Álgebra

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1era. Parte de la guía pedagógica de Matemáticas para ENEF´S

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Álgebra

  1. 1. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 1-
  2. 2. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezCompetencia. Identifica patrones aritméticos y algebraicos aplicando propiedades y relaciones para la resolución de problemas.Indicadores de logro. 1. Realiza operaciones con polinomios (suma, resta, multiplicación y división). 2. Distingue las propiedades y las relaciones de las operaciones básicas aritméticas. 3. Aplica la factorización de polinomios al operar y simplificar fracciones complejas. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESAlgebra: definición, notación Escritura y lectura de Practicar el valor de laalgebraica, signos, símbolos y expresiones algebraicas. constancia en la interpretaciónlenguaje algebraico.Operaciones y agrupación de Ejercicios con símbolos de Utilización del valor de lasímbolos: prioridad de las agrupación identificando las responsabilidad ante laoperaciones, números reales, propiedades de los números aplicación de la propiedad depropiedad de los números reales reales y utilizando la prioridad los números reales. de las operaciones.Operaciones con polinomios: Resolución de operación con Disposición puntual y el valorsuma, resta, multiplicación, polinomios. de la limpieza ante laproductos notables y división resolución y dificultad de lasde polinomios. operaciones algebraicas.Factorización: factor común, Procedimiento y resolución Practica de la comunicaciónfactor común por grupos, para aplicar todos los casos de para el trabajo en grupo contrinomio cuadrado perfecto, factorización. factorización.Cuatrinomio de cubo perfecto,diferencia de cuadrados,divisibilidad y combinación decasos de factorización. 2-
  3. 3. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez ÁlgebraEl álgebra es la rama de las matemáticas que estudia las estructuras, las relaciones y las cantidades.La palabra álgebra es de origen árabe, deriva del tratado escrito por el matemático persaMuhammad ibn Musa al-Jwarizmi, titulado Kitab al-yabr wa-l-muqabala que significa "Compendiode cálculo por el método de completado y balanceado", el cual proporcionaba operacionessimbólicas para la solución sistemática de ecuaciones lineales y cuadráticas. Etimológicamente, lapalabra álgebra (yabr) , proviene del árabe y significa "reducción". Notación algebraicaLos números se emplean para representar cantidades conocidas y determinadas. Las letras seemplean para representar toda clase de cantidades, ya sean conocidas o desconocidas. Lascantidades conocidas se expresan por las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d, … Las cantidadesdesconocidas se representan por las últimas letras del alfabeto: u, v, w, x, y, z. Signos y símbolosEn el álgebra se utilizan signos y símbolos en general utilizados en la teoría de conjuntos- queconstituyen ecuaciones, matrices, series, etc. Sus letras son llamadas variables, ya que se usa esamisma letra en otros problemas y su valor va variando.Aquí algunos ejemplos: Signos y Símbolos Expresión Uso Además de expresar adición, también es usada + para expresar operaciones binarias cók Expresan Términos constantes Primeras letras del abecedario Se utilizan para expresar cantidades conocidas a, b, c,... Últimas letras del abecedario Se utilizan para expresar incógnitas ...,x, y, z n Expresa cualquier número (1,2,3,4,...,n) Exponentes y subíndices Expresar cantidades de la misma especie, de diferente magnitud. 3-
  4. 4. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Lenguaje Algebraico Lenguaje Algebraico Lenguaje Común Lenguaje Algebraico Un número cualquiera. m Un número cualquiera aumentado en siete. m+7 La diferencia de dos números cualesquiera. f-q El doble de un número excedido en cinco. 2x + 5 La división de un número entero entre su antecesor x/(x-1) La mitad de un número. d/2 El cuadrado de un número y^2 La semisuma de dos números (b+c)/2 Las dos terceras partes de un número disminuidos en cinco es 2/3 (x-5) = 12 igual a 12. Tres números naturales consecutivos. x, x + 1, x + 2. La parte mayor de 1200, si la menor es w 1200 - w El cuadrado de un número aumentado en siete. b^2 + 7 Las tres quintas partes de un número más la mitad de su 3/5 p + 1/2 (p+1) = 3 consecutivo equivalen a tres. El producto de un número positivo con su antecesor equivalen a x(x-1) = 30 30. El cubo de un número más el triple del cuadrado de dicho x^3 + 3x^2 número. 4-
  5. 5. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEJERCICIO 1:Transformar en enunciados verbales las siguientes expresiones algebraicas: ab 1. ) : __________________________________________________________________ 2 ab 2. ) :__________________________________________________________________ 2 a 3. ) ; b  0 : ________________________________________________________________ b 4. ) 2n  1 : __________________________________________________________________ 5. ) 5x  1  9 : _______________________________________________________________ 6. ) a  ba  b : ____________________________________________________________ 7. ) x  x  2  x  4  1202 :________________________________________________ 8. ) 3x  2 x  5  x  4 : ______________________________________________________ 9. ) x 2  7 x  12  0 : _________________________________________________________ 10. ) 3n 2  n  2 : ____________________________________________________________Marca la alternativa correcta de cada pregunta. Escribe también el desarrollo. 1. ) ¿Cuál es la expresión que corresponde a: “los cuadrados de dos números enteros consecutivos”? a) x 2 , ( x 2  1), ( x 2  2) b)   x 2 , x 2  12 , x 2  22  5-
