Ecuaciones y desigualdades

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Segunda parte la guía pedagógica de Matemáticas para ENEF´S

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Ecuaciones y desigualdades

  1. 1. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 1-
  2. 2. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezCompetencia. Utiliza modelos matemáticos, relaciones y ecuaciones en la representación y comunicación de resultados.Indicadores de logro. 1. Resuelve ecuaciones e inecuaciones de primero y de segundo grado en la solución de situaciones reales. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESEcuaciones: definición, tipos de Escritura, identificación y Valoración y reconocimientoecuaciones, ecuaciones de resoluciones de ecuaciones de del valor de la igualdad paraprimer grado con una y dos primer con una y dos aplicarlo a su contexto.incógnitas. incógnitas.Ecuaciones de segundo. Resolución de ecuaciones de Utilización del valor de la segundo grado por formula creatividad para el uso de general, factorización y variables. completación de cuadrados.Desigualdades Formulación y resolución de Practica equitativa de la desigualdades. formulación y resolución como ejemplo de aplicación a su vida social. 2-
  3. 3. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez ECUACIONESUna ecuación es una igualdad entre dos expresiones algebraicas, denominadas miembros, en las queaparecen valores conocidos o datos, y desconocidos o incógnitas, relacionados medianteoperaciones matemáticas. Los valores conocidos pueden ser números, coeficientes o constantes; ytambién variables cuya magnitud se haya establecido como resultado de otras operaciones. Lasincógnitas, representadas generalmente por letras, constituyen los valores que se pretende hallar.Por ejemplo, en la ecuación:La variable “ X” representa la incógnita, mientras que el coeficiente 3 y los números 1 y 9 sonconstantes conocidas. La igualdad planteada por una ecuación será cierta o falsa dependiendo de losvalores numéricos que tomen ambos miembros; se puede afirmar entonces que una ecuación es unaigualdad condicional, en la que solo ciertos valores de las variables la hacen cierta.Se llama solución de una ecuación a cualquier valor individual de dichas variables que la satisfaga.Para el caso dado, la solución es: x=5Tipos de ecuacionesLas ecuaciones pueden clasificarse desde diferentes puntos de vista como señalamos acontinuación.Por la parte literal.Se clasifican en:a. Numérica. Es una ecuación en la que solo aparecen las letras de las incógnitasEjemplo 1. La ecuación 2t + 8 = 9t - 6 es numérica pues la única letra que aparece es la t que es lavariable.b. Literal. Es una ecuación en la que además de las variables aparecen otras letras que representancantidades conocidas.Ejemplo 2. La ecuación 9y – 2c = 2a + 5y es literal porque aparte de la variable y tenemos otrasletras que representan cantidades conocidas.Por la forma de presentación de las variables.Se clasifican en:a. Entera. Es aquella en la que ninguno de sus términos tiene denominadorEjemplo 3. La ecuación 2z – 3 = 20 es una ecuación entera. 3-
  4. 4. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezb. Fraccionaria. Es aquella en la cual algunos de sus términos tienen denominador.c. Racional. Es aquella en la que las incógnitas no tienen raíces cuadradas ni cubicas.d. Irracional. Si las incógnitas aparecen en dentro de algunas de estas raícesPor el término de mayor grado.Se clasifican en:a. Lineales. Cuando el mayor exponente de la variable o variables es 1. Además se les llama asíporque al graficar la ecuación se obtiene una línea rectaEjemplo 4. La ecuación 2t – 7 = 5t + 3 es lineal con una sola variable: tEjemplo 5. La ecuación 8x – 5y = 8 es lineal en dos incógnitas: x, yb. Cuadráticas. Cuando el mayor exponente de la variable es 2. Al graficarla se obtiene una figuraque se llama parábola.Ejemplo 6.La ecuación z2 – 5z – 3 = 0 es cuadrática porque el mayor exponente de la variable z es 2.c. Cúbicas. Cuando el mayor exponente de la variable es 3.Ejemplo 7. La ecuación 5r3 – 4r + 8 = 5 es de grado 3 o cúbica.Para ecuaciones de grado 4, 5 y 6, etc, se nombra solo diciendo el grado.Por el número de incógnitas.a. Ecuaciones de una sola variable: cuando solo interviene una cantidad desconocida.Ejemplo 8. La ecuación 3x2 +2 = 0 es de una variable: xEjemplo 9. La ecuación 0.2t – 8 = 0.25 es de una variable.Cabe resaltar que aunque son ecuaciones de una sola incógnita, el grado es diferente, pues en elejemplo 8 el grado es 2 y en el ejemplo 9 es 1.b. Ecuaciones de dos o más variables: cuando intervienen dos cantidades desconocidas. Si hayigual número de ecuaciones que de variables, entonces se llama n ecuaciones con n variables. 4-
