1Geometria Prof.:Carlinhos.Lista n° 12 20/05/2013RETAS, PLANOS E POLIEDROS1. (G1 - ifsp 2013) A figura mostra uma peça fei...
28. (Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1),construído em plástico inflável, cujos vértices e pontosmédios de t...
316. (Ufc 2004) Um poliedro convexo só tem facestriangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e10 vértices, então, ...
429. (Uff 1997) Marque a opção que indica quantospares de retas reversas são formados pelas retassuportes das arestas de u...
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12ª lista de exercícios de geometria

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12ª lista de exercícios de geometria

  1. 1. 1Geometria Prof.:Carlinhos.Lista n° 12 20/05/2013RETAS, PLANOS E POLIEDROS1. (G1 - ifsp 2013) A figura mostra uma peça feita em1587 por Stefano Buonsignori, e está exposta noMuseu Galileo, em Florença, na Itália. Esseinstrumento tem a forma de um dodecaedro regular e,em cada uma de suas faces pentagonais, há agravação de um tipo diferente de relógio.Em 1758, o matemático Leonard Euler (1707-1783)descobriu o teorema conhecido por relação de Euler:em todo poliedro convexo com V vértices, A arestas eF faces, vale a relação V A F 2.   Ao se aplicar arelação de Euler no poliedro da figura, o número dearestas não visíveis éa) 10. b) 12. c) 15. d) 16. e) 18.2. (Uem 2012) Sabendo que r, s e t são três retas noespaço tridimensional com r e s paralelas distintas,assinale o que for correto.01) Se a reta r é perpendicular a um plano α , então areta s também é perpendicular ao plano α .02) Se a reta t é concorrente com a reta s, então ttambém é concorrente com a reta r.04) Se um plano β contém a reta s, então o plano βtambém contém a reta r.08) Se a reta t é perpendicular à reta r, então t éperpendicular ou ortogonal à reta s.16) Se as três retas r, s e t são paralelas distintas,então existe um plano α que contém as três retas.3. (Espcex (Aman) 2012) Considere as seguintesafirmações:I. Se dois planos α e β são paralelos distintos, entãoas retas 1r α e 2r β são sempre paralelas.II. Se α e β são planos não paralelos distintos,existem as retas 1r α e 2r β tal que 1r e 2r sãoparalelas.III. Se uma reta r é perpendicular a um plano α noponto P, então qualquer reta de α que passa por Pé perpendicular a r.Dentre as afirmações acima, é (são) verdadeira(s)a) Somente II b) I e II c) I e IIId) II e III e) I, II e III4. (Uem 2011) O fulereno é uma molécula de carbonodescoberta em 1985, e sua utilização tem sidoproposta em muitas áreas, como medicina, bioquímicae física, devido à sua grande estabilidade. O modelotridimensional da molécula do fulereno 60C é umpoliedro convexo de faces regulares, que possui 12faces pentagonais, 20 faces hexagonais e três arestasse encontrando em cada vértice, formando ângulostriédricos.Em cada vértice, está situado um átomo de carbono.Baseando-se nessas informações, assinale o que forcorreto.01) O poliedro que representa a molécula possui 120arestas.02) Se A é o número de arestas do poliedro e V onúmero de vértices do poliedro que representa amolécula, então 3A = 2V.04) A soma dos ângulos internos de todas as faces é58 radπ .08) O fulereno 60C apresenta carbonos comhibridização 2sp .16) O poliedro que representa a molécula possui 60vértices.5. (Upe 2011) Um poliedro convexo possui 8 (oito)faces, todas triangulares. Nestas condições,assumindo que tal poliedro exista, o número esperadode vértices para este seráa) 10 b) 9 c) 8 d) 7 e) 66. (Uepg 2010) Considerando dois planos α e β euma reta r, assinale o que for correto.01) Se r é perpendicular a α e a β então α éparalelo a qualquer plano que contenha r.02) Se r é perpendicular a α e a β então α e β sãoparalelos entre si.04) Se α e β são perpendiculares e α reta r estácontida em α , então r é também perpendicular aβ .08) Se r é paralelo a α então todo plano contendo r éparalelo a α .16) Se r  α =  então r e α são paralelos.7. (Uepg 2010) Dado que um poliedro convexo tem 2faces pentagonais, 4 faces quadrangulares e n facestriangulares, assinale o que for correto.01) Se o número de vértices do poliedro é 11, entãon = 4.02) Se o número de faces do poliedro é 16, entãon = 10.04) O menor valor possível para n é 1.08) Se a soma dos ângulos de todas as faces dopoliedro é 3600º, então n = 6.16) Se o número de arestas do poliedro é 25, entãon = 8.
