Propiedades De La Convolucion

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Propiedades De La Convolucion

  1. 1. Propiedades de la Convolución http://www.fiec.espol.edu.ec
  2. 2. ¿Qué veremos hoy? <ul><li>Propiedades matemáticas </li></ul><ul><li>Respuesta a Impulso Comunes </li></ul><ul><li>Señales causales y no causales </li></ul><ul><li>Teorema del limite central </li></ul><ul><li>Correlación </li></ul><ul><li>Tiempo de cálculo de la convolución </li></ul>
  3. 3. Propiedades Matemáticas <ul><li>Propiedad Conmutativa </li></ul>Si Entonces
  4. 4. Propiedades Matemáticas <ul><li>Propiedad Asociativa </li></ul>Si Entonces Tambien
  5. 5. Propiedades Matemáticas <ul><li>Propiedad Distributiva </li></ul>Si Entonces
  6. 6. Propiedades Matemáticas <ul><li>Propiedad Lineal </li></ul><ul><ul><li>Si algún proceso lineal afecta la entrada, el mismo proceso lineal afectará a la salida </li></ul></ul>Si Entonces
  7. 7. Respuestas a Impulso comunes <ul><li>Función Delta </li></ul><ul><ul><li>Es la identidad de la operación convolución: </li></ul></ul><ul><ul><li>Es lo mismo que el 0 para la adición y el 1 para la multiplicación </li></ul></ul><ul><ul><li>Esta función es muy importante cuando lo que queremos es transmitir o almacenar una señal </li></ul></ul>
  8. 8. Identidad
  9. 9. Respuestas a Impulso comunes <ul><li>Amplificador o Atenuador </li></ul><ul><ul><li>Cuando usamos a la función delta multiplicada por una constante </li></ul></ul><ul><ul><li>Si k > 1 entonces es un amplificador, si 0<k<1 entonces es un atenuador </li></ul></ul>
  10. 10. Amplificador, Atenuador
  11. 11. Respuestas a Impulso comunes <ul><li>Desplazador </li></ul><ul><ul><li>Si desplazamos a la función delta, obtenemos una señal igual a lo original pero desplazada en el tiempo </li></ul></ul><ul><ul><li>Esto pude considerarse como un retardo o “delay” o un avance dependiendo del desplazamiento </li></ul></ul>
  12. 12. Desplazador
  13. 13. Respuestas a Impulso comunes <ul><li>Eco </li></ul><ul><ul><li>Si usamos una función delta más una función delta desplazada y escalada obtenemos un sistema de eco </li></ul></ul><ul><ul><li>Muchas veces deseamos eliminar ese eco </li></ul></ul>
  14. 14. Eco
  15. 15. Respuestas a Impulso Comunes <ul><li>Primera Diferencia (Derivación) </li></ul>
  16. 16. Respuestas a Impulso Comunes <ul><li>Suma continua (Integración) </li></ul>
  17. 17. Respuestas a Impulso Comunes Suma continua Primera diferencia
  18. 18. Repuestas a Impulso Comunes <ul><li>Filtro pasa bajos </li></ul><ul><ul><li>Los filtros pasa bajos estan formados por un grupo de puntos adyacentes positivos </li></ul></ul><ul><ul><li>Eso produce un promediado de la señal </li></ul></ul><ul><ul><li>Como vimos en clases pasadas puede haber varios tipos de filtros </li></ul></ul>
  19. 19. Repuestas a Impulso Comunes
  20. 20. Respuestas a Impulso Comunes <ul><li>Filtros pasa altos </li></ul><ul><ul><li>Se construyen modificando filtros pasa bajos </li></ul></ul><ul><ul><li>Queremos la señal menos las frecuencias bajas </li></ul></ul><ul><ul><li>Pasamos toda la señal (función delta) y le restamos las frecuencias bajas (filtro pasa bajo) </li></ul></ul>
  21. 21. Respuestas a Impulso Comunes
  22. 22. Señales causales y no causales <ul><li>En un sistema analógico, el sistema responde a excitaciones en la entrada </li></ul><ul><li>Si aplicamos una señal de entrada, obtendremos una salida </li></ul><ul><li>Esto es una relación causa-efecto </li></ul><ul><li>Esto no es necesariamente cierto en un computador </li></ul>