  6. 6. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez x 2 , 1  x  , 2  x  2 2 c) x , 2 x  , 3x  2 2 d) e) x 2 ,2 x 2 ,3x 2 2. ) Si x es un número entero positivo impar, el tercer número impar que viene después de x, será: a)  x  2 b) x  3 c)  x  4 d)  x  5 e)  x  6 3. ) Un alumno debe resolver 3m  2n ejercicios de algebra. De estos resultan n  m correctos. ¿Cuántos ejercicios incorrectos tuvo? a) 4m  3m b) 2m  n c) 3m  2n d) n  2m e) 3n  4m 4. ) El “ triple del cuadrado de la diferencia entre a y el cuádruplo de b” en lenguaje algebraico es: a) 3a  b2 b) 3a 2  4b2  c) 3 a  4b 2 2  d) 3a  4b  2 e) 3(a  b ) 4 2 6-
  7. 7. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 5. ) La mitad de z aumentada en el producto de 18 por w, se expresa por: z a)  18w 2 z  18  w b) 2 z 18w c)  2 2 z  18w d) 2 1 e)  z  18w 2 6. ) Si Rafael es 10 años mayor que Jessica. ¿Qué edad tiene Rafael si hace x años Jessica tenía 10 años? a) x años b) 10 años c) x  20 años d) 20  x años e) x  20 años 7. ) Si el doble de 3x es 36, entonces. ¿Cuál (es) de las afirmaciones siguientes es (son) verdadera (s)? I. El doble de 3x es igual al triple de 2x II. La mitad de 3x es igual al cuadrado de 3 III. El doble de x es igual al triple de 3 a) Sólo I b) Sólo II c) Sólo I y II d) Sólo I y III e) Sólo II y III 7-
  8. 8. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA LA CONTANCIALa constancia es la virtud que nos conduce a llevar a cabo lo necesario paraalcanzar las metas que nos hemos propuesto, pese a dificultades o a ladisminución de la motivación personal por el tiempo transcurrido. Operaciones y agrupación de símbolosLa agrupación de los símbolos algebraicos y la secuencia de las operaciones aritméticas se basa enlos símbolos o signos de agrupación, que garantizan la claridad de lectura del lenguaje algebraico.Entre los símbolos de agrupación se encuentran los paréntesis ( ), corchetes [ ], llaves { } y rayashorizontales —también llamadas vínculos— que suelen usarse para representar la división y lasraíces, como en el siguiente ejemplo:Los símbolos de las operaciones básicas son bien conocidos de la aritmética: adición (+),sustracción ( ), multiplicación ( ) y división ( ).En el caso de la multiplicación, el signo ‘ ’ normalmente se omite o se sustituye por un punto,como en a·b . Un grupo de símbolos contiguos, como abc, representa el producto de a, b y c.La división se indica normalmente mediante rayas horizontales. Una raya oblicua, o virgulilla,también se usa para separar el numerador, a la izquierda de la raya, del denominador, a la derecha,en las fracciones. 8-
  9. 9. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezHay que tener cuidado de agrupar los términos apropiadamente.Por ejemplo, ax + b/c - dy indica que ax y dy son términos separados, lo mismo que b/c, mientrasque (ax + b)/(c – dy) representa la fracción: Prioridad de las operacionesCada expresión algébrica (y matemática) posee una estructura estrictamente jerarquizada.Esto significa que para resolver una expresión algebraica es necesario seguir un orden establecidocon el fin de garantizar que los cálculos tengan sólo un resultado.Ese orden es el siguiente:1) Cuando no hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) hacemos primero lasmultiplicaciones y divisiones si las hay. Si hay varios números positivos y negativos los agrupamosy después los sumamos.2) Si hay signos de agrupación (paréntesis, corchetes, llaves) se realizan en primer lugar todas lasoperaciones que se encuentren dentro de ellos, respetando la secuencia general.Los símbolos de agrupación indican el orden en que se han de realizar las operaciones: se hacenprimero todas las operaciones dentro de un mismo grupo, comenzando por el más interno.Cuando hay paréntesis y corchetes, hacemos primero los paréntesis, los quitamos aplicando la reglade los signos. Después hacemos los corchetes y los quitamos aplicando la regla de los signos(recuerden que la regla de los signos se aplica solo para multiplicaciones y divisiones).3) Luego se efectúan las elevaciones a potencia y las raíces (potencias y raíces tienen la mismajerarquía)4) En seguida se resuelven las multiplicaciones y las divisiones (multiplicaciones y divisionestienen la misma jerarquía)5) Finalmente se realizan las sumas y las restas (sumas y restas tienen la misma jerarquía)Cuando un conjunto de operaciones se encuentran en el mismo nivel de prioridad o jerarquía, lasoperaciones se realizan desde la izquierda hacia la derecha.Por ejemplo: 9-
  10. 10. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Números RealesLos números que se utilizan en el álgebra son los números reales. Hay un número real en cadapunto de la recta numérica.Los números reales se dividen en números racionales, números irracionales y números enteros loscuales a su vez se dividen en números negativos, números positivos y cero (0).Podemos verlo en esta tabla:Un número real es racional si se puede representar como cociente a/b, donde a sea un entero y bsea un entero no igual a cero. Los números racionales pueden escribirse en forma decimal.Existen dos maneras para hacerlo:1) como decimales finitos2) como decimales que se repiten infinitamenteLos números reales que no pueden ser expresados en la forma a/b, donde a y b son enteros sellaman números irracionales. Los números irracionales no tienen decimales finales ni decimalesque se repiten infinitamente.Al hacer operaciones algebraicas, se asume que se cumplen las mismas propiedades que para laaritmética numérica.En aritmética, los números usados son sólo del conjunto de los números racionales. La aritmética,por sí sola, no puede ir más lejos, pero el álgebra y la geometría pueden incluir númerosirracionales, como la raíz cuadrada de 2 y números complejos.Repitiendo el concepto, el conjunto de todos los números racionales e irracionales constituye elconjunto de los números reales. 10-