  5. 5. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezb. 1 Ecuación lineal de dos variables.Ejemplo 10. La expresión 2x – 3y + 4 = 0 es una ecuación de dos variables x e yEjemplo 11. La expresión -7 5 x – 13y = 82 17x + 0.23y = 14b.2 Sistema de tres ecuaciones lineales en tres variablesEjemplo 12. La expresión 2x – 4y – 5z = 129x + 2y – 3z = 235x + 8y – 7z = 18b.3Sistema de dos ecuaciones cuadráticas en dos variablesPodemos combinar estas diferentes notaciones para ecuaciones y ver lo que resulta como seevidencia en los siguientes ejemplos.Ejemplo 13. La ecuación ax2 + dx + e = 0 es cuadrática literal.Ejemplo 14. La expresión x2 – 2y2 = 209x2 + 5y2 = 12Ejemplo 15. La expresión 2x2 – 3 x + 10 = 2 se llama ecuación fraccionaria cuadrática. Ecuaciones de Primer Grado o Linea lesUna ecuación es una igualdad donde por lo menos hay un número desconocido, llamado incógnita ovariable, y que se cumple para determinado valor numérico de dicha incógnita.Se denominan ecuaciones lineales o de primer grado a las igualdades algebraicas con incógnitascuyo exponente es 1 (elevadas a uno, que no se escribe).Como procedimiento general para resolver ecuaciones enteras de primer grado se debenseguir los siguientes pasos:1. Se reducen los términos semejantes, cuando es posible.2. Se hace la transposición de términos (aplicando inverso aditivo o multiplicativo), los quecontengan la incógnita se ubican en el miembro izquierdo, y los que carezcan de ella en el derecho.3. Se reducen términos semejantes, hasta donde es posible. 5-
  6. 6. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez4. Se despeja la incógnita, dividiendo ambos miembros de la ecuación por el coeficiente de laincógnita (inverso multiplicativo), y se simplifica.Resolución de ecuaciones de primer grado con una incógnitaPara resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita, aplicamos el criterio del operadorinverso (inverso aditivo o inverso multiplicativo), como veremos en el siguiente ejemplo:Resolver la ecuación 2x – 3 = 53Debemos tener las letras a un lado y los números al otro lado de la igualdad (=), entonces parallevar el –3 al otro lado de la igualdad, le aplicamos el inverso aditivo (el inverso aditivo de –3 es+3, porque la operación inversa de la resta es la suma).Entonces hacemos:2x – 3 + 3 = 53 + 3En el primer miembro –3 se elimina con +3 y tendremos:2x = 53 + 32x = 56Ahora tenemos el número 2 que está multiplicando a la variable o incógnita x, entonces lopasaremos al otro lado de la igualdad dividiendo. Para hacerlo, aplicamos el inverso multiplicativode 2 (que es ½) a ambos lados de la ecuación:2x • ½ = 56 • ½Simplificamos y tendremos ahora:x = 56 / 2x = 28Entonces el valor de la incógnita o variable "x" es 28.Ejercicio 8: Resuelve los siguientes ejercicios:a.b.c.d.e. 6-
  7. 7. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezf.g.h.i.j.k.l.m.n.2.- Resuelve las siguientes ecuaciones: 2 3 a. 2x - (3x - ) = x + 1 ; SOLUCIÓN.- x = 1 3 2 3x  3 3x  2 1 x  3   b. 4 2 6 12 ; SOLUCIÓN.- x = 16 9c. 4·(x – 3) – 7·(x – 4) = 6 – x ; SOLUCIÓN.- x = 5d. 3·(x + 7) – 6 = 2·(x + 8) ; SOLUCIÓN.- x = 1 7-
  8. 8. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez x6 4x  1 2 3e. 3 5 ; SOLUCIÓN.- x = 7 5 1f. 4(2x-1)+15=6-2(x-5) ; SOLUCIÓN.- x = = 10 2 Sistemas de ecuaciones lineales con dos incógnitas.Métodos de resolución  Método de sustitución Es aconsejable en sistemas en los que aparecen coeficientes 1 ó -1. 1. Despejamos la “ y “ de la primera ecuación: 2. Sustituimos en la otra ecuación: 3. Resolvemos la ecuación resultante: Para averiguar el valor de sustituimos el valor de en la expresión obtenida el el paso 1  Método de igualación 1. Despejamos la misma variable de ambas ecuaciones 2. Igualamos las dos expresiones anteriores 8-
  9. 9. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez = 3. Resolvemos la ecuación resultante 4. Para calcular el valor de x sustituimos en cualquiera de las expresiones obtenidas en el paso 1  Método de reducción Combinación lineal de ecuaciones : se multiplica una ecuación por ún número, la otra por otro número y se suman. La ecuación resultante de una combinación lineal es equivalente a las ecuaciones originales del sistema. El método de reducción consiste en eliminar una incognita del sistema. Vamos a eliminar la “X” . Para ello multiplico la ecuación de arriba por 3 y la de abajo por 2: Sumando ambas ecuaciones desapacen las x y nos queda Para calcular x sustituimos en cualquiera de las ecuaciones originales. Sustituyendo en la primera nos queda 9-
