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# Livro Álgebra Linear Roldão da Rocha

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### Livro Álgebra Linear Roldão da Rocha

1. 1. CMCC - Universidade Federal do ABC ´ Algebra Linear ˜ Prof. Roldao da Rocha ´ E permitido o uso e a reproducao destas notas para fins exclusivamente ¸˜ educacionais. ξ ξ U ⊗ (V ⊗ (W ⊗ X)) - (U ⊗ V ) ⊗ (W ⊗ X) - ((U ⊗ V ) ⊗ W ) ⊗ X 6 Id ⊗ ξ = ? U ⊗ ((V ⊗ W ) ⊗ X) ξ ξ ⊗ Id - (U ⊗ (V ⊗ W )) ⊗ X
2. 2. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) i a Men wanted for hazardous journey. Low rages, bitter cold, long months of complete darkness, isolation and starvation, constant danger, safe return doubtful.1 Ernest Shackleton Recovery is overrated. What counts in a battle is what you do when the pain sets in. 1 Em 29 de dezembro de 1913, an´ncio de um jornal britˆnico, convocando volunt´rios para viagem ao P´lo u a a o Sul. Mais de cinco mil inscritos, dentre os quais trˆs mulheres. e
3. 3. Contents 1 Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.1 Corpos: deﬁni¸˜es fundamentais . . co 1.2 Os corpos Zp (p primo) . . . . . . . 1.3 Isomorﬁsmo entre corpos . . . . . . . 1.4 Outras estruturas alg´bricas . . . . . e 1.5 Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . c 1.5.1 Subespa¸os Vetoriais . . . . . c 1.5.2 Bases de um Espa¸o Vetorial c 1.5.3 Transforma¸˜es Lineares . . . co 1.5.4 Bandeiras . . . . . . . . . . . 1.6 Espa¸o Dual e Funcionais Lineares . c 1.7 N´cleo e Imagem . . . . . . . . . . . u 1.8 Soma Direta . . . . . . . . . . . . . . 1.9 Espa¸os Quocientes . . . . . . . . . . c 1.9.1 Teoremas de Isomorﬁsmos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 2 3 4 6 7 8 9 11 12 13 17 18 21 24 2 Operadores Lineares e Dualidade 2.1 Preliminares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Transforma¸˜es Gradiente e Contragradiente co 2.3 Funcionais Bilineares . . . . . . . . . . . . . . 2.3.1 Correla¸˜o . . . . . . . . . . . . . . . ca 2.4 Dualidade e Adjunta . . . . . . . . . . . . . . 2.4.1 Aplica¸˜es Duais . . . . . . . . . . . . co . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 27 29 29 31 31 32 3 Autovetores e Formas Bilineares 3.1 Aplica¸˜es Ortogonais, sim´tricas e anti-sim´tricas . . . . . . . . . . . . . . . . . co e e 3.2 Espa¸os Euclidianos e Hermitianos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 35 41 44 4 Forma Canˆnica de Jordan o 4.1 Forma Canˆnica de Jordan . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . o 4.2 Fun¸˜es de Aplica¸˜es Lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co co 47 47 57 ´ 5 Algebra Tensorial 5.1 Aplica¸˜es Multilineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . co 5.2 Produto Tensorial entre Espa¸os Vetoriais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . c 62 62 64 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4. 4. CONTENTS 5.3 5.4 Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 1 a A ´lgebra tensorial de um espa¸o vetorial . a c ´ Algebra exterior . . . . . . . . . . . . . . . 5.4.1 O produto exterior . . . . . . . . . . 5.4.2 Opera¸˜es dentro da ´lgebra exterior co a Bibliograﬁa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70 77 77 81 84
7. 7. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 4 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Denotamos tamb´m o conjunto Zn = {[0], [1], . . . , [n − 1]}, com n ∈ N, n ≥ 2, com a soma e deﬁnida por [a] [b] ≡ (a + b) (mod n) = [a + b], para [a], [b] ∈ Zn . Podemos tamb´m considerar e em Zn uma opera¸˜o de produto, deﬁnida por [a] • [b] ≡ ab (mod n) = [a.b]. ca Teorema 1: Se o conjunto Zn ´ um corpo com as opera¸˜es acima deﬁnidas, ent˜o n ´ e co a e um n´mero primo. u Demonstra¸˜o: As opera¸˜es de soma e produto deﬁnidas acima s˜o comutativas, assoca co a ciativas e distributivas (justiﬁque!). Sempre vale que [−a] = [n − a], ∀[a] ∈ Zn , o que implica na existˆncia de um inverso aditivo. Resta-nos estudar a existˆncia de elementos inversos [a]−1 . e e Vamos supor que Zn seja um corpo. Ent˜o [a] ∈ {[2], . . . , [n − 1]} tem uma inversa em Zn , ou a seja, um n´mero [b] ∈ {[1], . . . , [n − 1]} tal que [a] • [b] = 1. Lembrando a deﬁni¸˜o de produto u ca 1 em Zn , isso signiﬁca que existe um inteiro k tal que ab = kn + 1. Mas isso implica b − a = k n . a Como o lado esquerdo n˜o ´ um n´mero inteiro, o lado direito tamb´m n˜o pode ser. Portanto a e u e a n/a n˜o pode ser inteiro para nenhum a ∈ {2, . . . , n − 1}, ou seja, n n˜o tem divisores ´ portanto a a e ´ um n´mero primo. e u Os conjuntos Zn tˆm profundas aplica¸˜es em teoria de c´digos e relevante tamb´m em e co o e ´ outras ´reas de Algebra e Geometria. a Exemplo 2: Tome por exemplo n = 7. Neste caso, [4] [6] = [10] = [3], enquanto que [6] • [6] = [6.6] = [36] = [1]. A tabela de multiplica¸˜o para Z7 ´ dada por ca e [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] • [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [3] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [4] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [5] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [6] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [0] [1] [2] [3] [4] [5] [6] [0] [2] [4] [6] [1] [3] [5] [0] [3] [6] [2] [5] [1] [4] [0] [4] [1] [5] [2] [6] [3] [0] [5] [3] [1] [6] [4] [2] [0] [6] [5] [4] [3] [2] [1] Os valores de [a] [b] e [a]•[b] para Z7 s˜o exibidos na intersec¸˜o da [a]-´sima linha [b]-´sima a ca e e coluna, na tabela apropriada. Ex.6: Fa¸a a tabela multiplicativa de Z6 , Z8 e Z9 , identiﬁcando quais s˜o os respectivos c a elementos invers´ ıveis de tais conjuntos Proposi¸˜o 1: As opera¸oes ⊕ e • est˜o bem deﬁnidas em Zn ca c˜ a Prova: Suponha que [a] = [c] e [b] = [d] em Zn . Ent˜o a = c + un e b = d + vn, para u, v ∈ Z a apropriados. Assim, [a + b] = [c + un + d + vn] = [c + d + (u + v)n] = [c + d] + [(u + v)n] = [c + d] + [0] = [c + d] [a.b] = [(c + un).(d + vn)] = [c.d + (c.v + u.d + u.n.v).n] = [c.d] 1.3 (1.1) Isomorﬁsmo entre corpos Dois corpos (K1 , , ◦) e (K2 , +, .) s˜o ditos isomorfos se existir uma aplica¸˜o bijetora φ : a ca K1 → K2 que preserve as opera¸˜es alg´bricas de K1 e K2 , ou seja, tal que φ(a b) = φ(a)+φ(b), co e