  11. 11. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Propiedades de los números realesa. Propiedades de la adiciónLa suma de dos números reales a y b cualesquiera dará como resultado otro número real que seescribe a + b. Los números reales son uniformes para las operaciones de adición, sustracción,multiplicación y división; esto quiere decir que al realizar una de estas operaciones con númerosreales el resultado es otro número real.b. Propiedad Asociativa de la adición:Cualquiera que sea la forma en que se agrupan los términos de la adición, el resultado de la suma essiempre el mismo: (a + b) + c = a + (b + c).También Es la llamada propiedad asociativa de la adición.Un ejemplo aritmético: (4 + 2) + 9 = 4 + (2 + 9)Elemento neutro de la adiciónDado un número real a cualquiera, existe el número real cero (0) conocido como elemento neutrode la adición, tal que a + 0 = 0 + a = a.Elemento simétrico de la adiciónDado un número real a cualquiera, existe otro número real (-a), llamado elemento simétrico de a (oelemento recíproco de la suma), tal que a + (-a) = 0.c. Propiedad Conmutativa de la adiciónCualquiera que sea el orden en que se realiza la operación, la suma es siempre la misma: a + b = b+ a.También Es la llamada propiedad conmutativa de la adición.Un ejemplo aritmético: 4+2=2+4d. Propiedades de la multiplicaciónPara la multiplicación se cumplen propiedades similares a las de la adición. Sin embargo, en lamultiplicación hay que prestar especial atención al elemento neutro y al elemento recíproco oinverso.El producto de dos números reales a y b es otro número real, que se escribe a·b o ab. 11-
  12. 12. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásqueze. Propiedad Asociativa de la multiplicaciónCualquiera que sea la forma de agrupar los términos de la multiplicación, el producto es siempre elmismo: (ab)c = a(bc).También Es la llamada propiedad asociativa de la multiplicación.Un ejemplo aritmético:Elemento neutroDado un número real a cualquiera, existe el número real uno (1) llamado elemento neutro de lamultiplicación, tal que a(1) = 1(a) = a.Elemento recíproco o inversoDado un número real a distinto de cero, existe otro número (a–1 o 1/a), llamado elemento inverso(o elemento recíproco de la multiplicación), para el que a(a–1) = (a–1)a = 1.f. Propiedad Conmutativa de la multiplicaciónCualquiera que sea el orden en que se realiza la multiplicación, el producto es siempre el mismo ab = ba.También Es la llamada propiedad conmutativa de la multiplicación.Un ejemplo aritmético:g. Propiedad distributiva de multiplicación sobre adición:Otra propiedad importante del conjunto de los números reales relaciona la adición y lamultiplicación de la forma siguiente: a(b + c) = ab + ac también (b + c)a = ba + caTambiénUn ejemplo aritmético: 12-
  13. 13. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Término algebraicoTérmino algebraico es el producto de una o más variables y una constante numérica o literal.Ejemplo: 7xy3 –2mnp2 π r2Partes del Término Algebraico: -7 xy3 Signo Exponente Coeficiente Parte literal Numérico (Variable)Signo: positivo o negativoCoeficiente numérico: es el número que va al comienzo del término algebraicoFactor literal: son las letras y sus exponentesExponente (Grado): corresponde al mayor exponente dentro de los términos Término algebraico Signo Coeficiente Factor Grado numérico literal 2m2n5 Positivo 2 m2n5 5 5 a3b6c8 Positivo 5 a3b6c8 8 - 1/3 zhk5 Negativo 1/3 zhk5 5 Expresiones AlgebraicasUna Expresión algebraica es el resultado de combinar, mediante la operación de adición, uno o mástérminos algebraicos.Las expresiones algebraicas se clasifican según su número de términos.a. Monomio: Contiene un solo término.Por ejemplo: 3x2b. Binomio: suma o resta de dos monomios.Por ejemplo: 3x2 + 2x 13-
  14. 14. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezc. Trinomio: suma o resta de tres monomios.Por ejemplo: 3x2 + 2x – 5d. Polinomio: suma o resta de cualquier número de monomios. Monomio Binomio Trinomio Polinomio 8 x3y4 3 a2b3 + 8z a – b9 + a3b6 2/3 a2 + bc + a2b4c6– 2 x2 z5 +32 x3 9a – b2 + c3 ab – a6b3c + 8 – 26a Reglas de los Exponentes:Para multiplicar factores exponenciales que tienen la misma base y los exponentes son enterospositivos diferentes.Ejemplo: x2 . x4 = x2+4 = x6 Para multiplicar factores que tienen base diferente y exponentes iguales, el exponente se quedaigual.Ejemplo: (x2)4 = x2+4 = x6 En división, si tienen la misma base y los exponentes son enteros positivos diferentes, se restan losexponentes. Las variables m y n son enteros positivos, m > n.Ejemplo: (xy)2 = x2 y2En suma y resta, solo se procede si son términos similares, en otras palabras lo que difiere es sucoeficiente numérico. Términos SemejantesEn una expresión algebraica se llaman términos semejantes a todos aquellos términos que tienenigual parte literal o variable, es decir, a aquellos términos que tienen iguales letras (símbolosliterales) e iguales exponentes. 14-
  15. 15. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez -7 xy3 Exponente Parte literal (Variable)Por ejemplo:6 a2b3 es término semejante con – 2 a2b3 porque ambos tienen el mismo factor literal (a 2b3)1/3 x5yz es término semejante con x5yz porque ambos tienen el mismo factor literal (x5yz)0,3 a2c no es término semejante con 4 ac2 porque los exponentes no son iguales, están al revés. Reducción de Términos SemejantesReducir términos semejantes significa sumar o restar los coeficientes numéricos en una expresiónalgebraica, que tengan el mismo factor literal.Para desarrollar un ejercicio de este tipo, se suman o restan los coeficientes numéricos y se conservael factor literal.Ejemplo 1: xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6Hay dos tipos de factores literales: xy3 x2yHay también una constante numérica: 6Para resolver este ejercicio se suman los coeficientes numéricos de xy3 con 5xy3 y –3 x2y con –12x2y.Hay que tener presente que cuando una expresión no tiene un coeficiente, es decir, un númerosignifica que es 1 (x3y = 1 xy3). xy3 – 3 x2y + 5 xy3 – 12 x2y + 6 = 6 xy3 + – 15 x2y + 6Ejemplo 2:3ab – 5abc + 8ab + 6abc –10 + 14ab – 20 = Respuesta 25ab + 1abc – 30Operaciones: 3ab+ 8ab + 14ab = 25ab - 5abc + 6abc = abc -10 – 20 = -30 15-
