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Como plantear y_resolver_problemas

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Como plantear y_resolver_problemas

  1. 1. '.qrt { ¡ tVltrrl las He oquí urr pequeño tesoro poro los moeslros ¡ , e s t u d i o n t e sd e mc t emó t i c o sp, o r o l o s o f i c i o - ncrdos y en generol, poro todo oquel que ouierc¡ sober cómo resclver problemos. .Éss umorneniei nteresonlep orque¡o demi ¡s dei ospecto nuevo que presenio de los motenró-ticos, su proceso de invención, como c i e n c i c experimentoi e inductivo, proporcionondo no lo soiución estereofipodo de los problemos, s i n o l o s p r o c e d imi e n t o so r i g i n o l e sd e c ómo s e l l e g óo s u s o l u c i ó n d, o l o s c omi n o sp o r o r e s o l - ver problemos en cuonlo toles y dispone l o s e l eme n t o sd e l p e n s omi e n t od e t o l mo n e r o q u e i n s i i n t i v ome n toec t ú e nc u o n d o s e o r e s e n t eu n proble.'no por resolver. .o E() o E o .í;) c, st till ilt IVIATT]VIATICAS 9 6 8 - 2 4 - 0 0 r ' ¿
  2. 2. Cómo plantear y resolver problemas G. Polyc ITORIAL :ILLAS ArgentinaE, spaña, a, Puerto Rico. Ven€[vn EDII TRI México, Arl Colomb¡a. España, - rco, venezuela
  3. 3. Traducción hof. tulün Zugazagoitia Tttuto de estao bra en inglés: How to solve it dÉiirrton UniversitYh ess'U ' s' A' @ c. rolya I isión áutorizada en esPañol ai b sesurao edición en ínglés publicailaP orA chor Books I¿ oresentacióyn disposicióne n coniunto Tlúo "i:ilíii Ét n'v ns s o t w n PR oB .LrEy4! , -. ;;;;r"p;l"i det editon Ninanl po't:.d" ."tt1.?::: ;;:d;- ;r; ;"p*ducida o trasiitida' mediant-en insítn sistema ' o método,e lectónicoo iiáiiló' f'cluy endo, el fotocoptudo' Iag rabacióno cualquiui tt-iio a'' ""uieracbn y. almacenamEnto Tr"iiio*ru"), in consentímientpoo r escríto del edito¡ -Daie'ñ¡eii.c-h orse senadose n lengtu española :ti.'nílólleiláuist"crio¿ I Trittas,S ' A' de C' V" 385,c ot' PedroM ar* Anava ;A;;.h;;:l;-i,ó;,:2, 03340' México' D' F' 'Mirrieám;'tbt rod e la CómarNa acíoruld e l¿ l" Edítoriat. Reg' núm' I58 h''i"m';e;;r;a; e;;d;í;cnió"n,e, n españo/l9, ó5 (ISBN-9-68'-24-0064'3) 'iiiaiifiilibú'-t bact,' fzo't tizz't gz¿t' e-7sIe' 76' tba¡I' e841' e*sI' e86v Ie87 il Prefacio a la Primera edición en inglés Un gran descubrirniento resuelve un gran problema, Pero en la solu' ción de todo problema, hay un cierto descubrimiento. El problema qug ie plantea puede ser modesto; p"to, si pone a prueba la curiosidad que induce a poner en juego las facultades inventivas, si se resuelve por propios me-dios, se puede experimentar el encanto del descubrimiento y el goce del triunfo. Experiencias de este tipo, a una edad conveniente, pueden deter-minar una afición para el trabajo intelectual e imprimirle una huella impe-recederae n la mente y en el carácter. Por ello, un profesor de matemáticas tiene una gran oportunidad' Si dedicas u tiempr a ejercitar a los alumnos en operacionesru tinarias, mataúr en ellos el interés, impedirá su desarrollo intelectual y acabui desaprove-chando su oportunidad. Pero si, por el contrario, Pone a prueba la curiosi-dad de susa lumnosp lanteándolesp roblemasa decuadosa susc onocimientos, y les ayuda a resolverlos por medio de preguntas estimulantes, podrá despertarlese l gusto por el pensamientoi ndependientey proporcionarles ciertos recursos para ello. Un estudiantec uyose studiosi ncluyan cierto grado de matemáticastb ne también una particular oportunidad. Dicha oportunidad se pierde, claro está,s i ve las matemáticasc omo una materia de la que tiene que presentar un exatnen final y de la cual no volverá a ocuparse una vez pasado éste. La oportunidad puede perderse incluso si el estudiante tiene un talento natural para las matemáticasy, a que é1, como cualquier otro, debe descu-brir sus capacidadesy sus aficiones; no puede saber si le gusta el pastel de frambuesas si nunca lo ha probado. Puede descubrir, sin embargo, que un problema de matemáticasp uede ser tanto o más divertido <1ueu n cfu-cigratna. o, que un vigoroso trabajo intelectual puede ser un ejercicio tan agradable como un ágil juego de tenis. Habiendo gustado del placer de las matemátrcasy,^ no las olvidará fácilmente,p resentándoseen tonces'una 5 Decmi oqui n ta reimp r esiónf, e{111i89 1II II I I Impreso en México hínteil ín Mexíco
  4. 4. 6 prelacio a la prinrera edición buenao portunidadp ara qqe las matemáticasa dquieranu n sentido para é1, ya sean como un pasatiempo o como herramienta de su profesión, o su profesión misma o la ambición de su vida. El autor recuerda el tiempo en que él era estudiante, un estudiante un tanto ambicioso,c on deseosd e penetrar un poco en las matemáticasy en la física.A sistíaa conferenciasle, ía libros,t ratandod e asimilarl as soluciones y los hechosp resentadosp, ero siempre se presentabau na interrogante que lo perturbaba sin cesar: "sí, la solución dada al problema parece ser correctap, ero ¿cómoe sp osible descub¡irt al sorución?s í, estee xperimentó al parecer es cotrecto, tal parece que es un hecho; pero, ¿cómo pueden descubrirse tales hechos?; ¿y cómo puedo yo por mí mismo inventar o descubrirt ales cosas?"H oy en día er autor enseñam atemáticase n una universidad.P iensao deseaq ue algunosd e sus más aventajadosa lumnos sep lanteenp reguntass imilaresy tnta de satisfacesr u curiosidadT. ratando de comprender no sólo Ia solución de este o de aquel problema, sino también los motivos y el procedimiento de la solución, y tratando de hacer comprender dichos motivos y procedimientos, ha sido lle-vado finalmentea escribire l presenteli bro. Deseaq ue resulted e utilidad a aquellosm aestrosq ue quieren desarrollarla s aptitudesd e sus alumnos para resolver problemas, y pare- aquellos alumnos ansiosos de desarrollar sus propias aptitudes. Pesea que el presenteli bro ponee speciaal tencióna los requerimientos de los estudiantesy maestrosd e matemáticasd, ebería de despertare l interésd e todos aq.uellosin teresadoes n los caminosy mediosd e la inven-ción y del descubrimiento. Tal interés puede ser mayor que el que uno puede sospechar sin reflexión previa. El espacio dedicado en los periódicos y revistas a los crucigramas y otros acertijos parece demostrar que el público dedica un cierto tiempo a resolver problemas sin ningún interés práctico. Detrás del deseo de resolver este o aquel problema que no aporta ventaja material alguna, debe haber una honda curiosidad, un deseod e cornprendelro s caminosy medios,l os motivosy procedimientodse la solución. Las páginas que siguen, escritas en forma un tanto concisa y, en la medidad e lo posible,e n forma sencilla,e stánb asadase n un serioy largo Prelacio a ht printert eúiaióu t estudio de los métodos de solución. Esta clase de estudio, llamado heuri¡- fico por algunosa utores,s i bien no estád e moda en nuestrosd ías,t iene un largo pasado y qoizi un cierto futuro. Estudiandol os métodos de solución de-,p,roblemasp,e rcibimoso tra facetad e las matemáticasE. n efecto,l as matemáticapsr esentand os caras: por un lado son la ciencia rigurosa de Euclides, pero también son algo más. Las matemáticasp resentadaas la manerae uclideanaa Parecenc omo una ciencias istemáticad, eductiva;p ero las matemáticaes n vía de forma-ción'aparecenc omo una cienciae xperimental,i nductiva. Ambos aspectos son tan viejosc omo las matemáticams ismas.P ero el segundoe s nuevoe n cierto aspecto;e n efecto, las matemáticasin statu nascendl,e n el Proceso de ser inventadasn, unca han sido presentadaasl estudianten, i inclusoa l maestro, ni al púbiico en general. La heurística tiene múltiples ¡amificaciones:l os matemáticos,lo s logistas, los psicólogos, los pedagogos e incluso los filósofos pueden recla-mar varias de sus paftes como pertenecienteas su dominio especial.E l autor, consciented e la posibilidad de críticas provenientesd e los más diversosm ediosy muy al tanto de susl imitacioness, e permite hacero bser-var que tiene cierta experierrciae n la solución de problemasy en la ense-ñanza de matemáticas en diversos niveles. 'El tema es tratadom ás ampliamentee n un extensol ibro que el autor está en camino de terminar. Uniaersidad de Stanford, tTosto le, 1944,
  5. 5. Prefacio a la séPtima reimpresión en inglés Ahora puedo decir gustoso.qut l:-,:Tplido con éxito' al menos en parte, una Promesa daia en el prefacio a la primera ."di:iól; Los dos volúmenes tnduction';;; ;';;;8i i' no*t*at'ics v Pafteytl'of Ptauibte lnferenceque constitulei ,* ,*ñit,e obra Mathematics and' Plaasible Reas-oningcontinúanlatí'neadetpensamientoadoptada'enelpresentelibro' Zxrich, dSorto 30, 1954'
  6. 6. Prefacio a la segunda edición en inglés i En esta segunda edición se incluye, además de algunas mejoras' una tu*" .".t" farte : Ptoblemas-, p ugrcrenciasS, oluciones' Al tiempo qo" ,"-Pi"p^t;É" impresión de esta edición' apareció un estudio (Edacation)l iesting. Seruite,,Princeton, N'/'; cf' Time 18 de junio, L9t6) qot J putttt'"h" formulado algunaso bservaciones per-tinentes; no eran,tr"u^r'para los entendidos en la materia' pero ya' etl tiempo que se ror*.ri",t"'fuo tf público en seneral: "' ' ' las matemáti-cas tienen el dudoso honoi de sei el tema ,í.not popular del plan de estudios. . . Futuros maestros Pasan Por las escuelas elementales aPren-il;; " detestar las matemátito' ' ' ' Regresan a la escuela elemental a e- nseñara nuevasg eneracionesa detestarlas"' ilP.;" qoe li presente edición, destinada a mis amplia difusión' convenza a algunos de sus lectores de que las rnatemáticas' aparte de ser ,rrr.*irro ,reiesarioa la ingenieriay it conocimientoc ientífico'-pueden ser divertidasy a la vez abrií un Panoramae n las actividades intelectuales del más amPlio nivel. Zuicb, ianio 30, 1956'
  7. 7. *? índice de contenido Prefacios, 5 Para resolver un Problema se II. Concebir un Plan, III' . solución obtenida, l7 Introducción,21 n'ife.c."e.1si0ta" :I . Comprender el problema' del Pün, IV' Examinar la Prlmerr¡ Portet Enel solón decloses Fropósit<> l. AYudar al alumno,25 2. Prcguntu','"to'n""daciones' operacionesin telectuales2' 5 3. La generalidad, 26 +. Seniido común,26 5. Maestroy ul"-"o' Imitación y prácttca'27 Divisiones principales' preguntas principales 6. Cuatro fases2, 8 7. ComPrcnsiónd el Problema2' 8 B. EjemPlo,29 9. Ct"clPción de un Plan' 30 10. EjcmPlo,3l I l. Ejecución del PIan, 33 12. EjemPlo,34 13. Visión retrosPectiva3' 5 14. EjcmPlo,35 15. diversos Planteos, 38 16. El métodó de inteirogar de I maestro' 39 17. BuenasY malasP reguntas4' 0
