Triangulos Rectangulos

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Triangulos Rectangulos

  1. 1. TriángulosRectángulos<br />Prof. Carmen Batiz<br />UGHS<br />
  2. 2. Llena la tablasiguiente con la informaciónque se teofrecerámásadelante.<br />
  3. 3. B<br />A<br />D<br />C<br />
  4. 4. 1. ¿Quépuedesobservar de los resultados de la tabla? 2. ¿Quépuedesconcluir en cuanto a la relaciónquetienen los lados de de un triángulorectángulo ?<br />
  5. 5. Teorema de Pitágoras<br />a2 + b2 = c2<br />En un triángulo rectángulo, la suma de los cuadrados de los lados es igual al cuadrado de la hipotenusa<br />
  6. 6. El tamaño de un televisorrectángulares dado por la diagonal de de la pantalla. ¿Cuáles el tamaño de la pantalla?<br /> 16.2 “<br /> 21.6”<br />
  7. 7. La altura de un rectángulomide 21.6 y suanchomide 16.2. Halla la diagonal del rectángulo.<br />a²+ b²= c²<br />16.2 “ (16.2)2 + (21.6) = c²<br /> 26 2.44 + 466.56 = c²<br /> 729 = c²<br /> 21.6” c = 27<br />
  8. 8. La diagonal de un rectángulomide 20”. Un lado del rectángulomide 12 “. Halla la medida del otrolado del rectánglo.<br />
  9. 9. La diagonal de un rectángulomide 20”. Un lado del rectángulomide 12 “. Halla la medida del otrolado del rectánglo.<br />a² + b²= c²<br />(12²+ b²= (20) ²<br />+ b²= 400<br />b²= 400 – 144<br />b²= 256<br /> b = 16<br />12”<br />20”<br />
  10. 10. Los lados de un tríangulo son dados. Determinasiéstosforman un triángulorectángulo. <br />15, 25, 20<br />8, 13, 10 <br />
  11. 11. Los lados de un tríangulo son dados. Determinasiéstosforman un triángulorectángulo. <br />15, 25, 20<br />8, 13, 10 <br /> a2 + b2 = c2<br /> (15)²+ (20) ²= (25) ²<br /> 225 + 400 = 625<br /> 625 = 625<br />(8) ²+ (10) ²= (13) ²<br /> 64 + 100 = 169<br /> 164 ≠ 169 <br />
  12. 12. Teorema de triángulosrectángulossemejantes<br />Si la altura esta trazada en la hipotenusa de un triángulo rectángulo, entonces los dos ángulos formados son semejantes a la figura del triángulo original y a cada otra.<br />C<br />∆ABC ~ ∆ACD ~∆CBD<br />A<br />B<br />D<br />
  13. 13. Teorema de triángulosrectángulossemejantes<br />En el ∆ ABC , AB es la hipotenusa y los lados son AC y CB.<br />En el ∆ ACD , AC es la hipotenusa y los lados son CD y AD.<br />En el ∆ ACD , CB es la hipotenusa y los lados son CD y DB.<br />C<br />A<br />B<br />D<br />
  14. 14. Teorema de triángulosrectángulossemejantes<br />Por lo tanto cada uno de éstos lados son correspondientes y se pueden expresar como: <br /> Si ∆ ABC ~ ∆ CBD, entonces AB = CB<br /> BC BD<br />C<br />A<br />B<br />D<br />
  15. 15. Ejemplos: <br />Completa: <br /> 1. QS = ?<br /> RS PS <br /> 2. QS = ?<br /> QR QP<br /> 3. RQ = PR<br /> RS ?<br />P<br />S<br />Q<br />R<br />
  16. 16. contestaciones: <br />Completa: <br /> 1. QS = ? RS<br /> RS PS <br /> 2. QS = ? PR<br /> QR QP<br /> 3. RQ = PRRS<br /> RS ?<br />P<br />S<br />Q<br />R<br />
  17. 17. ∆MNQ, XY es la altura de la hipotenusa de MN. Identifica los triángulossemejantes.<br />M<br />Y<br />N<br />X<br />
  18. 18. ∆MNX, XY es la altura de la hipotenusa de MN. Identifica los triángulossemejantes.<br />M<br />Y<br />∆ MNX ~ ∆MXY ~ ∆NXY<br />N<br />X<br />
  19. 19. Ejercicio<br />L<br />e<br />d<br />a<br />b<br />c<br />N<br />M<br />P<br />Utiliza el diagramaparacompletarcadaproporción.<br />b = a 2. b + c = d<br /> a ? d ?<br />? = e 4. d = b + c<br /> e c ? a<br />
  20. 20. Contestaciones<br />L<br />e<br />d<br />a<br />b<br />c<br />N<br />M<br />P<br />Utiliza el diagramaparacompletarcadaproporción.<br />b = a 2. b + c = d<br /> a ? d ?<br />? = d 4. d = b + c<br /> e c ? a<br />b + c<br />c<br />e<br />b<br />
  21. 21. Encuentra la medida de x, y y z<br />A<br />6<br />D<br />y<br />10<br />x<br />z<br />B<br />c<br />