8. 8. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 5 a a φ(a ◦ b) = φ(a).φ(b). Podemos provar que φ(1K1 ) = 1K2 e φ(0K1 ) = 0K2 . Acima, 1Kj e 0Kj s˜o a unidade multiplicativa e o elemento nulo, respectivamente, de Kj , j = 1, 2. Ex.7: Prove que φ(−a) = −φ(a) para todo a ∈ K1 e que φ(a−1 ) = (φ(a))−1 para todo a ∈ K1 , a = 0K1 a −b , com a, b ∈ R. b a Mostre que esse conjunto ´ um corpo em rela¸˜o `s opera¸˜es usuais de soma e produto de e ca a co matrizes. Mostre que esse corpo ´ isomorfo ao corpo C, atrav´s da aplica¸˜o e e ca Ex.8: Considere o conjunto de todas as matrizes reais da forma Θ : C → M(2, R) (a + ib) → a −b b a (1.2) Considere agora um corpo K com unidade. Para um n´mero natural n, deﬁnimos n.1 = u n vezes 1 + · · · + 1. Deﬁne-se a caracter´ ıstica de K — e denotamos por char(K) — como sendo o menor n´mero natural n˜o-nulo n tal que n.1 = 0. Se um tal n´mero n˜o existir, dizemos que o corpo u a u a tem caracter´ ıstica zero. Ex.9: Prove que Q, R, C tˆm caracter´ e ıstica zero, e prove que Zp , com p primo, tem caracter´ ıstica p Ex.10: Prove que, quando char(K) = 0, ent˜o char(K) ´ sempre um n´mero primo a e u Ex.11: Prove que, quando char(K) = p, ent˜o ∀a, b ∈ K, (a + b)p = ap + bp . a Ex.12: : Sejam a, b ∈ K. Quais das seguintes rela¸˜es plaus´ co ıveis s˜o necessariamente a verdadeiras? Prove ou justiﬁque. 1. 0.a = 0 2. (−1).a = −a 3. (−a).(−b) = a.b 4. 1 + 1 = 0 5. Se a = 0 e b = 0 ent˜o ab = 0 a Ex.13: Dado um isomorﬁsmo de corpos φ : (K1 , , ∗) → (K2 , +, .), mostre que 1. φ(0K1 ) = 0K2 2. Se 1K1 denota a identidade de K1 , ent˜o a identidade em K2 ´ dada por φ(1K1 ). a e 3. φ(an ) = (φ(a))n 4. φ−1 : K2 → K1 existe e tamb´m ´ isomorﬁsmo. e e
11. 11. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 8 a Ex.17: Prove que: 1. Se K ´ um corpo, ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre K com as mesmas opera¸˜es de soma e a e c co e produto deﬁnidas em K. 2. Se K ´ um corpo e L ´ um subcorpo de K (ou seja, um subconjunto de K que ´ por si s´ e e e o um corpo com as opera¸˜es deﬁnidas em K), ent˜o K ´ um espa¸o vetorial sobre L. co a e c 3. Se K ´ um corpo, o produto Cartesiano Kn = {(k1 , . . . , kn ), kj ∈ K, j = 1, . . . , n} ´ um e e espa¸o vetorial sobre K com a opera¸˜o de soma deﬁnida por (k1 , . . . , kn ) + (l1 , . . . , ln ) = c ca (k1 + l1 , . . . , kn + ln ) e o produto por escalares por a.(k1 , . . . , kn ) = (ak1 , . . . , akn ) para todo a ∈ K. O vetor nulo ´ o vetor (0, . . . , 0). e 4. O conjunto Mm×n (K), de todas as matrizes m × n cujos elementos de matriz pertencem a K, ´ um espa¸o vetorial sobre K, com a soma sendo a soma usual de matrizes e o produto e c por escalares sendo o produto usual de matrizes por n´meros escalares. O vetor nulo ´ a u e matriz nula Ex.18: Determine se os seguintes conjuntos s˜o espa¸os vetoriais: a c 1. K = C, V = C, com soma usual, e multiplica¸˜o deﬁnida por a • v = a2 v, ∀v ∈ V e a ∈ K. ca 2. K = C, V = C, com soma usual, e multiplica¸˜o deﬁnida por a • v = (Re a) v, ∀v ∈ V e ca a∈K 3. O conjunto de todas as fun¸˜es pares. co 4. O conjunto de todas as fun¸˜es ´ co ımpares. Ex.19: Considere o conjunto R com a opera¸˜o de soma usual, um corpo Zp , com p primo ca e o produto Zp × R → R, a ∈ Zp e x ∈ R dada pelo produto usual em R. Essa estrutura deﬁne um espa¸o vetorial? Justiﬁque c 1.5.1 Subespa¸os Vetoriais c Um subconjunto U = ∅ de um espa¸o vetorial V ´ dito ser um subespa¸o vetorial de V se e c e c somente se, dados a, b ∈ K e u, v ∈ U , au + bv ∈ U . Subespa¸os s˜o nesse sentido fechados com c a rela¸˜o a combina¸˜es lineares. Adicionalmente, o conjunto {0} ´ elemento de todo subespa¸o ca co e c de V . De fato, se U ´ subespa¸o vetorial de V , ent˜o se w ´ um elemento arbitr´rio de U , ent˜o e c a e a a 0.w ∈ U , e j´ que 0.w = 0, ent˜o 0 ∈ U para todo U ⊂ V . a a Ex.20: Considere V = C3 e os seguintes conjuntos U ⊆ V consistindo dos vetores (a, b, c), onde a, b, c ∈ C tais que 1. a = 0 2. b = 0 3. a + b = 1
12. 12. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 9 a 4. a + b = 0 5. a + b ≥ 0 6. a ∈ R Em quais desses casos U ´ subespa¸o vetorial de V ? e c Ex.21: Considere V como sendo o espa¸o vetorial complexo dos polinˆmios de grau n e c o U ⊆ V consistindo dos polinˆmios p(t) sobre um corpo K tais que: o 1. possuem grau trˆs e 2. 2p(0) = p(1) 3. p(t) ≥ 0 sempre que 0 ≤ t ≤ 1 4. p(t) = p(1 − t), ∀t ∈ K Em quais desses casos U ´ subespa¸o vetorial de V ? e c Ex.22: Em um corpo ﬁnito Zp , p primo, calcule o n´mero de subespa¸os vetoriais de u c n dimens˜o j em um Zp -espa¸o vetorial (Zp ) a c Ex.23: Prove que a intersec¸ao de subespa¸os vetoriais ´ um subespa¸o vetorial c˜ c e c Ex.24: Prove que os unicos subespa¸os de R, s˜o o pr´prio R e o subspa¸o nulo. Mostre ´ c a o c que todos os subespa¸os de R2 s˜o o pr´prio R2 , o subespa¸o nulo ou o subespa¸o consistindo c a o c c 2. de um m´ltiplo de um vetor ﬁxo em R u 1.5.2 Bases de um Espa¸o Vetorial c Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Um conjunto ﬁnito v1 , . . . , vn ∈ V de vetores c ´ dito ser linearmente dependente se existir um conjunto de escalares a1 , . . . , an ∈ K, nem todos e nulos, tais que a1 v1 + · · · + an vn = 0. Um conjunto arbitr´rio de vetores ´ dito ser linearmente a e independente se n˜o possuir nenhum subconjunto ﬁnito que seja linearmente dependente. a Para um conjunto ﬁnito de vetores {v1 , . . . , vn } ⊂ V e de escalares {a1 , . . . , an } ⊂ K, uma express˜o como a1 v1 + · · · + an vn ´ dita ser uma combina¸˜o linear dos vetores vi . a e ca Considerando agora um conjunto de vetores U ⊆ V , o espa¸o gerado por U (“linear span”) c de U denotado por spanlin (U), ou U , ´ o conjunto de todos os vetores de V que podem ser e escritos como uma combina¸˜o linear ﬁnita de elementos de U . ca Denotando um conjunto arbitr´rio n˜o-vazio de ´ a a ındices por J, uma base em um espa¸o c vetorial V ´ um conjunto A = {vi , i ∈ J} de vetores linearmente independentes que geram V e (qualquer vetor v ∈ V pode ser escrito de modo unico como uma combina¸˜o linear de elementos ´ ca de A). Um espa¸o vetorial ´ dito ser de dimens˜o ﬁnita se possuir uma base ﬁnita. Se um espa¸o c e a c vetorial V tem dimens˜o ﬁnita, sua dimens˜o ´ deﬁnida como sendo o n´mero de elementos de a a e u sua base. Ex.25: Dois conjuntos disjuntos de R2 podem gerar o mesmo espa¸o vetorial? Qual ´ em c e 3 o espa¸o gerado pelo conjunto {(1, 1, 1), (0, 1, 1), (1, 0, 0)}? R c