  8. 8. t 4 indice de contenido Otrqs ejemplos I B. Problema de construcción. 4l 19. Problemad e demostracióÁ4, Z 20. Problema de rapidez de variación. 46 1 Segundo porfe CCómo resolver un probtemos un dlólogo Familiarizarse con el problema, 5l Trabajar para una *é¡o, comprensión, 5l En busca de una idea útil. 5l Ej.ecuciónd el plan, 52 v lslon retrospectiva, 53 Tercero porte Breve dlccionorlo de heurístico I { Afición a los problemas, 57 :Analogía,57 g Bolzano Bernardo, 64 J Brillante idea. 65 $'#itT-f;X problemqau es er ctacionceo ne I suyr?,66 Contradicio.ioi 6Z Corolario.6T , ¿-Cuáel sl a incógni ta?,67 I Definición.G7 $Descartes, René, 73 fleycom.non:I y recomponer el problema, 73 :üU etermlnacióne, speranzaé, xiios,B 0 lDragnóstico, Bl Dibuje una figura. 82 Distinguir lai-diversasp artesd e la condición, Elementos B2 auxiliares. €i2 EnigmasB, 5 ¿Esp osibles atislacerl a condición?,B 7 Examend e dimensionesB. 7 Examincs u hipótesis8, 9 Inüce de contenido Figuras, 93 .Futuro matemático, El, 96 rlGencraliza. ción,97 Ñ'gu empleadou stedt odosl osd atos?9, 8 Í1" uq"i un problcma relacionadoc on el suyoy que ustedh a resuelto i y a , 1 0 0 lHeurística, l0l l|Heurística moderna, I 02 ,{Indi.ios de progrcso, 105 jlnducción e inducciónm atemática,I l4 lL..to. inteligen te, I l9 { Leibnir, Gottfried Wilhelm, 120 Lema, 120 !¿Lo ha vistoy a antes?1, 20 1 Llevar al cabo el plan, l2l $Mire bien la incógnita, I 24 {Notación. l28 Pappus,133 f Parad<rjdac l invcntor, l38 { Particu"larizacitinI, 3 B {Pedantcría y macstría, 143 Plantco dc l¿rc cuacicir-1r,4 3 Podría cnunciarc l problcmae n formad ilercntc?,1 46 ¡)Podría dcclucir dc los datos algún elemento útil?, 146 ¡Por qué lasd emostracioncs?l,4 8 iProblema auxiliar, I 53 l Profesord e matem áticast radicional,E l, l58 qProg.esoylogro, l58 i*Problemasp or resolver,p roblemasp or demostrar,l 6l Problemasd e rutina, 163 Problemas prácticos, I 63 ¿Puedec omprobar el resultado?,1 67 ¿Puedee ncontrare l resultadoe n lorma diferente?,1 69 i,iPuedeu tilizarsee l resultado?,I 7l { Razonamientoh eurístico,I 73 Razonamiento rcgrcsiv o, 17 4 Reducción al absurdo y de mostración indirecta,179 Redundante,l 86 Reglas de enseñanza, IBG Reglas de cstilo, I 86 Reglasd el dcscubrimientol,8 6 Sabiduría dc los proverbios. I B7 l 5
  9. 9. , 1 6 Simetríat, ao I¡tdice de contenído Si no puede resolvcr e I problema propuesto, 190 , Términos antiguos y nuevos, 190 , {Trabajos ubconsciente1,9 2 j +Variación dcl problcma, 193 Cuortq poÉe problemqs, sugerencios, soluciones Problemas,20l Sugerencias,204 Soluciones.20T l Fava resolver un probilenna se necesnta: t GomPrender el Problema ll Goncebir un Plan Determinor lo reloción entre los dotos y lo incógnito. De no encontrorseu no reloción inmedioto, puede considerorp roblemoso uxiliqres' Obtener finolmente un Plqn de solución' t/ Examinar !a soluciÓn ot¡üenida
  10. 10. a a . GomPrender el Problema ¿Cuál es la incógnita? ¿Cuáles son los datos? ¿cuál es la condición? ¿Es la condición suficiente para determina¡ la in-iógnita? ¿Es insuficiente? ¿Redundante? ¿Contradicto¡ia? Gonceblr un Plan ¿Se ha encontrado con un problema semejante? ¿O fa visto el mismo problema planteado en forma ligeramente diferente? ¿Conoce un problema relacionado con éste? ¿Conoce algún teorema,que le pueda ser útit? Mire atentamente la incógnita y trate de recotdar un problema que le sea familiar y que tenga la misma incógnita o una incógnita similar. He aquí un problema ¡elacionado al suyo y que se ha ¡esuelto ya' ¿Po' d¡ía usted ulilizarlo? ¿Podría utilizar su resultado? ¿Podría emplear su rnétodo? ¿Le haúa a usted falta introducir algún elemento auxiliar a fin de poder utiliza¡lo? ¿Podría enunciar el problema en otfa forma? ¿Podría Planteaflo en fo¡- ma dife¡ente nuevamente? Refiérase a las definiciones' si no puede resolve¡ el problema propuesto, trate de ¡esolver primero algún problem¿ similar. ¿Podría imaginarse un problema análogo un taáto más accesible? ¿Un problema más general? ¿Un ptoblema más particular? ¿Un problemz aailogo? ¿Puede resolver una Parte del pro-ilema? Coniid.re sólo una parte de la condición; desca¡te la otra parte; ¿en qué medida la incógnita queda ahora dete¡minada? ¿En qué forma puede variar? ¿Puede usted deduci¡ algún elemento útil de los datos? ¿Pueae pensar en algunos ot¡os datos apropiados para determinar la incógniti? ¿Puede cambiar la incógnita? ¿Puede cambiar la incógnita o los áatoq o ambos si es necesario, de tal forma que la nueva incógnita v los nuevos datos estén más ce¡canos ent¡e sí? o ¿Ha empleado todos Ios datos? ¿Ha empleado toda la condición? ¿Ha ionsiderádo usted tod¿s las nocionese sencialesc oncernientesa l problema? E¡ecuclón del plan o Al ejecutar su plan?e la solución, compruebe cada uno de los pasos' o ¿Puéde usted ver cla¡amente que el paso es co¡recto? ¿Puede usted de-mostrarlo? Vlslón retrosPectiva e ¿Puede usted verificar. el resultado? ¿Puede verificar el razonamiento? o ;Puede obtener el resultado en fo¡ma dife¡ente? ¿Puede verlo de golpe? -'Prrcle r¡sted emolea¡ el resultado o el método en algún otro problema?
  11. 11. (,- lntroducc¡ón Las consideracionese xpuestase n el libro hacen referenciay constittt-yen el desarrollod e la precedenteli sta de preguntasy sugerenciatsit ulada "Para resolver un problema. . ." Toda pregunta o sugerenciaq ue de ella se cite apareceráim presa en cafiiad y cuando nos refiramos a ella lo hare-moss implementec omo "la lista" o "nuestral ista". En las páginas que siguen se discutirá el propósito de la lista, se ilustrará su uso práctico por medio de ejemplos y se explicarán las no-cionesf undamentalesy las operacionesin telectuales.A modo de explicación preliminar se puede decir que si se hace uso correcto de ella, y se plan-tean asimismo dichas preguntas y sugerencias en forma adecuada, és-tas pueden ayudar a ¡esolver el problema. Asimismo si se plantean estas preguntasa decuadamentea los alumnos y se les hacen estass ugestiones, se les podrá ayudar a resolver sus problemas. El libro consta de cuatro partes. La primera, titulada: "En el salón de clases", contiene veinte seccio-nes. Cada sección estará enumerada con tipo negro, como por ejemplo "sección4 ". De la sección1 a la 5 se discutiráe n términosg eneralese l "propósito" de nuestrali sta. De la 6 ala 17 se exponenc uáless on las "divisionesp rin-cipales" y las "principales preguntas" de la lista, y se discutirá el primer ejemplop ráctico.E n las seccione1s8 , 19 y 2Os ei ncluyen "otros ejemplos". La segunda parte, que es muy breve, titulada: "Cómo resolver un pro-blema", aParecee scritae n forma de diálogo. Un supuestom aestror esponde a las breves preguntas que le plantea un alumno un tanto idealizado también. La tercera y más extensa de las partes es un "Breve diccionario de heurística". Nos referiremos a él como el "diccionario". Contiene sesenta y siete artí,culos ordenados alfabéticamente. Por ejemplo, el significado del término HEURÍsrlcA (impreso en versalitas o pequeñas mayúsculas) se expone en la página L01 en un artículo bajo dicho título. Cuando en el texto se haga referencia a uno de tales artículos, su título aparecerá impreso en versalitas. Ciertos párrafos de algunos artículos son más téc-
  12. 12. Int¡oducción nicos; éstos se hallarán encerrados en cbrchetes. Algunos artículos están estrechamentere lacionadosc on la primera parte proporcionándolei lustra- .igl"f adicionalesy observacionems ás específicaso. tros van un tanto más al¡á del objeto de la primera partg de lá que -srunfirrca proporcionan explicaciones más a fondo. Hay un artículo clave sobre rr,ronst'N¡. En él se exponen las relaciones entre los diversos artículos, así como el plan fundamental del diccionario. contiene también indicaciones de cómo en-contrar información sobre detalles particulares de la lista. Nos parece necesario destacar, dado _que los artículos del diccionario son ¿pffente-mente muy variados, el hecho de que existe en su eraboración un ptan general que encierra une cierta unidad. Hay algunos artículos un poco más extensos, si bien dedicados a una concisa ylistemática discusión de algún tema general. otros contienen comentarios rnás específicos, mien-tras que otros abordan referencias históricas, citas e incluso chistes. El diccionario no debe leerse con premura. con frecuencia su contexto es conciso y otras un tanto sutil. El lector podrá recurrir a él para infor-marse. sobre un punto en particular. si dichos puntos proviáen de su exPenencrac on sus propios problemaso con los de sus alumnos, su lec-tura tiene todas las probabilidades de ser de provecho. La cuaüa parte lleva por título: "probrerñas, sugerenciass, oluciones". Plantea algunos problemas para un lector más ambicioso. A cada problema le sigue (a distancia conveniente) una "sugerencia" q,re puede revelar el camino del resultado, el cual es explicado en la "solución'i. En repetidas ocasiones nos hemos referido al "alumno" y al ..maes-tlo" I seguiremos haciéndolo una y otra vez. Es conveniente aclarar que al referirnos al "alumno", hablamos en términos generales de cualquier Personaq ue esté estudiando matemáticas,y a sean de bachillerato, ya de grado universitario. Al igual, el "maestro" puede ser un maestro de ba-chillerato o de universidad, o cualquier pers.ona interesada en.la técnica de la enseñanza de las matemáticas. El autor adopta unas veces el pun-to de vista del alumno, otras el del maestro (este último principalmente en la primera parte).rsin embargo, la mayor parte de las veces (eqpecialmente en la tercera parte)adopta el punto de vista de una llersona, ni alumno ni maestro, ansiosa de resolver un problema que se le ha planteado. I , Frnnneve pertc En el salón de clases
  13. 13. ,; ) PROPOSITO ,.1.. Ayudar al alumno' Una de las tnás importantes tarcas dcl macs-tro es ayudar a sus J;;;t' iu"' n'.^ fácil' ñequicre tiempo' práctica' dedicaciónY buenosP rinciPios' Elestudiantedebeadquirirensutrabajopersonallamásampliaexpe. riencipao sible..p"ro"i1l*i"^¿.ri""i " ri"ni. " su problemasi,n ayuda alquna o casl sln nrnguna' pued-eq t'e. n: Progrese' bor otra parte' si el máestrol e ayuda dt-?'i"áo, nada se-l e deia a'í alumno' El- maestro debe avudarle,p ero no -".i" ti demasiadop otó' dt suerte que le deie asumlr ina parit'rozonable del trabaio' Sielestudiante,,oestáencondicionesdelracergrancosa'elmaestro deber nantenerlea l ;;;; la ilusión del trabajo pers-onalp. ara tal fin, el i".r* á.¡e ayudara l alumno discretamente' sin imponérsele' Lo meior es, sin;;;tg" tudar al alurnno en forma natural' El maes-tro deberá ponerse "n "' Ltg"', ver desde el punto de vista del alumnp' ;;;á;ápr.ndeilo qo"i" Pasa Por la mente' y plantear una Pregunta o indicar "tg,rn .^*it'o pur-p náUst-ocarrítsele al pr-opio- alant.rto' 2. Preguntas, "to*""d"tiones' operacionei intelectuales' Al tra-tar de ayudar "l ^'";;;]o't" eiectliva y natural' sin imponérsele' el maestro puede f'*t' i" tl'ma pregunta e indicar el mismo camino unÍr y ' otravez.Así, en i";;;;l* i'o6lt*ut' tenemos5"." Itut:t la prcgunta: ¿Citát es Ia incógn'it)i'p;E-oi cambiar el vocabulário y hacer la misma preguntae n diferenü io't"t ¿Qués e requiere?¿; qué quiere'ustedd eter-il," il;]o;Js. l. pidea ustedquee ncuentie? El propósito.dees taps re-guntase s concenrrail" ^t.".i." del al,,rmnos obre la incógnita. A veces sc ábti"rr. el mismo ,*J,"áo á" modo más natural sugiriendo:. Mire atenta-mentelaincógnita, Preguntasysugerenciastieneneimismofin;tiendena provocarl a mismao peracióni ntelectual' Nos h" p"r"cialt]u. poaii^ ser inte¡esante el juntar I.agruPnr las ¡'rre-guntas y ,ug.r.,,.i^s 'part'icularmente útiles en la discusión de problemas :;;-i;r'"l,rrí.,os. r" iirt" que presentamos contiene preguntas y sugeren-ciasdeesetipo, cuidadosamenfeelegidasyclasificadas;puedenserigual. mente útites a "dil..;;;;n"¡ logimUlien solas en la iesolución de pro-blemas. s i et lecto,J r:;;i;lista lo suficiente como Para poder discernir detrás de ro ,"gt'*ii''it "ttrá" sugerida' se dará ct'"ñto que la susodicha 25