  22. 22. Encuentra la medida de x, y y z<br />A<br />6<br />D<br />y<br />10<br />x<br />∆ABC ~ ∆ACD ~ ∆BCD<br />POR LO TANTO:<br />AB = AC16 = Y Y²= 96 <br />AC AD Y 6 Y = = <br />(6) ²+ X²= 96<br />+ X²= 96<br />X²= 96- 36<br />X = 60<br />z<br />B<br />c<br />X2 + (10) ²= Z²<br />60 + 100 = Z²<br /> = Z²<br />Z = =<br />
  23. 23. Utiliza el diagramaparahallar AO, OC.<br />y<br />C<br />A<br />x<br />O<br />
  24. 24. Utiliza el diagramaparahallar AO, OC.<br />y<br />C<br />AO = 10 unidades<br />En cambio OC se busca con la f’ormula de distancia:<br />A<br />x<br />O<br />
  25. 25. Halla la distancia entre los puntos (-4,6) y ( 0,3)<br />
  26. 26. Halla la distancia entre los puntos (-4,6) y ( 0,3)<br />5<br /> = ( x₂ – x₁)² + (y₂–y₁) 2<br /> = (0-(-4)²+ (3 -6) ²<br /> = 16 + 9<br /> = 85<br />
  27. 27. Relaciones de TriángulosRectángulos<br />Triángulo 45⁰- 45⁰- 90⁰<br />en estecaso el triánguloesisósceles.<br />Triángulo 30⁰-60⁰-90⁰<br />45⁰<br />a<br />45⁰<br />a<br />30⁰<br />2a<br />60⁰<br />a<br />
  28. 28. 45º,45º, 90º<br />Si los dos ángulos de un triángulo rectángulo rectángulo miden 45º, entonces la hipotenusa mide veces la medida de sus lados.<br />45º<br />a<br />45º<br />a<br />
  29. 29. EJEMPLO 1:<br />Halla la medida de la hipotenusa.<br />45º<br />10<br />45º<br />10<br />
  30. 30. Contestación 1:<br />Halla la medida de la hipotenusa.<br />45º<br />10<br />45º<br />10<br />
  31. 31. EJEMPLO 2:<br />Halla la medida de los catetos.<br />8<br />
  32. 32. Contestación 2:<br />Halla la medida de los catetos.<br />8<br />
  33. 33. 30º,60º, 90º<br />Si los dos ángulos de un triángulo rectángulo miden 30º y 60º entonces la hipotenusa mide dos veces la medida del lado corto y la medida del otro lado es veces la medida del lado corto.<br />30º<br />a<br />2a<br />60º<br />
  34. 34. Ejercicio 3<br />Halla la medida de los catetos.<br />30º<br />15<br />60º<br />
  35. 35. Contestación 3<br />Halla la medida de los catetos.<br />El lado más corto es la mitad de la hipotenusa.<br />30º<br />7.5<br />15<br />El lado más largo es veces el lado corto. <br />60º<br />
  36. 36. Ejercicio 4<br />Halla la medida de el cateto y la hipotenusa.<br />8<br />30º<br />60º<br />
  37. 37. Contestación 4:<br />Halla la medida de el cateto y la hipotenusa.<br />8<br />30º<br />La hipotenusa es el doble del lado corto, que es 8. Por lo tanto la hipotenusa mide 16.<br />16<br />60º<br />El otro lado es veces el lado corto. <br />
  38. 38. Halla la medida exacta deconocida de cadalado del triangulo.<br /> 2.<br />3. 4. <br />A<br />E<br />5 2<br />45⁰<br />7<br />D<br />B<br />C<br />F<br />Q<br />B<br />60⁰<br />60⁰<br />5<br />30⁰<br />P<br />30⁰<br />A<br />C<br />7<br />R<br />
  39. 39. Halla la medida exacta deconocida de cadalado del triángulo.<br /> 2.<br />3. 4. <br />A<br />E<br />45⁰<br />7<br />D<br />B<br />C<br />F<br />Q<br />B<br />60⁰<br />60⁰<br />5<br />30⁰<br />P<br />30⁰<br />A<br />C<br />7<br />R<br />
  40. 40. TRIGONOMETRÍA<br />sen A = opuesto<br />hipotenusa<br />cos A = adyacente<br />hipotenusa<br /> tan A = opuesto<br />adyacente<br />Para recordarte: sohcahtoa<br />B<br />A<br />C<br />
  41. 41. Encuentra los valores de las variables en cadafigura.<br />1. 2. <br />6 3<br />z<br />15⁰<br />12<br />x⁰<br />20<br />
  42. 42. Encuentra los valores de las variables en cadafigura.<br />1. 2. <br />6 3<br />z<br />15⁰<br />12<br />x⁰<br />20<br />La informaciónqueestandandoesopuesto e hipotenusapor lo tantoutilizaremos:<br />sen x = 6 3 = 3<br /> 12 2<br /> x = 60⁰<br />La informaciónqueestandandoesadyacente y opuestopor lo tantoutilizaremos:<br /> tan 15⁰ = 20 = <br /> z <br /> z = 20 tan 15⁰ <br /> z ≈ 5.4<br />

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