  2. 2. 28. (Uerj 2008) Considere o icosaedro a seguir (Fig.1),construído em plástico inflável, cujos vértices e pontosmédios de todas as arestas estão marcados.A partir dos pontos médios, quatro triângulosequiláteros congruentes foram formados em cada facedo icosaedro.Admita que o icosaedro é inflado até que todos ospontos marcados fiquem sobre a superfície de umaesfera, e os lados dos triângulos tornem-se arcos decircunferências, como ilustrado na figura 2.Observe agora que, substituindo-se esses arcos porsegmentos de reta, obtém-se uma nova estruturapoliédrica de faces triangulares, denominadageodésica. (Fig. 3)O número de arestas dessa estrutura é igual a:a) 90 b) 120 c) 150 d) 1809. (Ufc 2008) O número de faces de um poliedroconvexo com 20 vértices e com todas as facestriangulares é igual a:a) 28 b) 30 c) 32 d) 34 e) 3610. (Fatec 2007) A reta r é a intersecção dos planos áe â, perpendiculares entre si. A reta s, contida em á,intercepta r no ponto P. A reta t, perpendicular aâ, intercepta-o no ponto Q, não pertencente a r.Nessas condições, é verdade que as retasa) r e s são perpendiculares entre si.b) s e t são paralelas entre si.c) r e t são concorrentes.d) s e t são reversas.e) r e t são ortogonais.11. (Uel 2007) Sobre os conhecimentos de geometriatridimensional, considere as afirmativas:I. Se duas retas distintas não são paralelas, então elassão concorrentes.II. Três pontos distintos entre si determinam um únicoplano.III. Duas retas paralelas distintas determinam umplano.IV. Se duas retas r e s são reversas, então existe umúnico plano á que contém r e é paralelo a s.A alternativa que contém todas as afirmativas corretasé:a) I e II b) I e IV c) III e IV d) I, II e III e) II, III e IV12. (Ueg 2005) Observe eclassifique as afirmações abaixocomo sendo verdadeiras ou falsas:I. Se um plano intercepta dois outros planos paralelos,então as interseções são retas paralelas.II. Se dois planos são paralelos, qualquer reta de umdeles é paralela a qualquer reta do outro.III. Se uma reta é paralela a dois planos, então essesplanos são paralelos.IV. Se dois planos são paralelos, uma reta de umdeles pode ser reversa a uma reta do outro.Marque a alternativa CORRETA:a) Apenas as afirmações I e II são verdadeiras.b) Apenas as afirmações I e III são verdadeiras.c) Apenas as afirmações I e IV são verdadeiras.d) Apenas as afirmações II e IV são verdadeiras.e) Apenas as afirmações III e IV são verdadeiras.13. (Uerj 2005)O poliedro acima, com exatamente trinta facesquadrangulares numeradas de 1 a 30, é usado comoum dado, em um jogo.Admita que esse dado seja perfeitamente equilibradoe que, ao ser lançado, cada face tenha a mesmaprobabilidade de ser sorteada.Calcule:a) a probabilidade de obter um número primo oumúltiplo de 5, ao lançar esse dado uma única vez;b) o número de vértices do poliedro.14. (Pucpr 2005) O tetra-hexaedro é um sólidoconvexo limitado por 4 faces triangulares e 6hexagonais, todas regulares.O número de arestas e vértices desse sólido é:a) A = 21 V = 13 b) A = 24 V = 16c) A = 48 V = 40 d) A = 32 V = 24e) A = 34 V = 2415. (G1 - cftce 2004) Observe as afirmações:I) O espaço é o conjunto de todos os pontos.II) Dois pontos distintos determinam uma reta.III) Três pontos não-pertencentes a uma mesma retadefinem um plano.É correto concluir que:a) somente I é verdadeirab) apenas I e II são verdadeirasc) apenas II e III são verdadeirasd) todas são falsase) todas as afirmações são verdadeiras