  10. 10. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEjercicio 9: Resuelve las siguientes ecuaciones de primer grado con dos incógnitascon los métodos de reducción, igualación y sustitución.1.2.3.4.5.6.7.8.9.10. 10-
  11. 11. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA LA IGUALDADCualidad de dos cosas o personas iguales, que tienen las mismas característicasen cuanto a su naturaleza, cantidad, forma o cualidad. Uniformidad o constanciaque hay en una cosa que se mantiene invariable. ECUACIONES DE SEGUNDO GRADOU na ecu a c i ó n d e s egu n d o gr a do es t o da ex p r es i ó n d e la f or ma : a x 2 + b x + c = 0 con a ≠ 0.Resolución de ecuaciones de segundo gradoSolución por formula generalP ar a r es o l v er ecu a ci o n es d e s egu n d o gr a d o u t il iza mos la s igu i ent e f ór mu la : 11-
  12. 12. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez S i es a < 0 , mu lt ip li ca mos l os d os mi emb r os p or ( − 1 ) .Solución por factorizaciónEn toda ecuación cuadrática uno de sus miembros es un polinomio de segundo grado y el otro escero; entonces, cuando el polinomio de segundo grado pueda factorizarse, tenemos que convertirloen un producto de binomios.Obtenido el producto de binomios, debemos buscar el valor de x de cada uno. 12-
  13. 13. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezPara hacerlo igualamos a cero cada factor y se despeja para la variable. Igualamos a cero ya quesabemos que si un producto es igual a cero, uno de sus multiplicandos, o ambos, es igual a cero.Ejemplos1) Resolver (x + 3)(2x − 1) = 9Lo primero es igualar la ecuación a cero. Para hacerlo, multiplicamos los binomios:Ahora, pasamos el 9, con signo contrario, al primer miembro para igualar a cero:Ahora podemos factorizar esta ecuación:(2x − 3)(x + 4) = 0Ahora podemos igualar a cero cada término del producto para resolver las incógnitas:Si 2x − 3 = 02x = 3 Si x+4=0x = −4Esta misma ecuación pudo haberse presentado de varias formas: (x + 3)(2x − 1) = 92x2 + 5x − 12 = 0 2x2 + 5x = 122x2 − 12 = − 5xEn todos los casos la solución por factorización es la misma:2) Halle las soluciones de 13-
  14. 14. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezLa ecuación ya está igualada a cero y solo hay que factorizar e igualar sus factores a cero y luegoresolver en términos de x:Ahora, si x=0o si x− 4 = 0 x=4Solución por completación de cuadradosSe llama método de la completación de cuadrados porque se puede completar un cuadradogeométricamente, y porque en la ecuación cuadrática se pueden realizar operaciones algebraicasque la transforman en una ecuación del tipo: (ax + b)2 = nen la cual el primer miembro de la ecuación (ax + b)2, es el cuadrado de la suma de un binomio.Partiendo de una ecuación del tipo x2 + bx + c = 0por ejemplo, la ecuación x2 + 8x = 48, que también puede escribirse x2 + 8x − 48 = 0Al primer miembro de la ecuación (x2 + 8x) le falta un término para completar el cuadrado de lasuma de un binomio del tipo (ax + b)2Que es lo mismo que (ax + b) (ax + b)Que es lo mismo que ax2 + 2axb + b2En nuestro ejemplox2 + 8x = 48, el 8 representa al doble del segundo número del binomio, por lo tanto, ese númerodebe ser obligadamente 8 dividido por 2 (8/2), que es igual a 4, y como en el cuadrado de la sumade un binomio ( a2 + 2ab + b2) el tercer término corresponde al cuadrado del segundo término (42 =16) amplificamos ambos miembros de la ecuación por 16, así tenemos x2 + 8x + 16 = 48 + 16 14-
  15. 15. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez x2 + 8x + 16 = 64la cual, factorizando, podemos escribir como sigue: (x + 4) (x + 4) = 64Que es igual a (x + 4)2 = 64Extraemos raíz cuadrada de ambos miembros y tenemosNos queda x+4=8Entonces x=8–4 x=4Se dice que "se completó un cuadrado" porque para el primer miembro de la ecuación se logróobtener la expresión (x + 4)2, que es el cuadrado perfecto de un binomio.Ejemplo 2:Partamos con la ecuación x2 + 6x − 16 = 0Hacemos x2 + 6x = 16Luego, a partir de la expresión x2 + 6x (primer miembro de la ecuación) debemos obtener unaexpresión de la forma (ax + b)2 (cuadrado de la suma de un binomio).Para encontrar el término que falta hacemos(Para encontrar dicho término en cualquier ecuación siempre debemos dividir por 2 el valor real delsegundo término y el resultado elevarlo al cuadrado). 15-