13. 13. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 10 a Exemplo 3: V = Cn sobre C e V = Rn sobre R s˜o ambos espa¸os vetoriais de dimens˜o a c a n sobre R ´ espa¸o vetorial de dimens˜o ﬁnita 2n. Isso mostra a ﬁnita n, enquanto que V = C e c a dependˆncia da dimens˜o com o corpo utilizado. Esse conceito ser´ bastante utilizado quando e a a falarmos de produto tensorial Exemplo 4: Os polinˆmios de uma vari´vel real com coeﬁcientes complexos Pn (t) = an tn + o a · · · + a1 t + a0 , t ∈ R, ai ∈ C, ´ polinˆmio de grau n quando an = 0 e o Exemplo 5: V = R sobre o corpo dos reais. O conjunto dos reais sobre o corpo dos reais ´ um espa¸o vetorial de dimens˜o 1, pois qualquer elemento v ∈ R pode ser escrito como e c a v = v.1, onde {1} ´ o unico elemento da base de R. Ao considerarmos V = R sobre o corpo Q e ´ dos racionais, tal espa¸o vetorial n˜o possui dimens˜o ﬁnita, pois n˜o existe um conjunto ﬁnito c a a a {x1 , . . . , xm } de n´meros reais tais que todo x ∈ R possa ser escrito como x = q1 x1 + · · · + qm xm , u onde qi ∈ Q. Como Q ´ um conjunto cont´vel, a cole¸˜o de n´meros que podem ser escritos como e a ca u o lado direito ´ uma cole¸˜o cont´vel e tem a mesma cardinalidade de Qm , por´m o conjunto R e ca a e n˜o ´ cont´vel a e a Teorema 3: Se em um espa¸o vetorial V existir um conjunto {vi } de n vetores linearmente c independentes, ent˜o a dimens˜o de V ´ maior ou igual a n a a e Prova: Suponhamos por absurdo que exista uma base B = {u1 , . . . , uk } em V com k < n. Ent˜o podemos escrever v1 = a1 u1 + · · · + ak uk pois B ´ uma base e pelo menos ak = 0, portanto a e uk = (ak )−1 (v1 − a1 u1 − · · · − ak−1 uk−1 ) (1.3) Analogamente temos que v2 = b1 u1 + · · · + bk uk e usando a Eq.(1.3) escrevemos v2 = c1 u1 + · · · + ck−1 uk−1 + d1 v1 . Os ci n˜o podem ser todos nulos, sen˜o v2 = d1 v1 , contrariando a hip´tese de a a o que os {vi } s˜o L.I.. Suponhamos que ck−1 seja o elemento n˜o-nulo, podemos escrever uk−1 a a como uma combina¸˜o linear envolvendo {u1 , . . . , uk−2 } e os vetores v1 e v2 . Ap´s k passos ca o provamos que vk+1 = α1 v1 + · · · + αk vk , contrariando a hip´tese de que os vi s˜o L.I.. o a Ex.26: Se K ´ um corpo com p elementos, quantas bases existem em Kn ? e Vimos que o espa¸o V tem dimens˜o ﬁnita se ele possui uma base ﬁnita. Duas bases quaisquer c a de V tˆm o mesmo n´mero (ﬁnito) de elementos. e u Ex.27: Prove as seguintes aﬁrma¸˜es: a) O conjunto de vetores {e1 , . . . , en } ´ L.D. se e co e somente se pelo menos um dos vetores ej for combina¸˜o linear dos outros. ca b) Se o conjunto {e1 , . . . , en } ´ L.I. e o conjunto {e1 , . . . , en , en+1 } ´ L.D., ent˜o en+1 ´ come e a e bina¸˜o linear de e1 , . . . , en ca Ex.28: Considere Kn−1 [x] o espa¸o dos polinˆmios na vari´vel x que tˆm grau menor ou c o a e igual a n − 1, com coeﬁcientes em um corpo K. Veriﬁque que: a) O conjunto {1, x, . . . , xn−1 } forma uma base de Kn−1 [x], e as coordenadas de um polinˆmio o f ∈ Kn−1 [x] em tal base s˜o seus coeﬁcientes. a b) O conjunto {1, x − a, (x − a)2 , . . . , (x − a)n−1 } forma uma base de Kn−1 [x]. Se char(K)= (n−1) (a) p > n, ent˜o os coeﬁcientes de um polinˆmio f s˜o {f (a), f (a), . . . , f (n−1)! }. a o a c) Sejam a1 , . . . , an ∈ K elementos distintos dois a dois. Seja gi (x) = i=j (x−aj )(ai −aj )−1 . Os polinˆmios g1 (x), . . . , gn (x) formam uma base de Kn−1 [x] — denominada base de interpola¸˜o o ca — e as coordenadas do polinˆmio f nessa base ´ {f (a1 ), . . . , f (an )} o e
14. 14. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 11 a Obs.2: Dado U = {e1 , . . . , en } um conjunto ﬁnito de vetores em V , e W = {ei1 , . . . , eim } um conjunto L.I. de U , dizemos que W ´ maximal se cada elemento de U puder ser escrito como e uma combina¸˜o linear dos elementos de W ca Proposi¸˜o 2: ca gerado S de S Qualquer conjunto {e1 , . . . , en } ⊂ S maximal L.I. ´ uma base do espa¸o e c Prova: Mostraremos que qualquer vetor em S pode ser escrito como uma combina¸˜o linear ca de e1 , e2 , . . . , ek . Por deﬁni¸˜o, qualquer vetor em S pode ser expresso como uma combina¸˜o ca ca linear de vetores em S. Qualquer vetor v ∈ S pode ser expresso com uma combina¸˜o linear ca de e1 , e2 , . . . , ek . Para v ∈ {e1 , . . . , en } ⊂ S, isso ´ ´bvio. Para v ∈ {e1 , . . . , en }, sabemos que eo / um vetor v pode ser expresso como qualquer combina¸˜o linear de e1 , . . . , en se, e somente se ca v, e1 , . . . , en s˜o L.D.. Portanto segue o enunciado a Aplicando as considera¸˜es do Lema anterior a S = V , obtemos o co Teorema 4: Qualquer conjunto de vetores L.I. em V pode ser completado a uma base Em particular, qualquer 0 = v ∈ V est´ contido em alguma base de V , e qualquer conjunto a de n vetores L.I. em um espa¸o vetorial V n-dimensional forma uma base de V . c Teorema 5: Qualquer subespa¸o vetorial U de um espa¸o vetorial de dimens˜o ﬁnita V c c a tamb´m possui dimens˜o ﬁnita, e dim U ≤ dim V. Al´m disso, se U = V , ent˜o dim U < dim e a e a V Prova: Seja {e1 , . . . , ek } um sistema maximal de vetores L.I. em U . {e1 , . . . , ek } ´ uma base de e U e dim U = k. O conjunto L.I. {e1 , . . . , ek } pode ser completado a uma base de V , e se U = V , ent˜o dim V > k a Ex.29: Dados U, W subespa¸os vetoriais de V , para quais espa¸os vetoriais V temos v´lida c c a a propriedade V ∩ (U + W ) = V ∩ U + V ∩ W ? Ex.30: Prove que se U ´ um subespa¸o de V e dim U = dim V < ∞, ent˜o U = V e c a 1.5.3 Transforma¸˜es Lineares co Considere U e V espa¸os vetoriais sobre um corpo K. Um mapa φ : U → V ´ dito ser c e linear se ∀u, v ∈ U , a ∈ K, tivermos φ(au) = a φ(u) e φ(u + v) = φ(u) + φ(v). Uma aplica¸˜o ca linear ´ um homomorﬁsmo de grupos aditivos. Com efeito, φ(0) = φ(0.0) = 0.