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MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
-Introducción
-La proyección de un movimiento armónico simple
-Elementos del Movimiento Armónico Simple
-Ecuaciones del Mo...
INTRODUCCIÓN
Movimiento periódico: se
repiten a intervalos iguales de
tiempo. 
Movimiento oscilatorio: es un
movimiento pe...
Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si
en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto
del espac...
LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO
CIRCULAR SOBRE UN EJE
RADIO VECTOR
Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido
...
ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE
Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación
completa.
Frecuenc...
Movimiento Armónico Simple
Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
ω t + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el
RADIÁN
ϕ : es la fase inicial (t = 0)...
Ecuaciones de la posición del Mov. MAS
Si x = A sin ωt
v= dx/dt = A ω cos ωt
a= dv/dt= -A ω2
sin ωt
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Para x>0, F =-kx
Para x<0, F =kx
LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un
oscilador armónico.
La fuerza r...
Periodo de las Oscilaciones
Tomando a= - ω2
x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y
PERIODO son respectivamente:
El period...
ENERGIA CINETICA
Aquella capacidad que poseen los cuerpos para
realizar trabajo en función de su movimiento.
Ec = 1/2 mv2
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La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa,
porque el trabajo que realiza un muelle no depende del
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Esta energía, depende de las posiciones de las partículas
que forman el sistema.
En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de ...
ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR
ARMONICO
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REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL
Se toma como referencia, energía potencial cero
aquella donde x = 0
ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO
SIMPLE
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M.A.S. angular
La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por:
Un resorte espiral ejerce un momento de torsión
de res...
Movimiento Periódico Movimiento Armónico
POSICIÓN VERSUS TIEMPO
VELOCIDAD VERSUS TIEMPO
ACELERACION VS TIEMPO
Posición, velocidad y aceleración vs tiempo
Descripción del Movimiento Armónico Simple
M.A.S. vertical
Colgamos una masa del extremo libre
de un resorte vertical y se deja
descender suavemente; comienza a
osci...
Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple
x = A cos (ωt + φ) = A cos (2πƒt + φ)
x = A sen(ωt + β) = A sen (2πƒt + β)
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θ
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Sen θ Diferenc
ia (%)
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2 0,0349 0,0349 0,00
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EJERCICIOS
1.-Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS
con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongaci...
Sustitución y resultados:
F = ¼ s = 0.25 ciclos/s
a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65
radia...
2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si
su longitud es de 40 cm,
Datos Fórmulas
Sustitución
l = 40 cm = ...
GRACIAS
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CAPITULO VIII : MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE

  1. 1. MOVIMIENTO ARMONICO SIMPLE
  2. 2. -Introducción -La proyección de un movimiento armónico simple -Elementos del Movimiento Armónico Simple -Ecuaciones del Movimiento Armónico Simple -Ley de Hooke -Periodo de Oscilación -Energía del Oscilador CONTENIDOS TEMÁTICOS
  3. 3. INTRODUCCIÓN Movimiento periódico: se repiten a intervalos iguales de tiempo.  Movimiento oscilatorio: es un movimiento periódico de vaivén respecto de una posición central, llamada posición de equilibrio.
  4. 4. Un cuerpo tiene movimiento vibratorio armónico simple si en intervalos de tiempo iguales pasa por el mismo punto del espacio siempre con las mismas características de posición velocidad y aceleración.
  5. 5. LA PROYECCIÓN DE UN MOVIMIENTO CIRCULAR SOBRE UN EJE RADIO VECTOR Un cuerpo que se mueve en una circunferencia en sentido contrario a las agujas del reloj el ángulo que forma el radio con el eje x va cambiando . Este radio se puede proyectar sobre el eje Y.