  16. 16. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezAhora, para obtener la expresión completa se suma 9 a ambos miembros de la ecuación: x2 + 6x = 16 x2 + 6x + 9 = 16 + 9 x2 + 6x + 9 = 25Factorizamos, y queda (x +3) (x + 3) = 25 (x + 3)2 = 25La expresión x2 + 6x se ha completado para formar un cuadrado perfecto, en este caso (x + 3)2, y asíla ecuación se resuelve con facilidad: Extraemos raíz cuadrada , y queda x + 3 = 5 y x + 3 = −5(pues 52 = 5 y también (−5)2 = 5Entonces x=5−3 x=2 “y” x=−5−3 x=−8La ecuación 1 da x = 2 y la ecuación 2 da x = −8. 16-
  17. 17. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEJERCICIOS 10: Realizar las siguientes ecuaciones por factorización, formula generaly completación de cuadrado.Ecuación Soluciónx  6 x  9  16 2 x1  7 ; x2  1 2x + 12x + 35 = 0 x1  7 ; x2  5x  6x  5  0 2 x1  5 ; x2  12x  7 x  6  0 2 x1  2 ; x2  3 2x 2  3x  5  2 x  9 x1  7 ; x2  26 x2  5  x  1  x  x  1  4 1 x1  1 ; x2  5 x 4x 1 4 12 x2   x2   x1  ; x2   4 5 5 5 42 x  2 x 2  x 3x  7 x1  1 ; x2  1   3 5 10 6SEGUNDA PARTE DE EJERCICIO-1.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado:a. 4x2 – 2(x2 + 2x – 1) = 0 ; SOLUCIÓN.- x = 1 raíz doble b. (x + 1)2 – (x – 1)2 = –12 ; SOLUCIÓN.- x = – 3 (en realidad ecuación grado 1)c. 2x+5 – x·(x+8)=5(x+1) ; SOLUCIONES.- x = 0 ; x = – 52.- Resuelve las siguientes ecuaciones de segundo grado indicando en cada caso elnúmero de soluciones de las mismas: 5 5a. 23 = 9x2 – 2 ; SOLUCIONES.- x = ;x=– (2 Soluciones) 3 3b. x2 – 7x – 18 = 0 ; SOLUCIONES.- x = 9 ; x = – 2 (2 Soluciones) 8 1c. 3x2 – 8x – 3 = 0 ; SOLUCIONES.- x = ;x=– (2 Soluciones) 3 3d. x2 + 11x = 0 ; SOLUCIONES.- x = 0 ; x = – 11 (2 Soluciones)e. x 2 + 2x = – 1 ; SOLUCIONES.- x = – 1 (1 solución)3.- Se quiere vallar una finca rectangular de 3000 metros cuadrados para guardar elganado. Si se han utilizado 220 metros de cerca, ¿Cuáles son las dimensiones de la finca? 17-
  18. 18. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez  x·y  3000SOLUCIÓN.- Planteamiento  -- x· (110 – x ) = 3000 - ancho 50 2 x  2 y  220metros Alto 60 metros4.- Halla cinco números enteros consecutivos tales que la suma de los cuadrados de losdos mayores sea igual a la suma de los cuadrados de los otros tres.SOLUCIÓN.- Planteamiento (x +4) 2 + (x + 3) 2 = (x + 2) 2 + (x + 1) 2 + x 22 posibles soluciones. 10 , 11 , 12, 13 y 14 –2,–1,0,1y2 RECUERDA CreatividadLa creatividad, pensamiento original, imaginación constructiva, pensamientodivergente o pensamiento creativo, es la generación de nuevas ideas o conceptos,o de nuevas asociaciones entre ideas y conceptos conocidos, que habitualmenteproducen soluciones originales. 18-
  19. 19. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez DESIGUALDADESUna desigualdad es una oración matemática que contiene un signo de desigualdad. Los signos dedesigualdad son: no es igual< menor que> mayor que menor o igual que mayor o igual queUna desigualdad que tiene variable se llama inecuación. Por ejemplo: x+3<7(La punta del signo < siempre señala el menor) Ej. 3 < 4, 4 > 3¿Cómo resolvemos una inecuación? Para esto tenemos que observar propiedades de lasdesigualdades. Por ejemplo: 1<6 1+5<6+5¿Esto es cierto? Sí. Así que podemos sumar en ambos lados de una desigualdad y sigue cierta.Otro ejemplo: 2<6 2 + -9 < 6 + -9Esto es también cierto. Sigue cierta la desigualdad al sumar en ambos lados un número negativo.Otro ejemplo con resta: 7>4 7-3>4–3La desigualdad sigue siendo cierta al restar un número negativo.Aquí tenemos otro ejemplo pero esta vez restando un número negativo en ambos lados de ladesigualdad: 2<8 2 - (-3) < 8 - (-3) Restar un número es igual que sumar su opuesto 2+3<8+3 19-
  20. 20. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 5 < 11La desigualdad es cierta al restar un número negativo de ambos lados.Multiplicación con números positivos: 3<7 3*6<7*6La desigualdad es cierta al multiplicar unos números positivos en ambos lados.Multiplicación con números negativos: 4>1 4 · -2 > 1 · -2 -8 > -2 FalsoNota: La desigualdad cambia en este caso, ya que -8 no es mayor que -2. En el caso que semultiplique por un número negativos en ambos lados de una desigualdad, el signo se invierte: -8 < - 2Ahora, la desigualdad es cierta.División con positivos: 3<9 3/3 < 9/3 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por 3 1<3 La desigualdad es cierta.División con negativos: 4 < 12 4/-2 < 12/-2 Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 -2 < -6 falso Si dividimos ambos lados de la desigualdad por -2 La desigualdad es falsa. Por lo tanto, debemos invertir el signo. -2 > -6 Ahora la desigualdad es cierta. 20-