  16. 16. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEJERCICIO 2:Reduce los términos semejantes, resolviendo previamente los paréntesis, cuandocorresponda:1. 7a - 8b + 5c - 7a + 5a - 6b - 8a + 12b =2. 35x + 26y - 40x - 25y + 16x - 12y =3. 24a - 16b + 3c - 8b + 7a + 5c + 23b + 14a- 7c - 16a - 2c =4. 3m - 7n + 5m - 7n + 5n + 3n - 8p - 5n + 8p =5. 4p - 7q + 5p - 12p - 11q + 8p - 11q + 12r + p + 5r =6. 2a2 + 3b2 - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 - 5 b2 =7. 7a - 1,8 b + 5 c - 7,2a + 5a - 6,1b - 8a + 12b =8. 8a + 5,2 b - 7,1a + 6,4 b + 9a - 4,3b + 7b - 3a = 2 1 29. 3m - n + 5m - 7n + 5 n + 3n - p - 5n + 8p = 5 2 5 1 2 3 210. 2 a + 3 b - 5a2 - 12 b2 - 7a2 + 6b2 - 8a2 – 5 b2 = 2 511. 5a - 3b + c + ( 4a - 5b - c ) =12. 3a + ( a + 7b - 4c ) - ( 3a + 5b - 3c) - ( b - c ) =13. 8x - ( 15y + 16z - 12x ) - ( -13x + 20y ) - ( x + y + z ) =14. 9x + 13 y - 9z - 7x - { -y + 2z - ( 5x - 9y + 5z) - 3z } =15. -( x - 2y ) -  { 3x - ( 2y - z )} - { 4x - ( 3y - 2z ) } =16. 6a - 7ab + b - 3ac + 3bc - c - {(8a + 9ab - 4b) - (-5ac + 2bc - 3c)} = 1 3 3 317. 8x - ( 1 y + 6z - 2 x ) - ( -3 x + 20y ) - ( x + y+z)= 2 4 5 4 1   1  1  18. 9x + 3 y - 9z - 7x   y  2z   5 x  9 y  5z  3z   2   2  3   16-
  17. 17. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA LA RESPONSABILIAD Es un valor que está en la conciencia de la persona, que le permite reflexionar, administrar, orientar y valorar las consecuencias de sus actos. La persona responsable es aquella que actúa conscientemente siendo él la causa directa o indirecta de un hecho ocurrido. Operaciones con polinomios1. Suma de PolinomiosEJEMPLO 1: (Suma de polinomios de igual grado)A = - 3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 1/2 xB = -5x4 - 10 + 3x + 7x32x4 - x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)+-5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)-3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x - 18A + B = -3x4 + 6x3 - 3x2 + 7/2 x – 18Para sumar dos polinomios, hay que sumar entre sí los coeficientes de los términos del mismo gradoEl resultado de sumar dos términos del mismo grado, es otro término del mismo grado. Si faltaalgún término de alguno de los grados, se puede completar con 0, como en el ejemplo en el segundopolinomio se completó con 0x2. Y se los suele ordenar de mayor a menor grado, para que en cadacolumna queden los términos de igual grado.EJEMPLO 2: (Suma de polinomios de distinto grado) 17-
  18. 18. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezA = -3x2 + 5x - 4 (grado 2)B = 4x3 - 5x2 + 2x + 1 (grado 3)0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)+4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo)4x3 - 8x2 + 7x - 3A + B = 4x3 - 8x2 + 7x - 32. Resta de PolinomiosEJEMPLO 1: (Resta de polinomios de igual grado)A = - 3x2 + 9x4 - 8 - 4x3 + 1/2 xB = 5x4 - 10 + 3x + 7x39x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8 (el polinomio A ordenado y completo)5x4 + 7x3 + 0x2 + 3x - 10 (el polinomio B ordenado y completo)La resta se puede transformar en suma, cambiando todos los signos del segundo polinomio:9x4 - 4x3 - 3x2 + 1/2 x - 8-5x4 - 7x3 + 0x2 - 3x + 10 (el polinomio B con los signos cambiados)4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2A - B = 4x4 - 11x3 - 3x2 - 5/2 x + 2Para restar polinomios se suelen cambiar los signos de todos los términos del polinomio que se resta("el de abajo"), y transformar la resta en suma, ya que restar es lo mismo que sumar el "opuesto".Pero también se puede hacer restando los coeficientes del mismo grado.Y también se los puede restar "en el mismo renglón", tal como mostré que se puede hacer en lasuma. En la EXPLICACIÓN de cada ejemplo lo mostraré resuelto de las tres maneras.EJEMPLO 2: (Resta de polinomios de distinto grado)A = 5x - 4 - 3x2 (grado 2)B = 2x + 4x3 - + 1 + 5x2 (grado 3)0x3 - 3x2 + 5x - 4 (el polinomio A ordenado y completo)4x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio B ordenado y completo) 18-
  19. 19. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez0x3 - 3x2 + 5x - 4-4x3 + 5x2 - 2x - 1 (el polinomio B con los signos cambiados)-4x3 + 2x2 + 3x - 5A - B = -4x3 + 2x2 + 3x - 5Igual que en la suma: En el polinomio de menor grado, se pueden completar los primeros términoscon ceros. Así, se rellenan las columnas que faltan adelante de uno de los polinomios, para quequede en columna término a término con el otro polinomio.3. Multiplicación de PolinomiosEJEMPLO 1: (Multiplicación por un monomio)A = -3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5xB = -5x4-3x2 + 2x4 - 8 - x3 + 5xX -5x4______________________________15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5A x B = 15x6 - 10x8 + 40x4 + 5 x7 - 25x5Se multiplica al monomio por cada término del polinomio: Coeficiente con coeficiente, y la letracon la letra. Al multiplicar las letras iguales se suman los exponentes, ya que es una multiplicaciónde potencias de igual base.También se pueden multiplicar "en el mismo renglón": poniendo el polinomio entre paréntesis yluego aplicando la propiedad distributiva. En las EXPLICACIONES muestro los ejemplos resueltosde las dos maneras.EJEMPLO 2: (Multiplicación de polinomios completos)A = 4x3 - 5x2 + 2x + 1B = 3x - 64x3 - 5x2 + 2x + 1 (el polinomio A ordenado y completo)X 3x - 6 (el polinomio B ordenado y completo)____________________-24x3 + 30x2 - 12x - 6+12x4 - 15x3 + 6x2 + 3x 19-