  14. 14. rl, En el mlón ile clases lista menciona,i ndirectamente,l as operacionesin telectualerp articularmen-te titiles para la ¡olución de problema¡. Dichas operaciones,. ¡,rn mencio-nado en el orden más probable de su aparición. - 3. La generalidad es una de lai característicasim portantes de las pr,eguntasy sugerenciasq ue contiene nuestral ista. Tómenie las preguntas: ¿Cuál es la incógnita?; ¿caáles son los datos?; ¿caál es la condiciónl Esas preguntas son aplicables en general, podemos planteadas eficazmente en toda clase de problemas. su uso no está restringiáo a un dete¡minado tema. Y1 s9a un problema algebraico o geométrico, matemático o no, teórico o práctico, un problema serio o una mera adivinanza,,lasp reguntast ienen un sentido y ayudan a escla¡ecere l problema. De hecho, existe una restricción, pero que nada tiene que ver con el tema del problema. ciertas preguntas ylugeréncias de la listaion aplicables exclusivamentea los "problemas de determinación" y no a los "pr-oblemas de demostración". si estamos en presencia de un problema de este último género debemos emplear preguntas diferentes. (véase "pRoBLEMAs poR REsoLvER, pRo- BLEMASp oR DEMosrnnn,p ágina 161.) 4. sentido común. Las preguntasy sugerenci¿sd e nuestra lista son generales, pero' pese a su generalizaciln, son naturales, sencillas, obvias y proceden del más simple sentido común. Tómese la sugerencai : Mire t'a lcógyita y. tr!, de pensm en un problemd qae le sea f aáitiar y que rengd la misma.f có.gnlta o_ anAl elrzeiante.E sta sirgerenciai" ".otsé,¡J hacerl o que usted h¿ría de todas formas, aun sin consejo, si está decidido a resolver su problema. ¿Tiene frar-n-breul sted quiere procurarsea lgún alimento y piensa en las formas habituales de procurársilo. ¿Tiene ui problema de constr"ccióng eométricaTQ uiere construir un triángulo y pienia en las for-mas habituales de construir un triángulo. ¿Tiene un probiema cualquiera? Quiere encontrar una cierta incógnitá y piinsa en las'formas habituáles de encontrar una incógnita de ese tipo o una incógnita similar. Obrando así, usted está en la línea de la sugerenciam encionád" en nuestral ista. y está también sobre el buen camino: la sugerencia es buena, le sugiere un ca-mino a seguir que le llevará con frecuencia al éxito. ... TodSs las preguntas y sugerenciasd e nuestra rista son naturales,s en-cillas, obvias y no- proceden más que der sentido común, pero expresan dicho sentido común en términos generales. sugiéren una'c'ierta coñducta que debep resentarsee n forma natural en la mente de cualquieraq ue tenga un cierto sentido común y un serio deseo de resolver el problema q,r. r.'i. ha propuesto. P:to la persona que procede así, en general no se preocup¿ por hacer.explícitoc laramentes u-comportamientoo no es capazd é hacerib. Nuestral ista trata precisamentdee haterloe xplícito. Maesa¡o y alumna. lnitacíón y próctica 5. Maestro y alumno' Imitación y práctica' Cuando el profesor hacea susa lumnosu na Preguntao una sugerencia de la lista' puede pro- Donersed os fines. Primeio,?l ^yod"' al alt'mno a resclver-ePl ¡oblemae n ilJi¿;. ü;;,:i á.r;or"i 1^ habilidad del atumno de tal modo que puedar esolíer por sí mismo problemasu lteriores' La experienciam uestra q; t"t preguntasy sugerencias de. la lista' em-pr" ra"t "ii"fi^a"-",,ü, ttig*n to'n fl"ttt"ttcia af alomno' Tienen dos ca-racterísticasc omunes'L i sJntido común y la qeneralizaci6:l Como provie-nen del sentido .o-t"', "-p"'"t't^" to" f'á"ttcia de un modo natural; se le podrían ocurrir "i pttifi" alumno' Como son generales' ayudan sin ;;í.;;;;dl."tdo oni d;ección general' pero dejando al alumno mu-chá por hacer. :,-rL^-^^ ^6+ó. éc Sin embargo, Ios dos resultadosq ue mencionábamos antes están estre- .tr"rn."t" ligaios. E., el.cto, si el alumno l9g.t?..t:t?luet con éxito el pro-blema en cuestión, está dáarrollando su irlUiti¿a¿ en la resolución de problemas.C onviene,p ues' no olvidar que nuestrasP reguntas son generales y aplicables u ,r.r*",o',o' casos' Si el alumno emplea la misma Pregunta varias veces .o. oo.rr-r"rol ado, sin duda se fliarí'en ella y a ella recurrirá cuando se encuentre tn ttn caso similar' Si se hace esa misma pregunta varias veces, acabari ál-ot" po' deducir la idea exacta' Mediante tal ¿.it", ¿**É riri ?amanerac orr'ectad e emplear la pregunta y será entonces .,r*áo realmente la habrá asimilado' El alumno puede llegar a retener ciertas-Pt"gtt": de nuestra lista al gr"d; ;;; iiil¡*.".t" ? rya1 de-hacersea sí' miimo la pregunta indicada en eI momento adecuado i a" efectuar con toda naturalidad la operación intelectualc orrespondienteB' ste alumno habrá logrado con toda seguridad ;ñ;;ñ; pto"án.!"tú: {t nuestra tista' ¿Cómo puede el maestro ob-t- e-.n.err -e's"t'e"r e'excreplreonbteler emsaulstaedsou?nacuestióndehabilidadp.rácticacomo'Por .i.rpr",-.i "r¿'rr. La habilidad práctica se adquiere mediante la imitación Al tratar de nadar imitamos los movimientos de pies y manos i ti irertrc". que personas que logran así mantenerse a flote' y finalmente hacen las 'n"az,t l;;#;;;l pttci.^ttJo la natación. Al tratar de resolver pro-ffi; l;; q.r" obr.'*", e imitar lo que otras pesonas hacen en casos ;;ñ,;r;y Lí apreodemops roblemase iercitándolos al resolverlos. El profesorq ue deseed esarrollare n sus alumnos la aptitud para -resol- "".;;JCl"."t. ¿1,U.h acerlesin teresarsee n ellos y darles el mayor número t"tiUi. á. **io,"' ¿t imitación y ptictica' Si el maestro quiere desarro' í#;;,* "f*""r el procesot nénüt que corresponde a las preguntasy *g.;;;; de nuestra I'ista, debe emplearlas tantas veces como vengan al caso de un rnocto natural. Ádemás, cüando el maestro resuelve un proble-
  15. 15. I¡ I En cl salón ile cllr¿rec ma ar¡te l* clasc, dcbc "dranratizar" u¡r poco sus ideasy hacersela s mis-masp reguntasq ue empleap ara ayudara sus alumnos.G raciasa talesc on-sejos, e l alumno descubrirás, in duda, la manerad e utilizar las preguntas y.sugerenciays adquirirá así conocimientoms ás importantesq oe loste un sirnple hecho matemático. DIVISIONEPSR INCIPALEPSR,E GUNTAPSR INCIPALES 6. cuatro fases. Al tratar de cncontrar la solución podcmos cambiar repetidamenten uestrop unto de vista, nuestrom odo de cbnsiderare l pro-l, t.:i,I:r.mos que cámbiar de posición una y otra vez. Nuestra concep-cron del problema seráp robablementein completaa l empezara trabajir; nuestra visión será diferente cuando hayamoi avan|ado ,r' po.o y cam-biará nuevamentec uandoe stemos^ purá de lograr ra sorució'n. A fi: de.agrupar en forma cómodai as preguntasy sugerenciasd e nuestral ista, distinguiremosc uatrof asesd el trara;á. primero,í .n.,.'o, q.r. cornprenclere l problema, es decir, ve¡ claramentel o que ," pid.. Segunáo, tenemosq u_ec aptar las relacionesq ue existen entre loi diveños elelñentos, ver lo-que liga ala incógnita con rbs datos a fin de encontrar ra idea de ra solucióny poder trazaru n plan. Tercero,p oner en ejecuciótet r pran. cuar-to, uoluera rrásu na vez encontradala sorüción,r eviárra y aisc,riirta. Cada una de estasf ur:.r."r.i mportante.p uede s,rcedeq, ue a un alum_ :_ j: casuatidadu na tandoseto 1",::"do r.1¡el o,trabajop t idea excepcionalmentteri llante y sal_ reparatoriov, ayad irectarnentae la solución. Tales golpesd e suertes on desea6lesn,a tr.rrarÁentep,e ro puedei legarse a un re-sultado, nod eseadod, esafortunados,i el arumriod eJcuida.u uiq,ri.r" a" h, cuatro fasess in.teneru na buenai dea. Es de temerselo peor si el alumno se lanza a hacer cálculos o construccioness in r-tabecr oitprendiio er pro blema.G eneralmentee s inútil ocuparsFd e los detalles, i no ,. han visto las relacionése sencialeos sin habeitrazadou n plan previo. se puedene vi-tar muchos erroress i el alum¡o terifca cad| pÁo alllevar al cabo el plan. Los mejores resultados ¡ued¡¡ p..d.rre si él alumno no reexamina, no reconsiderala solucióno btenida. . 7' comprensión del probrema. Es tonto el contestara una pregun-l_ 1 qu. no sec omprendeE. s deplorablet rabajarp arau n fin que no se desea. sln embergo,t alese rroress e cometenc on frecuenciad, entro y fnera de la escnelaE. l maestrod ebet ratar de evitar que se proáur."r, en su clase. El alumno 9:f. :o.*plender el probrema. péro no-sóro debe comprenderro, sino tambiénd ebed esearr esolverlo.s i hay falta de comprensión'od e inte-rés por parte del alumno, no siempre es su culpa; el problema debe esco-ú) jemplo gersea decuadamenten,i muy difícil ni muy fácil' y debe dedicarseu n áerto tiempo a exponerlo de un modo natural e interesante' Ante todo, "t "nunci,ao verbal <lel problema debe ser comPrendido' E[ maestro puede comprobarlo, hasta cicrto punto' pidiéndole al alurnno il;pü"i .""".¡"Já, io .r^i deberá podei hacer iin titubeos. El alum-no la deberá también P;¿;-t;P"'or las piinci¡rales partes iet ry.ofterna' incóenita,I os datos,I a condióión'R arav ez-püede el maestro evitar las pre- ';;;í;','7¿;;t"rr-íi ¡*iil¡,ri, )cuátesso nt osd atos?¿;c uáet st a condición? *;i;Í;." á"U" .onii¿erar tas principales partes del. problema atenta- *.ni.,'i.p.tia^, ','...J-y-U"1.a'.tti;"s,ángulos' Si hay alguna figura rela-cionadaa l problema,¿ á¡. hiUo¡o' la figu-ray destacar en ella la incógnita y los datoi. Es necesario dar nombres a dichos eletnentos y Por con- 'tig"iiirrroducir una notacióna decuadap: oniendoc uidadoe n la apro-piadae lecció.,a " to, ,[no,, tttl obligadoa considerar los elemcntosP ara los cualesl os signos ;;?;;h.- se, ele"gido.s ]Hay otra pregunta que puede plantearse n este- orn""io, con tal d! qtte no se esPere una respuestad e-liniti', ra,s ino más hri* prouitional o una^rnerac onjeiura: ¿Es posible satis-facer la condición? (En la exposición de la 2'] parte, p.ág' 51' "Familiarizarse" esteiividi¿o en dos partes: "Comprender el Problema" y "Trabaiar Para una meJor comprensión"') ^r^..^^^ r^ r, n la sec-a. Ejempío. Ilustremos algunos de. los puntos ""lY:tlt:t^' ción anterior] To*.-", el siguiente problema' muy sencillo: Detetmtnar la d.iagonald e un prúírlipip"do re,ciangalare ladoi su longitud, .rt¿a ttcbo ':'! sil dltara' pi,^r, poder discutir este problema.con pt*:.11 ]::..:l:i:"t 0"0"" estarf amiliarizadosc on el tedremad e Pitágórasy con algunas de. sus apli-cacionese n la geometríap lana,p ero pueclenn o tener míts que llgeros co-nocimientosd e Ia geometiiua "t'ttpotio' El maestrop uede.confiar aquí en i. i.-,flri¿ad inüitiva del alumnoc on las relaciones en el espacio. -- - ni_".rtro puedeh aceri nteresante l problemac oncretándolo. En efec-to, "i t^l¿n de'clase es un paraletepípedore ctangular-ttly^1:-ll'"ntit'n""lnc-áir" t ou.á.n ser medidas,e stimaáaslo; s alumnost ienenq uc dctcrminat' i" ," t"ra" indírecto",l a áiagonald el salón.E l maestros eñala la lon- ;i;"d, ;i t".ho y. la altura dei saún, indica la diagonal con un gesto y cla ciertavida;rlattgirraquelratrazadocnelpizarrón,rcfiriéndoserc¡mente al salón cle clase' El diálogo entre ei maestro y los alumnos puede eml)ez r couro si{rrc: ;Cttál el Ia incógnita? i-ílrá"git¿ dEt a diagonadl c un ¡'araielc¡rí¡'edrcoc tang'lar' ;Caáles sou los d¡tos?