  21. 21. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez En resumen, se invierte el signo cuando se multiplica o se divide una desigualdad por un número negativo.Ejemplos:Resolver la siguiente inecuación para verificar si el número dado es solución.Ejemplo 1: x + 3 < 6 ; x = 5x + 3 < 6 [Ahora, se sustituye x por 5.]5 + 3 < 6 [ Simplificar]8<6¿ 8 es menor que 6? No. Entonces, 5 no es una solución.Ejemplo 2: x - 3 8 ; x = 1111 - 3 88 8¿8 es mayor que 8? No, pero 8 sí es igual a 8. Así que es cierta la inecuación y podemos concluirque x = 11 es una solución.Ejemplo 3:x + 4 < 7 Hay que resolver la inecuaciónx < 7 + - 4 Combinar los términos semejantes.Encontrar los valores de x.x<3Quiere decir, que x es menor que 3. Algunas soluciones son 2, 2.5, 2.7, 1, 0, etc. Todos los númerosmenores que 3 son soluciones de esta inecuación. Quiere decir que el conjunto de soluciones de estainecuación es un conjunto infinito.Ejemplo 4:x-9 8x 9+8x 17x es mayor o igual a 17 es la solución.Ejemplo 5:3x < 5 Para deshacer la multiplicación de la x por 3,3x/3 < 12/3 dividimos por 3 en ambos lados de la inecuaciónx<4Entonces, x es menor que 4 es la solución.Ejemplo 6:-2x -6 Para deshacer la multiplicación de x por -2, se-2x/-2 -6/-2 divide ambos lados de la inecuación por -2.x 3 21-
  22. 22. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezComo el número dividido era negativo, se invierte el signo.Ejemplo 7:3x - 1 2x + 4 Hay que combinar términos semejantes.3x + -2x 1 + 4 Resolver.x 5Ejemplo 8:4x + 9 6x - 94x + 9 6x + - 94x + -6x -9 + -9-2x/-2 -18/-2x 9Resolviendo DesigualdadesEjemplo: Resolver x - 3 > 2x-3+3>2+3x+0>5x>5Recuerda que restar un número es igual que sumarse el opuesto.x + -3 + 3 > 2 + 3x+0>5x>5Se resuelve tal como si fuera una ecuación, pero teniendo en cuenta los signos > , < , , , . y laspropiedades de la desigualdades.Ejemplo:2x - 4 3x + 12x - 4 + 4 3x + 1+ 42x - 3x + 0 3x - 3x + 5-x 0 + 5x -5Ejemplo:Resolver -2x -34.-2x -34 Al dividir ambos las por un número negativo, el signo-2 -2 de se invierte a .x 17 22-
  23. 23. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEJERCICIO 11: Resuelve las siguientes inecuaciones. 3x  1 x  1 1.   2x  1 2 3 x 1 2. 4 x  9  2 3x  5 1 3 x  9 5 x  13 4 x 3.   10 5 15 3 2x  5 4x  1 5x 4.   9 6 18 3  5 x 1  8 x 23  10 x 5.   0 3 4 12 6. 3x  12  5x2  2x  2 x  12 7. 2  x 5  6 8.  3  2x  6  5 9.  2 x  4  5x  8 10. x  3 x  2  0 11. x  6 x2  1 0 12. 2 x  1 3x  5  0 13. x2  4  0 14. x 2  3x  10  0 23-
  24. 24. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 15.  6 x  x  1  0 2 3x  1 16. 0 2x  5 2x 17. 0 x 1 2 4 18. 0 x  9 x  18 2 2x 19. 1 x 1 2 5  2x 20. 1 3x  9 x2  1 1 21.  5x 2 x5 22. 5  x x 23. x 3x  1 x  2  0 24. x3  6 x 2  11x  6  0 25. x 4  5x 2  4  0 24-
  25. 25. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez RECUERDA EMPATIAEs la capacidad que tiene el ser humano para conectarse a otra persona yresponder adecuadamente a las necesidades del otro, a compartir sussentimientos, e ideas de tal manera que logra que el otro se sienta muy bien conél. Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: prueba objetiva y rúbrica.  Procedimentales: lista de cotejo.  Actitudinales: escala de rango. 25-
  26. 26. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez http://manualmateenefs.ucoz.com/ 26-
  27. 27. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezCompetencia. Identifica estrategias variadas al resolver problemas matematizados cuyos resultados verifica.Indicadores de logro. 1. Opera en el Sistema de Numeración Maya. CONTENIDOS DECLARATIVOS PROCEDIMENTALES ACTITUDINALESNumeración maya: definición, Escritura y lectura de números Valoración y respeto por lasistema numérico de puntos y mayas. cultura maya.rayas.El cero, numeración Utilización del cero y escritura Uso del valor de la identidad alastronómica y comercial. de numeración astronómica y identificar la riqueza de la comercial maya. cultura Maya.Calendario lunar, escritura de Ejercicios de escritura de Hacer uso del valor de lanúmeros mayores al 19 números mayores al 19 creatividad ante la escritura de la numeración Maya.Operaciones de suma y resta de Procedimiento y resolución de Practica del valor de lanúmeros mayas. sumas y restas de números constancia ante la resolución de mayas. problemas con números Mayas. Numeración mayaLos mayas idearon un sistema de numeración como un instrumento para medir el tiempo y no parahacer cálculos matemáticos. Por eso, los números mayas tienen que ver con los días, meses y años,y con la manera en que organizaban el calendario.Los mayas tenían tres modalidades para representar gráficamente los números, del 1 al 19, así comodel cero: un sistema numérico de puntos y rayas; una numeración cefalomorfa «variantes decabeza»; y una numeración antropomorfa, mediante figuras completas.3 27-