  20. 20. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez_________________________12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x - 6A x B = 12x4 - 39x3 + 36x2 - 9x – 6A cada término del segundo polinomio hay que multiplicarlo por cada término del primerpolinomio. Si ambos polinomios están completos y ordenados, los resultados quedan tambiéncompletos y ordenados, y es más fácil colocarlos en columna según su grado, porque van saliendoen orden. Luego hay que sumar los resultados como se suman los polinomios. Es un procedimientosimilar al de la multiplicación de números de varias cifras, con la diferencia de que no se "llevan"números a la columna siguiente, sino que se baja el resultado completo. Al empezar la segunda fila,por la derecha hay que saltearse una columna, tal como en la multiplicación de números de variascifras, y así se logra que los términos de igual grado queden en la misma columna.EJERCICIO 3:1. Identifica los elementos que se piden:a) Los términos de 5r +sb) Los términos de 5xy2 +2y –7wc) Dos factores de 5zd) La base en 3xy2e) El coeficiente numérico en 2xyf) El coeficiente numérico en x/3g) Las variables en 6xyh) Las variables en 6x 5 y 2i) El grado de la variable m en 7m5nj) El grado de la variable n en 7m5nk) La constante de 7x2 –12. Considerando que un monomio es un número variable o producto de números y variables explique por qué las siguientes expresiones no son monomios a) 5x +y b)  7xy3 c) x3. Considere las siguientes expresiones identificando cada una de ellas con una letraa) 14x + 10 y –3 d) 2/3 x +1/3 yb) –17x5y3z2 e) 5x4z –1/2 x2 z2 + xz3 –7z6c) 7x5y f) x+4I) Identifique los polinomios:____________________________________________________II) Identifique los monomios:____________________________________________________III) Identifique los binomios:_____________________________________________________IV) Para cada polinomio, que no sea monomio, especifique los términos_________________________________________________________________ 20-
  21. 21. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezV) Dé los coeficientes numéricos de las expresiones D y E4. Evalúe cada polinomio para los valores dados:a) 4x2 –x +3 x=-2b) x2/3 –3x +5 x=3/2c) –x2 +7 x =5d) 4xy –8y2 x=3 y=0,55. Eliminar los términos semejantes en los siguientes polinomios:a) 8x -3x+7x=b) 3x +9y –2x –6y=c) 7a2 – 15b3 + 5b3 + 9a 2 – 4b3 =d) 3a+ 4c + 9c – 7b – 7a- 15c =e) 0,01 b2c – 0,2 c2b - 0,8 c2b + 0,99 b2c=6. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes en los siguientes polinomiosa) (10b +4) +(6 –9b) –(3b-7)=b) 20 + (-7 +2x) –(-3x-7)=7. Dados los polinomiosA: 2b2c –3b + 6cB: 4b - c2b + 12 b2cC: 4 – 2cEjecute las siguientes operaciones:a) A + B=b) A - C=c) B - A= 21-
  22. 22. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez8. Calcular el perímetro de la siguiente figura: x2 +x2x2 +x x 3x2 +x –39. El perímetro de un rectángulo es 8x –6 y un lado es 3x +7 ¿Cuánto mide el otro lado? RECUERDA LA PUNTUALIDAD Es la obligación para terminar una tarea requerida o satisfacer una obligación antes o en un plazo anteriormente señalado o hecho a otra persona. PRODUCTOS NOTABLESSabemos que se llama producto al resultado de una multiplicación. También sabemos que losvalores que se multiplican se llaman factores.Se llama productos notables a ciertas expresiones algebraicas que se encuentran frecuentemente yque es preciso saber factorizarlas a simple vista; es decir, sin necesidad de hacerlo paso por paso.Se les llama productos notables (también productos especiales) precisamente porque son muyutilizados en los ejercicios. 22-
  23. 23. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásqueza. Cuadrado de la suma de dos cantidades o binomio cuadrado a2 + 2ab + b2 = (a + b)2El cuadrado de la suma de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, más el doblede la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.Demostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma a2 + 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a+ b)2b. Cuadrado de la diferencia de dos cantidades a2 – 2ab + b2 = (a – b)2El cuadrado de la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primera cantidad, menos eldoble de la primera cantidad multiplicada por la segunda, más el cuadrado de la segunda cantidad.Demostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma a2 – 2ab + b2 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como (a –b)2c. Producto de la suma por la diferencia de dos cantidades (o producto de dos binomios conjugados) (a + b) (a – b) = a2 – b2El producto de la suma por la diferencia de dos cantidades es igual al cuadrado de la primeracantidad, menos el cuadrado de la segunda 23-
  24. 24. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezDemostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma (a + b) (a – b) debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como a2– b2d. Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a + b)x + ab = (x + a) (x + b)Demostración:Ejemplo:Tenemos la expresión algebraica x2 + 9 x + 14obtenida del producto entre (x + 2) (x + 7 )¿Cómo llegamos a la expresión?a) El cuadrado del término común es (x)(x) = x2b) La suma de términos no comunes multiplicada por el término común es (2 + 7)x = 9xc) El producto de los términos no comunes es (2)(7) = 14Así, tenemos:x2 + 9 x + 14 = (x + 2) (x + 7 )Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma x2 + (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarlacomo (x + a) (x + b)e. Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 + (a – b)x – ab = (x + a) (x – b)Demostración: 24-