φ(0) = 0 e e φ(−u) = φ((−1).u) = −φ(u). Denotamos por Hom(U, V ) o conjunto dos homomorﬁsmos entre U e V. Ex.31: Mostre que os mapas de homotetia f : V → V , deﬁnidos por f (u) = a.u, ∀a ∈ K, u ∈ V , s˜o transforma¸˜es lineares a co Dizemos que dois K-espa¸os vetoriais U, V s˜o isomorfos se o homomorﬁsmo φ : U → V for c a uma aplica¸˜o bijetiva. A aplica¸ao φ ´ denominada isomorﬁsmo entre U e V . ca c˜ e Proposi¸˜o 3: Sejam U, V espa¸os vetoriais sobre um corpo K, e considere {e1 , . . . , en } ⊂ U ca c e {h1 , . . . , hn } ⊂ V dois conjuntos de vetores com o mesmo n´mero de elementos. Ent˜o, se u a e1 , . . . , en coincide com U , existe somente uma aplica¸˜o ψ : U → V tal que ψ(ei ) = hi , para ca todo i entre 1 e n. Al´m disso, se {e1 , . . . , en } for L.I. — e neste caso {e1 , . . . , en } forma uma e base de U — ent˜o a aplica¸˜o ψ existe, e ´ um isomorﬁsmo a ca e
15. 15. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 12 a Prova: Sejam ψ e ψ dois mapas tais que ψ(ei ) = ψ (ei ) = hi . Considere o mapa φ = ψ−ψ , onde (ψ − ψ )(ei ) = ψ(ei ) − ψ (ei ). Veriﬁque que φ : U → V ´ linear, e dado u = a1 e1 + · · · + an en ∈ U , e temos que φ(u) = 0. Portanto ψ(u) = ψ (u), ∀u ∈ U , logo ψ = ψ . Agora, j´ que cada elemento a de u ∈ U pode ser unicamente representado na forma u = a1 e1 +· · ·+an en , deﬁnimos ψ : U → V por ψ(a1 e1 + · · · + an en ) = b1 h1 + · · · + bn hn . Prove que tal aplica¸˜o ´ linear ca e Ex.32: Mostre que o conjunto Hom(U, V ) ´ um espa¸o vetorial e c Exemplo 6: Seja ξ ∈ Hom(U, V ) um mapa bijetivo, e portanto existe ξ −1 : V → U . Mostraremos que ξ −1 ´ linear. J´ que ξ ´ bijetiva, existem vetores — unicamente deﬁnidos — e a e u1 , u2 ∈ U tais que V vi = ξ(ui ). Das express˜es ξ(u1 +u2 ) = ξ(u1 )+ξ(u2 ) e ξ(a u1 ) = a ξ(u1 ), o −1 em ambos os lados dessas duas express˜es, e portanto u +u = ξ −1 (ξ(u )+ξ(u )) aplicamos ξ o 1 2 1 2 −1 (a ξ(u )). Portanto, ξ −1 (v ) + ξ −1 (v ) = ξ −1 (v + v ) e a ξ −1 (v ) = ξ −1 (a v ) e a u1 = ξ 1 1 2 1 2 1 1 Ex.33: Mostre que se φ ´ uma aplica¸˜o linear, ent˜o φn (∀n ∈ N) tamb´m ´ linear e ca a e e Proposi¸˜o 4: Qualquer K-espa¸o vetorial V n-dimensional ´ isomorfo a Kn ca c e Prova: Seja {e1 , . . . , en } uma base de V . Considere o mapa φ : V → Kn que associa a cada vetor v ∈ V , a n-upla (a1 , . . . , an ) de coordenadas do vetor v na base {ei }. Tal mapa ´ bijetivo. e Agora, se v = a1 e1 + · · · + an en , e u = b1 e1 + · · · + bn en , ent˜o a u + v = (a1 + b1 )e1 + · · · + (an + bn )en λv = (λa1 )e1 + · · · + (λan )en Portanto φ ´ isomorﬁsmo e Teorema 6: Dois K-espa¸os vetoriais U, V de dimens˜o ﬁnita s˜o isomorfos se, e somente c a a se eles possuem a mesma dimens˜o a Prova: O isomorﬁsmo φ : U → V leva a base de U na base de V , e portanto dim U = dim V . Reciprocamente, considere dim U = dim V . Considere {e1 , . . . , en } ⊂ U e {h1 , . . . , hn } ⊂ V respectivamente bases de U e V . A express˜o φ(a1 e1 + · · · + an en ) = b1 h1 + · · · + bn hn a deﬁne uma aplica¸˜o linear de U em V , de acordo com o Lema. Al´m disso φ ´ bijetiva, pois ca e e a1 e1 + · · · + an en = φ−1 (b1 h1 + · · · + bn hn ) Obs.3: Na demonstra¸˜o acima tomamos o isomorﬁsmo φ : U → V , e se {e1 , . . . , en } ´ ca e base de U , ent˜o {φ(e1 ), . . . , φ(en )} ´ base de V , portanto dim U = dim V . Reciprocamente, a e provamos no Teorema acima que qualquer K-espa¸o vetorial V n-dimensional ´ isomorfo a Kn , c e e portanto esses espa¸os tamb´m s˜o isomorfos entre si, por rela¸˜o de equivalˆncia c e a ca e 1.5.4 Bandeiras Um dos m´todos padr˜o para se estudar conjuntos S que possuem estruturas alg´bricas ´ e a e e por meio de seq¨ˆncias de subconjuntos — ou cadeias crescentes — S0 ⊂ S1 ⊂ S2 ⊂ . . .. No ue formalismo dos espa¸os vetoriais, uma seq¨ˆncia estritamente crescente de subespa¸os (supondo c ue c dim V = n), correspondendo ` ﬁltra¸˜o V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr em V ´ denominada bandeira. O a ca e n´mero r ´ denominado comprimento da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vr . A bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ u e . . . ⊂ Vn ´ dita ser maximal se V0 = {0}, n Vi = V , e um subespa¸o n˜o pode ser inserido e c a i=1 entre Vi e Vi+1 : se Vi ⊂ M ⊂ Vi+1 , ent˜o ou Vi = M ou M = Vi+1 . Quando r = n, ent˜o dim a a
16. 16. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 13 a Vi = i para todo i (1≤ i ≤ n), e a bandeira ´ denominada completa. Neste caso a bandeira ´ e e uma s´rie de composi¸˜o de V . e ca Denominamos assinatura da bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ . . . ⊂ Vn ` seq¨ˆncia {dim V0 , dim V1 ,. . . , a ue dim Vn }. Uma bandeira de comprimento n pode ser constru´ a partir de qualquer base do espa¸o ıda c V , deﬁnindo-se V0 = {0} e Vi = span {e1 , . . . , ei }, para i ≥ 1. Tal bandeira ´ maximal e tal e constru¸˜o nos fornece todas as bandeiras maximais. ca Teorema 7: maximal de V A dimens˜o do espa¸o vetorial V ´ igual ` dimens˜o de qualquer bandeira a c e a a Prova: Seja V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . uma bandeira maximal em V . Para todo i ≥ 1, tomamos um vetor ei ∈ Vi Vi−1 e mostraremos que {e1 , . . . , ei } formam uma base de Vi . Primeiramente, spanlin {e1 , . . . , ei−1 } ⊂ Vi−1 , e ei ∈ Vi−1 , portanto segue-se por indu¸˜o sobre i (j´ que e1 = 0), / ca a que {e1 , . . . , ei } ´ L.I. para todo i. e Agora, por indu¸˜o em i mostramos que {e1 , . . . , ei } gera Vi . Assuma