  28. 28. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEl sistema numérico de puntos y rayasEn el sistema de numeración maya las cantidades son agrupadas de 20 en 20; por esa razón en cadanivel puede ponerse cualquier número del 0 al 19. Al llegar al veinte hay que poner un punto en elsiguiente nivel; de este modo, en el primer nivel se escriben las unidades, en el segundo nivel setienen los grupos de 20 (veintenas), en el tercer nivel se tiene los grupos de 20×20 y en el cuartonivel se tienen los grupos de 20×20×20.Numeración maya.Los tres símbolos básicos son el punto, cuyo valor es 1; la raya, cuyo valor es 5; y el caracol(algunos autores lo describen como concha o semilla), cuyo valor es 0.El sistema de numeración maya, aún siendo vigesimal, tiene el 5 como base auxiliar. La unidad serepresenta por un punto. Dos, tres, y cuatro puntos sirven para 2, 3 y 4. El 5 era una raya horizontal,a la que se añaden los puntos necesarios para representar 6, 7, 8 y 9. Para el 10 se usaban dos rayas,y de la misma forma se continúa hasta el 19 (con tres rayas y cuatro puntos) que es el máximo valorque se puede representar en cada nivel del sistema vigesimal. Este sistema de numeración esaditivo, porque se suman los valores de los símbolos para conocer un número. El punto no se repitemás de 4 veces. Si se necesitan 5 puntos, entonces se sustituyen por una raya. La raya no aparecemás de 3 veces. Si se necesitan 4 rayas, entonces quiere decir que se quiere escribir un número igualo mayor que 20 necesitándose así emplear otro nivel de mayor orden. El CeroSímbolo maya para el cero, año 36 a. C. Es el primer uso documentado del cero en América. 28-
  29. 29. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezLa civilización maya fue la primera de América en idear el cero. Este era necesario para sunumeración porque los mayas tenían un sistema posicional, es decir, un sistema de numeración enel que cada símbolo tiene un valor diferente según la posición que ocupa. El símbolo del cero esrepresentado por un caracol (concha o semilla), una media cruz de Malta, una mano bajo una espiralo una cara cubierta por una mano.7Por ejemplo, para saber qué número es éste hay que obtener el valor de los símbolos. El cero indicaque no hay unidades. Los dos puntos del segundo orden representan 2 grupos de 20 unidades; o sea,40. El número del tercer orden es un 8, pero su valor real se obtiene al multiplicarlo por 360. Por lotanto, el número es 2880+40+0= 2920. Es más fácil leer un número cuando se representa conpuntos, rayas y conchas, porque es una representación sencilla que no deja lugar a dudas del valorde cada símbolo, de acuerdo con la posición en la que se escribe. En las representacionesantropomorfas, es más complejo entender el número escrito.Numeración astronómicaEl año lo consideraban dividido en 18 unidades; cada una constaba de 20 días. Se añadían algunosfestivos (uayeb) y de esta forma se conseguía que durara justo lo que una de las unidades de tercerorden del sistema numérico. Además de este calendario solar usaron otro de carácter religioso en elque cada año se divide en 20 ciclos de 13 días. Al romperse la unidad del sistema, éste se hace pocopráctico para el cálculo. Y, aunque los conocimientos astronómicos y de otro tipo fueron notables,los mayas no desarrollaron una matemática astronómica más allá del calendario. Fue así como ellosempezaron a crear su simbolización a esto se le llama sistema de numeración maya.Numeración comercialAl tener cada cifra un valor relativo según el lugar que ocupa, la presencia de un signo para el cerocon el que indicar la ausencia de unidades de algún orden se hace imprescindible. Los mayas lousaron, aunque no parece haberles interesado el concepto de cantidad nula. Como los babilonios, lousaron simplemente para indicar la ausencia de otro número. Pero los científicos mayas eran a lavez sacerdotes ocupados en la observación astronómica, y para expresar los númeroscorrespondientes a las fechas usaron unas unidades de tercer orden irregulares para la base 20. Así,la cifra que ocupaba el tercer lugar desde abajo se multiplicaba por 20×18=360, para completar unacifra muy próxima a la duración de un año. Su numeración limita en el número 50. Este es unavariante del sistema convencional maya.Calendario lunar o TzolkinDebido al sistema vigesimal de numeración, el calendario estaba compuesto por