  16. 16. 30 En cl salón de clases -La longitud, el ancho y la altura del paralelepípedo. -lntroduzcan ana notación adecuad.a¿. Qué letra designará a la in cógnita? - y -¿Qué letras quieren ustedes elegir para designar a la longitud, al anchoy alaaltaraT -A, b, c. -¿Cuál es la condición qae relaciona a, b y c con x? -n es la diagonal del paralelepípedo del cual a, b y c son la longitud, el ancho y la altara. -- .-¿Es ésteu n problema razonable?Q uiero decir,¿ ess uficiente la con-dición para determinar la incógnita? -Sí, lo es. Si conocemosd , b y c, conocemose f paralelepípedo.S i el - paralelepípedoe stá determinado,s u diagonalt ambiénl o está. 9. Concepción de un plan. Tenemos un plan cuando sabemos, al menos a "grosso modo", qué cálculosq, ué razonamientoos construcciones habremos de efectuar para determinar la incógnita. De la comprensión del problema ala. concepciónd el plan, el caminop uede ser largo y tor-tuoso. De hecho, lo esencial en la solución de un problema es el concebir la idea de un plan. Esta idea puede tomar forma po.o u pocp o bien, des-pués de ensayos aparentemente infructuosos y de un piriodo de duda, se puede tener de pronto una "idea brillante". Lo mejor que puede hacer el maestro por su alumno es conducido a esa idea brillante áyudándole, pero sin imponérsele.L as preguntasy sugerenciasd e las que vamos a ha-blar, tienen por objeto provocar tales ideas. Para comprenderl a posición del alumno, el maestrod ebe pensare n su propia experienciae, n sus propiasd ificultadesy éxitose n la resolución de problemas. Sabemos, claro está, que es difícil tener una buena idea si nuestros conocimientos son pobres en la materia, y totalmente imposible si la des-conocemosp or completo. Las buenasi deas se basane n la experienciap a-sada y en los conocimientos adquiridos previamente. un simple esfueizo de memoria no basta para provocar una buena idea, pero es imposible tener alguna sin recordar ciertos hechos pertinentes a la cuestión. los materiales por sí solos no permiten la construcción de una casa, pero es imposible construir una casas in juntar los materialesn ecesariosL. os materialesn e-cesarirrsp ara la solución de un problema de matemáticass on ciertos de-talles particulares de conocimientos previamente adquiridos, tales como problemasr esueltost,e oremasd emostradosP. or ello es con frecuenciaa de-cuadoa bordaru n trabajo planteándosela siguientep regunta:¿ Conocea l-gún problema relacionado? Eiemplo 3l La dificultad estriba en que hay por lo general una infinidad de pro-bf.-^, que se relacionan de álguna rn""t'"..ón el que nos ocuPa' es decir' que tienen ciertos puntos en común con é1. ¿cómo escoger entre tantos' "lqrr.t o aquellosq .re pnedan ser realmenteú tiles? IJna sugerencian os va a oermitir descubriru n punto común esencial:M ite bien la incógnita' Trate i-r-';';;;;;;-"18'i' prLbtema qae te seaf amitiat y que ten84 ta rnisnza in-cófnita o una sirnilar. Si ltegamos a recordar algun probl ema y^ resuelto que esté estrecha-mente relacionado .on ,ro"rñu pioblema actual, podemos considerarnos con suerte. Debemos tratar de -'",tttt tal suerte y podemos merecerla sa-biéndolae xplotar.H e aquí an ptobkma relacionadoc on el sulo y y re-saelto. ¿Puede usted' hdcer uo d.e él? Las preguntasa nterioresb, ien comprendidasy seriamentee xaminadas' ayudani r.r.rit., vecesa prou*u, el eniadenamientoc ofrectod e las ideas; Defon o siempre. s eI c"sloy, a que no son fórmulasm ágicasN. os hace falta il;;;r-L;til otro-ponto'deiontacto y explorar los divcrsosa spectos de ,r,r"rtro problema. DJbemos cambiar, transformar o modificar el problema' ;paed.ee nunciarsee l problema, o ior*o diferente?C iertasc uestiones de l;;; iiri" *gi.ren'medios .rp..ífi.o. p'J.a variar el ptoblema, tales .o-o l" generaÍrzaci1nla, particu1ariztc.iói,e l empleo_de-la analogia,--el á.r."ttrr"""a parte d. í" .oidi.ión, y así por el estilo.T odos'estos detalles son importantes,P erop or el momenton o podemos,"O::-1:-":-ellos' Una modificacióna .t p.oÉti.na puedec ondr-rcirñoas a lgún otro problema auxi-l- iar apropiado: Si no po,di resolaer el-problema proptlesto' trate de resol- -ou p'r;*tro atgtin priblema relacionad'oc on él' Al tratar de utilizar otros problernaso teoremasq ue ya conocemos' con-siderandol as diversast ransfórmacioneps osibles,e xperimentando con 'di- *rrorproblemasauxiliares,podemosdesviarnosyalejarnosdenuestro probleáa primitivo, ^t gt"áo de correr el riesgo-d e perderlo totalmente il;;;.-t'q.i ,rn" úu.nu'pregunta nos puede conducir de nuevo a él: ¿Ha )lptr:oao tádos losd atos?'¿; la hecboa i9 de toda la condición? 'Lo. Ejemplo. Volvamos al ejemplo consideradoe n la sección8 ' Lo habíamosá "j"do en el momentoe n que los alumnosc omenzaban a com-orender el óroblema y a manifestar un cierto interes. En ese momento ñil t."." ur!""^, 'id"u, propias,c iertasi niciativ¿s.S i el maestro,d es-oués de observara tentamenteli clase,n o puede descubrir ningún indic.io il;;;r,t*;; ,", alumnos,t iene que .'noiuear dialogar con ellos. Debe áiroon.rr. a repetir, modifióándolasli geramente'l as preguntas a las que ;;t;;;; *rpánaiáo los alumnos y afrontar muchas veces su silencio á"r.orr..tt"ttte (figurado aquí por puntos suspensivos)' *¿Conocen' ai problema que st relacione a éste?
  17. 17. 32 En el sal.in ¡le cl,nses - . . . , -Coltsideren la incógnifa. ¿Cottocen algún problema que tauiese la ni.rma incógnita? -!usn6. ¿Cuál es la incógnita? -La diagonal de un paralelepípedo. -¿Conocen algún problema qr/e tuuiese IA tnisma incógnita? -No. Nunca se nos ha planteadou n problema acercad e la diagonal de un ¡raralelepípedo. -¿Conocen algún problema qile tuaiese un4 incógnita sintilar? -Miren, la diagonale s un segmentod e recta.¿ No han resueltou ste-des algún problemac uya incógnita fuesel a longitud de un ,segmentod e recta? -Sí, claro, ya hemos resuelto problemas de ese tipo. Por ejemplo, cuando hemcs terúdo que determinar el lado de un triángulo rectángulo. -Mry bien. He abí un. problema qile se relacion,r con el propue.rÍo y que yd ban resuelto. ¿Pueden utilizarlo? -Han tenido suerted e acordarsed e un problemaa nálogoa ésteq ue noso cupay que ya han resuelto.¿ Lesg ustaríau tilizarlo?;¿ podrínni nh.odu-cir algún eletnento auxiliar qae le"r pernútiese entplearlo? -_Veamos,e l problemad el que seh an acordadoc oncierneu n iriángulo. ¿Hay algún triángulo en vuestra figura? Esperemosq ue esta última alusión seal o suficientementec lara como para hacern acerl a idea de la solución,l a cual consistee n introducir un triángulo rectángulo( rayadoe n la fig. 1) cuyai ripotenusae s la diagonal qge se busca. Sin embargo, el profesor debe prever el caso en que dicha alusiónn o.logres acudire l torpor de susa lumnost;i eneq ue estaid ispues-to, entoncesa, empleart odau na seried e alusionecsa dav ezm áse xplícitas. Eiecución tlel Plan 33 -¿Quieren que aParezcau n triángulo en la figura? -¿Q"¿ clased e tiiángulo quierenq ue aparezca?^. _)T-od"uía no p.redá detérminarl a diagonal?S. in eqbargo, decían ustedeJq ue sabían. ó*o ".r.orrtrare l lado de un triángulo.E ntoncesZ, qué van a hacer? -¿Podríanencontrarladiagonalsifueseelladodeuntriángulo? cuando finalmente, con su ayuda, los alumnos han logrado hacer apa-recer el elemento au"iiiar decisivo (el triángulo rectángulo rayado en la fig. r ), el maestrod ebe asegurarseq ue ven la continuaciónd el razona-mlentoa ntesd e animarlosa lanzarsee n cálculosr eales' -creo que era una buena idea el trazar ese triángulo. Ahora tienen un triángulo,p ero ¿tienenu stedesla incógnita? -r; incógnita es la hipotenusa del triángulo; podemos determinarla con la ayuda del teorema de Pitágoras. -Si, si sec onocenla longitud de los otros dos lados,p ero ¿lasc onocen ustedes? -Una de las longitudes es dada: c' En cuanto a la otra, no creo que seam uy difícil determinarla.¡ claro! El otro lado es la hipotenusad e otro triángulo rectángulo. -Perfecto. Ahora veo que tienen un plan' 1I. Ejecución del plan. Ponere n pie un plan, concebirl a idea de la solución,á lo rro tiene nlda de fácil. Hace falta, para lograrlo, el concurso de toda.una serie de circunstanciasc:o nocimientosy a adquiridos,b uenos hábitosd e pensamientoc, oncentracióny, lo qu9 es más, buena suerte'E s mucho más fácil llevar al cabo el plan. Para ello lo que se requiere sobre todo es paciencia. El pian proporcionau na línea gene-ralN' os debemosd e asegurarq ue los detalles .tt.u¡^tt bien en esa línea' Nos hace falta, pues, examinar los detallesu no tras otro, pacientementeh, asta que todo estép erfectamente claro, sin que quede ningún rincón oscuro donde podría disimularse un error. si el alumno ha concebido realmente un plan, el. maestro puede dis-frutar un momento de una paz relativa. Et peligro estriba tn.9Y: el alumno olvide su plan, lo q.ue p.r.á.'ocurrir fácilmente si lo ha recibido del exte-rior y lo ha aceptadop ór provenir de su maestro.P ero si él mismo ha tra-bajaáoe n el plan, u,rnq.,.,tn tanto ayudado,y li ha concebidola idea final con satisfaccióne, ntoncesn o la peiderá tan fácilmente.N o obstante,e l profesord ebei nsistir en que el alumno ue.riifq ae cadap aio' Podemosa segurarnosd e la exactitudd e un P.fs9d e nuestro Íazona-miento y^ ,.^ "pó, intuición"o por mediod e una "demostraciófno rmal"' Podemosc oncentrarnosso bree l puntoe n cuestiónh astaq ue lo veamosta n
  18. 18. ir I . i ; I 34 En eI salón de clases 9"to, :,"" no. nos quede duda argana sobre ra exactitud de dicho rambren detalle, podemose sclarece¡.epl unto-q ue._noisn teresao perandop or dt1_cgión de- y ateniéndonosa regrasf ormatei. (L^ dif.r.;.;" .tirl^i.¡rr,,.i.i¿n,, y "demostración formar" .r lo suficientemente clarae n muchos casosi m- porta.ntes;d ejaremos a ros filósofos er cuidado de proruiJü, sobre el caso). Lo esenciale s que el alumno honestamentee sté por completo seguro de l¿ exactitud de iada paso. En ciertos casos,e l pro-'f.ro, p.ila" recalcar s-9brela diferenciaq ue háy entre "ver" y "demástrai", ctaf^'nente^qile ¿erriro ustedeto er er paso es co*ecro?,'pero¿ puedenta m-biénc remostraqr ue es correcto? 12' Ejemplo. Tomemosn uestrot rabajoe n el punto en que lo había- mos dejadoa l final de Ia sección1 .0.E l aluÁno ha tJnido, .i r",, la idea de la solución. ve el triánguro rectá4gulo cüya incógnita ; ;l; hipotenu-sa y la altura dada c uno de los ladosl siendo el otro lado la diasonal de una c1ra.P. ue{e que el alumno debas er llevado a establecerra nítación apro-piada. D eberáe legir !,yara representaar r otro lado der triánguro,d iagonal de la cara parala cuar-a y b ion los lados. Así podrá .o"..-ui, *¿s clara- t:]":ió¡r, que consistee n hacerapar..., T:::.-3 un problemaa uxiliar cuya rncognrrae s 7. -Frnalmentec, onsiderandou no tfas otro los triángulos réc_ tángulos (ver fig. 1 ), podrá obtener: ":=:l';, y, sustituyendola incógnitaa uxiliar 72: x 2 : a 2 - r r r * r " x: Va2 + bz + c , EI profesor no tiene por qué interrumpir al alumno si éste sare adelante con bien de estos detalles, sivo, el c"so á^do, p"r" ".onr"¡;;;* urifi_ qae cadap asod el razonamientg.E r.profesorp ú"i" pr"g*ü;J ejempro: -¿Ven clmamenteq ue el triáñgulo c.ryosl aáos"son, ,'y,y c es un triángulo rectángulo? A esta-preguntae l arumno puede-responder" sí" con toda honestidad, pero sehallará en un aprieto si e1p rofesoi no r. contentac on su convicción intuitiva y continúa el interrogatoiio: . -¿Pero, p'rden demostrir que dicho triángulo es en efecto un trián-gulo_ rectángulo? Es, pues, preferible para -el profesor el renunciar a hacer esa pregunt¿, a menos que su clase haya sido realmente bien iniciada en la geoáetría <lel espacio. Incluso en dicho caso se corre er riesgo de que l" ,"ip.r"rt. " un" l l jt: i Visión retrospectíoa 35 preguntai ncidentals et orne, paral a mayoriad e los alumnos,e n la dificul-tad principal. L3. Visión retrospectiva. Aun los buenos alumnos, una vez que han bbtenido la solución y expuestoc laramentee l razonamiento,t ienden a cerrars usc uadernosy a dedicarsea otra cosa.A l procedera sí, omitenu na fase importante y muy instructiva del trabajo. Reconsiderandola solución, reexaminandoe l resultadoy el camino que les condujo a ella, podrían consolidars us conocimientosy desarro- Ilar sus aptitudes para resolver problemas. Un buen profesor debe com-prender) ' hacerc omprendera sus alumnosq ue ningún ¡jhirblemap uede considerarsec ompletamentete rminado. Siempre queda algo por hacer; medianteu n estudioc uidadosoy una ciertac oncentracións,e p uedem ejorar cualquier solución, y en todo caso, siempre podremos mejorar nuestra comprensiónd e la solución. El alumno ha llevado al cabos u plan. Ha redactadola solución,v erifi-candoc adap asod el razonamientoT. iene, pues,b uenosm otivosp ara creer que su solucióne s correctaN. o obstantep, uedenh abere rrores,s obret odo si el razonamientoe s laryo y enredadoP. or lo tanto,e s recomendablvee ri-ficar. Especialmentsei existeu n medio rápido e intuitivo para asegurarse de la exactitudd el resultadoo del razonamienton, o debeu no dejar de l-ra-cerlo. ¿Puede aerificar el resultado?; ¿prcde aerificar el ruzonamiento? Al iguai que para convencernodse la presenciao de la calidadd e un objeto, nos gusta verlo y tocarlo, prefiriendo así percibir por medio de doss entidosd iferentesa l igual preferimosc onvencernopso r medio de dos pruebas diferentes: ¿Puede obtener el resultado de un mod.o distinto? Por otra parte es preferible, naturalmenteu, n razonamientoc orto y simple a uno largo y complicado; ¿Puede aerlo cle golpe? Una de las primerasy principaleso bligacionesd el maestroe s no dar a sqsa lumnosl a impresiónd e que los problemasd e matemáticanso tienen ningunar elacióne ntre sí, ni con el mundo físico. Al reconsideralra solu-ción de un problemas e nos presentala oportunidadd e investigars usr ela-ciones. L os alumnoss e percataránq ue un tal comportamientoe s realmente interesantes i han hechou n esfuerzoh onestoy si tienenl a certidumbred e haberh echol as cosasb ien. Desearáne ntoncesv er si esee sfuerzon o oodría aportades otro beneficio y saber lo que habúa que hacerse p"r^ oit".r., nuevamenteu n resultadoi gual de correcto.E l profesord ebea lentara sus alumnosa imaginar casose n que podrían utilizar de nuevoe l mismo pro-cesod e razonamientoo aplicar el resultadoo btenido.