  25. 25. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEntonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma x2 + (a – b)x – ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como(x + a) (x – b).f. Producto de dos binomios con un término común, de la forma x2 – (a + b)x + ab = (x – a) (x – b)Demostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma x2 – (a + b)x + ab debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarla como(x – a) (x – b).g. Producto de dos binomios con un término común, de la forma mnx2 + ab + (mb + na)x = (mx + a) (nx + b)En este caso, vemos que el término común (x) tiene distinto coeficiente en cada binomio (mx ynx).Demostración:Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma mnx2 + ab + (mb + na)x debemos identificarla de inmediato y saber que podemosfactorizarla como (mx + a) (nx + b).h. Cubo de una suma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 = (a + b)3Entonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarlacomo (a + b)3.i. Cubo de una diferencia a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 = (a – b)3 25-
  26. 26. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEntonces, para entender de lo que hablamos, cuando nos encontramos con una expresión de laforma a3 – 3a2b + 3ab2 – b3 debemos identificarla de inmediato y saber que podemos factorizarlacomo (a – b)3.A modo de resumen, se entrega el siguiente cuadro con Productos notables y la expresiónalgebraica que lo representa: Producto notable Expresión algebraica Nombre 2 2 2 (a + b) = a + 2ab + b Binomio al cuadrado (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 Binomio al cubo a2 - b2 = (a + b) (a - b) Diferencia de cuadrados a3 - b3 = (a - b) (a2 + b2 + ab) Diferencia de cubos a3 + b3 = (a + b) (a2 + b2 - ab) Suma de cubos a4 - b4 = (a + b) (a - b) (a2 + b2) Diferencia cuarta (a + b + c)2 = a2 + b2 + c2 + 2ab + 2ac + Trinomio al cuadrado 2bcEJERCICIO 4: Resuelve los siguientes PRODUCTOS NOTABLES.1.- Resuelva los siguientes binomios al cuadrado. a) x  2 b) x  4 c) x  y  2 2 2 d) x  3 e) 2 x  2 f) 3x  5 2 2 2 g) 2a  1 h) a  2b  i)  a  2b  2 2 2 j)  2  5 x  k) x  7 y  l) 2m  4n  2 2 22.- Factoriza utilizando los productos notables: a) x  4 x  4 b) x  36 c) x  12 x  36 2 2 2 d) y2  x2 e) 9  12 x  4 x 2 f) 4 x  16 2 g) x  8 x  16 h) x  8 x  16 i) 25  x 2 2 2 j) 4 x  4 x  1 k) x  81 l) 9 x  6 x  1 2 2 24.- Extrae factor común en cada una de las siguientes expresiones: a) 2a  2b b) 10a  20 c) 4a b  12ab 2 d) 2ab  a b e) 2 x  4 x f) 4 x  2 x 2 2 2 3 g) 3xy  6 xz  3x h) xy  x 2 y  xy 2 i) 3x  6 x  9 x 2 3 j) 15x  5x  10 x k) 10 x y  2 x y  4 y x l) 6a b  4ab 4 3 2 3 2 2 4 2 2 m) 20 x  45x  15x  5x n) 3x  15x  18x o) x  5x  x 4 3 2 5 4 3 7 5 3 26-
  27. 27. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez5.- Utiliza los productos notables y la extracción de factores comunes para descomponer en factores lassiguientes expresiones: a) 6x 2 y  9x 3 y b) 3x 2 y  27 y c) 7 x 3  7 x d) 3x  18x  27 x e) 8x  32 x  32 x f) x  x 3 2 6 5 4 5 36. Resuelva los siguientes cubos de un binomio a) x  3 b) x  4 c) x  y  3 3 3 d) x  3 e) x  2 f) 3x  5 3 3 3 g) 2a  1 h) 2a  2b  i)  a  2b  3 3 2 j) 2  5 x  k) x  7 y  l) 2m  4n  3 3 27. Resuelva las siguientes diferencias y sumas de cubos a) 1  27 y b) y  729  c) 343x 3  512  3 3 d) 27x 3  64  e) 1331x 6  216  f) x  512y 9 3 RECUERDA LIMPIEZALimpieza es la ausencia de suciedad. Es la cualidad de limpio .Honradez eintegridad con que se comporta o actúa una persona. 27-
  28. 28. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez4. División de Polinomiosa. División entre fraccionesEn este tipo de división se cumplen las mismas reglas que con la división de monomios y las reglasde división de fracciones de la aritmética.  Se aplica ley de signos  Se multiplica el dividendo del primer término por el divisor del segundo para crear el dividendo de la división, y el divisor del primero por el dividendo del segundo para crear el divisor de la división (esto se llama división cruzada)  Se divide el coeficiente del dividendo entre el coeficiente del divisor  Se aplica ley de los exponentes tomando las letras que no se encuentren como elevadas a cero (nº = 1), y se escriben en orden alfabético.Ejemplos:b. División de polinomios entre monomios.Para dividir un polinomio entre un monomio se distribuye el polinomio sobre el monomio, esto serealiza convirtiéndolos en fracciones.Pasos:  Colocamos el monomio como denominador de él polinomio.  Separamos el polinomio en diferentes términos separados por el signo y cada uno dividido por el monomio.  Se realizan las respectivas divisiones entre monomios tal como se realizo en el capitulo anterior. 28-
  29. 29. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez  Se realizan las sumas y restas necesarias.Ejemplos:c. División entre polinomiosEn este tipo de división se procede de manera similar a la división aritmética los pasos a seguir sonlos siguientes. Se ordenan los polinomios con respecto a una misma letra y en el mismo sentido (en orden ascendente u orden descendente), si el polinomio no es completo se dejan los espacios de los términos que faltan. El primer termino del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo entre el primer miembro del divisor. Se multiplica el primer término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo y se resta del dividendo. El segundo término del cociente se obtiene dividiendo el primer termino del dividendo parcial o resto (resultado del paso anterior), entre el primer termino del divisor. Se multiplica el segundo término del cociente por todos los términos del divisor, se coloca este producto debajo de él dividendo parcial y se resta del dividendo parcial. Se continua de esta manera hasta que el resto sea cero o un dividendo parcial cuyo primer término no pueda ser dividido por el primer termino del divisor.Cuando esto ocurre el resto será el residuo de la división.La intención con este método de división es que con cada resta se debe eliminar el termino que seencuentra más a la izquierda en el dividendo o dividendo parcial.Ejemplos: 29-
