Sistemas Lineales

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aqui encontraras lo que es un sistema lineal

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Sistemas Lineales

  1. 1. Sistemas Lineales http://www.fiec.espol.edu.ec
  2. 2. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Requerimientos para la Linealidad </li></ul><ul><li>Pruebas Prácticas de Linealidad </li></ul><ul><li>Propiedades Especiales </li></ul><ul><li>Superposición </li></ul><ul><li>Decomposición </li></ul>
  3. 3. Introducción <ul><li>En la naturaleza existen muchos tipos de sistemas que desearíamos analizar </li></ul><ul><li>Afortunadamente la mayoría de esos sistemas caen dentro de una clasificación </li></ul><ul><li>Esa clasificación es la de sistemas lineales </li></ul>
  4. 4. Introducción <ul><li>Los sistemas lineales se rigen por un conjunto de propiedades que facilitan su estudio y análisis </li></ul><ul><li>Los sistemas no lineales son mucho más difíciles de analizar </li></ul><ul><li>Es importante saber cuando un sistema se clasifica como sistema lineal </li></ul>
  5. 5. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Los requerimientos para que una sistema sea lineal son: </li></ul><ul><ul><li>Homogeneidad </li></ul></ul><ul><ul><li>Aditividad </li></ul></ul><ul><ul><li>Invariabilidad en el tiempo </li></ul></ul>
  6. 6. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Homogeneidad </li></ul><ul><ul><li>Decimos que un sistema es homogéneo cuando un cambio en la amplitud de la señal de entrada produce una variación proporcional en la señal de salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Si una señal de entrada x[n] produce una señal de salida y[n], una señal de entrada kx[n] dara lugar a una señal ky[n] </li></ul></ul>
  7. 7. Requerimientos de Linealidad Si Entonces
  8. 8. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Ejemplo: una resistencia es un sistema homogéneo con respecto a la corriente </li></ul><ul><ul><li>Señal de entrada: voltaje aplicado </li></ul></ul><ul><ul><li>Señal de salida: intensidad de corriente </li></ul></ul><ul><li>Si duplicamos el voltaje entonces duplicamos también la corriente </li></ul><ul><li>No es homogéneo con respecto a la potencia </li></ul>
  9. 9. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Aditividad </li></ul><ul><ul><li>Un sistema es aditivo cuando la señal a la salida es igual a la suma de las salidas generadas por las diferentes señales de entrada </li></ul></ul><ul><ul><li>Si x 1 [n] produce y 1 [n] y x 2 [n] produce y 2 [n] entonces x 1 [n]+x 2 [n] produce y 1 [n]+y 2 [n] </li></ul></ul>
  10. 10. Requerimientos de Linealidad Si y Entonces
  11. 11. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><ul><li>El teléfono es aditivo, porque si dos personas hablan, del otro extremo se puede distinguir las dos voces por separado </li></ul></ul><ul><ul><li>No es aditiva la radio, porque al mezclar la portadora con la señal que queremos transmitir, se funden de tal manera que queda solamente una señal </li></ul></ul>
  12. 12. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Invariabilidad en el tiempo </li></ul><ul><ul><li>Significa que mover la señal de entrada en el tiempo produce un movimiento idéntico en la señal de salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Si x[n] produce y[n] entonces x[n + t] produce y[n + t] </li></ul></ul>
  13. 13. Requerimientos de Linealidad Si Entonces
  14. 14. Requerimientos de Linealidad <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><ul><li>Si decimos “hola” en el telefono, la otra persona siempre escuchara “hola”, sin importar a que hora del día lo diga </li></ul></ul>
  15. 15. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Requerimientos para la Linealidad </li></ul><ul><li>Pruebas Prácticas de Linealidad </li></ul><ul><li>Propiedades Especiales </li></ul><ul><li>Superposición </li></ul><ul><li>Decomposición </li></ul>
  16. 16. Pruebas de Linealidad <ul><li>Matemáticamente para probar que un sistema es lineal debemos asegurarnos de que: </li></ul><ul><ul><li>Es homogéneo </li></ul></ul><ul><ul><li>Es aditivo </li></ul></ul><ul><ul><li>Es invariable en el tiempo </li></ul></ul>
  17. 17. Pruebas de Linealidad <ul><li>Pero en la práctica, es muy difícil probar en un sistema del cual no conocemos el funcionamiento </li></ul><ul><li>Por eso usamos otras pruebas </li></ul><ul><ul><li>Linealidad estática </li></ul></ul><ul><ul><li>Fidelidad sinusoidal </li></ul></ul>
  18. 18. Pruebas de Linealidad <ul><li>Linealidad Estática </li></ul><ul><ul><li>La linealidad estática solo significa que la señal de salida no es más que la señal de entrada multiplicada por una constante </li></ul></ul><ul><ul><li>Graficamos para varios valores de entrada los valores que obtenemos a la salida </li></ul></ul><ul><ul><li>Ese gráfico debe ser una línea </li></ul></ul>
  19. 19. Pruebas de Linealidad <ul><li>Linealidad Estática </li></ul>
  20. 20. Pruebas de Linealidad <ul><li>Linealidad Estática </li></ul>
  21. 21. Pruebas de Linealidad <ul><li>Fidelidad sinusoidal </li></ul><ul><ul><li>Si la entrada de un sistema lineal es una onda sinusoidal, la salida será también una onda sinusoidal con la misma frecuencia </li></ul></ul><ul><ul><li>Pueden diferir en amplitud y fase </li></ul></ul><ul><ul><li>Solo es válido para señales sinusoidales </li></ul></ul>
