1. Método de integración“Funciones Racionales” Tipo: Lo primero que debes observar es si el polinomionumerador tiene mayor o igual grado que el polinomio denominador, si es así, harás la división obteniendo el cociente C(x) y el resto R(x): y descompondrás la integral de la siguiente forma: Calixto López - Centro de Estudios MAE

2. Ejemplo: Calixto López - Centro de Estudios MAE

3. Descomposición de integrales racionales En general, el objetivo de este método es descomponer la fracción algebraica en otras fracciones más sencillas. El primer paso es buscar las raíces (los ceros) del polinomio denominador, pudiéndose dar tres casos generales: Raíces reales y sencillas. Raíces reales múltiples Raíces complejas Calixto López - Centro de Estudios MAE

4. 1.- Raíces reales y sencillas 1.- Buscamos las raíces del polinomio denominado por el método de Ruffini, obteniendo x=1, x=2 y x=3. 2.- Sacamos la fracción algebraica con el denominador factorizado y la rompemos en tantos sumandos como factores tenga el denominador, en los numeradores usaremos las incógnitas: A, B y C 3.- Sumamos las tres fracciones obtenidas en función de A, B y C 4.- Igualamos el primer numerador al numerador obtenido en función de las incógnitas: Calixto López - Centro de Estudios MAE

5. 5.- Para calcular las incógnitas damos a las dos partes de la igualdad el mismo valor de x. Los valores de x serán las raíces del denominador: 6.- Una vez obtenidos las valores de A. B y C, podemos romper la fracción en otras más sencillas, es decir, podemos romper la integral en integrales más simples: 7.- Si sacamos las constantes fuera, las integrales resultantes son inmediatas y de la forma del logaritmo neperiano: Calixto López - Centro de Estudios MAE

6. 2.- Raíces reales y múltiples 1.- Buscamos las raíces del polinomio denominado por el método de Ruffini, obteniendo x=1, x=1 y x=-1. Como puedes observar hay una raíz doble. 2.- Operamos igual que en el caso anterior, pero teniendo en cuenta que tenemos que añadir más sumando, uno por cada potencia inferior que hayamos obtenido con la raíz múltiple. 3.- Sumamos las tres fracciones obtenidas en función de A, B y C 4.- Igualamos el primer numerador al numerador obtenido en función de las incógnitas: Calixto López - Centro de Estudios MAE

7. Calixto López - Centro de Estudios MAE 5.- Para calcular las incógnitas damos a las dos partes de la igualdad el mismo valor de x. Los valores de x serán las raíces del denominador. Como te habrás dado cuenta sólo tienes dos raíces y tres incógnitas, para la tercera incógnita le darás a la x el valor que tu quieras, por ejemplo x=0, como este valor no es una raíz obtenemos una ecuación (en otros casos saldrá un sistema de ecuaciones), como ya conocemos A y B, el valor de C resulta fácil de calcular: 6.- Una vez obtenidos las valores de A. B y C, podemos romper la fracción en otras más sencillas, es decir, podemos romper la integral en integrales más simples:

8. Calixto López - Centro de Estudios MAE 7.- Si sacamos las constantes fuera, las integrales resultantes son inmediatas, la primera y la última de la forma del logaritmo neperiano y la segunda subiendo al numerador la potencia con exponente negativo sería de la forma de la función potencia:

9. 3.- Raíces complejas 1.- Buscamos las raíces del polinomio denominado por el método de Ruffini, obteniendo x=1 y el polinomios “x2+1” que presenta raíces complejas. 2.- Operamos como en los casos anteriores, pero teniendo en cuenta que en el numerador del polinomio de raíces complejas colocaremos “Mx+N” 3.- Sumamos las dos fracciones obtenidas en función de A, M y N 4.- Igualamos el primer numerador al numerador obtenido en función de las incógnitas: Calixto López - Centro de Estudios MAE

10. Calixto López - Centro de Estudios MAE 5.- Para calcular las incógnitas damos a las dos partes de la igualdad el mismo valor de x. Los valores de x serán las raíces del denominador. Como te habrás dado cuenta sólo tienes una raíz y tres incógnitas, para las incógnitas M y N le darás a la x los valores que tu quieras, por ejemplo x=0 y x=-1, como estos valores no son raíces, obtenemos un sistema de ecuaciones: 6.- Una vez obtenidos las valores de A. M y N, podemos romper la fracción en otras más sencillas, es decir, podemos romper la integral en integrales más simples:

11. Una integral racional especial Cuando en el denominador aparece un polinomio de segundo grado con raíce complejas, tenéis que hacerle un tratamiento especial y nunca aplicarle el tercer método que hemos visto anteriormente. De hecho, este tipo de integrales racionales os saldrán al descomponer por el tercer método. Veremos dos tipos: Tipo 1: la convertiremos en inmediata del tipo: Tipo 2: la romperemos en dos partes, la primera será del tipo logaritmo y la segunda igual que el primer tipo: Calixto López - Centro de Estudios MAE

12. Tipo 1: Calixto López - Centro de Estudios MAE Como hemos dicho con anterioridad la intentaremos convertir en: 1.- El denominador siempre será un binomio al cuadrado más cierto número: 2.- Luego podemos escribir la integral como: 3.- Dividimos numerador y denominador entre cuatro: 4.- Metemos el cuatro dentro del cuadrado: 5.- El último paso es poner en el numerador la derivada de la función que está dentro del cuadrado, en este caso ½. El resultado es la integral inmediata que andábamos buscando:

13. Tipo 2: Calixto López - Centro de Estudios MAE 1.- Multiplicamos y dividimos por dos para poner en el numerador la derivada del denominador y rompemos la integral tal como sigue: 2.- La primera es la inmediata del logaritmo neperiano y la segunda es del tupo 1: 3.- Aplicamos lo visto en el tipo anterior, aunque en este caso resulta de lo más sencillo: Nota: quizá estos dos tipos te resulten algo complicado, pero si los practicas te irás dando cuenta que el procedimiento siempre es el mismo, ¡ánimo!