual) j = taxa de juros acumulada em um período total N (valor decimal) j% = taxa de juros acumulada em um período total N (valor percentual) As entradas e saídas de valores, receitas e despesas, sao consideradas sempre ao final de cada período citado (final do día, semana, mes, ano, etc.), a menos que o contrário seja citado. Os capitais podem ser do tipo instantáneo (capital em pé) ou i náo-instantáneo (capital deítado). 0 prímeiro se dá em um ponto determinado, e os cálculos sáo feitos pela computagáo discreta dos juros. 0 segundo ocorre quando a receíta ou pagamento se distribuí ao longo do período, como os ganhos de urna loja co- mercial todos os días, quando a unídade de tempo de cálculo é, por exemplo, mensal. Neste, a computagáo dos juros é do tipo continua. Estes doís modelos estáo assocíados á diferenga de como se mede e como o fenómeno ocorre. Esta pubíícagáo náo tem a pretensáo de esgotar o assunto, mas abordar as questóes mais utilizadas da Engenharia Econó- . mica, limitadas á experiencia profesional do autor.
  12. 12. Capítulo 2 PAGAMENTO UNICO marido o fiuxo financeiro é constituido de apenas urna en- V o j t r a d a e urna saída de valores, diz-se que se trata de um sistema de pagamento único. Na figura seguinte está representado, esquemáticamente, um sistema de pagamento único. Há quatro variáveis, que sáo: F?S, N, i. As variáveis encontram-se relacionadas por urna expressao ma- temática de tal forma que, desde que sejam conhecidas tres de- las, pode-se calcular a faltante. S = P x (1 + i)N / K i = taxa de juros/periodo S 0 1 2 3 4 5 ... N x ¥ p tempo V 2.1 - VALOR FUTURO Qual o valor que se obtém la aplicagao de um capital de $100.000 em 12 meses, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mes?
  13. 13. 6 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO S = P ( 1 + i/100) N S = 100.000 x (1 + 1/100)1 2 = 112.682,50 2.2 - VALOR ATUAL Qual o valor que se deve investir hoje para receber $200.000 daqui a 12 meses, sabendo que a taxa de juros é de 2% ao mes? S 200.000 P = T 7 - = 157.698,63 (1 + 2/100) 2.3 - TEMPO DE CAPITALIZARÁ O Qual o tempo necessário para se obter o valor de $200.000, se forem aplicados $100.000, a urna taxa de juros de 3% ao mes? i LOG (S/P) N = LOG (1 + i/100) LOG (200.000/100.000) N = = 23,45 meses LOG (1 + 3 / 1 0 0 )
  14. 14. Matemática Financeira 7 2.4 - TAXA DE JUROS Qual a taxa de juros de um ¡nvestimento em que sao apli- cados $100.000 hoje e se obtém o dobro desse valor após 12 meses? i = (S/P)1 / N - 1 i = (200.000/100.000)1 / 1 2 - 1 = 0,059 = 5,95 % ao mes
  15. 15. Capítulo 3 SERIE UNIFORME DE PAGAMENTOS I corre quando o fluxo financeira é constituido de urna sé- rie de valores iguais, distribuidos ao longo do tempo; sendo a distribuido uniforme e o Intervalo de tempo constante entre os valores consecutivos. Na figura seguinte está representado, esquemáticamente, um sistema de serie uniforme de pagamentos. Há cinco variáveis, que sáo: P ou S, N, i, R. As variáveis encontram-se relacionadas por expressóes matemáticas de tal forma que, desde que sejam conhecidas tres délas, pode-se calcular a quarta. S = - R x [(1 + i) -1] P = - R x [1 - (1 + i)" N / A i = taxa de juros / período S R / j / j / | / | / | 0 1 2 3 4 5 lempo
  16. 16. Matemática Financeira 9 3.1 - FORMACÁO DE CAPITAL Se forem aplicados, mensalmente, $20.000, sendo a taxa de juros de 1% ao mes, qual o valor obtido ao final de um ano? R x [(1 + i/100)N -1] S = i/100 20.000 x[(1 +1/100)12 -1] S = = 253.650,06 1/100 3.2 - VALOR ATUAL Qual o valor, á vista, de um objeto vendido em 12 prestagóes de $20, com a taxa de juros/período de 1%? R x [1 - (1 +Í/100)"N ] P = i/100 20 x [1 - ( 1 +1/100)"1 2 ] P = = 225,10 1/100 3.3 - ELEMENTO DA SERLE Qual a prestagao a ser paga por um empréstimo de $100.000, quando a taxa de juros é de 10% ao mes e o tempo para paga- mento é de 12 meses?
  17. 17. 10 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO P i/100 R = ¡r1 -(1 + i/100)~N 100.000x 10/100 R = 7T— =14.676,33 1 -(1 +10/100) 3.4 - TEMPO DA SÉRH Qual o tempo necessário para se pagar um empréstimo de $100.000, a urna taxa de juros por período de 10% ao mes, sen- do que a prestagáo é de $20.000/mes? LOG [ R / ( R - P x i / 1 0 0 ) l N = LOG (1 + i/100) LOG [20.000 /(20.000 -100.000 x 10/100)1 N = = 7,27 LOG (1 + 10/100) Obs.: nesse cálculo é necessário que R > P x i, ou seja, que c produto do capital pela taxa de juros seja Inferior ao valor de elemento da série. 3,5 - TAXA DE JUROS DA SÉR/I Qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de $100.000. para 12 prestagóes de $20.000 por mes? f (i) = R x 11 - (1 + i)"N ] - P x i
  18. 18. Matemática Financeira 11 a solugáo é o valor de i que anula f(¡) dualmente o valor de i, até que se encontre aquele que anule a fungao implícita apresentada. 1 *f(l) observagóes 10 3627.38 primeira tentativa 20 -2243.13 segunda tentativa 15 1261.85 está entre 10 e 20 18 -744.39 segue aproximando 17 -39.48 16 630.74 16.5 300.22 16.9 29.16 16.95 -5.11 16.93 8.61 16.94 1.75 valor aceitável * I (i) = 20.000 x (1 - (1 + i/100)-'2) -100.000 x i/100
  19. 19. 12 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO O valor de i = 16,94 conduz a fungáo f(i) a valores reduzidos aceltáveis. Programas simples ou planilhas elelrónicas permitem realizar esses cálculos com rapidez e precisáo. 3.6 - TAXA DE JUROS DA SERIE - MÉTODO BAILY Qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de $100.000, para 12 prestagóes de $20.000 por més? Primeiramente calcularse h: h = [(N R/P)A (2/(N + 1 ) ] -1* Substituindo-se h na equacao seguinte: 12 - ( N - 1 ) h ¡ = h 12 - 2 (N - 1 ) h h = [(12 x 20.000/100.000) 3A (2/(12 + 1)1-1=0.1441 12 - (12 - 1 ) 0.1441 ¡ = 0.1441 = 0,1699 1 2 - 2 ( 1 2 - 1 ) 0 . 1 4 4 1 = 16,69% Obtém-se um valor aproximado do resultado correto, muitas ve- zes aceitável, a depender da precisáo que se deseja. 3.7 - SALDO DEVEDOR A serie uniforme de pagamentos pode representar um es- quema de pagamentos de prestagóes para liquidar urna divi- * A significa elevado á potencia.
