Funciones CuadráTicas

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Funciones CuadráTicas

  1. 1. Funciones Cuadráticas Por: Profa. Carmen Batiz UGHS
  2. 2. Índice <ul><li>Propiedades de las funciones cuadráticas </li></ul><ul><li>Solución de una función cuadrática </li></ul><ul><li>Formas para hallar una solución </li></ul>
  3. 3. Propiedades de una ecuación cuadrática <ul><li>Forma estándar cuadrática: </li></ul><ul><li>ax 2 + bx + c = 0 ; a ≠ 0 </li></ul><ul><li>donde x es una variable y a , b y c son constantes. </li></ul>
  4. 4. Propiedades de una ecuación cuadrática <ul><li>Forma Vértice: </li></ul><ul><li>y = a(x – h) 2 + k </li></ul><ul><li>Vértice es el punto más bajo o más alto de la parábola. </li></ul><ul><li>El vértice siempre es: (h, k) </li></ul>
  5. 5. Solución de una ecuación cuadrática <ul><li>La solución de una ecuación cuadrática es lo mismo que hallar los ceros de la ecuación cuadrática. </li></ul><ul><li>Los ceros de una ecuación cuadrática son los puntos donde la parábola intercepta el eje de x. </li></ul>
  6. 6. Formas de hallar la solución de una función cuadrática <ul><ul><li>Factorización </li></ul></ul><ul><ul><li>Raíz cuadrada </li></ul></ul><ul><ul><li>Completando al cuadrado </li></ul></ul><ul><ul><li>Fórmula Cuadrática </li></ul></ul>
  7. 7. Hallando la solución por factorización
  8. 8. Ejemplo 1 Halla la solución mediante factorización: x 2 – 8x + 7 = 0 Observemos si hay factores comunes. La otra forma de factorizar un trinomio es por tanteo : ( ___ ____ ) ( _____ _____) Observemos si es cuadrado perfecto. x x Factores de x 2 Factores de 7 que sumado o restado de a -8 -7 -1
  9. 9. Por lo tanto x 2 – 8x + 7 = 0 (x-7) (x-1) = 0 (x-7) = 0 ó (x-1) = 0 Propiedad del producto de cero x = 7 ó x = 1 Esto implica que los ceros de esa parábola son (7,0) y (1,0)
  10. 10. Ejemplo 2 Halla la solución mediante factorización: 6x 2 – 19x – 7 = 0 ( ) ( ) = 0 2x 3x -7 + 1 Verifica que el término del medio sea -19x 2x -21x (2x – 7) = 0 ó (3x + 1) = 0 x = 7/2 ó x = -1/3 Los cero son (3 ½, 0) y (-1/3, 0 )
  11. 11. Ejemplo 3 Halla la solución mediante factorización: x 2 - 6x + 5 = 0 ( ) ( ) = 0 x x - 5 - 1 (x – 5) = 0 ( x – 1 )= 0 x = 5 ó x = 1 Los puntos son (5,0) y ( 1 ,0)
  12. 12. Ejemplo 4 Halla la solución mediante factorización: 2x 2 = 3x 2x 2 - 3x = 0 Igualamos a cero Hay un factor común por lo tanto la factorización sérá: x ( 2x – 3) = 0 x = 0 ó x = 3/2 Los interceptos son: (0,0) y (3/2,0)
  13. 13. Hallando la solución por raíz cuadrada
  14. 14. Solución por raíz cuadrada: Ejemplo 1: 2x 2 – 3 = 0 2x 2 = 3 Despejemos por la variable x 2 = 3/2 Los interceptos son: ( , 0) y ( , 0)
  15. 15. Solución por raíz cuadrada: <ul><li>Ejemplo 2 3x 2 + 27 = 0 </li></ul>3x 2 = -27 x 2 = -27/3 x 2 = -9 Los interceptos son: (3i, 0) y (-3i, 0)
  16. 16. Solución por raíz cuadrada: Ejemplo 3 (x + ½ ) 2 = 5/4 Primero elimina el exponente 2 Ahora elimino el 1/2 Los interceptos son:
  17. 17. Importante: Para resolver por raíz cuadrada la ecuación debe tener dos términos.