¿ Puedeu tilizar el resultado o el método para resoloer algún otro problema? 14. Ejemplo. En la sección 12 los alumnos habían obtenido final-mente la solución:
  19. 19. 36 En el salón de clases si las tres aristasd e un paraletepípedroe ctangulara, partir del mismo vértice, san a, b, r, la diagonal es: VZT-F ¡ ¿ ¿Puede uerificarse el resultado? El profesor no debe esperar una res-puestas ¿tisfactoriaa e¡la preguntad e parte de alumnosi nexpertos.s in embargol,o s alumnosd ebens aberl o máJp ronto posibleq ue los problemas "literales" tienen una grande ventaja sobre los problemas purafuente nu-méricoss; i el problem¿e stád ado" en letras",s u iesultadop ui.d", en efecto, sometersea variasv erificacionesq ue serían imposiblese n el casód e un problema numérico. Aunque relativament" ,.ncilro, nuestro ejemplo per-mite demostrarloE. l profesor puedeh acerv ariasp reguntasa cercad-e i re-sultado, a las cualesl os alumnosp odrán fácilmenti dár una respuesra,po-sitiva; p ero una respuestan egativad emostraríaq ue hay una falia seriae n el resultado. - ¿Ha empleado tod.o¡ los d.ato¡? ¿Figuran todos los datos a, b, c en la fórmula de la diagonal? El largo, la "ñ.rr" y el ancho juegan el mismo papel en nuestra pre-gunta;. n uestrop roblemae s simétricor espectod e a,-b -y c. ¿Es que eñ la fórmula que han encontradop arala diaginal, a, b,y r, ii.n.n un papel si_ métrico?¿ Permanecideé nticac uandos ei ambian entie sí a, b y c? , Nuestro problema es un problema de geometría del espacio: se trata de encontrarl a diagonald e un paraletepípéddoe dimensioÁeds ,adasa , b y c. Es anilogg a un.problema de geornetiíap lana: encontrarl a diagonal de un rectángulod e dimensionesd adasa, y b.-¿Elr esultadod e nuestrop ro-blema en el espacioe s análogoa l resultadoie l problemad e geométría plana? si la altura c disminuyeh astad esaparecetor talmentee, l paralelepípedo se convierte_"ry n paralelogramaS.i , en la fórmula,s e póne r:-0, obtiene ¿se la fórmula correcta de la diagonal del rectángulo? Si la altura c aumenta, la diagonal aumenta. ¿Es esto aparente en la fórmula? Si las tres dimensioneas , b y c derp aralerepí.pedaou mentane n la mis-ma. proporciónl,a diagonala umentat ambiéné n-la mismap roporción.S i, en la fórmula, se sustituye-ab,, y c respectivamentpeo r tZi tib y tZc,Ia expresiónd e la diagonald ebei gualmenteq uedarm ultiplicadap oi iz. ello así? ¿n, - si 1' b y c see xpresane n metros,l a fórmula da iggalmentela medida de la diagonale n metros,p ero si usted.exprestao dasl as medidase n centí-metros, l a fórmula debes eguirc orrecta.¿ Ese llo así? E jemplo (Las dos últimas cuestioness on esencialmentee quivalentes;v éase EXAMEND ED IMENsroursp, ágina8 7.) Estasc uestionetsie nenv ariose fectose xcelentesE.n principio,u n alum-no inteligenteq uedaráf orzosamenteim presionadop or el hechod e que la fórmula puedee xperimentarta ntasp ruebasc on éxito. Tenía ya la convic-ción de que la fórmula era correctap orque la habia establecidoc on cui-dado. M as su conviccióne s mayor ahoray estac ertezam ayor proviened e una causad iferente: se debe a una especied e "evidenciae xperimental". Así, graciasa las cuestionepsr ecedenteslo, s detallesd e la fórmula adquie-ren una nuevas ignificación;s e establecuen lazo entre ellos y diversosh e-chos. H ay, pues,m ayoresp osibilidadesp ara que la fórmula se fije en la mente,c onsolidándosleo s conocimientods e los alumnos.T ambiéns e pue-de fácilmentet ransferir dichasc uestioneys utilizarlase n problemass eme-jantes. D espuésd e una ciertae xperienciad e problemasd el mismo tipo, un alumnoi nteligentep odrá percibir las ideasg eneraless ubyacentese:m pleo de todosl os datosr elativosa la cuestión,v ariaciín de datos,s imetría,a na-logía. Si toma el hábito de dedicarsea l examend e estosd iversosp untos, desarrollaráta nto más su aptitud para solucionarp roblemas. ¿Paedea erificarte el razonamiento?E n casosd ifíciles e importantesp ue-de ser necesariov erificar el razonamiéntop asop or paso.E n general,b asta entresacalro s puntos "delicados"p ara reexaminarlosE. n el casoq ue nos ocupa,s e puedea consejaer l discutirr etrospectivamenltae cuestiónq ue re-sultabam enosi nteresarited e examinare n tanto no se tenía la solución: ¿Puedenu stedesd emostrarq ue el triángulo cuyosl adoss on n, / y r es un triángulo rectángulo? (Ver el final de la sección 12.) ¿Pueclea tilizar el resaltadoo el método para resoluu algún otro pro-blema? S i sel es animau n pocoy sel es da uno o dose jemplos,lo s alumnos encontraránfá cilmentea plicacionesla, s cualesc onsistene sencialmenteen dar una húerpretaciónc oncretda los elementosm atemáticoas bstractosd el problema.E s este tipo de interpretaciónc oncretad e la que se servía el profesorc uandot omabac omoe jemplo,p ara el paralelepípedod el proble-ma, el salónd ondet enía lugar la discusiónU. n alumnop oco dotadop odrá proponer,a título de aplicación,e l calcularl a diagonal de otro salón en lugar de la del salón de clase. Si los alumnos no dan muestra de mayor imaginacióne n sus observacionese,l profesor mismo puede plantear un problemal igeramented iferentec omo,p or ejemplo: "Conociendoe l largo, el anchoy la altura de un paralelepípedore ctangular,d eterminarl a dis-tancia entre el centro y uno de sus vértices." Los alumnosp ueden,e ntoncesu, tilizar el resaltadod el problemaq ue acaband e resolver,o bservandoq ue la distanciaq ue se les pide es igual a la mitad de la diagonal que acaban de calcular. O bien, pueden emplear
  20. 20. 38 En eI salón de clases el método, haciendo aparecer en la figura los triángulos rectángulos apro-piados (esta última forma de proceder es menos evidente y menos elegante en el caso presente). Despuésd e estaa plicación,e l profesor.pueded iscutirl a configuración de las cuatro diagonales del paralelepípedo y de las seis pirámides cuyas basess orl las seisc aras,e l centro, e[ vértice común y las semidiagonales on las aristasla teralesU. na vez que la imaginaciónd e los alumnoss e ha des-pertado lo suficiente, el profesor debe volver a la pregunta: ¿Pueden uti-liza. r el resuhado o el método para resoluer algú4 otro problema? Es más probable que ahora los alumnos puedan encontrar una interpretación con-cretam ás interesantec, omo la que sigue,p or ejemplo: "Se quiere erigir un asta de 8 m de altura en el centro de un terreno rectangular de 21 m de largo y 16 .rn de ancho. Para sostener el asta se requieren cuatro cables de igual tamaño. Estos deben de partir del mismo punto, situado a 2 m del vértice del asta y llegar a los cuatro vértices del terreno. Calcular el largo de cada cable." I¡s alumnos pueden utilizar el método del problema que han resuelto en detalle,h aciendoa pareceur n triángulor ectánguloe n un plano ve¡tical y otro en un plano horizontal. O bien pueden utilizar eI resulta¡Io imagi-nando un paralelepípedo rectangular cuya diagonal .lr es uno de los cuatro cablesy cuyasa ristass on: a : lO.5 b : 8 c : 6 Aplicando ditectamentela fórmula se obtienex : 14.5.( Parao trose jem-plosv er: ¿PUEDUET ILIZARSEEL REsuLTAoo?p,á gina1 71.). 15. Diversos planteos. Refirámonos de nuevo a[ problema ya con-sideradoe n las precedentesse ccione8s, 10, 12 y L4.tLap arte fundamental del trabajo, el encontrar el plan, ha sido descrito en la pección 10. Obser-vemos que el profesor podría haber procedido en forma diferente. Partien-do del mismo punto que en la sección 10, podría haber seguido un camino ligeramented iferentep lanteandol as siguientesp regunta:s -¿Conocen ustedesa lgún problentdq ue se relacionec on el propuesto? -¿Conocen un problema análogo? -Ustedes ven que el problema que se les plantea es un problema de geometríad el espacio.¿ Podríanc onsideraru n problema análogo,p ero más simple, de geometría plana? El problema que se les propone concierne a una figura en el espacio. Set rata de la diagonald e un paralelepípedore ctangular¿. Cuálp odría ser el problema análogo para una figura en el plano? Tntaúa de. . . la diago-nal. . . de un rectángulo. -El paralelogramo. EI métoilo de interrogar al tnaestro 39 Admitiendo incluso que los.alumnos son muy lentos e indiferentes y que hayans ido incapacesd e adivinar nadah astal a fecha, finalmente esta-rán obligados a coopeÍar en una cierta medida Por Pequeña que ésta sea. Por lo demás, si el profesor tiene que tratar con alumnos tan lentos, no deberá plantear este problema del paralelepípedo sin antes haber tratado, a modo de preparación, el problema anáiogo concerniente al rectángulo. Puede entonces continuar como sigue: -He aquí un probletna relacionado con el propuerto y que utedes ya han resaelto. ¿Pueden utilizarlo? -¿Deben inlroducir en él algún elemento auxiliar para poder ent-plearlo? El profesor logrará a veces sugerir a sus alumnos la idea deseada. Consistee n concebirl a diagcnal del paralelepípedod ado como la de un paralelogramo rectangular apropiado, el cual debe ser introducido en la figura (intersección del paralelepípedo con un plano que pase por las dos aristaso puestas).L a idea es esencialmentlea misma que la anterior (sec-ción 10), peto la forma de abordar el problema es diferente- En la sección1 O era por intermedio de la incógnita que se establecíae l contacto con los posibles conocimientos de los alumnos; recordaban un problema que habían resuelto con anterioridad y cuya incógnita era la misma que la del problemap ropuestoE. n la secciónp resente,'elsa analogíal a que hace surgir la idea de la solución. 16, El método de interrogar del maestro. Ta[ como lo hemos ex-puestoe n las seccionepsr ecedentes(8 , Lo, L2, 14 y 15) es esencialmen-te el siguiente: comiéncese por una Pregunta general o una sugerencia de nuestra lista y, si se requiere, v|yase poco a Poco a las preguntas más precisasy rr¡:ásc oncretash, asta el momento de encontrara quella que tiene respuestap or parte de los alumnos.S i usted tiene que ayudar al alumno a explotar su idea, parta, de ser posible, de una pregunta general o de una sugerenciac ontenida en la lista y, viyase si es necesarioa, una pregunta máse specialy, así sucesivamente. Nuestra lista, claro está, no es más que un esbozo de ese tipo; parece suftcientep arala mayor parte de los casoss imples,p ero podría ser mejo' rada sin duda alguna. Interesa, sin embargo, que las sugerencias de las que se parten seang imples,n aturalesy generales,y que la lista seab reve. Las sugerenciasd eben ser simples y naturales,y a que de otro modo serian inoporlnus. Deben ser generales,e s decir, que deben poder aplicarsen o solamente al problema considerado,s ino a problemasd e todo tipo, de maneraa con-tribuiri al desarrollo de las aptitader del alumno y no solamente a una téc-nica particular.