  20. 20. Matemática Financeira 13 da, dados urna taxa de juros por período e o número de perío- dos. Como calcular a divida após pagos k períodos? valor ao longo do tempo efeito da prestagao paga tempo As linhas Inclinadas sao a acumulagáo da divida ao longo do tempo, enquanto as linhas verticais sao as quedas da divi- da em fungao dos pagamentos. O valor de cada pagamento deve ser superior ao aumento periódico da divida, caso con- trario nao haveria qultagáo da mesma. Asslm a divida D no período k é: P[(1 +Í/100)n -(1 + ¡/100)k] D(k) = Ñ (1+1/100) -1 Qual o saldo devedor no terceiro mes de um esquema de pagamentos para flnanciamento de um veículo de valor á vista de $20.000, a serem pagos em 10 meses, taxa de juros de 9% ao mes?
  21. 21. 14 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO P [ ( 1 + i / 1 0 0 ) N - ( 1 + ¡ / 1 0 0 ) k ] D (k ) = Ñ (1 + i / 1 0 0 ) - 1 20.000 [(1 + 0,09)1 ° - (1 +0.09)3 ] D(3)= (1 + 0 , 0 9 ) - 1 D(3)= 15,684,70 Portanto a divida no 3 mes será de 15.684,70. 3.8 - AMORTIZAQÁO DE PRESTACAO A diferenga entre os saldos devedores de dois períodos con- secutivos produz a amortizagáo da divida no período. A(p.p-1) = D(p)-D(p-1) Qual a amortizagáo produzida pelas prestagóes 3 e 4 em um esquema financeira para financiamento de um veículo de valor á vista de $20.000, a serem pagos em 10 meses, taxa de juros de 9% ao mes? P[(1 + i / 1 0 0 ) N - ( 1 +i/100)k ] D(k) = Ñ (1 + i/100)1 - 1 divida no período 3: 20.000[(1+0,09)1 0 - (1+0,09)3 ] D(3) = r (1 + 0,09) - 1
  22. 22. Matemática Financeira 15 D(3)= 15.684,70 divida no período 4: 20.000[(1+0,09)1 °-(1 +0,09)4 ] D(4) = (1 + 0 , 0 9 ) - 1 D(4)= 1.3979,92 A = 15.684,70-13.979,92 = 1.704,77 A amortizagao é de 1.704,77. 3.9 - VALOR PRESENTE DE UMA PERPETUÍDADE Supondo que o tempo tende ao infinito: P = R/i Qual o valor equivalente de uma perpetuídade mensal de $100, sendo i = 0,05? P = 100/0,05 = 2.000 É equivalente receber $2.000 á vista ou $100 por mes, eter- namente.
  23. 23. Capítulo 4 JUROS evem estar explícitas as formas de juros dos sistemas financeiros, se capitalizados de período em período e se aplicados no inicio ou final de cada período de contabilizado. Quando se informa que a divida de um empréstimo é de $100.000 e a taxa de juros é de 10% ao mes, qual a divida após 4 meses? lempo divida juros % aumento 0 100.000 0 0 1 110.000 10.000 10 2 121.000 21.000 21 3 133.100 33.100 33.1 4 146.410 46.410 46.41 A divida será de $146.410, após 4 meses. i% 4 tft A 0 1 2 3 tempo — > j% = [(1 +¡%/100)N-1 1x100
  24. 24. Matemática Financeira 17 4,1 - TAXA ACUMULADA Determinar a taxa de juros acumulada em 12 meses, para urna taxa mensal de 10%. j% = [(1 +I%/100)N -11x100 j % = [(1 + 10/100)1 2 -1] x 100 = 213,84% 4.2 • TAXA POR PERÍODO Seja a taxa de juros acumulada em um ano de 440%, qual a taxa mensal? ¡% = [(J /100 + 1)( 1 / N ) -1] x 100 i% = [(440 /100 + 1)( 1 / 1 2 ) -1] x 100 = 15,08% 4.3 - TEMPO DA SERIE Qual o tempo necessárlo para que haja equivalencia entre urna taxa de juros acumulada de 213,8% e urna taxa de juros por perí- odo de 10%? LOG (J/100+1) N = LOG (i/100 + 1) LOG (213,8/100 +1) N = = 11,99 [LOG (10/100+ 1)]
  25. 25. Capítulo 5 SÉRIE NAO-UNIFORME Nem sempre o fluxo financeira se dá por séries unifor- mes de pagamentos, ou seja, por valores iguais distribuidos em intervalos de tempos idénticos. Ñas situagoes mais comuns do mercado sao encontradas sé- ries náo-uniformes, ou melhor, com valores diferentes colocados em tempos distintos (intervalos irregulares). / / entradas . / / saídas 7 5.1 - VALOR EQUIVALENTE NO TEMPO Dado o seguinte fluxo, qual o seu valor equivalente no décimo período de tempo, sendo a taxa de juros de 10% por período? tempo 1 2 4 7 10 valor 10 20 10 30 5
  26. 26. Matemática Financeira 19 tempo valor equivalencia no tempo 10 1 10 23.57 2 20 42.87 4 10 17.71 7 30 39.93 10 5 5 soma=129.09 A solugao indicada compoe-se da transferencia de cada par- cela para a sua equivalente no período 10, através de: P{10) = P x (1 +10/100)( 1 ( M ) (sendo P o valor da parcela e t o tempo indexado desta par- cela) Cada valor é deslocado, através da díferenga de número de períodos entre onde se encontra e para onde deverá ir, com base na taxa de juros. Quando todas as parcelas estáo indexadas ao período desejado, podem ser somadas algébricamente, resul- tando em apenas um valor, que equivale á série anteriormente dada. O valor de 129,09, no exemplo, equivale á serie dada. Em um outro fluxo, com entradas e saídas de valores (identifi- cadas através dos sinaís) como apresentado, qual seria o seu valor equivalente, dados a mesma taxa e o mesmo tempo destino 10? tempo 1 2 4 7 10 valor 10 -20 -10 30 -5
  27. 27. 20 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO P(10) = P x (1 + 10/100)( 1 ( M ) tempo valor equivalente tempo 10 1 10 23.57 2 -20 -42.87 4 -10 -17.71 7 30 39.93 10 -5 -5 soma=--2.07 0 valor -2.07 equivale á série dada. 5.2 - TAXA DE JUROS DA SERIE Dados uma série nao-uniforme e um valor presente que equi- vale á série dada, pode-se calcular a taxa de juros que equilibra o sistema. Dada a série: tempo: 1 3 4 7 valor: 20 30 40 100 e sendo o capital (valor presente) igual a $150, qual a taxa de juros? É Importante citar que, para haver solugáo, a soma algébrica dos valores (¡ndependente de juros ou tempo) deve ser superior ao principal (valor presente).