  22. 22. Pruebas de Linealidad <ul><li>Fidelidad sinusoidal </li></ul>Sistema Lineal
  23. 23. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Requerimientos para la Linealidad </li></ul><ul><li>Pruebas Prácticas de Linealidad </li></ul><ul><li>Propiedades Especiales </li></ul><ul><li>Superposición </li></ul><ul><li>Decomposición </li></ul>
  24. 24. Propiedades Especiales <ul><li>La Linealidad es Conmutativa </li></ul><ul><ul><li>Si colocamos dos sistemas en cascada, si los dos sistemas son lineales, el sistema total será también lineal </li></ul></ul><ul><ul><li>Podemos intercambiar el orden de los sistemas sin que esto afecte al sistema total </li></ul></ul>
  25. 25. Propiedades Especiales Si Entonces
  26. 26. Propiedades Especiales <ul><li>De tal manera un sistema continuará siendo lineal si todos sus componentes son lineales y las operaciones realizadas entre ellos son solamente de adición </li></ul><ul><li>No importa que tan complejo sea el sistema ni cuantas entradas o salidas tenga </li></ul>
  27. 27. Propiedades Especiales
  28. 28. Propiedades Especiales <ul><li>La multiplicación puede ser lineal o no, dependiendo que multipliquemos </li></ul><ul><li>Señal * constante = lineal </li></ul><ul><li>Señal * Señal = no lineal </li></ul>Lineal No Lineal
  29. 29. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Requerimientos para la Linealidad </li></ul><ul><li>Pruebas Prácticas de Linealidad </li></ul><ul><li>Propiedades Especiales </li></ul><ul><li>Superposición </li></ul><ul><li>Decomposición </li></ul>
  30. 30. Superposición <ul><li>En un sistema lineal la única manera de combinar señales es escalandolas (multiplicar las señales por constantes) y después sumándolas </li></ul><ul><li>El proceso de combinar señales a través del escalado y la suma se conoce como Síntesis </li></ul>
  31. 31. Superposición <ul><li>La Descomposición es la operación inversa </li></ul><ul><li>Una señal se puede dividir en dos o mas componentes que la forman </li></ul><ul><li>Es más complejo que la síntesis porque hay muchas maneras de descomponer señales </li></ul>
  32. 32. Superposición + + Síntesis Decomp.
  33. 33. Superposición <ul><li>Superposición es la estrategia con que podemos analizar sistemas y señales </li></ul><ul><li>Si una señal de entrada x[n], que produce una señal de salida y[n] la descomponemos en señales más simples x 0 [n], x 1 [n], x 2 [n],... </li></ul><ul><li>Y hacemos pasar cada una de estas componentes por el sistema obteniendo y 0 [n], y 1 [n], y 2 [n],... </li></ul><ul><li>Sintetizando estas señales obtenemos y[n] </li></ul>
  34. 34. Superposición Sistema Lineal
  35. 35. Superposición
  36. 36. Superposición <ul><li>La señal de salida obtenida sintetizando las componentes es igual a la obtenida pasando la señal de entrada original por el sistema </li></ul><ul><li>En vez de tratar de comprender como se comporta el sistema para señales complicadas, las dividimos en señales sencillas y sumamos sus respuestas </li></ul>
  37. 37. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Introducción </li></ul><ul><li>Requerimientos para la Linealidad </li></ul><ul><li>Pruebas Prácticas de Linealidad </li></ul><ul><li>Propiedades Especiales </li></ul><ul><li>Superposición </li></ul><ul><li>Decomposición </li></ul>
  38. 38. Decomposición <ul><li>Ha varios métodos para realizar la descomposición </li></ul><ul><ul><li>En impulsos </li></ul></ul><ul><ul><li>En pasos </li></ul></ul><ul><ul><li>Par/Impar </li></ul></ul><ul><ul><li>Entrelazada </li></ul></ul><ul><ul><li>Fourier </li></ul></ul>
  39. 39. Decomposición <ul><li>En impulsos: </li></ul><ul><ul><li>Divide la señal de N muestras en igual número de señales, cada una con una muestra diferente </li></ul></ul><ul><ul><li>Es examinar la señal una muestra por vez </li></ul></ul><ul><ul><li>Si sabemos como el sistema responde a un impulso, podemos calcular como responde para cualquier señal </li></ul></ul>
  40. 40. Decomposición
  41. 41. Decomposición <ul><li>En pasos: </li></ul><ul><ul><li>Muy parecida a la por impulsos, pero descomponemos la señal en funciones escalera </li></ul></ul><ul><ul><li>Estas funciones escaleras tiene un valor de cambio de x[k] - x[k-1] </li></ul></ul><ul><ul><li>Sirve para describir como cambia una señal </li></ul></ul>
  42. 42. Decomposición
  43. 43. Descomposición <ul><li>Par/Impar </li></ul><ul><ul><li>Dividimos una señal en sus muestras en dos componentes, una con simetría impar y otra con simetría par </li></ul></ul>
  44. 44. Descomposición
  45. 45. Descomposición <ul><li>Entrelazada </li></ul><ul><ul><li>Aquí simplemente dividimos la señal en dos componentes, uno con las muestras pares y otro con las impares </li></ul></ul><ul><ul><li>Puede parecer sencillo pero es el fundamente del cálculo de la FFT </li></ul></ul><ul><ul><li>Cada componente tendra N/2 muestras </li></ul></ul>
  46. 46. Descomposición
  47. 47. Descomposición <ul><li>Fourier </li></ul><ul><ul><li>Una señal de N muestras puede ser descompuesta en N+2 señales, la mitad cosenos y la mitad senos. </li></ul></ul><ul><ul><li>La componente n completa n ciclos en N muestras </li></ul></ul><ul><ul><li>Es la base para la transformada de Fourier </li></ul></ul><ul><ul><li>Muy importante por la fidelidad sinusoidal </li></ul></ul>
  48. 48. Descomposición

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