  6. 6. ELEMENTOS DEL MOV. ARMONICO SIMPLE Periodo(T): el tiempo que tarda el móvil en describir una oscilación completa. Frecuencia(ƒ): el número de oscilaciones f = 1/T completas efectuadas en la unidad de tiempo. Elongación: en un instante dado es la posición de la partícula respecto de la posición de equilibrio. Amplitud(A): es el valor máximo de la elongación. Frecuencia angular(ω): ω = 2πƒ
  7. 7. Movimiento Armónico Simple
  8. 8. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS ω t + ϕ :es la fase, cuya unidad en S.I es el RADIÁN ϕ : es la fase inicial (t = 0) x = A cos(ω t +ϕ) x = A sin(ω t +ϕ)
  9. 9. Ecuaciones de la posición del Mov. MAS Si x = A sin ωt v= dx/dt = A ω cos ωt a= dv/dt= -A ω2 sin ωt a = - ω2 x 22 xAv −±= ω
  10. 10. Para x>0, F =-kx Para x<0, F =kx LEY DE HOOKE: Define el comportamiento del muelle para un oscilador armónico. La fuerza restauradora de un muelle es directamente proporcional a su deformación. Fm = -k x
  11. 11. Periodo de las Oscilaciones Tomando a= - ω2 x ; tenemos que SU FRECUENCIA ANGULAR y PERIODO son respectivamente: El periodo de oscilación y la frecuencia del cuerpo no depende de la amplitud de las oscilaciones. En todo instante y en ausencia de rozamiento, la resultante de las fuerzas que actúan sobre el cuerpo que oscila, es la fuerza restauradora del muelle: Fm = m a - k x = m a T = 2π m / km k =ω
  12. 12. ENERGIA CINETICA Aquella capacidad que poseen los cuerpos para realizar trabajo en función de su movimiento. Ec = 1/2 mv2 Ec = 1/2 k (A2 –x2 )
  13. 13. La Ley de Hooke es un ejemplo de fuerza conservativa, porque el trabajo que realiza un muelle no depende del camino seguido. FUERZAS CONSERVATIVAS
  14. 14. Esta energía, depende de las posiciones de las partículas que forman el sistema. En un sistema muelle-cuerpo, hablamos de energía potencial elástica; por supuesto cuanto mayor sea la compresión del muelle mayor es la energía. ENERGIA POTENCIAL Epelástica = ½ K x2
  15. 15. ENERGÍA POTENCIAL DE OSCILADOR ARMONICO xdxwmFdxE B A B Ap 2 ∫∫ −−=−= ∫       = B A B A x mwxdxmw 2 2 22 22 22 ab p x K x KE −=
  16. 16. REFERENCIA DE ENERGÍA POTENCIAL Se toma como referencia, energía potencial cero aquella donde x = 0
  17. 17. ENERGÍA TOTAL DEL MOVIMIENTO ARMÓNICO SIMPLE 22 2 1 2 1 kxmvET +=
  18. 18. M.A.S. angular La frecuencia angular y frecuencia vienen dadas por: Un resorte espiral ejerce un momento de torsión de restitución proporcional al desplazamiento angular respecto de la posición de equilibrio. τ = -K Θ El momento esta descrito por: Θ= Θ cos(ωt+ φ)
  19. 19. Movimiento Periódico Movimiento Armónico
  20. 20. POSICIÓN VERSUS TIEMPO
  21. 21. VELOCIDAD VERSUS TIEMPO
  22. 22. ACELERACION VS TIEMPO
  23. 23. Posición, velocidad y aceleración vs tiempo
  24. 24. Descripción del Movimiento Armónico Simple
  25. 25. M.A.S. vertical Colgamos una masa del extremo libre de un resorte vertical y se deja descender suavemente; comienza a oscilar de forma vertical, hasta que el sistema alcanza el equilibrio. Fuerza recuperadora -> F=kl En el equilibrio se cumple -> mg=kΔl k=mg/l -> f= 1/2 π k/m
  26. 26. Ejemplo: Ecuaciones del péndulo simple x = A cos (ωt + φ) = A cos (2πƒt + φ) x = A sen(ωt + β) = A sen (2πƒt + β) Periodo del péndulo: T = 2π L / |g|
  27. 27. θ (grado s) θ (radian es) Sen θ Diferenc ia (%) 0 0,0000 0,0000 0,00 2 0,0349 0,0349 0,00 5 0,0873 0,0872 0,11 10 0,1745 0,1736 0,52 15 0,2618 0,2588 1,15 20 0,3490 0,3420 2,01 25 0,4363 0,4226 3,14
  28. 28. EJERCICIOS 1.-Un cuerpo cuyo radio mide 0.15 metros describe un MAS con un periodo de 4 segundos. Calcular: a) Su elongación, es decir su posición a los 3.6 segundos. b) Su velocidad a los 3.6 segundos. c) Su velocidad máxima. d) su aceleración máxima. Datos Fórmulas r = 0.15 m F = 1/T T = 4 seg a) Y = r cos 2 π F t a) Y 3.6 seg = ¿ b) v = - 2 π F r sen 2 π F t b) v 3.6 seg = ¿ c) V max = - 2 π F r sen 90°. c) V máx = ¿ d) a max = - 4 π 2 F2 Ymáx d) a máx= ¿
  29. 29. Sustitución y resultados: F = ¼ s = 0.25 ciclos/s a) Y = 0.15 m cos 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 3.6 s = 0.15 m x 5.65 radianes. 5.65 rad x 57.3°/ 1 rad =323.86°. cos 323.86° = cos (360° - 323.86°) = cos 36.14° = 0.8073 Y 3.6 s = 0.15 m x 0.8073 = 0.12 metros. b) V 3.6 s = -2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 323.86° sen 323.86° = - sen (360°-323.86°) = - sen 36.14 = - 0.5901. V 3.6 s = -0.236 m/s x – 0.5901 = 0.14 m/s c) V max = - 2 x 3.14 x 0.25 ciclos/s x 0.15 m x sen 90° = - 236 m/s d) a max = - 4 (3.14)2 (0.25 ciclos/s)2 (0.15 m) = - 0.37 m/s2 .
  30. 30. 2. Determine el periodo de un péndulo y su frecuencia, si su longitud es de 40 cm, Datos Fórmulas Sustitución l = 40 cm = 0.40 m T = 2 π √ l/g T = 2 x 3.14 √0.4 m/ 9.8 m/s2 T = 1.27 s F = 1/T F = 1/1.27 s = 0.79 ciclos/s g = 9.8 m/seg2. T = ¿ F = ¿
  31. 31. GRACIAS

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