que tal aﬁrma¸˜o seja ca ca verdadeira para i − 1 e seja M = spanlin {e1 , . . . , ei }. Ent˜o Vi−1 ⊂ M de acordo com a hip´tese a o de indu¸˜o e Vi−1 = M , j´ que ei ∈ Vi−1 . A deﬁni¸˜o de maximalidade de uma bandeira implica ca a / ca que M = Vi . Se V0 ⊂ V1 ⊂ V2 ⊂ . . . ⊂ Vn = V ´ uma bandeira maximal ﬁnita em V , ent˜o de acordo e a com o que j´ foi mostrado, os vetores {e1 , . . . , en }, onde ei ∈ Vi Vi−1 , forma uma base de V tal a que dim V = n. Se V cont´m uma bandeira maximal inﬁnita, ent˜o essa constru¸˜o fornece um e a ca n´mero arbitrariamente grande de conjuntos de vetores em V , e portanto V possui dimens˜o u a inﬁnita Ex.34: Prove que qualquer bandeira em um espa¸o V de dimens˜o ﬁnita pode ser estendida c a a ` bandeira maximal, e seu comprimento n˜o excede a dim V a Ex.35: Mostre que em uma bandeira V0 ⊂ V1 ⊂ · · · ⊂ Vr , veriﬁca-se que 0 ≤ dim V0 < dim V1 < · · · < dim Vr ≤ n Uma bandeira de qualquer comprimento pode ser obtida a partir de uma bandeira completa, quando eliminamos alguns subespa¸os vetoriais apropriados. Reciprocamente, qualquer bandeira c pode ser completada, inserindo tamb´m subespa¸os vetoriais apropriados. Em geral isso pode e c ser feita de maneiras alternativas. Ex.36: Complete a seguinte bandeira de R3 : {0} ⊂ R2 (plano-xy) ⊂ R3 , de duas maneiras diferentes Sejam V e W dois K-espa¸os, com bases {e1 , e2 , . . . , en } e {f1 , f2 , . . . , fn } respectivamente. c Uma transforma¸˜o φ : V → W ´ denominada uma transforma¸˜o (ou aplica¸˜o) linear se ca e ca ca φ(au+bv) = aφ(u)+bφ(v), ∀a, b ∈ K, u, v ∈ V . A matriz A ∈ Mm×n (K) de φ em rela¸˜o `s bases ca a acima tem elementos Aij tais que φ(ei ) = a1i f1 + · · · + ami fm , i = 1, . . . , n. (Isto ´, as colunas e de A s˜o as coordenadas dos vetores φ(e1 ), . . . , φ(en ) em rela¸˜o ` base {f1 , f2 , . . . , fn } ⊂ W . a ca a 1.6 Espa¸o Dual e Funcionais Lineares c Seja V um espa¸o vetorial sobre um corpo K. Uma aplica¸˜o α : V → K, deﬁnida sobre todo c ca V , ´ dita ser um funcional linear se α(au + bv) = aα(u) + bα(v), ∀u, v ∈ V e para todo a, b ∈ K. e
17. 17. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 14 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Ex.32: Mostre que, de acordo com a deﬁni¸˜o acima, para qualquer funcional linear α ca temos que α(0) = 0 O conjunto de todos os funcionais lineares de V em K ´ denominado espa¸o dual de V e e c ∗ . O conjunto V ∗ ´ um espa¸o vetorial (sobre K), ao deﬁnirmos (aα + bβ)(u) := denotado V e c ∗ , a, b ∈ K, u ∈ V . α(au) + β(bu), ∀α, β ∈ V Ex.37: Prove que V ∗ ´ espa¸o vetorial sobre K e c O vetor nulo de V ∗ ´ o funcional linear que associa trivialmente todo vetor de V a zero: e α(u) = 0, ∀u ∈ V . Exemplo 7: Sejam a1 , . . . , an ∈ K escalares. Deﬁnimos φ : Kn → K a aplica¸˜o φ(x1 , . . . , xn ) = ca a1 x1 + · · · + an xn . A matriz de φ ´ (a1 , . . . , an ) em rela¸˜o ` base usual de Kn e ` base {1} de K. e ca a a n s˜o dessa forma, e se x = x e +· · ·+x e ∈ Kn , Notamos que todas as fun¸˜es lineares sobre K a co 1 1 n n ent˜o φ(x) = x1 φ(e1 ) + · · · + xn φ(en ). Denote φ(ei ) = ai a Ex.38: Deﬁna um funcional α ∈ (C2 )∗ tal que α(1, 1) = 0. Deﬁna um funcional α em (C3 )∗ tal que α(1, 1, 1) = 0 e α(1, i, 3) = 0. Ex.39: Considere um funcional linear sobre um C-espa¸o vetorial. Tal funcional pode c assumir somente valores reais? Ex.40: Seja C[a, b] o espa¸o das fun¸˜es cont´ c co ınuas, f : [a, b] → R. Deﬁnimos φ(f ) = Prove que φ ´ um funcional linear e b a f (t)dt. O seguinte teorema ´ verdadeiro e ser´ implicitamente usado v´rias vezes no que segue. e a a Teorema 8: Seja um espa¸o vetorial V sobre um corpo K. Se um vetor v tem a propriedade c ∗ ent˜o v = 0 que α(v) = 0 para todo α ∈ V a Prova: Seja B uma base em V . Para cada elemento u ∈ B podemos associar um funcional linear αu , deﬁnido como αu (v) = vu , ∀v ∈ V (1.4) onde, como todo v ∈ V pode ser escrito como uma combina¸˜o linear ﬁnita de elementos de B, ca podemos sempre escrever v = vu u + v , onde v ´ uma combina¸˜o linear ﬁnita de elementos de e ca B, e vu ∈ K. Al´m disso, vu = 0, caso u n˜o compare¸a na decomposi¸˜o de v em uma soma e a c ca ﬁnita de elementos de B). Ex.41: Mostre que, para cada u ∈ B, αu : V → K dada pela Eq.(1.4) ´ um funcional linear e Seja ent˜o v um vetor como no enunciado do teorema. Se α(v) = 0 para todo α ∈ V ∗ , vale a obviamente que αu (v) = 0, para todo u ∈ B. Isso implica que v = 0. Ex.42: Considere o espa¸o das matrizes n × n M(n, K). Denotando as componentes de c A ∈ M (n, K) por {Aij }, deﬁna o tra¸o da matriz como sendo o operador c Tr : M(n, K) → K n A → Aii = A11 + A22 + · · · + Ann i=1
20. 20. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 17 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.7 N´ cleo e Imagem u Considere φ ∈ Hom(U, V ). O conjunto ker φ = {u ∈ U | φ(u) = 0} ⊂ U ´ denominado n´cleo e u de φ, e o conjunto Im φ = {v ∈ V | ∃u ∈ U, φ(u) = v} ⊂ V ´ denominado imagem de φ. e Ex.49: Seja A ∈ End(R3 ) deﬁnida por: A(x1 , x2 , x3 ) = (x1 − x2 + 2x3 , 2x1 + x2 , −x1 − 2x2 + 2x3 ). Veriﬁque que A ´ uma transforma¸˜o linear e determine a imagem e o posto de A e ca Ex.50: Mostre que ker φ e Im φ s˜o respectivamente subespa¸os vetoriais de U e V a c Teorema 11: φ ∈ Hom(U, V ) ´ injetiva se, e somente se, ker φ = {0} e Prova: Suponha que ker φ = {0}. Ent˜o φ(u1 ) = φ(u2 ) ⇒ φ(u1 − u2 ) = φ(u1 ) − φ(u2 ) = 0 a e u1 − u2 ∈ ker φ, o que implica que u1 − u2 = 0, ou seja, u1 = u2 . Reciprocamente, se u ∈ ker φ, ent˜o φ(u) = 0 = φ(0) ⇒ u = 0, logo ker φ = {0} a Ex.51: Mostre que φ ∈ Hom(U, V ) ´ injetiva se, e somente se, φ leva vetores L.I. em U em e vetores L.I. de V Obs.6: Vimos que um homomorﬁsmo φ : U → V ´ uma aplica¸˜o que preserva estruturas e ca alg´bricas, no sentido de que ∀u, v ∈ U , a ∈ K, φ(au + v) = aφ(u) + φ(v). Um homomorﬁsmo e que possui o n´cleo trivial — e portanto injetivo — ´ denominado monomorﬁsmo (ou imers˜o). u e a No caso em que φ(U ) = V , e portanto φ ´ sobrejetivo, φ ´ denominado um epimorﬁsmo. Ainda, e e denominamos por endomorﬁsmo todo elemento φ ∈ Hom(V, V )= End(V ), e por automorﬁsmo um isomorﬁsmo φ : V → V (isomorﬁsmo do mesmo espa¸o) c Ex.52: No espa¸o Kn [x] dos polinˆmios na vari´vel x, considere as aplica¸˜es φ, ψ ∈ End(V ) c o a co deﬁnidos por φ(ao + a1 x + · · · + an xn ) = a1 + a2 x + · · · + an tn−1 ψ(ao + a1 x + · · · + an xn ) = a0 x + a1 x2 + · · · + an tn+1 Mostre que φ ◦ ψ = I e ψ ◦ φ = I. A aplica¸˜o φ possui inversa? ca Teorema 12: (Teorema do N´cleo e da Imagem) Seja U um espa¸o vetorial de dimens˜o u c a ﬁnita e φ ∈ Hom(U, V ). Ent˜o ker φ e Im φ tˆm dimens˜o ﬁnita, e dim ker φ + dim Im φ = a e a dim U Prova: ker φ tem dimens˜o ﬁnita, j´ que ker φ ´ subespa¸o vetorial de U . Tome uma base a a e c {e1 , . . . , em } de ker φ e estenda esta base a uma base {e1 , . . . , em , em+1 , . . . , em+n } de todo o espa¸o U . Mostraremos que os vetores φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) formam uma base de Im φ. c Qualquer vetor em Im φ possui a forma m+n φ m+n ai ei i=1 = ai φ(ei ), (1.7) i=m+1 pois m aj φ(ej ) = 0, j´ que {e1 , . . . , em } ⊂ ker(φ), o que signiﬁca que φ(e1 ) = 0 = · · · = φ(em ). a j=1 Portanto, φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) geram Im φ. Seja agora a combina¸˜o linear m+n ai φ(ei ) = ca i=m+1 m+n 0. Ent˜o, φ a ai ei = 0, o que signiﬁca que m+n ai ei ∈ ker φ, i.e., m+n ai ei = i=m+1 i=m+1 i=m+1 m m+n (aj )ej , pois {e1 , . . . , em } ´ base de ker φ. Mas φ e ai ei = 0 s´ ´ poss´ se todos oe ıvel j=1 i=m+1 os coeﬁcientes ai , ai forem nulos, pois {e1 , . . . , em , em+1 , . . . , em+n } ´ base de U . Portanto os e vetores φ(em+1 ), . . . , φ(em+n ) s˜o L.I., pois em particular os ai s˜o nulos a a
21. 21. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 18 a Corol´rio 2: Temos que dim U = dim Im φ se, e somente se dim ker φ = 0, i.e., ker φ = a {0}. Neste caso, φ ´ injetiva e tamb´m sobrejetiva, i.e., φ ´ isomorﬁsmo e e e Um subespa¸o de dimens˜o n − 1 de um K-espa¸o V de dimens˜o n ´ denominado de c a c a e ∗ e se dim V = n, ent˜o dim Im α hiperplano — ou subespa¸o de codimens˜o 1. Se 0 = α ∈ V c a a = 1 e dim ker α = n − 1, pois Im α = K, e dim K = 1. O teorema do N´cleo e da Imagem nos u diz que dim ker α = n − 1. Obs.7: Quando a dimens˜o de V ´ inﬁnita, um hiperplano ´ um subespa¸o U ⊂ V tal que a e e c U = V , e se W ´ um subespa¸o, U ⊆ W ⊆ V , ent˜o W = V ou W = U , o que caracteriza U e c a como um subespa¸o pr´prio maximal de V c o Teorema 13: Se 0 = α ∈ V ∗ , ent˜o ker α ´ hiperplano em V . Reciprocamente, todo a e ∗ (α n˜o ´ unico). hiperplano de V ´ o n´cleo de um funcional α ∈ V e u a e´ Prova: Dado 0 = α ∈ V ∗ , existe v ∈ V tal que α = 0. Seja u ∈ V , deﬁnamos a = α(u)/α(v). Ent˜o w = u − av ∈ ker α, pois α(w) = α(u − av) = α(u) − aα(v) = 0. Portanto u = w + av ∈ a (ker α + v ), e portanto ker α ´ hiperplano. Reciprocamente, seja ker α um hiperplano em V , e e seja v ∈ V ker α. Ent˜o, j´ que ker α ´ subespa¸o pr´prio maximal de V , temos que V = a a e c o ker α + v , e cada u ∈ V tem a representa¸˜o u = w + av, a ∈ K e w ∈ ker α. Se tiv´ssemos ca e u = w + a v, a ∈ K e w ∈ ker α, ent˜o (a − a )v = w − w. Se a − a = 0, temos v ∈ ker α, o a que n˜o ´ poss´ a e ıvel. Portanto a = a e w = w Ex.53: Seja V = M(n, K). Prove que End(V ) (End(V ))∗ (Dica: Prove que para qualquer α ∈ V ∗ existe uma unica matriz A ∈ V com a propriedade de que α(X) = Tr(AX), ∀X ∈ V ). ´ 1.8 Soma Direta Considere {Vi }n subespa¸os vetoriais de um K-espa¸o vetorial V . Dizemos que V ´ soma c c e i=1 n direta de V1 , . . . , Vn se todo v ∈ V puder ser representado da forma v = i=1 vi , onde vi ∈ Vi . Se isso ocorrer, escrevemos n V = V1 ⊕ V2 ⊕ · · · ⊕ Vn = Vi i=1 ´ Exemplo 9: Considere {e1 , . . . , en } uma base de V e seja Vi = ei . Ent˜o V = ⊕n Vi . E a i=1 n n V ent˜o V = claro que quando V = ⊕i=1 i a ıproca n˜o ´ verdadeira. a e i=1 Vi . A rec´ Mais geralmente, se tivermos uma cole¸˜o ﬁnita de espa¸os vetoriais V1 , . . . , Vn sobre um ca c mesmo corpo K procedemos analogamente, primeiro deﬁnindo o grupo abeliano V1 ⊕ · · · ⊕ Vn e depois deﬁnindo a multiplica¸˜o por escalares por a(v1 ⊕ · · · ⊕ vn ) := (av1 ) ⊕ · · · ⊕ (avn ), com ca a ∈ K e v1 ⊕ · · · ⊕ vn ∈ V1 ⊕ · · · ⊕ Vn . O espa¸o vetorial (sobre K) assim deﬁnido ´ denotado c e por V1 ⊕K · · · ⊕K Vn . Ex.54: Mostre que dados vi ∈ Vi , as aplica¸˜es co φ : (V1 ⊕ V2 ) ⊕ V3 → V1 ⊕ V2 ⊕ V3 (v1 + v2 ) + v3 → φ((v1 + v2 ) + v3 ) = v1 + v2 + v3 (1.8)
22. 22. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 19 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c e ψ : V1 ⊕ (V2 ⊕ V3 ) → V1 ⊕ V2 ⊕ V3 v1 + (v2 + v3 ) → ψ(v1 + (v2 + v3 )) = v1 + v2 + v3 (1.9) s˜o isomorﬁsmos (canˆnicos) a o Ex.55: Sejam V1 e V2 subespa¸os vetoriais de V , com V1 ∩ V2 = {0}. Deﬁna a aplica¸˜o c ca linear φ : V1 × V2 → V1 ⊕ V2 (v1 , v2 ) → φ(v1 , v2 ) = v1 + v2 , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 Prove que φ ´ um isomorﬁsmo. e Agora, se V1 ∩ V2 = {0}, deﬁna a aplica¸˜o linear ca φ : V1 × V2 → V1 + V2 (v1 , v2 ) → v1 + v2 , v1 ∈ V1 , v2 ∈ V2 φ ´ sobrejetiva, o que implica que dim Im φ = dim (V1 + V2 ). Al´m disso, ker φ = {(v, −v) | v ∈ e e V1 ∩ V2 }. A aplica¸˜o ca ψ : V1 ∩ V2 → ker φ v → (v, −v) ´ um isomorﬁsmo (Prove!). Portanto, e dim V1 + dim V2 = dim(V1 × V2 ) = dim ker φ + Im(φ), pelo Teorema do N´cleo e da Imagem, u = dim ker φ + dim(V1 + V2 ) = dim(V1 ∩ V2 ) + dim(V1 + V2 ) Ex.56: Dados U1 e U2 subespa¸os vetoriais de U tais que U1 ∩ U2 = {0}, mostre que B1 ∪ B2 c ´ base de U1 ⊕ U2 , onde B1 ´ base de U1 e B2 ´ base de U2 . e e e Teorema 14: Sejam {Vi }n ⊂ V subespa¸os vetoriais de um K-espa¸o vetorial V . Ent˜o c c a i=1 V = ⊕n Vi se, e somente se valer qualquer uma das seguintes condi¸˜es: co i=1 a) V = n Vi e Vj ( i=j Vi ) = {0}, ∀j = 1, . . . , n. i=1 b) V = n Vi e n dim Vi = dim V (aqui assumimos que dim V = n < ∞). i=1 i=1 n Prova: a) A unicidade da representa¸˜o de qualquer vetor v ∈ V na forma ca i=1 vi ∈ V n n ´ equivalente ` unicidade do vetor 0 ∈ V . Com efeito, se e a a i=1 vi = i=1 vi , ent˜o 0 = n (vi − vi ) e vice-versa. Se existir uma representa¸˜o n˜o-trivial de 0 = n (vi − vi ), na ca a i=1 i=1 qual, digamos, vj − vj = 0, ent˜o vj − vj ∈ i=j Vj ∩ ( i=j Vi ), e portanto a condi¸˜o a) n˜o ´ a ca a e mais v´lida. a b) Se V = ⊕n Vi , ent˜o n Vi = V e n dim Vi ≥ dim V , pois ∪n Vi = V e portanto a i=1 i=1 i=1 i=1