  28. 28. Matemática Financeira 2 1 20 + 30 + 40 + 100 = 190 deve ser maior que 150 por tentativas tempo 1.00 3.00 4.00 7.00 valor 20.00 30.00 40.00 100.00 soma f(¡) para i = 10 18.18 22.54 27.32 51.32 119.36 f(i) para i = 20 16.67 17.36 19.29 27.91 81.23 f(¡) para i = 5 19.05 25.92 32.91 71.07 148.94 f(i) para i = 4 19.23 26.67 34.19 75.99 156.08 f(i) para i = 4,8 19.08 26.06 33.16 72.02 150.33 Portanto, quando i é igual a aproximadamente 4,8%, a fungáo se aproxima do valor 150 e atinge o seu objetivo.
  29. 29. Capítulo 6 SOFTWARE FIN INSTALACÁO Para instalar o programa FIN for WINDOWS, basta colocar o disco 1 no drive disponível, dentro do ambiente WINDOWS, selecionar o arquivo INSTAL (SETUP) e ordenar sua exe- cugáo. UTIUZAQÁO Após instalado, o programa FIN se apresentará com a seguinte identificagáo no ambiente WINDOWS: Após Instalado e selecionado o programa para ser executado, a tela seguinte se apresentará (para usuarios náo cadastrados):
  30. 30. Matemática Financeira 23 F U L L N A M E » • S E C R E T C O D E = If you are not a registered user, the program will run with restrictions. Registration procedures: l ^ s e n d an E M A I L to: uno@biosys.net with your full name, i 2=wait tor an E M A I L with your secret code to use the full version. | S H A R E W A R E : U S $ 25 author: Armando Oscar Cavanha Filho phone 0 2 1 - 4 3 1 - 2 1 0 9 Brazil G O . . . ¡ EXIT j System Requirements - minimum = S V G A resolution (B00x60ü) Pressionar o comando GO... para iniciar o programa. FIN Statistical I PRjyJlS'J
  31. 31. 24 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO Há tres segmentos na tela, ¡ndependentes, que tratam de: PAGAMENTO ÚNICO, segmento mais á esquerda. SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS, segmento central. FLUXO NÁO-UNIFORME, segmento mais á direita. 6.1 - PAGAMENTO ÚNICO Há quatro campos de dados, dos quais 3 deles devem ser preenchidos, na busca do faltante. E X E M P L O S : 1- Qual o valor que se obtém da aplicagao de 100.000, em 12 meses, sendo a taxa de juros igual a 1% ao mes? (preencher os campos com os dados fornecidos e pressi- onar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 112.682,50 2- Qual o valor que se deve Investir hoje para receber 200.000 daqui a 12 meses, sabendo-se que a taxa de juros é de 2% ao mes (capitalizagáo mes a mes)? (preencher os campos com os dados fornecidos e pressi- onar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 157.698,63
  32. 32. Matemática Financeira 25 3- Qual o tempo necessário para se obter o valor de 200.000, se forem aplicados 100.000, a urna taxa de juros de 3% ao mes (capitalizagao mes a mes)? (preencher os campos com os dados fornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 23,45 meses 4- Qual a taxa de juros de um investimento em que sao aplicados 100.000 hoje e se obtém o dobro deste capi- tal, após 12 meses (capitalizagao mes a mes)? (preencher os campos com os dados fornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 5,95% ao mes 6.2 - SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS Há quatro campos de dados, dos quais 3 deles devem ser preenchidos, na busca do faltante. EXEMPLOS: 1- Qual a prestagao a ser paga por um empréstimo de 100.000, quando a taxa de juros é de 10% ao mes e o tempo para pagamento é de 12 meses? (preencher os campos com os dados fornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta)
  33. 33. 26 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO Resposta: 14.676,33 2- Qual o valor, á vista, de um objeto vendido em 12 pres- tagóes de 20, com a taxa de juros/período de 1%? (preencher os campos com os dados tornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 225,10 3- Qual o tempo necessário para se pagar um empréstimo de 100.000, a urna taxa de juros/período de 10% ao mes, sendo que a prestagáo é de 20.000/més? (preencher os campos com os dados tornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 7,27 períodos 4- Qual a taxa de juros cobrada em um empréstimo de 100.000, para 12 prestagóes de -20.000 por mes? (preencher os campos com os dados tornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: I = 16,94% ao mes 6.3 - FLUXO NAO-UNIFORME Há tres campos de dados, e o maior deles, tempo +- valor, deve obrígatoriamente ser preenchido com a série tempo valor disponível. Deixa-se em branco o campo da taxa de juros, para
  34. 34. Matemática Financeira 27 que a mesma seja calculada, ou o campo do valor presente, para que este seja encontrado. 0 campo tempo +- valor deve ter a forma segulnte: 1 333 2 555 6 -234 ou seja, o lempo do fluxo, seguido de no mínimo um espago em branco, e o valor conjugado. Como exemplo, na primeira linha poderiam estar no primeiro mes um recebimento de 333, e na terceira linha um pagamento de -234. EXEMPLOS: 1- Dado o segulnte fluxo, qual o seu valor equivalente no décimo período de tempo, sendo a taxa de juros de 10%? tempo: 1 2 4 7 10 valor: 10 20 10 30 5 após o cálculo do valor presente de 49,7724, no segmento da direita, captura-se este valor com CTRL + INS, repassa-se ao campo valor presente do segmento da esquerda e busca-se o valor futuro para o décimo mes: (preencher os campos com os dados fornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 129,1
  35. 35. 28 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO 2- Dada a série: tempo: 1 3 4 7 valor: 20 30 40 100 e sendo o capital 150, qual a taxa de juros? (preencher os campos com os dados tornecidos e pressio- nar COMPUTE para obter a resposta) Resposta: 5% ao período Observagao: dentro do fluxo, caso haja valores de sentido contrário aos demais, utilizar o sinal - (negativo) antecedendo o valor (sem espago entre o sinal e o valor). Há duas ferramentas de auxilio, urna estatística e urna calcu- ladora. É possível calcular urna projegáo de dados na ferramenta estatística ou realizar um cálculo pela calculadora, retornando com o resultado para o programa FIN, seguindo-se com os cál- culos financeiros.