  3. 3. 316. (Ufc 2004) Um poliedro convexo só tem facestriangulares e quadrangulares. Se ele tem 20 arestas e10 vértices, então, o número de faces triangulares é:a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 817. (Pucpr 2004) Um poliedro convexo é formado porfaces quadrangulares e 4 faces triangulares. A somados ângulos de todas as faces é igual a 12 retos.Qual o número de arestas desse poliedro?a) 8 b) 6 c) 4 d) 2 e) 118. (Pucrs 2003) Um poliedro convexo possui duasfaces pentagonais e cinco quadrangulares. O númerode vértices deste poliedro éa) 4 b) 6 c) 8 d) 9 e) 1019. (Uel 2001) Considere uma reta s, contida em umplano  , e uma reta r perpendicular a s. Então,necessariamente:a) r é perpendicular a .b) r e s são coplanares.c) r é paralela a .d) r está contida em .e) Todas as retas paralelas a r interceptam s.20. (Pucpr 2001) Um poliedro convexo tem 7 faces.De um dos seus vértices partem 6 arestas e de cadaum dos vértices restantes partem 3 arestas.Quantas arestas tem esse poliedro?a) 8 b) 10 c) 12 d) 14 e) 1621. (Ufc 2000) Um poliedro convexo de nove vérticespossui quatro ângulos triédricos e cinco ângulostetraédricos. Então o número de faces deste poliedroé:a) 12 b) 11 c) 10 d) 9 e) 822. (Fatec 1999) Seja A um ponto pertencente à retar, contida no plano á.É verdade quea) existe uma única reta que é perpendicular à reta rno ponto A.b) existe uma única reta, não contida no plano á, queé paralela à reta r.c) existem infinitos planos distintos entre si, paralelosao plano á, que contêm a reta r.d) existem infinitos planos distintos entre si,perpendiculares ao plano á e que contêm a reta r.e) existem infinitas retas distintas entre si, contidas noplano á e que são paralelas à reta r.23. (Ufal 1999) Analise as afirmativas a seguir.( ) Duas retas que não têm pontos comuns sempresão paralelas.( ) Duas retas distintas sempre determinam umplano.( ) Uma reta pertence a infinitos planos distintos.( ) Três pontos distintos sempredeterminam um plano.( ) Duas retas coplanares distintas são paralelas ouconcorrentes.24. (Uel 1999) As afirmações seguintes podem serverdadeiras ou falsas.I . A projeção ortogonal de uma reta num plano é umareta.II. Distância entre duas retas reversas é aperpendicular comum a essas retas.III. A distância entre dois planos só é definida se essesplanos são paralelos.É correto afirmar que SOMENTEa) II é verdadeira. b) III é verdadeira.c) I e II são verdadeiras. d) I e III são verdadeiras.e) II e III são verdadeiras.25. (Fuvest 1999) O número de faces triangulares deuma pirâmide é 11. Pode-se, então, afirmar que estapirâmide possuia) 33 vértices e 22 arestas.b) 12 vértices e 11 arestas.c) 22 vértices e 11 arestas.d) 11 vértices e 22 arestas.e) 12 vértices e 22 arestas.26. (Pucpr 1999) Quantas arestas tem um poliedroconvexo de faces triangulares em que o número devértices é 3/5 do número de faces?a) 60 b) 30 c) 25 d) 20 e) 1527. (Uerj 1999) Um icosaedro regular tem 20 faces e12 vértices, a partir dos quais retiram-se 12 pirâmidescongruentes. As medidas das arestas dessaspirâmides são iguais a13da aresta do icosaedro. Oque resta é um tipo de poliedro usado na fabricaçãode bolas. Observe as figuras.Para confeccionar uma bola de futebol, um artesãousa esse novo poliedro, no qual cada gomo é umaface. Ao costurar dois gomos para unir duas faces dopoliedro, ele gasta 7 cm de linha.Depois de pronta a bola, o artesão gastou, no mínimo,um comprimento de linha igual a:a) 7,0 m b) 6,3 m c) 4,9 m d) 2,1 m28. (Ufsm 1999) Um poliedro convexo tem 12 facestriangulares e as demais, pentagonais. Sabendo que onúmero de arestas é o triplo do número de facespentagonais, então a soma dos ângulos de todas asfaces pentagonais é, em radianos, igual aa) 3 π b) 12 π c) 36 π d) 64 π e) 108 π