múltiplos de 20. ElTzolkin o calendario sagrado, tenía 260 días, mientras que el Haab o calendario solar, 360 más 5días nefastos que no se incluían en él.El tzolkin resultaba de la combinación de 20 nombres de los días con el número 13.Esquemáticamente se puede representar por medio de dos ruedas dentadas; en una se encuentran losnúmeros 1 a 13 y en la otra los nombres de los días. La primera gira hacia la derecha; la segunda lohace hacia la izquierda.Los nombres de los días eran por orden: imix (lagarto), ik (viento), akbal (noche, oscuridad), kan(maíz, lagartija), chicchán (serpiente celestial), kimí (muerte), manik (venado), lamat (conejo,venus), muluc (jade, lluvia), ok (perro, pie), chuwen (artesano, mono), eb (rocío, diente), ben (caña 29-
  30. 30. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquezde maíz), ix (jaguar), men (águila), kib (cera, vela, tecolote), kabán (tierra, temblor), etsnab(pedernal), kawak (tormenta) y ahaw (señor).Para que se repita el 1 Imix, fecha inicial del calendario, debían transcurrir 260 días. LA ESCRITURA DENÚMEROS MAYORES A 19En los sistemas numéricos maya y decimal existe el "principio de posición" en el cual cada símbolonumérico adquiere un valor determinado dependiendo de su posición en el numeral. Por ejemplo, enel sistema decimal el símbolo 5 implica cinco unidades pero si se le agrega un cero a la derecha, 50,entonces significa cincuenta unidades.A continuación se explica el mismo principio en el sistema maya. En la cuadrícula de la Fig. 1 seindica: el número de cada renglón; las potencias de veinte correspondientes a cada renglón (que sonel número de veces que 20 se multiplica por sí mismo); el valor de esas potencias en sistemadecimal y el número maya indicativo de una unidad en cada posición.El renglón indicado con el número 0, corresponde a 20º y tiene un valor decimal de 1; si semultiplica este valor por el número de veces indicado por el número maya entonces el valordecimal es 1 x 1 = 1. El renglón número 1 indica 201 = 20, que multiplicado por da un valordecimal de 20 x 1 = 20, y así sucesivamente. De este modo el valor de cada unidad maya dependede la posición en la que se encuentre ubicada dentro de la cuadrícula.Figura 1. Valor de la unidad maya dependiendo de su posición en la cuadrícula.Número de renglón Potencias de veinte Número maya Valor decimal 6 206 = 64 000 000 1 x 64 000 000 5 205 = 3 200 000 1 x 3 200 000 4 204 = 160 000 1 x 160 000 3 203 = 8 000 1 x 8 000 2 202 = 400 1 x 400 1 201 = 20 1 x 20 0 20 0 = 1 1x1Como en la numeración actual, los números mayas se pueden escribir vertical u horizontalmente.Para transcribir cualquier número decimal al sistema numérico maya se presentan dos métodos,utilizando como ejemplo a 117 206:a) En el primer método se procede de arriba hacia abajo:Se ubica el número a transcribir entre los valores decimales de las potencias de veinte adecuadas. 30-
  31. 31. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezFig. 1. En este caso 117 206 es mayor que 8 000 (tercer renglón, 203) y menor que 160 000 (cuartorenglón, 204), por lo que el número a transcribir se puede expresar como “las veces” que 8 000 =203 cabe entero en el número del ejemplo, 117 206.Se divide 117 206 entre 8 000: 117 206 / 8 000 = 14.65075,Se coloca el número maya 14 , , en la casilla correspondiente a203 = 8 000, lo cual equivale a escribir 14 veces 8 000 = 112 000.La diferencia entre el valor exacto de la potencia de 20 obtenida y el número que se estátranscribiendo al sistema maya es: 117 206 - 112 000 = 5 206.Se divide 5 206 entre el siguiente valor inferior de potencia,202 = 400, quedando 5 206/400 = 13.015, el entero se coloca en la casilla de 202 = 400, loque equivale a 13 veces 400 = 5 200Se resta 5 206 - 5 200 = 6. Al dividir este número entre 20 no se obtienen valores enteros por lo quese coloca en la casilla correspondiente a 201 y el 6, , en la casilla de 200 = 1, con lo que setermina de escribir el número 117 206.b) En el segundo método se procede de abajo hacia arriba.Se divide 117 206 entre 20:el 6 del residuo se coloca en la posición 200 , .El cociente 5 860 se divide entre 20:El residuo, cero , se coloca en la casilla 201= 20.El cociente de la división b), 293, se divide entre 20 31-