  18. 18. Ejercicios: Hoja fotocopiada p. 3
  19. 19. Hallando la solución completando al cuadrado
  20. 20. Repasemos <ul><li>Multiplica mentalmente: </li></ul><ul><li>(x+3) 2 </li></ul><ul><li>(x-4) 2 </li></ul><ul><li>(2x-7) 2 </li></ul><ul><li>(3x+2) 2 </li></ul>
  21. 21. Solución <ul><li>Multiplica mentalmente: </li></ul><ul><li>(x+3) 2 </li></ul><ul><li>(x-4) 2 </li></ul><ul><li>(2x-7) 2 </li></ul><ul><li>(3x+2) 2 </li></ul>x 2 + 6x + 9 x 2 – 8x + 16 4x 2 – 28x + 49 9x 2 + 12x + 4
  22. 22. Generalización: El resultado de la multiplicación mentalmente del cuadrado de un binomio : 1. Siempre será un trinomio 2. El primer y tercer término es el cuadrado del primer y segundo término del binomio. 3. El segundo término es el doble del producto del primer y segundo término del binomio.
  23. 23. Factoriza cada trinomio si es posible <ul><li>x 2 – 12x + 36 </li></ul><ul><li>m 2 + 10m + 25 </li></ul><ul><li>4t 2 – 20t + 25 </li></ul><ul><li>h 2 – 7h + 49 </li></ul><ul><li>y 2 + 14y + 14 </li></ul><ul><li>9 – 6t – t 2 </li></ul>
  24. 24. Solución 1. (x – 6) 2 2. (m + 5) 2 3. (2t – 5) 2 4. No factorizable 5. No factorizable 6. No factorizable
  25. 25. ¿Cómo saber si un trinomio es cuadrado perfecto? 1. El primer y tercer término son cuadrados perfectos y positivos. 2. El segundo término es el doble del producto de un factor de primer y tercer termino del trinomio.
  26. 26. ¿Cómo completar al cuadrado un trinomio? Para completar el cuadrado de un trinomio, se debe obtener el tercer término.
  27. 27. ¿Cómo completar al cuadrado un trinomio? El tercer término se obtiene dividiendo el segundo término por 2 y cuadralo.
  28. 28. Generalización:
  29. 29. Ejercicios: Completa al cuadrado. <ul><li>x 2 + 2x + _____ </li></ul><ul><li>x 2 –12x + _____ </li></ul><ul><li>x 2 + 3x + _____ </li></ul>1 36 9 4
  30. 30. Ejemplos: Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado. <ul><li>x 2 - 8x = -36 </li></ul>x 2 - 8x + ____ = -36 -8 2 ( ) 2 = 16 16 +16
  31. 31. Ejemplos: Resuelve cada ecuación cuadrática, completando al cuadrado. x 2 - 8x + 16 = -20 (x – 4) 2 = -20
  32. 32. 1. Escribe la ecuación en la forma x 2 + bx + ___ = c Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado.
  33. 33. Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado. 2. Busca el tercer término y suma éste al termino c.
  34. 34. Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado. Obten la raíz cuadrada del binomio y del término c.
  35. 35. Pasos para resolver una ecuación cuadrática, completando al cuadrado. 4. Despeja para x.
  36. 36. 2. 5x 2 = 6x + 8 5x 2 - 3x +____= 8 + ___ ( ) 2 ( ) 2 1( ) 5 x 2 – 3x + ____ = 8 5 5
  37. 37. 2. 5x 2 = 6x + 8
  38. 38. 3. 2x 2 + x = 6 2x 2 + x + _____ = 6 + ____ 2 1 16 1 16
  39. 39. 3. 2x 2 + x = 6
  40. 40. 4. 2x 2 = 3x - 4 2x 2 – 3 x + ____= -4 + _____ 2 1 ( ) 2 x 2 – 3x + ____= -2 + ____ 4 9 16 9 16
  41. 41. 4. 2x 2 = 3x - 4
  42. 42. Intenta <ul><li>Halla el conjunto de solución completando al cuadrado: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>x 2 + 6x – 2 = 0 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>2x 2 –4x + 3 = 0 </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>x 2 + 8x = 3 </li></ul></ul></ul></ul>
  43. 43. Ejercicios de Práctica Hoja fotocopiada p.4 A, B y C Advanced Algebra p. 237 (1-6) (9-20)
  44. 44. Hallando la solución fórmula cuadrática
  45. 45. ¿Sabes el objetivo de usar la fórmula cuadrática?
  46. 46. Hallar los dos valores de la variable en una ecuación cuadrática.