  36. 36. Capítulo 7 CRITÉRIOS PARA DECISÁO ECONÓMICA Análise Económica de Projetos pode ser vista como sen- do o conjunto de Comparagóes entre Alternativas Econó- micas. Os projetos possuem um lado técnico, de como fazer o produto (ou servigo) e um lado económico, que traduz em valores as diversas grandezas físicas transformadas (valoradas) para di- nheiro. É necessário reconhecer claramente as opgóes, descreven- do-as, separadamente, sendo que as decisóes sao baseadas ñas respostas esperadas de cada projeto. Mesmo quando se tem, aparentemente, um único projeto, já existe urna alternativa natu- ral, que é a comparagáo com o custo do dinheiro. É importante que se verifique qual o ponto de vista que pre- valece na decisáo, se do governo, dos consumidores, dos ag- onistas, etc., urna vez que a depender do enfoque que se dé ao projeto, suas respostas tém efeitos diferentes e abordagens dis- tintas. Um termo largamente utilizado na análise de projetos é o da Taxa Mínima de Atratividade, que é a taxa de juros mínima aceita para que o projeto se torne viável (sob o ponto de vista escolhido), normalmente Igual ou superior ao custo do di- nheiro no mercado. Os recursos a serem aplicados em proje-
  37. 37. 30 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO tos, próprios ou de terceiros, como nao sao suficientes para todos os projetos físicos existentes (é o que se verifica na prática das empresas), devem contemplar apenas uma parte de uma cartelra de projetos, hierarquizados por algum dos crltérios existentes, de forma a permitir aos decisores a esco- Iha dos projetos que melhor se ajustem as suas expectativas. Caso permanegam existindo projetos ainda com taxas de atratividade superiores ao custo do dinheiro, há a opgáo de obter financíamelo para estes projetos, ou alavancar pareen- as de negocio, dividindo investimentos e receitas. Busca-se transformar as diversas torgas e características de um projeto em valores monetárlos, em uma mesma base de tem- po ou taxa, permltindo as comparagoes entre as dlferengas. Isto implica levar em conta ou náo os custos passados de um projeto, pois, em alguns casos, o que já se gastou náo possui valor resi- dual algum (é como se fosse Iniciar o projeto todo novamente, a partir do nada) e, asslm, podendo náo fazer parte do cálculo. É preciso analisar caso a caso, visto que em outras ocasioes os valores passados fazem parte do contexto de análise e podem ser considerados na avaliagáo (custos da informagáo, inclusive "do que náo se deve fazer"). Adicionalmente, as questóes de financiamento e captagáo de recursos náo sáo comumente colocadas em mesmos fluxos que os projetos de realizagáo física (produtlvos), pois podem induzir á perda de nitidez e náo ser corretamente avaliados (a sua viabi- lldade propria).
  38. 38. Matemática Financeira 3 1 Os critérios de decisáo económica e as medidas de lucrativi- dade devem permitir comparagóes entre projetos, através do "rankeamento" dos mesmos, baseados nos valores representati- vos indexados ao tempo. Os projetos devem ter, fundamental- mente, alinhamento estratégico com as orientagóes da corporagáo, coisa de difícil transformagáo em números, mas de aderéncia indispensável. Na composigáo das carteiras de projetos, priorizadas, de- vem ser contemplados os grupos de projetos de curto prazo e os de longo prazo. A idéia é que o equilibrio planejado entre os doís grupos permita que os de curto prazo possam servir de alavanca e sustentagáo dos fluxos de manutengáo financeira e sobrevivencia da corporagáo, visando propiciar a sustentagáo dos projetos de longo prazo (possivelmente de rentabilidades superiores). 7.1 - TEMPO DE RETORNO DE INVESTIMENTO Tempo de Retorno de um investimento é a quantidade de tem- po necessária para que o sistema recupere o seu investimento e retorne o fluxo de caixa cumulativo para positivo. É considerado comum aquele projeto que necesslta de um investimento inicial para comegar a atividade, antes de qualquer receita, portanto ca- racterizando um fluxo inicial negativo. O Tempo de Retorno é um indicador que náo pode ser utiliza- do isoladamente, pois náo caracteriza o projeto em si, sua mag-
  39. 39. 32 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO nitude ou sua rentabilidade. Porém, tem interesse na informagáo do tempo de recuperado de capital, varlável considerada funda- mental na anállse de carteira de projetos de Investlmento. Exemplo: Um investlmento em urna fábrica requer dispendi- os Iniciáis altos e, após os primeiros meses de trabalho, o fluxo de calxa é positivo e o capital é retornado ao Investidor. Ver a tabela e o gráfico seguintes: tempo 1 2 3 4 5 6 7 8 ponto$ -130 100 90 90 80 70 50 40 acumu$ -130 -30 60 150 230 300 350 390
  40. 40. Matemática Financeira 33 As barras representam os valores a cada mes, enquanío a linha representa os valores acumulados do fluxo. Por volta do 2,5 mes, nesse exemplo, apresenta-se o ponto de ¡nversáo do fluxo, passando de negativo acumulado para positivo acumulado. Este valor de 2,5 meses é chamado de tempo de retorno de investí- mentó (fluxo puro, sem juros). Para dois fluxos com todas as demais características iguais, aquele com o menor tempo de retorno é mais atrativo económi- camente. 7.2 - RAZAO LUCRO/ÍNVESTIMENTO Outra medigáo comum, mas também limitada, é a relagáo entre o lucro e o investimento. Há duas formas utilizadas para este indicador: Receitas-lnvestimentos razao lucro/investimento = Investimentos e Receitas "razao receíta/investimento = . Investimentos Em ambos os casos, tomam-se os valores acumulados de 'eceitas e investimentos, somando-os algébricamente, sem le- M em conta a indexagáo de tempo e taxa de juros. Portanto, * Também chamado de alavancagem de projetos.