  4. 4. 429. (Uff 1997) Marque a opção que indica quantospares de retas reversas são formados pelas retassuportes das arestas de um tetraedro.a) Um par. b) Dois pares. c) Três pares.d) Quatro pares. e) Cinco pares.30. (Ufrgs 1997) Um poliedro convexo de onze facestem seis faces triangulares e cinco facesquadrangulares. O número de arestas e de vértices dopoliedro é, respectivamente,a) 34 e 10 b) 19 e 10 c) 34 e 20d) 12 e 10 e) 19 e 1231. (Unirio 1997) Um geólogo encontrou, numa desuas explorações, um cristal de rocha no formato deum poliedro, que satisfaz a relação de Euler, de 60faces triangulares. O número de vértices deste cristalé igual a:a) 35 b) 34 c) 33 d) 32 e) 3132. (Faap 1996) A única proposição FALSA é:a) no espaço, duas retas paralelas a uma terceira sãoparalelas entre sib) uma reta ortogonal a duas retas de um plano éortogonal ao planoc) dois planos perpendiculares à mesma reta sãoparalelos entre sid) um plano perpendicular a uma reta de outro plano éperpendicular a este planoe) um plano perpendicular a dois planos que seinterceptam é perpendicular à reta de intersecçãodestes33. (Mackenzie 1996) r, s e t são retas distintas taisque s é perpendicular a r e t é perpendicular a r.Relativamente às retas s e t, podemos afirmar que:a) elas podem ser unicamente paralelas ouconcorrentes.b) elas podem ser unicamente paralelas ou reversas.c) elas podem ser unicamente concorrentes oureversas.d) elas podem ser paralelas, concorrentes oureversas.e) elas podem ser unicamente reversas.34. (Faap 1996) Duas retas são reversas quando:a) não existe plano que contém ambasb) existe um único plano que as contémc) não se interceptamd) não são paralelase) são paralelas, mas pertencem a planos distintos35. (Puccamp 1996) Sobre as sentenças:I - Um octaedro regular tem 8 faces quadradas.II - Um dodecaedro regular tem 12 faces pentagonais.III - Um icosaedro regular tem 20 faces triangulares.é correto afirmar que APENASa) I é verdadeira.b) II é verdadeira.c) III é verdadeira.d) I e II são verdadeiras.e) II e III são verdadeiras.36. (Puccamp 1995) Considere as afirmações aseguir.I. Duas retas distintas determinam um plano.II. Se duas retas distintas são paralelas a um plano,então elas são paralelas entre si.III. Se dois planos são paralelos, então toda reta deum deles é paralela a alguma reta do outro.É correto afirmar quea) apenas II é verdadeira.b) apenas III é verdadeira.c) apenas I e II são verdadeiras.d) apenas I e III são verdadeiras.e) I, II e III são verdadeiras.37. (Ufpe 1995) Um poliedro convexo possui 10 facescom três lados, 10 faces com quatro lados e 1 facecom dez lados. Determine o número de vértices destepoliedro.38. (Unitau 1995) A soma dos ângulos das faces deum poliedro convexo vale 720°. Sabendo-se que onúmero de faces vale 2/3 do número de arestas, pode-se dizer que o número de faces vale.a) 6. b) 4. c) 5. d) 12. e) 9.39. (Cesgranrio 1995) Um poliedro convexo tem 14vértices. Em 6 desses vértices concorrem 4 arestas,em 4 desses vértices concorrem 3 arestas e, nosdemais vértices, concorrem 5 arestas. O número defaces desse poliedro é igual a:a) 16 b) 18 c) 24 d) 30 e) 4440. (Cesgranrio 1992) Um poliedro convexo éformado por 4 faces triangulares, 2 facesquadrangulares e 1 face hexagonal. O número devértices desse poliedro é de:a) 6 b) 7 c) 8 d) 9 e) 1041) (UNIFESO)Um poliedro convexo é formado por 2 facestriangulares, 2 quadrangulares e 10 pentagonais. Onúmero de vértices desse poliedro é:(A) 20(B) 22(C) 24(D) 30(E) 32

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