  30. 30. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez S i m pl i f i caci ón de f racci on es al gebrai cas P ar a s i mp l if ica r u na f r a cci ó n a l g eb r a ica s e d i v id e el nu mer a d or y eld en o mi na d or de la f r a cci ó n p or u n p ol i n o mi o qu e s ea f a ct or co mú n d e a mb os .A mp l i f i ca ci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca s P ar a a mp lif i ca r u na f r a cció n a l g eb r a ica s e mu lt ip l ica el nu mer a d or y eld en o mi na d or de la f r a cci ó n p or u n p ol i n o mi o. 30-
  31. 31. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezR ed u cci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca s a co mú n d eno mi na d o rS e d es c o mp o n en l os d en o mi na d or es en f a ct or es p ar a ha lla r les el mí ni moco mú n mú lt ip lo , qu e s er á el c o mú n d en o mi n a dor . x 2 − 1 = ( x+1) · ( x − 1) x2+ 3x + 2 = (x+1) · (x + 2) m. c. m. (x2 − 1, x2 + 3x + 2) = (x+ 1) · (x − 1) · (x + 2)D i vi d i mos el c o mú n d en o mi na d or ent r e l os d en o mi na d or es d e la s f r a cci o n esda da s y el r es u lt a d o l o mu lt ip li ca mos p or el nu mer a d or cor r es p o n d i ent e. O p eraci on e s con fra cci on es alg eb rai ca s a. S u ma d e f r a cci o nes a l g eb r ai ca s co n el mi smo d eno mi na d o r 31-
  32. 32. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez b . S u ma d e f r a cci o nes a l g eb r ai ca s co n el di s t i nt o d eno mi na d o r E n p r i mer lu ga r s e p o n en la s f r a ccio n es a l g eb r a ica s a co mú nd en o mi na d or , p os t er ior ment e s e s u ma n l os nu mer a d or es . c. Mu l t i pl i ca ci ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i cas 32-
  33. 33. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezd . D i vi s i ó n d e f r a cci o nes a l g eb r a i ca sEjercicios 5: Resolver las siguientes divisiones de polinomios: 1) ( x5 –4x4 + 4x3 + x2 – 4x + 4) ÷ (x + 4)= 2) ( 2p5 - 3p4 – 8p3 + 16p2 –16) ÷ ( p - 2)= 3) ( 3z2 + 2z – 8) ÷ ( z + 2)= 4) (m4 + m2 – 12) ÷ (m2 – 3)= 5) ( 2t3 – 4t – 2 ) ÷ (2t + 2)= 6) ( x2 – x – 12) ÷ ( x – 4)= 7) (x4 − 2x3 −11x2+ 30x −20) ÷ (x2 + 3x − 2) = 8) ( x3 − 3x2 + 6x − 2) ÷ (x2 + 2)= 9) (6x2+ x + 1) ÷ (x + 1)= 33-
  34. 34. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEJERCICIO 6:1. Calcula la expresión polinomial del área de un rectángulo que representa a un campo defutbol.2. Determine el área del cuadrado de la siguiente figura la cual representa al área recorrida por unaatleta.3. Encuentre el volumen del cubo siguiente:4. Determine la expresión polinomial del área marcada para la práctica de basquetbol. 34-
  35. 35. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez5. Encuentre la expresión polinomial del área de un triangulo utilizado para realizar uncompetencia. h= x-4 b = 6x RECUERDA COMUNICACIÓN.Es el proceso mediante el cual se puede transmitir información de una entidad aotra. También, es el “intercambio de sentimientos, opiniones, o cualquier otrotipo de información mediante habla, escritura u otro tipo de señales". 35-
  36. 36. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez FACTORIZACIÓNLa factorización es expresar un objeto o número como producto de otros objetos más pequeños(factores) que, al multiplicarlos todos, resulta el objeto original. Factorizar se le llama al procesode expresar un polinomio como un producto de factores se le denomina factorización. Este procesopuede considerarse como inverso al proceso de multiplicar. Factorizar, entonces, quiere deciridentificar los factores comunes a todos los términos y agruparlos.Los factores comunes son aquellos números que aparecen multiplicando a todos los términos de unaexpresión algebraica.Estos números pueden estar dados explícitamente o representados por letras. Así, factorizar unpolinomio es descomponerlo en dos o más polinomios llamados factores, de tal modo que almultiplicarlos entre sí se obtenga el polinomio original.1. Factor Común.Es aplicar la propiedad distributiva de la multiplicación respecto de la suma, Así, lapropiedad distributiva dice: a.( x  y)  a.x  a. yPues bien, si nos piden Factorizar la expresión a.x  a. y , basta aplicar la propiedaddistributiva y decir quea.x  a. y  a.( x  y)Cuando nos piden sacar factor común o simplemente factorizar y hay coeficientes confactores comunes, se saca el máximo común divisor de dichos coeficientes. Por ejemplo, sinos piden Factorizar la expresión 36 x  12 x  18x , será 2 336 x 2  12 x 3  18x  6 x(6 x  2 x 2  3)donde 6 es el máximo común divisor de 36, 12 y 18Procedimiento para encontrar factor común:1° Paso: Buscamos el factor común (que debe ser el mayor posible).2° Paso: Se expresa el polinomio dado como el producto del factor común por el polinomio queresulta de dividir el polinomio dado por el factor común. 36-
  37. 37. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEjemplos: 4a 2 b  2ab21)  Factor común 2ab(2a  b) 3xby  9 xa2)  Factor común 3x(by  3a)2. Factor Común por gruposSe aplica en polinomios que no tienen factor común en todos sus términos.Procedimiento1° Paso: Se forman grupos de igual cantidad de términos que tengan factor común, se sustrae dichofactor común en cada uno de los grupos.2° Paso: Debe quedar un paréntesis común.3° Paso: Se extrae dicho paréntesis como factor común. Ejemplos: 2 xy 2 a  mb  2 xy 2 b  ma  Agrupo 2 xy a  ma  mb  2 xy b 2 2 1)  Factor Común a(2 xy 2  m)  b(m  2 xy 2 )  Factor Común (2 xy  m)(a  b)  Factor Común por Grupos 2 37-