  21. 21. ) tii lil I t l l,i ii 40 Lln el $ulón. de clases La lista debe ser..brevep ara que puedanr epetirsel as preguntas,s in que ello parezc^_artificia"lá, l.r cit.uÁstancia,siá , diu.rr.r; seiendrá así una oportunidadp _araq ue finarmentes eana similadasp or er arumno y p^ra gue contribuyan al desarrollo de un hábito mental. Es necesarioir poco a poco haciap reguntasc adav ez másp recisasp, ara que el alumno pueda tomar la nzayoi parle posible en el trab)jo. Este método de interuogación no tiene nada de rígido y .r ío que deter-mina su interés ya qu,e, en este dominio, todo sisteria mlcánico,'pedante, necesanamentees malo. Nuestro método comportau, na cierta elaiticidad, cierta variedad; admite dive¡sos modos de abordar el problema (sec-c! óri r5); puedey debes er aplicadod e tar modo que ras preguntasp lan-teada¡ p9r el profesor se le hubiese, poclido otor)i, espánü"neametitael propio alumno. si entre nuestrosl ecto.res"haayl guno que quiera probar en su clase nuestrom étodo,l e aconsejamoqsu e procedac on pr,rdenciaD. eberá estu-diar minuciosamentee l ejemplo propuestoe n la seccióng y los ejemplos que encontrarám is lejos en ras secciones1 g, 19 y zo. Deberá preparar cuidadosamentleo s ejemplosq ue haya eregidot eníendoe n cuental as di-versasm anerasd e abordarlos. t-omeázarep"o", lgrrrro, ensayosh astad escu-brir poco a poco la forma en que conuieie ".!1.", el método, la forma en que reaccionanlo s alumnos,y el tiempoq ue se requiere. . 17. B":l1y malas-preguntas. Si el métodoe xpuestom ás arriba se ha comprendido bien, debepermitir juzgar, po, .o-p^ración, el valor de ciertass ugerenciasfo, rmuladase n g.n.til .o'l^ intenciónd e ayudara los alumnos. volvamos a tomar la situaciónt al como se presentabaa l principio de la sección 10, en el momento de hacer la preguita: ¿conocei atgúi pro-blerna.. qusee relacionec on el propuesto?s e ¡-ubierap odido, con la loable intenciónd e ayudara los alumnós,s ustituirlap or ra siguiente.: aplicar ¿paeden el teorema de Pitágoras? Por.buenaq ue seaI a intención, una preguntat al seríad eplorableT. ra-temos de darnos cuenta de las condicionis án las cuales dicha pregunta se puedep lantear;v, eremose ntoncesq ue existeu na larga seried e'ob]eciones que oponer a dicho tipo de "ayuda". En efecto: 1) si el alumnoe stác ercad e encontrarla solución,p uedec omprender la sugerenciaq ue implir¿ la. pregunta;p ero en el caso'contrarioe, s muy probable que no vea en lo absoluto cuál puede ser el fin de una pregunra tal. Así, éste no aportará ninguna ayuda donde más falta hacia.' 2) si el alumnoc omprendela sugerenciale, libra el secretoe nteros in dejarle gran cosa por hacer. 3) La preguntae sd e una naturaleza'demasiaedsop ecialI.n clusos i el ül i , . Prol¡lema ile cottst r ut't'ititt 4 l alumnop uedeu tilizail'¿_parrae solvere l problemac onsideradon,o le dejará nada paia ulteriores ptotl"."t. La pregunta nada tiene de instructiva. 4j Inclusos i el alumno comprindé Ia sugerenciad.,i fícilmente puede .omprerrderp orqué el profesorh i tenido la idea de hacerla'¿ Y cómo él' el "l,rmno,p latin .n.oi'rtru, por sí mismo una Preguntat al?.L lega en for- ." ,orproirra y Poco naturai, como el coneio que el prestidigitador saca del sombrero;n o es instructivae n lo absoluto' Ninguna de estaso bjecioness e puedeo Ponera l método descritoe n la sección1 Oo en la sección1 5. OTROSE JEMPLOS 1g. Problema de construcción. lnscribir an caadtado en un lrián-galo dad.ot al que d.o¡ oérricesd el cuadrarJod eben hallarse sobte la base "drl triángnlo y lot otros dos uérlicese lel caadra¿los obre cada uno de los otros dos lados del ttiángulo respecliaant'ente. -¿Caál es la incógnita? -Un cuadrado. -;Caáles son los datos? -Ún triángulo dado, nada más. -¿Cuál es la condición del problenta? -Lo, cuatro vértices del cuadrado deben hallarse sobre el perímetro del triángulo, dos sóbre la base y los otros dos sobre cada uno de los otros dos lados respectivamente. -¿Es posible satisfacer Ia condición? -Creo que sí, Pero no estoY seguro' -No paiece que el problema le- resulte muy fácil. Si no paetle resol-uerlo, trate printeio de r'esoluera lgr)n problema reldcionarla¿ Puedeu sted satisfacear lgunap arle de Ia condición? -¿Qué quierl decir Por una parte de la condición?. . ¿ -Viamos; la condición conci.rn. a todos los vértices del cuadrado. ¿De cuántos vértices se trata? -De cuatro. -Una parte de la condición se aplicaría a menos de cuatro vértices. Tornes ólo)na parte d.el a condición,-deieIa otra parte. ¿Quép arte de la condición es fácil de satisfacer? -Es fácil trazar un cuadrado con dos de sus vértices sobre el períme-tro del triángulo, incluso un cuadrado con tres de sus vértices sobre el perímetro del triángulo. -Dibuie una figura.
  22. 22. lr t,r 1t l , 42 En eI salón de clases El alumno dibuja la figurz 2. -Usted no ha considárad1.m( qae ana parte de la condición, donando la aban_ otra. ¿En qaé ryelirta Ia iicógnita qaeda alrou derr,riinadaz -E[ cuadradon o está determinado si sólo tiene tres de sus vértices sobre el perímetro del triángulo. ' F¡e. 2 ;Bfen. Dibuje ofra figura. El alumno dibuja la'flgura 3. -Tal como dice, el c'adrado no queda determinado ---- por condiciótzc " ra onsiderada. pzede^aariar? r-' r" barte d.er a ¿Cómo -Tres de los vérticesd e su cuadrado estáne n er perímetro der trián- gulo, pero el cuarto no está donde debéríae star.c omá usted ro ha dicho, el cuadradon o está determinado,p -uedev aria4 resulta to mismo para su cuarto vértice. ¿Córno puede aarii? experimentalmentes de -,^ cuyos _-atr,:vértlces to i lo desea.T ¡ace ot¡os cuadrados,t res se hallen sobre el perímetro del mismo modo que los dos Frc. 3 cuadradoysa dibujadose n ra figura.-D ibújerosp equeñosy grandes. Ie.p areces er.e l lugar geométricó ¿cuár der cuarto v¿¡'ticá¡ ¿ca*o' porl, aariar? El profesor ha llevado al alumno muy cerca de la idea de rá sorución. Probletna de dem,ostraciÓn si el alumno es c p^z de adivinar que e[ lugar geométricod el cuafto vértice es una recta, habrá resuelto el problema' Lg. Problema de demostración.- Dos ángalos están situados ep dos planosd iferentes,p ero cadaa no de los lad.osd e uno_esp a|alelo al laio co-irespondiente d'ei'l'otro, y en Ia misma dirección' Demoslrra que los d'o:r án"g uloss on igaales' Se trata dé ,rno de los teoremasfu ndamentaleds e la geometríad el es-pacio. El problema se puede ProPoner a alumnos que, teniendo una cierta !*p.ri..,.ü de la geometria piani, conocenl os rudimentosd e la geometría dei espacioq ,r. pñp"trtt el iresentet eoremae n los Elementosd e Euclides' (El tÉoremaq .,e acabamosd " en.tn.iar y que v1m-os-ad emostrar'e s en efectol a propósición1 0 det libro XI de Euclides.)S e han impresoe n cur-siva no solamentel as preguntas y sugerenciasq ue-p rovienen de nuestra lista, sino también otrai dlversasq ue les correspondenc, omo lcs "proble- ,.r'po, demostrar"c orrespondetár los "problemas por resolver". (Hemos establecideos tac orresponáenciean una forma sistemáticae n PROBLEMAS poRR Esolvrn, rnonirMAs PoRD EMosTRARJ,,6 ; página1 62') -¿Caát es la biPótesis? -b* ángulos éstán situados en diferentes planos. Cada uno de los ladosd e oro ", paraleloa l lado corr.espondiendtee l otro y en la misma dirección. | -;Cuál e¡ la conclusión? -Los ángulos son iguales. -Dibailuna figari. Inttoduzca una notación altropiada' El alumno traialas líneas de la figura 4 y, más o menos ayudado por el 'p_r;oCfoeist or.e lige las letras de la fígura' es-la hipótesis? Le ruego que la formule empleando su no-raclon. c, t,-1/ _ o--.---,_--__ B' F¡c. 4
  23. 23. 44 Fln el salón de clases -4, B, C no están,ene l mismo-p lano que. A,, Br, Cr. Se tiene A Bll A' B', 4CllA'C', AdemásA, B tienel a misma¿ ireccl¿í queA ,8,, y AC la misma dirección que ArC,. -¿Caál e¡ Ia conclusión? 4BAC= { EA,C, -obserte bien la concra¡ióny trate de pensar en argti, reorentaq ue le rca familiar 7 que lenga la nti¡ína conclusión o utu corclusión sirtilar. ,^..;^^tt dos triángulos son iguales, sus ángulos .orr.rporral.ntes son rguales. -Muy bien. H¿ aqa,í,p uet,,/.n teoretilar elacionado con el propleJto y qae ba sido deruostrado 7a. ¿puede usted entplearlo? t *Creo que sí, pero no veo bien cómo. -¿Le haría falta introdacir un elenzerztaou xiliar para pocler urilizarlo? -veamos. El teorema que usted ha enunciado tan bien se refiere a triángulos,u na parejad e triángulosi guares. ¿En la figura dispone de trián-gulos? perop uedo hacerq trenene ,,^^_N1, ue_ !gur.n. Uniendo B y C, B, y C,. Se ntoncesd os triángulos. AA B C y AA,B,C.. *Perfecto, pero, ¿de qué servi¡án ésos triángulos? -p7¡7 demostrarl a conclusión,e s decir, qu; -Bien. { B A C : 4 B,A,C.. Si ese sol o que quiereu stedd emostiar,¿ quét ipo de triángulos necesita? -Triángulos iguales.S í, claroe stá,y o puedo elegirB , C,8,, C, tal que A B : A , B , , y A C : A , C , c' r,</,t B' Problema de dem.ostración 45 --Mry bien. Y ahora, ¿qué quiere demostrar? -Quiero demostrar que los triángulos son iguales: A A B C : A , AB, , C , Si lo puedo demostrarl,a conclusión< - B A C : 4 B' 4' C' siguei n-mediatamente. -Muy bien. Ahora se ProPone un nuevo fin, busca una nueva con-clusión. ó btrrot bien Ia conclasióny trale de pensare n algún teoren?aq ae le sea fanziliar y que tenga la nzisnta conclusión o una conclusión sitnilar. -bor triánguloss on semejantessi los tres ladosd e uno scn respecti-vamenteig ualesa los tres lados del otro. _Bien. No podía elegir mejor. Así pues, be aqaí de nueao iln leofenxn que re relacioni al propiesto y qt/e y ba demostrado. ¿Puede asted uti' lizmlo? -Sí, si supieseq ue B C : B'C'. -Exacto. ¿Cuál es Pues su propósito? -Psrne5t¡¿r que BC : B'C'. -Trate d.e reiordar algrin teorema que le sea familim y qae tenga la mistna cotzclu¡ión o una conclusión sirnilar. -(sns266 un teoremaq ue termina diciendo: ". . . entoncesl os dos segmentosso n iguales",P ero no convienee n estec aso. -¿Le baría falta introducir algtin elemento aaxilim pma podet em' plearlo? -!s¿¡¡es, ¿cómop odría ustedd emostrarq ue BC : B'C' dado el caso que no existe relación en la figura entre BC y B'C'? -¿Ha empleado usted Ia hipótesis? ¿Cúl es la bipótesis? -Strpon..os que I B ll A' B', A C ll A' C'. Sí, claro está; debo em-p' learla. -¿Ha emplead.too da la hipóte.tit?D ice ustedq ue I BllA'B'. ¿Est odo lo que sabea cercad e estaslí neas? -No. I B tambiéne s igual a A' B' por construcciónE- soss egmentos son paralelose igualese ntre sí. Al igual que I C y A' C'' -Dos segmentops aralelosy de igual tamaño;u na interesanteco nfigu-ración. ¿ Sele ha presentadoa ntes? -Sí, claroe stá:e l paralelogramoU.n iendoA conA t, B conB 'y C coo C'. -La idea no es mala. ¿Cahúosp aralelograrnotsie ne ustetl ahora en la l-i gura? -Dos. No, tres. No, dos. Quiero decir que hay dos que se pueden