  41. 41. 34 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO trata-se de uma simpllticagáo, mas bastante utilizada na prática do mundo das empresas. Esse indicador, conjugado com o an- terior (tempo de retorno de ¡nvestimento), dá uma ¡déla do es- tado do sistema, sua atrativldade comparativa simplificada. Exemplo: Uma empresa oferece os seguintes números para análise: projeto 1 projeto 2 Receila 185.000 235.000 Investimento 60.000 85.000 Razóes calculadas: projeto 1 projeto 2 lucro/ investimento 2,08 1,76 receita / investimento 3,08 2,76 Para efelto de comparagáo simplificada, apenas com este in- dicador, o projeto 1 produz efeitos mais atratlvos do que o di número 2. Em uma comparagáo com a Física, esse indicador pos- suiria semelhangas com o rendlmento mecánico, que envolví a razáo entre as potencias produzida e fornecida; ou ainda, nt rendimento energético, que compara a energia recebida e í energía cedida para o trabalho mecánico.
  42. 42. Matemática Financeira 35 7 . 3 - TAXA INTERNA DE RETORNO A Taxa Interna de Retorno é definida como sendo a taxa de juros que, aplicada a um fluxo de caixa (serie náo-uniforme), anu- la a resultante, ou melhor, equilibra todas as entradas e todas as saídas de valor indexadas ao tempo. A metodología de cálculo está apresentada no capítulo ante- rior - Taxa de Juros da Série, onde se levam em conta a contribui- gao de cada valor da série (positivo ou negativo) e a distáncia temporal em que esse valor está aplicado. O cálculo é feito por "tentativa e erro", já que a variável / é implícita, e náo há urna maneira direta que possa ser utilizada (urna equagáo, por exemplo) para se obter a resposta procurada. Urna forma de facilitar a solugáo do problema é utilizar um gráfi- co de apoio, como o mostrado a seguir: Soma algébrica do fluxo de caixa (com juros)
  43. 43. 36 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO O conceito da taxa interna de retorno pressupóe que todo o fluxo de caixa reoebldo será reinvestido no mesmo fluxo, em ci- clo fechado. Urna característica importante do método da taxa interna de retorno é que nao há vinculagáo aos tamanhos e valores do fluxo, ou seja, é indiferente se sáo milhares ou milhóes de unidades monetárias. Há casos em que nao há solugáo e há casos em que há múl- tiplas taxas que anulam o fluxo. Para a primeira situagáo, enqua- dram-se aqueles fluxos que: • só possuem valores negativos de caixa (só se paga, sem ter receita); ou aqueles que só há receitas (só se tem receitas, sem investimentos); • quando a soma algébrica das receitas é menor do que o valor do investlmento (as receitas nao sáo suficientes para pagar o investimento). O valor da taxa interna de retorno é expresso em % ao período (exemplo: 5% ao mes), e é normal se aceitar projetos em que esta taxa é superior á taxa mínima de atratividade, ou por vezes, compara-se com o custo do dinheiro no mercado. Exemplo: Urna empresa está prestes a adquirir um novo equi- pamento para a sua linha de produgáo, no sentido de ampliar a
  44. 44. Matemática Financeira 37 oferta de produtos ao mercado, com o custo inicial de $1.500.000,00, sendo o seu valor residual de $390.000,00, ao final de 10 anos. A compra poderá proporcionar um aumento de receitas conforme a tabela a seguir: ano valor (mil) 1 222 4 188 7 155 10 111 2 200 5 177 8 144 3 199 6 166 9 133 i% i% i% ano Receita + compra total 10 5 6,1 0 -1500 -1500 -1500 -1500 -1500 1 222 222 201,82 211,43 209,24 2 200 200 165,29 181,41 177,66 3 199 199 149,51 171,90 166,61 4 188 188 128.41 154,67 148,35 5 177 177 109,90 138,68 131,64 6 166 166 93,70 123,87 116,36 7 155 155 79.54 110,16 102,41 8 144 144 67,18 97,46 89,67 9 133 133 56,40 85,73 78,06 10 111 390 501 193,16 307,57 277,13 total -255.09 82,89 -2,87
  45. 45. 38 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO Utilizando-se o método de tentativas e erros, da mesma for- ma que no capítulo anterior para cálculo da Taxa de Juros de Fluxo náo-uniforme, utilizando-se uma estimativa inicial de 10% ao ano, converge-se para a taxa (suficientemente aproximada) de 6% ao ano, que anula o fluxo. Se esse valor for superior á taxa mínima de atratividade, o projeto torna-se viável. 7.4 - VALOR A TUAL A partir de uma taxa de juros estabelecida (taxa minima de atratividade, taxa de mercado, etc.), calcula-se o VPL como o apresentado no capitulo anterior - Valor Equivalente no Tempo, sendo que o fluxo é transferido para o tempo zero. Se o resultado for positivo, o projeto é económicamente atra- tivo. Exemplo: Um empresário está dísposto a investir em um projeto que seja rentável e Ihe sáo apresentadas duas opgóes de investimento, a seguir discriminadas. Pergunta-se qual a mais atrativa e se há alguma que náo seja viável económica- mente. A - compra de um equipamento de manufatura de brinque- dos, prego de $100.000,00, receita mensal (já retirados os custos) de $15.000,00, valor residual do equipamento igual a zero e taxa mínima de atratividade 2% ao ano, tempo de 8 anos.