  47. 47. Esta se deriva de la ecuación ax 2 + bx + c = 0
  48. 48. Y ¿Cómo se usa? Ejemplo 1: Halla los valores de la variable en la ecuación 2x 2 + 6x + 1 = 0 a = 2 ; b = 6 ; c = 1 Al sustituir en la fórmula cuadrática obtendremos:
  49. 49. Y ¿Cómo se usa? Ejemplo 1:
  50. 50. Ejemplo 1: Halla los valores de la variable en la ecuación 2x 2 = -6x - 7 a = 2 ; b = 6 c = 7 2x 2 + 6x + 7 = 0
  51. 51. Ejemplo 1: Halla los valores de la variable en la ecuación 2x 2 = -6x - 7
  52. 52. El discriminante
  53. 53. El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.
  54. 54. El discriminante nos puede indicar si la solución de una función cuadrática es una o dos reales; o complejas.
  55. 55. Discriminante Y.... El discriminante es la parte de la ecuación cuadrática b 2 - 4ac
  56. 56. Discriminante Y.... Si b 2 – 4ac es: > 0 tiene dos interceptos en x = 0 tiene un intercepto en x < 0 no tiene intercepto en x
  57. 57. En otras palabras: Si el discriminante es: > 0 Tendrá dos soluciones reales < 0 Tendrá soluciones complejas o no reales = 0 Tendrá solo una solución real
  58. 58. Ejemplo 1: Halla el discriminante para determinar si la solución es real o compleja. <ul><li>x 2 + 5x – 14 = 0 </li></ul><ul><li>3x 2 –7x + 5 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – 2x +1 = 0 </li></ul>
  59. 59. Solución: 1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales 2. -11 Implica que tiene dos soluciones complejas 3. 0 Implica que tiene una solución real
  60. 60. Ejemplo 2: Halla los valores de la variable en la ecuación x 2 - x - 1 = 0 , utilizando la fórmula cuadrática. a = 1 ; b = -1 c = -1
  61. 61. Solución: Halla los valores de la variable en la ecuación x 2 - x - 1 = 0 a = 1 ; b = -1 c = -1
  62. 62. ¿Cómo se halla los interceptos en una función cuadrática? Si le das valor de cero a la y podrás encontrar los valores de x y éstos serán los interceptos de la función cuadrática.
  63. 63. Ejemplo 3: <ul><li>Indica cuántos interceptos en x tiene las siguientes funciones cuadráticas. </li></ul><ul><li>x 2 + 5x – 14 = 0 </li></ul><ul><li>3x 2 –7x + 5 = 0 </li></ul><ul><li>x 2 – 2x +1 = 0 </li></ul>
  64. 64. Solución: 1. 81 Implica que tiene dos soluciones reales 2. -11 Implica que tiene dos soluciones complejas 3. 0 Implica que tiene una solución real
  65. 65. Intercepto en y: Si y = 2x 2 – 3x + 5 ¿Cuál será el intercepto en y?
  66. 66. Intercepto en y: Si le damos valor de x = 0 ... O sea y = 5
  67. 67. Intercepto en y: Obtendremos que y = 2(0) 2 –3(0) + 5
  68. 68. Intercepto en y: O sea y = 5
  69. 69. Intercepto en y: El intercepto en y será (0,5).
  70. 70. Ejemplos: <ul><li>Halla los interceptos de x de las siguientes funciones cuadráticas. </li></ul><ul><li>y = x 2 + 5x – 14 </li></ul><ul><li>y = 3x 2 –7x + 5 </li></ul><ul><li>y = x 2 – 2x +1 </li></ul>
  71. 71. Solución: 1. Los puntos son: (-7,0) y (2,0) 2. No tiene interceptos 3. El punto es (1,0)
  72. 72. Ahora podrás hacer la gráfica de una función cuadrática con:
  73. 73. Con los puntos reflejos
  74. 74. El vértice y su eje de simetria
  75. 75. Con los interceptos ( si lo tiene)
  76. 76. Recuerda que...
  77. 77. Para obtener los valores de x hay varias formas:
  78. 78. Factorización
  79. 79. Raíz Cuadrada
  80. 80. Completando al cuadrado
  81. 81. Fórmula cuadrática
  82. 82. Ejercicios: Hoja fotocopiada P. 4 parte D y E Advanced Algebra p.243 (1-12) p. 244 (15-24) (27-35) p. 245 (41-49)

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