  24. 24. 46 En. eI salón ¿e clases demostrari nmediatamenteq ue son paralelogfamosH. ay un tercero que p"t::" serlo.E sperop oder démostrarq ue, en"efector, " J, y-^ri-ra demos. tración quedará conciuida. De las resDuestapsr ecedentes.podíamossu poner inteligente; que er arumno era peio, desp,résd e estaú itim" otseru"ciór, no hay duda de Este alumno eilo. ha sido capazd e adivinar un iesurtadom atemáticoy estableceu¡n a de distinciónn íiida entre er hechod e ^aiuinri /-.f1" a..or- trar' Ha.comprendidot ambién que lo que se adivina p"la. i, -á, o menosp lausible.H a sacador ealmenteu n ciertop rovechd de susc ursosd e matemáticast;i ene una cierta experienciap rácticá de ra maneru viene .o,no .on- resolve¡p roblemas;p uedei oncebir y explotar a fondo ,rrrl b.r.n^ ideu. 20. Problema de rapidez de varialión. se aierre ^l;;;; un reci- p.iented e-l orma cónicac on una rapidez r. El recipiert, ,rf for*a de cono ,le base borizontar tiene er aértice Arr;g;ao bacia ibajo; ,i ,i¡f)" h ba¡e del cono e.ta , r, altarab. Determinar ía aetocidado ílqo, io inp-r4lr;, art agurtJ e eleuac aandoI a profandidad der agua es y. Deipués, ob'tener Ior er oa- naruérico de Ia iniógnita, suponienáo que a: 4 dm, b : 3 dm, t : 2 dms por minato y y : I dtn. lr :|0""t gue los alumnosc onocenla s reglasr náse rementaledse dife- renciació¡ y la noción de "rapidez de variación,'. -¿Cuáles son los clatos? -El radio de la based el cono,a : 4 d,m;l a alturad el cono,b : 3 dmi la.rapidezc 93_quee l aguas ev ierte en el recipiente,.: t á;;;ár minuto, y Ia profundidad del agua en un cierto momento, 1 : 1 dm. i'. ' i ¡ l rr I F¡c. 6 -Exacto. El enunciado,depl robremap areces ugerir que sedebend ejar de lado, provisionalmentelo, s uirot., n,r*éri.o, y"ruroi^, con las expresando retras, la incógnita en f'nción de a, b, r y I, y ar finar solamente, tras de.o btenerl a expresión argebraica,Jrea incégÁrtá,s urtitu, iJ, ,,r^tor., numéricos.A doptemose stas ugerencia¿. Cuáte s la iniógnita? Probletna de rapidez ile ua¡iación 47 -La velocidad ala que se eleva la superficie del agua cuando la pro-fundidad es I. -Es decir, ¿puede usled expresarlo en otros términos? -La velocidad con que aumenta la profundidad del agua. -Nuevamente, ¿puedeu sted.e nunciare l problen?ae n fortna diferente? -La rapidez de variación de la profundidad del agua. -Exacto: la rapidez de variación de y, Pero, ¿qué es la rapidez de variación?C onsidereu stecll a definición. -La derivadad e una función representala rapidezd e variación. -Correcto. Ahora bien, ¿y es una función? Como ya lo hemos dicho, no nos ocuparemos de su valor numérico. ¿Puede imaginar que 7 varía? _.Si, y,la profundidad del agua, aumenta a medida que Pasa el tiempo. -Por lo tanto, ¿7 es función de qué? -Del tiempo t. -Bien. lnlroduzca una notación apropiad'a. ¿Cómo expresaría usted la "rapidezd e variaciónd e y" por medio de símbolosm. atemáticos? dy ü' -Bien. He ahí, pues,s u incógnita.T e hacef alta expresadae n térmi-nos de a, b , r y 1. De hecho, uno de estos datos es una rapidez de variación: ¿cuádl e ellos? -l", que representa la cantidad de agua que cae en el recipiente du-rante un tiempo dado. -¿Puede decido en otra forma? -r es la rapidez de variación del volumen de agua en eI recipiente. -Es decir, ¿prc¿e enunciailo naeaarnentee n forma diferente?; ¿cómo podría escribirlo con una notación apropiada? dV t - ---;- dÍ -¿Qué es Z? -El volumen de agua que hay en el recipiente en el instante f' -Bien. Así puest,i eneq uee xPresar # ,"términos de a, b, ff, , ¿Cómo va usted a tratar de hacerlo? -Si no pueder esolaere l problema,l rate de resoluerp, rimero, an pto-blema relacionado. Si no ve la relación ent e ! y los datos, trate de que d t ' apurezcaa"l guna relación más sencilla gue podría servirle de punto de partida.
  25. 25. 4B En el ¡alón ¿e claces -¿No ve ustedq ue existeno trasr elacionesp?o r independientes ejemplo,¿ y y V son una de otra? -T: -Así ,Cuando7 aumenta,V debea umentart ambién. hayu na relación.¿ Cuáel s.D ues? e.l rad-Piou :t X? V ese l volumend el cónoc uyaa lturae s7 . perod esconozco de la base. .p-o -r l esjine mpelmo.bargop, uedet enerroe n cuenta.D éle un nombrec uarquierax, v : ! ! 2 t -Exacto. Ahora, ¿qués abeu stedd e x? ¿Esi ndepeudiente -No. Cuando de 7? la profundidad del a*a, l, aumenta,e l radio de la superficie variable t aumenta también. -trí pues,h ay una relación. ¿Cuál es ésta? -Sí, claro, hay triángulos semejantes: x : l : a ' $ -Una relaciónm ás, ¿ve usted?N o hay que desaprovecharla. vide que ustedq uería No ol_ .onó... Ia reracióne "istinte ,"rIri-y^'i."" -Se tiene , : o ! b V : !:'l' -Muy bienE. sto,m-...p1T-"b.i"l: qr,g dep artida. a usted?P ero parece no ¿euéte ' olvide su propósito. ¿cát esl a irtlógniii?,'-- dl o ----" dt -Tiene que encontrar una relación entr dy dV ," dr, ,h y otras cantidades. -lq"i tiene una entre /, V y otrascantidades.¿ eué hacer? -Pues claro, diferenciando sé tiene He ahí la solución. dV _¡a2r2 . d ! d¡ bz dt -Perfecto. Y, ¿paralo s valoresn uméricos? - J t r r : 4 r b : 3 , _ IV ' d t : f = 2 , ! : L r e n t o n c e s , _ z r X 1 6 X l d l 9 d r ' Segunda parte Gómo resolver un problema: Un d¡álogo
  26. 26. Familiaúzarse con el problema ¿Por dónde debo empezarl Empiece por el enunciado del problema. ¿Qué paedo bacer? T¡ate de visualizar el problema como un todo, tan claramentec omo pueda. No se ocuped e lo¡ detallesp or el momento. ¿Qaé gano haciendo esto? C-omprenderáe l problema, se familiarizará con é1, grabando su propósito en su mente. I¿ atención dedicada al pro-blema puede también estimular su memoria y preparada para recoger los puntos importantes. Ttabajar para una mejor conrprensión ¿Pord ónde d.eboe mpezar?E mpieced e nuevo por el enunciadod el pro-blema. Empiece cuando dicho enunciado resulte tan claro y lo tenga tan bien grabado en su mente que pueda usted perderlo de vista por un mo-mento sin temor de perdedo por completo. ¿Qaé paed,o bacer? Aislar las principales partes del problema. La hi pótesii y la conclusión son las priocipales partes de un "problema por demostrar"; la incógnita, los datos y Ias condiciones son las principales partes de un "problema por resolver". Ocúpese de las partes principales del problem4 considérelasu na por una, reconsidérelasc, onsidérelasd espués combinándolase ntre s( estableciendoIu relacionesq ue puedan existir en-tre cada detalle y ios otros y entre cad¿ detalle y el conjunto del problema. ¿Qué gano haciend.oe sto?E sti usted preparandoy aclarandod etalles que probablementee ntrarán en juego más tarde. En busca de una idea útil ¿Por dónde debo empezar? Empiece por considerar las partes princi pales del problema. Empiece cuando dichas partes estén, por usted, dara-mented ispuestasy concebidasg, raciasa su trabajo previo, y cuando consi-dere que su memoria "responde". ¿Qué paedo hacer? Considere el problema desde varios puntos de vista y busquep untos de contactoc on susc onocimientosp reviamentea dquiridos. Considere el problema desde varios puntos de vista. Subraye las dife-
  27. 27. 52 Cóma ¡esoloer un problema renfes partes, examine los dife¡entes detalles, examine los mismos detalles repetidamentep, ero de modo diferente, combine entre sí los detalles de diversos modos, abórdelos por diferentes lados. Trate de ver algún nuevo significado en cada detalle, alguna nueva inte¡pretación del conji:nto. .. Uo1gu" puntos de contactoc on sus conocimientosp reviaméntea dqui-ridos. Trate de acordarse de lo que le ayudó en el pasaio ante circunstan-cias aníiogas. Trate de reconocer algo familiar en lo qoe examina y de encontrar algo útil en lo que reconoce. . ¿Qaé, paedo encontrar? una idea que le sea útil, quizá una idea deci-siva que le muestre de golpe cómo llegar a la solucién misma del probtema. . ¿córno pxede ¡er útil ,tna idea? Haciéndole ver el conjunto del razona-miento o una parte de é1. Le sugiere más o rnenos claramente cómo puede proceder. Las ideas son más o menos terminantes. Es ya una suerte tener una idea sea cual fuere ésta. ¿Qué paedo bacer con ana idea incompleta? La debe considerar. si Parecev entajosa,l a debe considerarm ás a fondo. Si pareced igna de con-fianza, usted debe averiguar hasta dónde le puede llevar y deñ reconside-rar la situaciín.La situaciónh a cambiadog raciasa su idéa útil. considere la nueva situación desde varios puntos de vista y busque puntos de contacto con sus conocimientos adquiridos anteriormente. ¿Qré gano haciendoe sto naeaamente?p vede usted tener la suerte de encontrar alguna otra idea. Quizá su nueva idea lo conduzca directamente al camino de la solución. Quizá requiera usted alguna idea más. euizá, incluso, alguna de estas ideas le dewía a usted del camino co¡recto. No obstante, usted debe de alegrarse por toda nueva idea que surja, también por las de p:c-a importancia o confusas, y también por lás ideas suplemen-tarias- que añadan alguna precisión a una idea confusa o permitan la correc-ción de una idea menos afortunada. Incluso si, por un cierto tiempo, no se le presentau na nueva idea verdaderamenteb uena; considéresea f^ortunado si su concepción del problema se torna más completa o más coherentq más homogénea o mejor equilibrada. Ejecución del plan ¿Por dónde debo empezar? Empiece por la feliz idea que le conduce a la solución. Empiece cuando esté seguro de tener el coriecto punto de partida y esté seguro de poder suplir los detailes menores qué pueden necesitarse. .¿Qaép ae^do.hace-rA? segúresed e que tiene la plena comprensiónd el problema. Efectúe en detalle todas las operacionel algebraicas o geomé-tricas que previamente ha reconocido corno factibles. Ádquiera la convic- Visión ¡et¡ospectit¡a 53 ción de la exactitud de cada paso mediante un razonamiento formal o por discernimientoin tuitivo o por ambosm edios,s i es posible. Si su problema es muy complejo, usted puede distinguir "grandes" Pasos y "pequeños" pasos, estando compuesto cada gran paso de varios pequeños. Compruebe primero los grandes pasos y después considere los menores. ¿Qré gano baciendoe sto?U na presentaciónd e la sofuciónp ara la cual la exactitud y corrección de cad¿ Paso no ofrece duda alguna. Visión retrospectiva ¿Pord ónde debo empezar?P or la solución,c ompletay correctae n todos sus'detalles. ¿Qaé paedo bacer? Considerar la solución desde varios puntos de vista y buscar los puntos de contacto con sus conocimientos previamente ad-quiridos. Conside¡e los detalles de la solución y trate de hacedos tan sencillos comop ueda; reconsidérelosm ás extensamentey trate de condensadost;r ate de abarcar de un vistazo la solución completa. Trate de modificar, en bene-ficio de ellas, tanto las partes principales como las secundarias;t rate de mejorar la solución en su conjunto de tal modo que se adivine por sí misma y que quede grabada,e n forma natutal, en el cuadro de sus conocimientos prévios. Examine atentamente el método que le ha llevado a la solución, irate de captar su razón de ser y trate de aplicado a otros problemas. Exa-mine atenlamente el resultado y trate igualmente de aplica¡lo a otros problemas. ¿Qaé gano l¡aciendo esto? Puede encontrar una solución meior y dife-rente, d escubrirn uevosh echosi nteresantesE. n todo caso,s i toma el hábito de reconsiderar las soluciones y examinarlas muy atentamente, adquiere usted una. serie de conocimientosc orrectamenteo rdenados,u tilizables en cualquier momento, a la vez que desarrolla su aptitud en la resolución de problemas.
