phương pháp hình thang,Công thức Simpson

45,201 views

Published on

Người tạo:Cao Văn Quý

0 Comments
10 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
45,201
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
141
Actions
Shares
0
Downloads
428
Comments
0
Likes
10
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

phương pháp hình thang,Công thức Simpson

  1. 1. CHƯƠNG 5 TÍNH GẦN ĐÚNG ĐẠO HÀM VÀ TÍCH PHÂN XÁC ĐỊNH
  2. 2. Đặt vấn đề <ul><li>Trong toán học, đã có phương pháp tính đạo hàm và tính phân xác định </li></ul><ul><li>Thực tế, thường gặp các trường hợp : </li></ul><ul><ul><li>Hàm y=f(x) chỉ được cho ở dạng bảng, công thức tường minh của y là chưa biết. </li></ul></ul><ul><ul><li>Hàm f(x) đã biết, nhưng phức tạp </li></ul></ul><ul><ul><li>Hoặc viết chương trình máy tính để tính tích phân xác định. </li></ul></ul><ul><ul><li>Chọn giải pháp: “Tính gần đúng” </li></ul></ul>
  3. 3. Tính gần đúng đạo hàm
  4. 4. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Áp dụng công thức Taylor: </li></ul>Đặt h = x-x 0   x=x 0 +h: Khi |h| khá bé có thể bỏ qua số hạng có h 2 . Khi đó (5.1) Có thể lấy công thức (5.1) để tính gần đúng f’(x 0 ) khi |h| khá bé
  5. 5. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Sai số: </li></ul>Với |f’’(x)|<=M,  x  [x 0 ,x 0 +h] Ví dụ: Cho f(x)=2x 4 +x-1. Tính f’(1)? Giải: Chọn h=0.001, ta có: Sai số: Do |f’’(x)|≤|f’’(1,001)|=24,05  x  [1;1,001]
  6. 6. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Áp dụng đa thức nội suy </li></ul><ul><ul><li>Xấp xỉ f(x) bằng đa thức nội suy P n (x), với n+1 mốc a=x 0 <x 1 <x 2 <…<x n =b </li></ul></ul><ul><ul><li>f’(x)  P n ’(x) với x  [a,b] </li></ul></ul><ul><ul><li>Sai số: </li></ul></ul>
  7. 7. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Đa thức nội suy Lagrange với 2 mốc nội suy: </li></ul>
  8. 8. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Đa thức nội suy Newton với các mốc cách đều: x i+1 -x i = h </li></ul>Với Lưu ý
  9. 9. Tính gần đúng đạo hàm <ul><li>Trường hợp 3 mốc: x 0 , x 1 , x 2 với x 1 -x 0 =x 2 -x 1 = h </li></ul>
  10. 10. Tính gần đúng tích phân xác định
  11. 11. Tính gần đúng tích phân <ul><li>Cần tính </li></ul><ul><li>Nếu hàm f(x) liên tục trên [a,b] và có nguyên hàm F(x), công thức Newton – Lepnit: </li></ul><ul><li>Trường hợp: </li></ul><ul><li>- f(x) chỉ được cho ở dạng bảng hoặc f(x) </li></ul><ul><li>- Hoặc f(x) đã biết nhưng tính toán phức tạp </li></ul><ul><li> Thay vì tính đúng, tính gần đúng sẽ đơn giản hơn </li></ul>
  12. 12. Công thức hình thang <ul><li>Phân hoạch [a,b] thành n đoạn con bằng nhau: x 0 =a<x 1 <…<x n =b </li></ul>x 0 =a b=x n f(x) x 1 x 2 x i X i+1 h=x i+1 -x i =1/n
  13. 13. Công thức hình thang <ul><li>Trên đoạn [x i , x i+1 ], xấp xỉ f(x) bởi đa thức (bậc 1) P 1 (x) </li></ul>Đặt x = x i +th  dx = hdt. Với x  [x i , x i+1 ]  t  [0,1] sai số: Với c  [x i , x i +h]
  14. 14. Công thức hình thang <ul><li>I i gần bằng diện tích hình thang x i ABx i+1 </li></ul>x i x i+1 f(x) h y i+1 y i r i (h) A B
  15. 15. Công thức hình thang <ul><li>Công thức hình thang tổng quát: </li></ul><ul><li>Sai số toàn phần: </li></ul><ul><li>Với M = sup|f’’(x)| , x  [a,b] </li></ul>
  16. 16. Công thức hình thang <ul><li>Ví dụ: Tính gần đúng các tích phân sau bằng công thức hình thang </li></ul>Với phân hoạch [1,5] thành 4 phần bằng nhau. Đánh giá sai số
  17. 17. Công thức Simpson <ul><li>Phân hoạch [a,b] thành 2n đọan con bằng nhau: a=x 0 <x 1 <……<x 2n =b </li></ul>x 0 =a b=x 2n f(x) x 1 x 2
  18. 18. Công thức Simpson <ul><li>Xét đoạn kép [x i , x i+2 ]. Xấp xỉ f(x) bởi đa thức nội suy bậc 2 P 2 (x): </li></ul>x i X i+1 X i+2 f(x) P 2 (x)
  19. 19. Công thức Simpson Sai số: Nếu |f (4) (x)| ≤ M,  x  [x i , x i+2 ] thì: <ul><li>Đặt x = x i + th, dx = hdt; x =x i  t=0; x = x i+2  t=2 </li></ul>=
  20. 20. Công thức Simpson toàn phần Sai số tòan phần: Với M thỏa: |f (4) (x)| ≤ M  x  [a,b]
  21. 21. Ví dụ và bài tập <ul><li>Dạng 1: Cho trước phân hoạch đoạn [a,b]. Tính gần đúng tích phân và đánh giá sai số </li></ul><ul><li>Dạng 2: </li></ul>
  22. 22. Ví dụ và bài tập Bằng cách phân hoạch đoạn [0,1] thành 4 đoạn bằng nhau, tính gần đúng tích phân trên theo công thức Simpson 1. Cho tích phân: 2. Cho tích phân: <ul><li>Bằng cách phân hoạch [0,1] thành 6 đoạn bằng nhau. Tính gần </li></ul><ul><li>đúng tích phân đã cho bằng công thức hình thang và công thức Simpson Đánh giá sai số? </li></ul><ul><li>b) Tính gần đúng tích phân trên bằng công thức hình thang với sai số không quá 3.10 -4 </li></ul>

×