  32. 32. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto VásquezEn la casilla 202 = 400 se coloca el residuo 13,el cociente de 14, se divide entre 20,Por último, en la casilla 203 = 8 000 se coloca el residuo 14, los resultados de ambos métodos sepresentan en la cuadrícula maya: Potencia Valor decimal Numeral maya 203 = 8 000 14 x 8 000 = 112 000 202 = 400 13 x 400 = 5 200 201 = 20 0 x 20 = 0 200 = 1 6x1=6 TOTAL 117 206 OPERACIONES DE SUMA Y RESTA DE LOS MAYASEl tercer aspecto del sistema numérico maya es la utilización de una cuadrícula matemática paraefectuar cualquier operación, tanto en el sistema vigesimal como en cualquier sistema con otrasbases. Lamentablemente existen pocos vestigios de estas cuadrículas debido principalmente a surealización con materiales degradables y, tal vez, al no tener la necesidad de guardar la huella deestas operaciones.1. LA SUMA.Para sumar, por ejemplo, 11 + 3, se coloca el primer sumando en la primera columna y el segundoen la siguiente. En la tercera columna se indican las sumas de los puntos y las rayas 32-
  33. 33. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 11 +3 = 14La suma de números mayores sigue la misma lógica con ciertas reglas:Se comienza a sumar del escalón de abajo hacia arriba.Cada 5 puntos se transforman en una línea.Cada cuatro líneas, o sea una veintena, se convierten en un punto del escalón de arriba.Durante todo este artículo se muestra un paso intermedio, producto de la operación matemática quese esté efectuando, que llamaremos columna de trabajo, CT.En la siguiente columna están los números escritos siguiendo las reglas de escritura maya. Se deseasumar 526 + 3 470 + 9 837 = 13 833, se representan en la cuadrícula maya: 526 + 3 470 + 9 837 CT 320 = 8 000 8 000 x 1 = 8 000202 = 400 400 x 14 = 5 600201 = 20 = + = 20 x 11 = 220200 = 1 1 x 13 = 13 + Suma 13 833La lógica de este sistema numérico permite realizar operaciones en sistemas basados en otrosnúmeros, la diferencia estriba en que en vez de que cada renglón de la cuadrícula corresponda a unvalor diferente de potencia de 20, corresponderá a una potencia del número seleccionado comobase.2. LA RESTAPara efectuar esta operación, en la primera columna de una cuadrícula se coloca el minuendo y en lasegunda el sustraendo; se realizan los pasos contrarios a la suma, es decir, se restan puntos de lospuntos y rayas de las rayas. Si, en el sistema vigesimal, se tiene menor cantidad de puntos en elminuendo que en el sustraendo, una raya se transforma en 5 puntos y si aún no es suficiente unpunto de la casilla superior se transforma en 4 cuatro rayas al descender a la casilla de interés.Se desea restar 5 520 de 8 642, indicados en la cuadrícula maya. Se efectuarán las operacionesúnicamente en sistema vigesimal ya que se sigue la misma metodología para los otros sistemas, conlas particularidades mencionadas en cada uno. 33-
  34. 34. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez 8 642 - 5 520 = 8 642 - 5 520 Resta203 = 8 000202 = 400 400 x 7 = 2 800201 = 20 = - = 20 x 16 = 320200 = 1 1x2=2 Resta 3 122Ejercicio 12: Resuelva los siguientes problemas I. Cambie de la base decimal a base de sistema maya cada uno de los siguientes números. a. 45 b. 385 c. 57813 d. 4254 e. 563889 f. 12235 g. 2II. Cada número dado en el sistema de base 20, expréselo en el sistema decimal. a. 23 b. 45 c. 456 d. 123 e. 1427 f. 1000000 g. 45878 h. 45664 i. 12 34-
  35. 35. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez III. Realice las operaciones indicadas con los siguientes números utilizando los reticulados o cuadrículas que mostramos en los ejemplos (las cantidades están dadas en el sistema de numeración maya). a. 42 más 63 b. 12 más 23 c. 458 menos 365 d. 16; 4; 4 menos 4; 12; 4; e. Multiplicar 70 por 2; por 3; por 5; por 10. (Siga el proceso que aplicamos en ejemplo) f. Multiplicar 35 por 20 (Aplique el algoritmo propuesto) g. Dividir 12 entre 2 h. Dividir 456 entre 10 IV. Efectúe las operaciones que se indican y escriba el resultado en el sistema decimala) b) Másc) d) Más 35-
  36. 36. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásqueze) f) Más Menos RECUERDA IDENTIDADEs el conjunto de valores, orgullos, tradiciones, símbolos, creencias ymodos de comportamiento que funcionan como elementos dentro deun grupo social y que actúan para que los individuos que lo formanpuedan fundamentar su sentimiento de pertenencia que hacen parte ala diversidad al interior de las mismas en respuesta a los intereses,códigos, normas y rituales que comparten dichos grupos dentro de lacultura dominante. 36-
  37. 37. - Matemáticas en la Educación Física- PEM. Carlos Augusto Vásquez Evaluación Se sugiere la evaluación de los contenidos por medio de los siguientes instrumentos.  Declarativos: Prueba objetiva.  Procedimentales: lista de cotejo.  Actitudinales: escala de rango. 37-

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