  46. 46. Matemática Financeira 39 A lempo valor valor total descontado 0 -100.000 0 -100.000 -100.000.00 1 15.000 15.000 14.705,88 2 15 000 15.000 14.417,53 3 15.000 15,000 14.134,84 4 15.000 15 000 13.857,68 5 15.000 15.000 13,585,96 6 15.000 15.000 13.319,57 7 15.000 15.000 13.058.40 8 15.000 15.000 12.802.36 V P U 9.882,22 B - investimento inicial de $10.000,00, a receber $3.000,00 por ano, durante 8 anos, taxa mínima de atratividade 2% ao ano. B tempo valor valor lotal descontado 0 -10.000 0 10.000 -10.000.00 1 3.000 3.000 2.941.18 2 3.000 3.000 2.883.51 3 3.000 3.000 2.826.97 4 3.000 3.000 2.771.54 5 3.000 3.000 2.717.19 6 3 000 3.000 2.66391 7 3.000 3.000 2.611.68 8 3.000 3.000 2.560.47 V P U 11.976.44
  47. 47. 40 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO Apesar de os valores envolvidos no projeto A serem de maior grandeza, o Valor Atual (Valor Equivalente no Tempo Zero) do projeto B é maior (A = $9.882,22 contra B = $11.976,44). Am- bos sao atrativos, porém B é o melhor entre os apresentados, sob o ponto de vista do valor atual. 7.5 - CUSTO ANUAL Levando-se em conta todas as entradas e saídas de valores de um determinado fluxo náo-uniforme, pode-se converté-lo em um fluxo uniforme, permitindo a comparagáo entre alternativas. Deve-se levar em conta a necessidade de ambos os fluxos terem as duragóes idénticas, ou melhor, os tempos totais de flu- xos em comparagao devem ser os mesmos. Exemplo: Na compra de um apartamento há, no mesmo predio, duas oportunidades, sendo que o tempo para o pagamento de qualquer das opgóes é de 15 anos. A opgáo 1 requer um paga- mento Inicial de $50.000,00 e 15 prestagóes mensais de $1.000,00, com 2 intermediárias de $5.000,00, no 5s e 10a anos. A opgáo 2 custa $72.000,00 á vista. Os imóveis sao idénticos, e a escolha é simplesmente económica. A taxa mínima de atratividade é de 3% ao ano.
  48. 48. Matemática Financeira 41 1 ano valor valor valor total desc anual 0 -50000 0 0 -50.000 -50.000 1 -1.000 0 -1.000 -971 -5.861 2 -1.000 0 -1.000 -943 -5.861 3 -1.000 0 -1.000 -915 -5.861 4 -1.000 0 -1.000 -888 -5.861 5 -1.000 -5.000 -6.000 -5.176 -5.861 6 -1.000 0 -1.000 -837 -5.861 7 -1.000 0 -1.000 -813 -5.861 8 -1.000 0 -1.000 -789 -5.861 9 -1.000 0 -1.000 -766 -5.861 10 -1.000 -5.000 -6.000 -4.465 -5.861 11 -1.000 0 -1.000 -722 -5.861 12 -1.000 0 -1.000 -701 -5.861 13 -1.000 0 -1.000 -681 -5.861 14 -1.000 0 -1.000 -661 -5.861 15 -1.000 0 -1.000 -642 -5.861 -69.971 Obs.: A coluna desc é calculada transferido o total do período com base na taxa oferecida. A coluna anual é calculada como no capítulo anterior, Elemento da Série, dado o somatório dos valores (-69.971) e a taxa de juros.
  49. 49. 54 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO 2 ano valor anual 0 -72.000 1 -6.031 2 -6.031 3 -6.031 4 -6.031 5 -6.031 6 -6.031 7 -6.031 8 -6.031 9 -6.031 10 -6.031 11 -6.031 12 -6.031 13 -6.031 14 -6.031 15 -6.031 0 custo anual da opgao 2 é maior do que o da opgao 1, sendo mais atrativa a primeira apresentada, sob o ponto de vista do custo/período.
  50. 50. Capítulo 8 CRITERIOS PARA DECISÁO ECONÓMICA ENVOLVENDO RISCO 8,1 • VALOR MATEMÁTICO ESPERADO - VALOR ATUAL Alé este ponto, todas as questóes tratadas nesta publicagáo náo levavam em conta o fator Risco. As medidas de lucratividade, como base de decisáo económica entre alternativas, podem ou náo levar em conta o Risco. Este deve estar explícito, e o sistema recebe tratamento distinto quando ele é citado. Pode-se entender como: RISCO, a chance ou probabilldade de ocorréncia de um even- to (o evento de realizar-se um pagamento, ou de acontecer urna receita de urna produgáo ou venda, etc.). INCERTEZA, a magnitude desse evento, caso venha a ocorrer (o valor da receita perdida ou náo paga, o valor do pagamento executado ou náo realizado, etc.). Os tipos de riscos envolvidos em urna série dr pagamentos e recebimentos podem ser classificados assim: 1 - A receita ou pagamento náo aparece completo, mas par- cial, apesar de se dar no tempo estipulado.