24. 24. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 21 a Aplicando Pj ` igualdade acima, e usando que Pj2 = Pj , Pi Pj = 0, i = j, obtemos a Pj Pj (vj ) = Pj (vj ) = Pj Pi (vi ) = 0. (1.10) i=j Provamos que dado um vetor v ∈ Vj ∩ Vj ∩ i=j i=j Vi arbitr´rio, ent˜o v = 0, o que signiﬁca que a a Vi = {0}, e portanto pelo crit´rio a) do Teorema 14, segue-se que e n i=1 Vi = {0} Obs.8: Se dim V = n < ∞, ent˜o para qualquer subespa¸o V1 ⊂ V , existe um subespa¸o a c c V2 ⊂ V tal que V = V1 ⊕ V2 . Dizemos que V2 ´ o complemento direto de V1 . e n Podemos deﬁnir somas diretas de operadores lineares, considerando U = i=1 Ui e V = n ca i=1 Vi e φ : U → V uma aplica¸˜o linear tal que φ(Ui ) = Vi . Denotamos por φi : Ui → Vi o mapa linear induzido, e escrevemos φ = n φi . Escolhendo bases de U e V como a respectiva i=1 uni˜o de bases de Ui e Vi , a matriz de φ ´ a uni˜o de blocos diagonais. a e a Ex.60: Considere V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn uma bandeira em um K-espa¸o vetorial de dimens˜o c a ﬁnita, onde mi = dim Vi . Prove que, dada uma outra bandeira V1 ⊂ V2 ⊂ · · · ⊂ Vn tal que mi = dim Vi , ent˜o existe ζ ∈ Aut(V ) que leva uma bandeira na outra se, e somente se, mi = mi , a ∀1 ≤ i ≤ n Teorema 16: Seja P ∈ End(V ). Se P 2 = P , ent˜o V = ker P ⊕ Im P a Prova: Para todo v ∈ V , podemos escrever v = P (v) + (v − P (v)). Um c´lculo imediato mostra a que (v − P (v)) ∈ ker P , e portanto V = ker P + Im P . Se u ∈ ker P ∩ Im P , temos que P (u) = 0 e P (u) = u, pois ∀u ∈ Im(P ), temos que u = P (w), para algum w ∈ V , o que signiﬁca que P (u) = P (P (w)) = P (w) = u. Portanto u = 0 e V = ker P ⊕ Im P Ex.61: Considere uma involu¸˜o ω ∈ End(V ) (isto ´, ω 2 = I). Deﬁna os conjuntos V1 = ca e {v ∈ V | ω(v) = v} e V2 = {v ∈ V | ω(v) = −v}. Mostre que V1 e V2 s˜o subespa¸os vetoriais de a c V e que V = V1 ⊕ V2 . Mostre que para todo v = v1 + v2 , onde va ∈ Va (a = 1, 2), temos que 1 ω(v) = v1 − v2 , e que P = 2 (ω + I) ´ a proje¸˜o sobre V1 paralelamente a V2 e ca Ex.62: Considere Kn [x] o conjunto dos polinˆmios de grau menor igual que n, sobre um corpo o K. Mostre que o conjunto de todos os polinˆmios pares KE [x] (p(x) = p(−x)) e o conjunto de o n O [x] (p(x) = −p(−x)) s˜o subespa¸os vetoriais. Mostre tamb´m todos os polinˆmios impares Kn o a c e que Kn [x] = KE [x] ⊕ KO [x] n n 1.9 Espa¸os Quocientes c Considere um subespa¸o vetorial U ⊆ V . Existem geralmente v´rios subespa¸os W ⊂ V c a c tais que W ∩ U = {0} e W + U = V . Em outras palavras, U pode ter diversos complementos, e n˜o h´ uma maneira natural de escolher qualquer um desses complementos. Contudo, existe a a uma constru¸˜o natural que associa a U e V um novo espa¸o que para ﬁns pr´ticos desempenha ca c a o papel de complemento de U em rela¸˜o a V . A vantagem formal que essa constru¸˜o possui ca ca sobre qualquer outra que possa descrever um complemento arbitr´rio de U ´ que ela tem um a e car´ter natural, e em particular n˜o depende da escolha de uma base. a a Suponha por exemplo V = R2 e U = {(x, y) | y = 0} o eixo-x. Cada complemento de U ´ e uma linha — que n˜o seja o eixo-x — atrav´s da origem. Observando que cada complemento a e
25. 25. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 22 a possui a propriedade de que a unica interse¸˜o com o eixo-x consta de um unico ponto, a id´ia ´ ca ´ e 2 a partir de linhas que paira sobre espa¸os quocientes neste caso ´ podermos construir todo o R c e horizontais. Voltando agora ao caso mais geral, se v ∈ V , o conjunto v+U que consiste de todos os vetores v + u, u ∈ U , ´ denominado classe lateral de U . No exemplo do par´grafo anterior, as classes e a laterais s˜o linhas horizontais. Pelo que vimos na Se¸˜o (1.2) podemos ter v1 + U = v2 + U , a ca mesmo que v1 = v2 . Dado um subespa¸o vetorial U ⊆ V , as transla¸˜es de U por um vetor v ∈ V correspondem c co ao conjunto v + U = {v + u | u ∈ U }. Tais transla¸˜es n˜o s˜o, necessariamente, subespa¸os vetoriais de V, e s˜o denominadas subvarco a a c a iedades lineares. Deﬁni¸˜o 1: Dados U ⊆ V um subespa¸o vetorial e v1 , v2 ∈ V , dizemos que v1 ´ congruente ca c e U a v2 m´dulo U se v1 − v2 ∈ U e escrevemos v1 ≡ v2 (mod U ) ou v1 ≡ v2 (U ) ou v1 ≡ v2 . A o congruˆncia m´dulo U ´ uma rela¸˜o de equivalˆncia sobre V . (Mostre!) e o e ca e Obs.9: Se v ∈ V , a classe lateral de v ´ dada por v = {w ∈ V | v − w ∈ U } = {v + w | w ∈ U }. e ¯ Por essa raz˜o indicamos v = {v + U | v ∈ V }. a ¯ Deﬁni¸˜o 2: A cole¸˜o de todas as classes laterais de U ser´ indicada por V /U . Dados ca ca a v1 , v2 ∈ V e a ∈ K, deﬁnimos a soma e multiplica¸˜o por escalar como: a) v1 + v2 = v1 + v2 ca ¯ ¯ b) av1 = av1 ¯ A ﬁm de veriﬁcarmos que a deﬁni¸˜o est´ correta, devemos mostrar que a soma e mulca a tiplica¸˜o por escalar independem dos representantes, e dependem exclusivamente das classes ca laterais. Suponha que v1 (= v1 + U ) = w1 (= w1 + U ). Pela deﬁni¸˜o, v1 − w1 = u1 ∈ U e ¯ ¯ ca v2 − w2 = u2 ∈ U . Portanto, v1 + v2 = (v1 + v2 ) + U = (w1 + w2 ) + u1 + u2 + U = (w1 + w2 ) + U = w1 + w2 Agora, como v1 − w1 = u1 ∈ U , ent˜o av1 − aw1 = au1 ∈ U e portanto a av1 = av1 + U = aw1 + au1 + U = aw1 + U = aw1 Isso mostra que a soma e multiplica¸˜o por escalar dependem somente das classes laterais e ca est˜o bem deﬁnidas. O espa¸o vetorial V /U assim obtido ´ denominado espa¸o quociente de V a c e c por U . Obs.10: O vetor nulo ¯ de V /U ´ a classe de equivalˆncia que consiste de ¯ = {0 + U } = U . 0 e e 0 Ex.63: Mostre que o conjunto V /U ´ um espa¸o vetorial sobre o corpo K com as opera¸˜es e c co deﬁnidas acima