  38. 38. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez ( x 2  ax)  (bx  ab)   Factor comun 2) x ( x  a )  b( x  a )  Factor comun ( x  a)( x  b)  Factor Común por Grupo3. Trinomio Cuadrado Perfecto: Recordamos el trabajo que hicimos con el “Cuadrado de un Binomio” (x + y) 2  x 2  2 xy  y 2Procedimiento para resolver:1°Paso: Se reconocen los cuadrados perfectos, los cuales no deben tener un signo negativo adelante.Y calculo sus raíces cuadradas, dichas raíces serán las bases.2° Paso: Luego calculo el doble producto de sus bases; y luego nos fijamos si se verifica que eldoble producto figura en el trinomio dado.3° Paso: Si el doble producto figura en el trinomio dado, entonces decimos que es un TrinomioCuadrado Perfecto; y luego lo factorizo como el cuadrado de un binomio, formado por dichas bases.OBSERVACIONES MUY IMPORTANTES: Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es positivo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán las dos el mismo signo. Si el doble producto que figura en el ”Trinomio dado” es negativo, entonces las bases del Cuadrado del Binomio tendrán signos opuestos. Ejemplos: 1) 4 x 2  12 xz  9 z 2 4x2  2x    9 z 2  3z   Es un Trinomio Cuadrado Perfecto 2.2 x.3z  12 xz    Entonces: 4 x  12 xz  9 z 2 = (2 x + 3z) 2 o( 2 x  3z ) 2 2 38-
  39. 39. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 2) 1 4x6   x3 16  4x6  2x3   1 1     Es un Trinomio Cuadrado Perfecto 16 4  3 1 3 2.2 x .  x  4  1 1 1 Entonces: 4 x 6   x 3 = (2 x 3 + ) 2 o( 2 x 3  ) 2 16 4 44. Cuatrinomio de cubo perfectoRecordamos el trabajo realizado con el “Cubo de un Binomio”  x  y3  x 3  3x 2 y  3xy 2  y 3Procedimiento:1°Paso: Se reconocen los cubos perfectos. Y calculo sus raíces cúbicas, dichas raíces serán lasbases.2° Paso: Luego calculo: el triple producto del cuadrado de la primera base por la segunda el triple producto de la primera base por el cuadrado de la segundaLuego nos fijamos si estos cálculos figuran en el Cuatrinomio dado,3° Paso: Si estos cálculos figuran en el trinomio dado, entonces decimos que es un CuatrinomioCubo Perfecto; y luego lo factorizo como el cubo de un binomio, formado por dichas bases.OBSERVACIÓN MUY IMPORTANTE:Las bases que figuran en el Cubo del Binomio, van a conservar su signo. Ejemplos: 39-
  40. 40. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 1)8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3 3 8a 3  2a   3  27b  3b 3     Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto 3.(2a ) 2 .(3b)  36a 2 b   3.(2a ).(3b) 2  54ab2   Entonces: 8a 3  36a 2 b  54ab2  27b 3 = (2a - 3b) 3 1 3 3 2) x 3  x 2  x  1 8 4 2 1 3 1  3 x  x  8 2  3  1  1   1 2 3 2   Es un Cuatrinomio Cubo Perfecto 3.( x) .(1)   x  2 4  1 3  3. x.(1) 2  x  2 2  1 3 3 1 Entonces: x 3  x 2  x  1 = ( x - 1) 3 8 4 2 25. Diferencia de Cuadrados Recuerdo: Producto de Binomios Conjugados ( x  y)( x  y)  x 2  y 2 Procedimiento: 1° Paso: Debo identificar la resta (debe haber un solo signo negativo) y luego los cuadrados perfectos. 2° Paso: Calculo las bases de los cuadrados perfectos (haciendo la raíz cuadrada de cada uno) 3° Paso: Transformo la diferencia de cuadrados en un producto de binomios conjugados, formado por dichas bases. Ejemplos: 40-
  41. 41. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 1) 9 x 2  25 y 2 9 x 2  3x   Entonces: 9 x  25 y  (3x  5 y )(3x  5 y ) 2 2 25 y 2  5 y   2) 4 6 4 2 x z y 9 4 6 2 3 x  x  3  Entonces: x 6  z 4 y 2   x 3  z 2 y  x 3  z 2 y 4 2 2 9    9 3  3  z4 y2  z2 y  6. Divisibilidad Este caso consiste en hallar los divisores del polinomio dado. Esto lo efectuamos mediante la siguiente propiedad. “Si un número a es raíz de un polinomio P(x), dicho polinomio es divisible por (x-a), es decir que, al dividir P(x) por (x-a), el resto de la división es cero” Por el teorema del resto tenemos que: P(a)=0 En símbolos: Entonces: P(x)=(x-a)C(x) Este tipo de división la podemos realizar con la Regla P(x) (x-a) C(x) de RuffiniCálculo de las raíces de un polinomio:  Para calcular la raíces de un polinomio en el cual figura una sola incógnita, elevada a una potencia, podemos calcular su raíz igualando a cero y resolviendo esa ecuación.  Cuando tenemos un polinomio de grado dos, donde aparece la incógnita dos veces (una elevada al cuadrado y otra con exponente 1, podemos calcular sus raíces aplicando la resolvente.En este caso hay que tener en cuenta que los alumnos ya saben factorizar un polinomio de este tipo.Entonces: 41-
  42. 42. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Si P( x)  ax 2  bx  c, y sean x , x raices de P( x) 1 2 entoncespodemosescribir a P( x) como : P( x)  a( x  x )( x  x ) 1 2  Ahora si nos encontramos con un polinomio de grado mayor que dos, y la incógnita aparece más de una vez, podemos calcular sus raíces mediante el Teorema de Gauss, que si bien no nos asegura exactamente cuáles son sus raíces, nos da un número finito de raíces posibles.7. COMBINACIÓN DE LOS CASOS DE FACTORIZACIONEjemplos:1) Factoriza la siguiente expresión20 5 3 x b  5x 3b9  Factor Común 45 x 3 b( x 2 b 2  1) 9 4 2 2 2  Diferencia de cuadrados  x b  xb, 1  1 9 3 2  2 5 x 3 b xb  1 xb  1 3  3 2. Factoriza la siguiente expresión a3  a 2  a  1  Agrupo los terminos a 3   a 2   a  1  Saco factorcomun en cada grupo a 2 (a - 1) + (-1)(a - 1)  Factor Comun por Grupos (a - 1)(a 2  1)  Diferencia de Cuadrados a - 1a  1a  1  Multiplico, los factorescon igual base (a  1) 2 (a  1) 42-
  43. 43. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez3. Factoriza la siguiente expresiónx 3 - x 2 y - 2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5  Agrupo terminosx 3     - x 2 y + -2 x 2 y 2 + 2 xy 3 + xy 4 - y 5   Saco factor comun en cada grupox ( x  y )  2 xy 2 ( x  y )  y 4 ( x  y ) 2  Saco factor comun ( x - y )( x  y )( x 2  2 xy 2  y 4 )  Trinomio Cuadrado Perfecto( x  y )( x  y ) 2CÁLCULOS:Trinomio Cuadrado Perfecto (Calculos)x 2  2 xy 2  y 4 x2  x    y 4  y 2   x 2  2 xy 2  y 4  ( x  y ) 2 2 xy 2  EJERCICIO 7: Resuelva los siguientes problemas de factorización.1. =2. =3. 354.5.6.7. 43-
  44. 44. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez8.9.10.11.12.13.14.15. Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: rúbrica.  Procedimentales: lista de cotejo.  Actitudinales: escala de rango. 44-

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