  51. 51. 44 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO 2 - A receita ou pagamento aparece completo, mas em tem- po diferente do acordado (posterior, ...). 3 - A receita ou pagamento acontece de forma incompleta e em tempo defasado do estipulado. 4 - A taxa de juros sofre perturbares nao previstas, no que tange ao que foi estipulado. O assunto Análise de Viabilidade Económica, levando em conta o risco, é urna matéria especial, visto ser de extrema abrangéncia e por se aproximar dos casos comuns do dia- a-dia. Nesta publicagáo, seráo tratados os casos 1, 2 e 3, de forma simplificada, de modo a introduzir o conceito de ris- co, sem contudo se ter a pretensáo de exaurir o tema (há diversas técnicas e métodos, como o Valor Esperado, Teoria da Preferencia, etc., discutidos em maior profundidade, dis- poníveis em diversas publlcagóes especializadas). As estimativas de produgáo, prego, mercado, feitas no mo- mento em que se elabora um EVTE - Estudo de Viabilidade Técnico-Económica - (NPV, VPL, ...), sao variáveis, visto que se trata de previsao, expectativa de ocorréncia. Como se pode saber, de antemáo, que seráo vendidas 500 unidades de um produto, a $2.000 cada, nos 10 primeiros meses de atuagáo? E o concorrente? E os produtos de mais tecnologia que pode- ráo aparecer? Ou, por outro lado, e o concorrente que Irá que- brar e abrir mais mercado para a nossa produgáo?
  52. 52. Matemática Financeira 45 O conceito do Valor Esperado de um evento (a receita ou o pagamento) consiste na combinagáo da probabilldade da ocor- réncia multiplicada pela dimensáo da variável, ou, de outra for- ma, na multlplicagáo da probabilldade de ocorréncia da receita ou pagamento pelo valor deste evento. Os valores positivos sao reservados para as receitas, enquanto os negativos, para os pa- gamentos. O Valor Esperado de uma alternativa de decisáo é a soma algébrica dos valores esperados de cada evento dependente do fluxo considerado. Como exemplo, para uma moeda que se arremessa para o alto e as alternativas sao cara e coroa, Imaginando que se ganhe $2.000 se der cara e $1.000 se der coroa, a aposta em cara sugere que: probabilldade x valor = valor esperado cara: 50% x 2.000 = 1.000 coroa: 50% x -1.000 = -500 resultado: 1.000 + (-500) = 500 Esta anállse, de forma simples, náo induz confianga ao declsor, pois, se houver apenas uma jogada, náo há ¡ndicagáo de Vitoria. Este conceito fica mais bem compreendido quando há sucessi- vas tentativas e passa a prevalecer o maior valor de resposta da hlpótese "cara", apesar das iguals chances de 50% entre "cara" e "coroa".
  53. 53. 46 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO O gráfico abaixo apresenta urna simulagáo em planilha ele- trónica, gerando números aleatorios e calculando o Valor Espe- rado. Acumulando os VE, obtém-se, típicamente, urna curva cres- cente.
  54. 54. Matemática Financeira 47 jogada resultado (aleatório) probabllidade valor valor esperado acumulado 1 1 0.5 2.000 1.000 1.000 2 0 0.5 -1.000 -500 500 3 1 0.5 2.000 1.000 1.500 4 0 0.5 -1.000 -500 1.000 5 0 0.5 -1.000 -500 500 6 0 0.5 -1.000 -500 0 7 0 0.5 -1.000 -500 -500 8 1 0.5 2000 1.000 500 9 1 0.5 2000 1.000 1.500 10 1 0.5 2.000 1000 2.500 11 1 05 2.000 1.000 3.500 12 1 0.5 2.000 1.000 4.500 13 0.5 -1.000 -500 4.000 14 1 0.5 2.000 1000 5.000 15 1 0.5 2.000 1.000 6.000 16 1 0.5 2000 1.000 7.000 17 1 0.5 2.000 1.000 8.000 18 0 0.5 -1.000 -500 7.500 19 0 0.5 -1.000 -500 7.000 20 0 0.5 -1.000 -500 6.500 A segunda coluna da planilha "resultado (aleatorio)" apre- senta urna geragáo de números aleatorios entre 0 e 1, sendo que valores maiores ou Iguais a 0,5 produzlram o termo 1, e valores menores que 0,5 produzlram os termos 0. Para cada termo 1, a
  55. 55. 60 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO coluna "valor" é gerada com o valor 2.000, e para cada termo 0, com o valor -1.000. A coluna "valor esperado" é o resultado da multiplicagáo da coluna "probabilldade" pela coluna "valor". Anallsando o exemplo acima, urna ou duas jogadas po- dem resultar em valor acumulado negativo mas, com a passa- gem dos eventos, há urna tendencia em acumularem-se valo- res positivos. Neste ponto vale a pena observar que, analogamente ao exemplo da moeda, para análise de decisóes económicas en- volvendo o risco, aparece a idéia de cartelra de projetos, per- m i t i d o que, mesmo com a perda em um ou dois deles, a acumulado final se dé positiva. Adicionalmente, como todos os projetos náo sáo simultáneos, aparece a idéia do longo prazo, para que ocorra o fenómeno da acumulagáo, como no exemplo da moeda. Os recursos náo sáo infinitos, assim sur- ge a idéia da carteira hierarquizada de projetos, e critérios de selegáo dos mesmos, com limite de recursos. Esta otimizagáo de urna carteira, nem sempre simples, pode causar diferentes tipos de ordenamento de projetos, variando-se apenas o limi- te de recursos total para o investimento. Para cada limite esta- blecido para a carteira de projetos, existe urna composigáo otimizada diferente, portanto náo se tratando de simples reti- rada e acréscimo de itens á carteira. Transportando as idéias apresentadas para fluxos de entradas e saídas em investímentos, adaptando um fluxo de caixa conven- cional (sem risco) para um fluxo probabílístico, tem-se:
  56. 56. Matemática Financeira 49 VALOR _ VALOR PROBABILIDADE ESPERADO '" BÁSICO DE OCORRÉNCIA P ^ | r r p ^ R R R R R ^ PP Os valores P e R sao os vetores representativos das entra- das e saídas de valor convencional, ou seja, sem levar em con- ta o risco. Os valores PP e RR sao os valores reduzidos de suas dimensóes pelo efeito do risco aplicado, ou seja, sao os valo- res matemáticos esperados de cada evento (valor x probabill- dade de ocorréncia). Exemplo: Um empresário está dlsposto a investir em um projeto rentável e Ihe sáo apresentadas duas opgóes, a seguir discriminadas. Pergunta-se qual a mais atrativa e se há alguma que náo seja viável.