  28. 28. ll raffr^^v6 U 9 U r9 U (qJ perte Breve diccionar¡o de heurística
  29. 29. Afición a los p{oblemas El aficionado a resolver problemas se plantea con frecuencia a sí mismo preguntas similares a las qui ofrece noeslra relación de temas' Quizá des-i. rbí" pot sí mismo p..gotrtnt de ese tipo o, habiendo oido hablar de ellas, ha[a áirectamente ei ,rlo qo" conviené hacer de dichas preguntas. Puede darse el caso que no esté consciente en lo absoluto de que está repitiendo siemprel a misma pregunta.o bien esa_Pregunetas _sup referida: sabeq ue form^ap arte de ta a,tit-u¿m ental adecuadád urantet al o cual fased el trabajo y tiene^la costumbre de provocar la actitud correcta planteando la pregunta correcta. Este a,ficionado a resolver problemas puede encontrar las preguntas y sugerenciasd e nuestral ista de gran utilidad. Le puedenp ermitir comPren-dei perfectamentela s explicaciónesy -los-ejemplosq u: las ilustran, pueden p.ráiti.l. sospechaer l uio correctod e ellas; Pe-ron g logrará una completa iomprensión ^" -".ror de encontrar en su propio trabajo. el proceso que fa pre¿¡untat rata de ptovocaf. Debe exper'imentars u utilidad descubriendo én lo que le puede ser útil personalmente' nt aficiona¿o a resolvei problemas debe estar prepárado a plantearse todasl as preguntasd e la lista, Pero no debep lantearsen inguna si no le conduce a ello un atento examen del problema que se estudia, y si no estima que debía planteárselaD. e hechod ebe reconoceér l mismo si la presente s'ituación ei parecida a alguna otra en la que ha podido aplicar la misma pre"gf:u:nflrtata cúo n éxito' pues, ante todo, de comprender el problema de un modo tan completo y itaio como seap, osibte. Pero esto no basta.D ebe concentrarse "r, .i ptobl.-a y deseara nsiosamentesu solución' li "o puede hacern acer el dgs'eOre al de resolVedo,m ás yale abandonarlo.E l secretod el éxito real radicalene ntregarsea l proble,rnae n cuerPoy alma' Analogia ' " La analogiae su na especied e similitud. Objetoss emeiantecso ncuerdan unos con otráSe n algunoi aspectos,rnientraqsu e objetos análogosc oncuef-dan en .qier,tars, elacioneesn trg sus respectivose lementos. , , ."' J I
  30. 30. I r,l ifi {l il itr ,$, irü. tfi I t r tffi $fi ffi 58 Breae diccíona¡io de lüurística 1.. un paralelogramor ectangulare s análogo a un pararelepípedor ec-tangular. De hecho, las relaciones entre ros lados del -paralelógiamo son - semejantesa las que existen entre las carasd el paraleleiípedo. cada lado del paralelogramo es paralelo a. uno solo áe-los otros lados y perpendicular a los lados restantes. cada carad el paralelepípedoe s paralelaa una sola de las otras carasy perpendiculara las carasr estantes. consideremos como "elemento límite" el lado del paralelogramo y como "elementol ímite" la carad el pararelepípedop. odemóse ntoniesr edu-cir las dos consideracionesa nterior-esa una sola que se aplique a ambas figuras. cada elemento límite es paralelo a uno solo y perpendicular a los res-tantes elementos límites. Así pues, hemos expresado ciertas relaciones comunes a los dos siste-mas de objetos que hemos comparado, a saber, los lados del rectángulo y las caras del paralelepípedo rectan galar. La analogia de dichos sistemas consistee n la comunidad de ¡elaciones. 2. La analogía ocupa todo nuestro modo de pensar, tanto nuestras cotidianasc onversacioneys nuestrasm ás banales éonclusionesc omo los mediosd e expre'sióna rtística y las rnás altas realizacionecsi entíficas. Así, pues,s e empleae n los más diferentesn iveles. con frecuencia el vulgo emplea analogías vagas, ambiguas, incomple-tas o'no del todo claras, pero la analogir puede, alcanzai el nivel dé la precisión matemática. Todo género de analogla puede jugar un papel en el descubrimientod e la solución, por ello no debemosd eso¡idar "iág"no. 3. Debemos considerarnos felices cuando, tratando de ¡esolver un problema, logramos descubrir un problema anáIogo má¡ sencillo. En la sección1 _5n, uestrop roblema primiiivo concerníaa ia diagonal de un para-lelepípedo rectangular; el estudio de un problema análogo más sencillo que trataba de la diagonal de un rectángülo nos llevó a-la solución del problema primitivo. vamos a examinar otro caso del mismo género. Tene-mos que resolver el siguiente problema. Encontrw el centro de grauedad de tn tetraedro homogéneo. si no se tiene ninguna noción del cálculo integral y pocos conocimien-tos. de física, el problema-no es nada f.icil; era un problerna científico muy serioe n tiemp-osd e Arquímedeso de Galileo. Así-pues,s i deseamos¡e sol-verlo utilizando un mínimo de conocimientosp revios, nos hacef alta buscar un problema anilogo más sencillo.E l correspondientep roblemad e geome-tría plana se presentap or sí mismo. Encontrar el centro de grauedad de an triángtlo homogéneo. Ahora debemos responder a dos preguntas en lugar de una. pero ello Analogía pueder esulta¡ másf .ácil- a condición de estableceer ntre las dos una rela-ción adecuada. 4. Descartemosp, or el momento, el problema primitivo del tetraedro y concretémonosa l problema anáÁogom, ás sencillo, concernientea l triin- ,glrlo. P"r" resolvedó debemos tener algunas nociones sobre los centros de gravedad. El siguiente principio es plausible y se presenta naturalmente por sí mismo. Si an si¡tem¿ de nzarasS constad e elementosc ttyos cen:Nrodse grauedad' se hallan todos soúre an mismo plano, el plano contiene igaalmente eI cen-tro de grauedad del coniunto d'el sistema S. Este principio oos proporciona todo lo que necesitamo_-t. 1 :l casod el triángulo. En plimer lugar, implica que el centro de gravedad-del triángllo está situado eñ el plano del mismo. Podemos entonces considerar al triin-gulo corno compuesto de fibras (bandas muy delgadas, paralelogramos ttnfinitamente estrechos") paralelos a uno de los lados del triángulo (el lado AB enla fig.7). El centro de gravedad de c¿da fibra (o de cada paralelogramo) es, desde luego, su punto medio, y todos estos centros están iitoados sobre la línea que une el vértice C al punto medio M de AB (ver fig. 7). Toáo plano que pase por la mediana CM del triángulo contiene todos los centroi de gravedád de las fibras paralelas que constituyen el triángulo. M B Frc, 7 Así pues, llegamos a la conclusión de que el centro de gravedad del trián-gulocompleto está situado sobre esta misma mediana. Ahora bien" como del mismo modo puede estar situado sobre las otras dos medianas, el centro de gravedads erá,f orzosamente,e l punto de intersecciónc omún a las tres nedianas. Es conveniente verificar entonces, Por geometría pura, independiente-mented e toda hipótesism ecánicaq, ue las tres medianass on, en efecto,c on-currentes.
  31. 31. 60 Breoe dicciona¡io de haurística 5' Después der caso del triángulo, el der fácil. tetraedro Ya hémos es ¡elativamente resu¡]tg afor" ;"p;;ü; a anátogo al que - -- se ' nos había Pt"P^Tlll^{:l:r^:_m:ig"ienre, tenemos un modeto írrgo;r'. ,'r fesolvere r problema análogoq ue nos sirve ahoü de modelo, hemos supuestoe l triánguro rBC compuéstod e fibras AB. Ahora paralelasa uno de susr ados o*o-, a suponerq üe el tetraedroA BCD se componed e fibras paralelas a su aista AB. Los puntos medios de ras fibras que constituyene l triángulo estáos i- vtuaédors"s topibcre"e l"ai , m.,i e,"d,i ¡";:"H:;fxfIJ ii:,fr:i:"r# .1lx,f,f. iÍ 3 ; :ffl 'd;r'o2 e;s"teánl s:i:tu;a"d)o:rss ':o;b:ie" ;e,l ,p1ra?.n,oi q5u.i :.'rgnJ el punto medio zlf de ra arista éi; pdd''ou, ^ma"ra lli,por "no En el caso del triángulo, teníamos tres medianas, cada una de las cuales debía contener al centró de-gravedJ á.i-triargoro. Esas tres medianas de_ B F¡c. 8 l:i:h.Or"r, concurrire n un punto que era precisamente el centro de gra- En el cásod el tetraedro,t enemoss MCD, eis uniendo planosm -""r"'".edianost,ir?""op,ll,^, er punto medio a les como ¿. .^¿" *irt" unod et osc uaredsrl :i.-11:::lr: d.;;;*.^a, deben "punto dad del ,..r^ii.-. ñJi concurrir ro tunto, :r^"r-:rir fr1":r en un ----- quee -l-- sp de gravedad f !r recisameneter buscado. f^lL¡Jó¡r¡qr¡re centro 6' Hemos,p ues,,resuelteo- lp roblemad er centro de gravedadd er te-lt:^ r-ot: n*ogéñeo'. para compre¿r; -;;l;" sorución, trcar'p or medio es convenientvee ri- de ra,gegmejúp^u rue independier¿;rtJ;^t^oia j;nlm:ánica, etr iechdoe q ,i.r * ,d pi.il;;;;;,",*,;, .onri_ efecto, Al resolver eI probrema del centro de gravedad der triángulo homo- Analogía 6l géneo, habíamos ya indicado que convenía, a f.in de completar nuestra so-iución, verificar que las tres medianase ran, en efecto, concurrentes.E ste problema era análogo al del tetraedro, pero visiblemente más sencillo- Podernos nuevamente utilizar, para resolver el problema relativo al te-traedro, el problema análogo concerniente al triángulo (que podemos su-poner aquí como resuelto). En efecto, considérenselo s tres planos media-nos que pasan por las tres aristas DA, DB, CD, partiendo del vértice D,' cada uno de ellos pasa igualmente Por el punto medio de la arista opuesta (el plano mediano que pasa por DC pasa igualmente por M; véase fig. a). Ahora bien, esos tres planos medianos intersectan al plano del triángulo ABC sobre las tres medianas de dicho triángulo. Estas tres medianas pasan por el mismo punto (este es el resultado del problema anilogo más sen-citto¡ y dicho punto, como el punto D, es común a los tres planos media-nos. La recta que une los dos puntos comunes es común a los tres planos medianos. Hemos demostrado que 3 de los 6 planos medianos que Pasan por el vértice D tienen una recta común. Lo mismo debe ser cierto para los 3 pla-nos medianos que pasan por I como para los 3 planos medianos que Pasan por B y para los 3 que pasanp or C. Estableciendoe ntre estosd iversosh e-ihos unirelación adecuida, podemos demostrar que los 6 puntos medianos tienenu n punto común. (Los 3 planosm edianosq ue-Pasan_polor s lados del triángulo ABC d*erminan un punto común y 3 líneas de intersección que se órtan en dicho punto. Ahora bien, según lo qu¡ acabamos de demostrar,p or cadal ínea de intersecciónd ebe pasaro tro plano mediano.) 7. En los párrafos 5 y 6 nos hemos valido de un problema análogo más sencillo, cóncerniente al triángulo, para resolver un problema acefc del tetraedro. No obstante, los dos casos difieren en un punto importante. En el párrafo i hemos empleado el método de un problema análogo más senci[ó, del cual hemos copiado la solución Punto Por punto' En el pá- :aafo 6 hemos empleado el resultd¿o del problema tnilogo más sencillo, sin preocuparnosd el modo cofno se había obtenido dicho resultado. A veces i. po.á. utilizar a la aez el método y el resultado del-problema análogo mái sencillo. Nuestro precedente ejemplo es una prueba de ello, Pero -a condición de considerai los párrafos 5 y 6 como elementos diferentes de la solución de un mismo Problema' Nuestro ejemplo es típico. Para resolver un problema que se nos plan-tea, podemos con frecuencia utilizar la solución de un problema análogo más iencillo, ya sea utilizando su método o su resultado o ambos a la vez. Naturalmente, en ciertos casos difíciles, se pueden presentar complicacio' nesq ue no han sido mostradase n nuestroe jemplo. En particular la solución del problemr anilogo no siempre puede emplearse de inmediato Para re-

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