  23. 23. Señales causales y no causales <ul><li>En un computador la señal de entrada es un arreglo de números y la señal de salida también </li></ul><ul><li>Nada nos impide que una muestra en la entrada pueda afectar a valores previos de la salida </li></ul>
  24. 24. Señales causales y no causales <ul><li>Diferenciamos una señal causal de uno no causal cuando todos los valores con número de muestra negativa son iguales a 0 </li></ul><ul><li>Si no son iguales a 0, decimos que la señal es no causal </li></ul>
  25. 25. Señales causales y no causales Causal No Causal
  26. 26. Teorema del Limite Central <ul><li>Nos dice que cuando una señal es el resultado de la suma de varios procesos aleatorios, esa señal tendrá una distribución normal (Gausiana) </li></ul><ul><li>Ej: Ruido Termal, Sección de un rayo laser, Agujeros en un tablero de dardos </li></ul>
  27. 27. Teorema del Limite Central <ul><li>Esto tiene una aplicación en convolución </li></ul><ul><li>Si una señal parecida a pulsos es convolucionada con ella mismas varias veces, una campana de Gauss es producida </li></ul><ul><li>El ancho de la campana de gauss es igual al pulso original multiplicada por el número de convoluciones </li></ul>
  28. 28. Teorema del Limite Central
  29. 29. Correlación <ul><li>Estudiemos el funcionamiento del radar </li></ul><ul><li>Un pulso es generado y transmitido por una antena transmisora </li></ul><ul><li>Cuando esta señal golpea algún objeto, es reflejada </li></ul><ul><li>Una antena receptora captura todos los pulsos reflejados y calcula la distancia </li></ul>
  30. 31. Correlación <ul><li>La señal reflejada consistirá de: </li></ul><ul><ul><li>Pulsos reflejados </li></ul></ul><ul><ul><li>Ruidos </li></ul></ul><ul><li>Es difícil a simple vista diferenciar el uno del otro </li></ul><ul><li>Para poder identificar el pulso utilizamos una técnica llamada correlación </li></ul>
  31. 32. Correlación <ul><li>La correlación es muy parecida a la convolución </li></ul><ul><li>La señal producida se llama la correlacion cruzada (cross-correlation) </li></ul><ul><li>Si la señal se correlaciona consigo misma se llama autocorrelación </li></ul>
  32. 33. Correlación <ul><li>Se calcula con la “maquina de correlación” </li></ul><ul><li>Esta máquina va midiendo como tramos de la señal se parecen a la señal deseada </li></ul>
  33. 34. Correlación
  34. 35. Correlación <ul><li>Se parece a la máquina de convolución excepto porque la señal dentro no esta volteada </li></ul><ul><li>De tal manera que correlacionar es simplemente hacer una convolución con la segunda señal volteada </li></ul>
  35. 36. Velocidad de Cálculo <ul><li>Escribir un programa para convolución se escribe en pocas líneas de código </li></ul><ul><li>Ejecutarlo en cambio no es eficiente </li></ul><ul><li>Debemos multiplicar dos números y sumarlos en un acumulador </li></ul><ul><li>Debemos realizar NxM de estas operaciones </li></ul>
  36. 37. Velocidad de Cálculo <ul><li>Para una señal de 10000 muestras convolucionada con una de 100 muestras requiere aproximadamente 1 segundo </li></ul><ul><li>Para una señal de un millón de muestras requerirá 100 segundos, más de un minuto </li></ul><ul><li>Esto es demasiado tiempo si deseamos utilizarlo en tiempo real </li></ul>
  37. 38. Velocidad de Cálculo <ul><li>En la realidad utilizamos otros métodos para calcular eficientemente la convolución </li></ul><ul><li>Por ejemplo la FFT convolution que aplica el concepto e transformada de Fourier </li></ul>
  38. 39. Proxima Clase <ul><li>Viernes 20 de Junio: </li></ul><ul><ul><li>Transformada Discreta de Fourier </li></ul></ul><ul><li>Tarea </li></ul><ul><ul><li>Realizar un algoritmo para realizar la correlación de dos matrices </li></ul></ul>

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