  57. 57. 50 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO A - compra de um equipamento de manufatura de brinque- dos, prego de $100.000,00, receita mensal estimada (já retirados os custos) de $15.000,00, sendo a probabili- dade de receber a totalidade do valor em cada período de 88%, valor residual do equipamento igual a zero e taxa mínima de atratividade 2% ao ano, tempo de 8 anos. A valor valor prob % total descontado - 1 0 0 . 0 0 0 0 1 - 1 0 0 . 0 0 0 - 1 0 0 . 0 0 0 , 0 0 15.000 0,88 13.200 12.941,18 15.000 0,88 13.200 12.687,43 15.000 0,88 13.200 12.438,65 15.000 0,88 13.200 12.194,76 15.000 0,88 13.200 11.955,65 15.000 0,88 13.200 11.721,22 15.000 0,88 13.200 11.491,39 V P L = - 1 4 . 5 6 9 , 7 2 B - investimento inicial de $10.000,00, a receber $3.000,00 por ano, durante 8 anos, probabilidade de receber a to- talidade da receita a cada período reduzida de 7%/perí- odo, taxa mínima de atratividade 2% ao ano.
  58. 58. Matemática Financeira 51 tempo valor valor prob% total descontado 1 -10.000 0 1 -10.000 -10.000,00 2 3.000 0,93 2.790 2.735,29 3 3.000 0,86 2.580 2.479,82 4 3.000 0,79 2.370 2.233,30 5 3.000 0,72 2.160 1.995,51 6 3.000 0,65 1.950 1.766,18 7 3.000 0,58 1.740 1.545.07 8 3.000 0.51 1.530 1.331.96 V P L = 4.087,12 Apesar de os valores envolvidos no projeto A serem de maior grandeza, o Valor Atual (Valor Equivalente no Tempo Zero) do projeto B é maior. O projeto A náo é atrativo, porém B possui VPL positivo e é atrativo económicamente. A única variável que náo se considera como alvo da proba- bilidade é a taxa de retorno (taxa de juros), uma vez que náo há sentido em se dizer que uma taxa de juros multiplicada pela probabilldade resulta em uma taxa esperada de retorno. Os problemas que ocorrem envolvendo probabilidades sáo tratados de forma a substituir receitas ou pagamentos pelos seus respectivos valores esperados, utilizando-se os méto- dos do capítulo anterior (valor presente, ciisto anual, etc.).
  59. 59. 52 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO O assunto possui varias outras abordagens, que náo seráo tratadas nesta pubiicagáo, incluindo Análise por Árvores de Deci- sáo, Teoria das Preferencias, Estimativa de Probabilidades, Téc- nicas de Slmulagáo, etc., disponíveis em artigos especializados.
  60. 60. Capítulo 9 FORMULARIO PAGAMENTO ÚNICO valor futuro S = P x ( 1 + i )N valor atual S P ~ ( 1 + ¡ ) N tempo de capitalizagao L O G ( S / P ) N = LOG ( 1 + i ) taxa de juros i = ( S / P ) 1 / N - 1
  61. 61. 54 ARMANDO 0 . CAVANHA FILHO SÉRIE UNIFORME DE PAGAMENTOS formagáo de capital R x [ ( 1 + i )N -1 ] S - ¡ valor atual R x [1 - ( 1 -t i )"N ] P - i elemento da sérle P i i - d + i ) - N tempo da serie LOG [R /( R - P x i)] Ntempo da serie LOG ( 1 + i ) taxa de juros da série f ( i ) = R [ 1 - ( 1 + i ) ] " N - P I taxa de juros da série Baily h = í ( N R / P ) A [ 2 / ( N + 1 ) ] } - 1 12 - (N - 1 ) h i - h 12 - 2 ( N - 1 ) h saldo devedor no período k P[(1 + ¡)N-(1 + l)k l D(k) = ( 1 + i ) N - 1 amortizagao de prestagao A(p, p-1) = D ( p ) - D ( p - 1 ) perpetuidade P = R / i
  62. 62. Matemática Financeira 5 5 J U R O S taxa acumulada j % = [(1 + i%/100)N -1 ] x 100 taxa por período i% = [(j%/100+1)( 1 / N ) -1]x100 tempo da série LOG ( j % / 1 0 0 + 1 ) N = LOG ( i % / 1 0 0 + 1)
  63. 63. REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS 1. Geraldo Hess, José Luiz Marques, L.C. Rocha Paes, Abelardo Puccini, Engenharia Económica. 2. Frank Aires Jr, Matemática Financeira, McGraw-Hill do Bra- sil, 1979. 3. Remo Mannarino, introdujo á Engenharia Económica. Edi- tora Campus. 4. William B. Riley, Jr and Austin H. Montgomery, Jr., Guide to Computer-assisted Investment Analysis, McGraw-Hill. 5. Mario Braga, Matemática Financeira, Fundagao da Univer- sidade Federal do Paraná. 6. J.J. da Serra Costa, Tópicos Especiáis em Matemática Fi- nanceira, Editora Interciéncia. 7. Joáo Lopes de Albuquerque Montenegro, Engenharia Eco- nómica, Vozes. 8. Lon Poole, Pratical Basic Programs, Osborne/McGraw-Hill.
  64. 64. OUTRAS PUBLICACOES DISPONÍVEIS QUAL 1.1 - ISHIKAWA CAUSE-AND-EFFECT DIAGRAM f^np. | lolyn? EJZ [ ~!inlensity [ ¡«Heel ^ >de Energía da ( PARfc"!O j J LisíJ T ~ Lfiikl pré-operagfin •fj 4J B FOR SVGA MODE OR GREAIER Input Ihu ello1 name in the onn liox Inpu Software QUAL for WINDOWS, ferramenta de QUALIDADE TOTAL, com diagrama de peixe (Ishlkawa) e Pareto, permitlndo análise de casos de forma sistémica. Útil para organizar idéias e obter prioridades de agáo, com comprometimento dos agentes. A apresentagáo com o diagrama de PARETO permite obter dire- tamente do software os pontos mais sensíveis a serem trabaja- dos. US$25
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