26. 26. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 23 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Deﬁni¸˜o 3: A transforma¸˜o ca ca π:V → V /U v → π(v) = v = v + U ¯ ´ denominada proje¸˜o canˆnica. e ca o Podemos provar que π ∈ Hom(V, V /U ) e que ker π = U e Im π = V /U . De fato, dados u, v ∈ V e a ∈ K, temos que π(au + v) = au + v + U = a(u + U ) + v + U = aπ(u) + π(v). Al´m disso, e ¯ = 0 + U = U }, e portanto v ∈ U . Podemos da´ demonstrar o ker π = {v ∈ V | π(v) = 0 ı Proposi¸˜o 6: Se V tem dimens˜o ﬁnita, ent˜o dim V /U = dim V − dim U ca a a Prova: Em rela¸˜o ` aplica¸˜o canˆnica π : V → V /U , j´ que ker π = U e Im π = V /U , pelo ca a ca o a Teorema do N´cleo e da Imagem, temos que dim ker π + dim Im π = dim V , e portanto dim u U + dim V /U = dim V . Portanto, dim V /U = dim V − dim U Obs.11: O n´mero dim V /U ´ geralmente denominado codimens˜o do subespa¸o vetorial u e a c U em V , e denotado por codim U ou codimV U Deﬁni¸˜o 4: Sejam W, V dois K-espa¸os vetoriais. Dado φ ∈ Hom(W, V ), a coimagem e o ca c con´cleo de φ s˜o deﬁnidos por u a coim φ = W/ker φ, coker φ = V /Im φ A coimagem e o con´cleo est˜o bem deﬁnidos, no sentido de que Im φ ´ subespa¸o de V , enquanto u a e c ker φ ´ subespa¸o vetorial de W . e c Deﬁnimos tamb´m o ´ e ındice de φ como sendo o n´mero u ind φ = dim coker φ − dim ker φ No caso onde V e W possuem dimens˜o ﬁnita, obtemos do Teorema acima, que a ind φ = (dim V − dim Im φ) − (dim W − dim Im φ) = dim V − dim W Nesse caso, o ´ ındice de um operador φ ∈ Hom(W, V ) somente depende dos espa¸os V e W . c Ex.64: Prove que ind φ = 0, ∀φ ∈ Aut(V ), onde V ´ um K-espa¸o vetorial de dimens˜o e c a ﬁnita Vimos que existe um epimorﬁsmo natural (canˆnico) π entre V e o espa¸o quociente V /U , o c que mapeia v ∈ V a sua classe de equivalˆncia v = [v]. O n´cleo de tal epimorﬁsmo ´ o subespa¸o e ¯ u e c U . Deﬁnimos a seq¨ˆncia exata ue 0 - U - V π - V /U - 0
27. 27. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 24 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c 1.9.1 Teoremas de Isomorﬁsmos O Teorema a seguir diz que dado um homomorﬁsmo ϕ : V → U entre dois K-espa¸os c vetoriais, ent˜o a V /ker ϕ Im ϕ Teorema 17: Seja ϕ ∈ Hom(V, U ) tal que ϕ(V ) = U . Ent˜o existe um unico isomorﬁsmo a ´ ϕ : V /ker ϕ → U tal que ϕ = ϕ ◦ π, onde π : V → V /ker ϕ ´ a proje¸˜o canˆnica ¯ ¯ e ca o Prova: Note que π : V → V /ker ϕ e ϕ : V /ker ϕ → U , e portanto ϕ = ϕ ◦ π : V → U = ϕ(V ). ¯ ¯ Deﬁna a aplica¸˜o induzida ca ϕ : V /ker ϕ → U = ϕ(V ) ¯ v = v + ker ϕ → ϕ(v) ¯ Primeiramente devemos veriﬁcar se ϕ ´, de fato, bem deﬁnida. Com efeito, dados v1 , v2 ∈ V e ¯e portanto v1 = v1 + ker ϕ, v2 = v2 + ker ϕ ∈ V /ker ϕ, se v1 = v2 , signiﬁca que v1 + ker ϕ = ¯ ¯ ¯ ¯ v2 = v2 + ker ϕ. Da´ existe w ∈ ker ϕ tal que v1 = v2 + w. Segue-se que ¯ ı, ϕ(v1 ) = ϕ(v1 ) = ϕ(v2 + w) = ϕ(v2 ) + ϕ(w), pois ϕ ∈ Hom(V, U ) ¯ ¯ = ϕ(v2 ) + 0, pois w ∈ ker ϕ = ϕ(v2 ) = ϕ(v2 ) ¯ ¯ Portanto a fun¸˜o ϕ est´ bem deﬁnida. ca ¯ a A ﬁm de provar que ϕ ´ isomorﬁsmo, resta agora provar que ϕ ´ bijetiva e linear. Por ¯ e ¯ e constru¸˜o ϕ ´ linear, pois ´ a composi¸˜o de duas aplica¸˜es lineares. ca ¯ e e ca co Para ver que ϕ ´ sobrejetiva, como ϕ(¯) = ϕ(v) e j´ que ϕ(V /ker ϕ) = ϕ(V ) = U , ent˜o a ¯e ¯v a ¯ a fun¸˜o ϕ : V /ker ϕ → U contempla todo o espa¸o de chegada U . ca ¯ c Agora para provar que ϕ ´ injetiva, mostraremos que ker ϕ = ¯ Por deﬁni¸˜o, ¯e ¯ 0. ca ker ϕ = {¯ ∈ V /ker ϕ | ϕ(¯) = 0} ¯ v ¯v = {v + ker ϕ | ϕ(v) = 0} = {v + ker ϕ | v ∈ ker ϕ} = ker ϕ = 0 + ker ϕ = ¯ 0 (1.11) J´ demonstramos que se o n´cleo de uma aplica¸˜o consistir somente do elemento zero, ent˜o a u ca a tal aplica¸˜o ´ injetiva. Portanto ϕ ´ bijetiva e linear, sendo portanto um isomorﬁsmo. Resta ca e ¯e mostrar que tal isomorﬁsmo ´ unico. Suponha que existam dois isomorﬁsmos ϕ1 : V /ker ϕ → U e´ ¯ e ϕ2 : V /ker φ → U , ambos com a propriedade ϕ(¯) = ϕ(v). Ent˜o, para todo v ∈ V , ¯ ¯v a ϕ1 (¯)− ϕ2 (¯) = ϕ(v)−ϕ(v) = 0, e portanto (ϕ1 − ϕ2 )(¯) = 0, ∀¯ ∈ V /ker ϕ. Conseq¨entemente, ¯ v ¯ v ¯ ¯ v v u ϕ1 − ϕ2 = 0 e ϕ1 = ϕ2 = 0 ¯ ¯ ¯ ¯
28. 28. Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 25 a 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c O Teorema acima demonstrado pode ser ilustrado pelo seguinte diagrama: ϕ U V 6 π ϕ ¯ - V /ker ϕ Obs.12: Esse Teorema ´ mais conhecido como o 1o Teorema dos Homomorﬁsmos. Aqui ele e ´ enunciado em termos de espa¸os vetoriais por se tratarem de grupos abelianos com rela¸˜o ` e c ca a soma. Exemplo 10: Ao tomarmos a proje¸˜o P : Rn+1 → Rn dada por P (x1 , x2 , . . . , xn , xn+1 ) = ca (x1 , x2 , . . . , xn , 0), podemos ver que ker P = (0,0,. . . ,0,xn+1 ) R e portanto pelo teorema acima, considerando-se V = Rn+1 , temos que Im (P ) = Rn , e portanto, segue-se que Rn+1 /R = Rn Ex.65: Mostre que Rn /Rp Rn−p para todo p = 0, 1, . . . , n A seguir enunciaremos e demonstraremos o chamado 2o Teorema dos Homomorﬁsmos Teorema 18: Considere V1 , V2 ⊂ V dois subespa¸os vetoriais de V . Ent˜o c a V1 + V2 V2 V1 V1 ∩ V2 Prova: Deﬁna a aplica¸˜o ca V1 + V2 V2 → v1 + V 2 , σ : V1 → v1 ∀vi ∈ Vi , i = 1, 2 J´ que v1 + V2 = v1 , ent˜o σ ´ um epimorﬁsmo, pois sendo sobrejetiva, dados a ∈ K e w1 ∈ V1 , a a e σ(av1 + w1 ) = av1 + w1 = av1 + w1 = aσ(v1 ) + σ(w1 ) e portanto σ ´ linear. Agora provaremos que ker σ = V1 ∩ V2 . Por um lado, ker σ = {v1 ∈ e V1 | σ(v1 ) = ¯ = 0 + V2 }. Mas σ(v1 ) = v1 + V2 , o que implica que v1 deve estar em V2 tamb´m. 0 e Portanto dado v ∈ ker σ, necessariamente v ∈ V1 ∩ V2 . Reciprocamente, dado v ∈ V1 ∩ V2 , ent˜o a ¯ pois em particular v ∈ V2 . Portanto ker σ = V1 ∩ V2 . σ(v) = v + V2 = V2 = 0, A partir do 1o Teorema dos Isomorﬁsmos, sabemos que para σ ∈ Hom(V1 , (V1 + V2 )/V2 ) segue-se que V1 /ker σ Im σ, pelo Teorema 17. Como ker σ = V1 ∩ V2 e Im σ = (V1 + V2 )/V2 , portanto V1 + V2 V1 , V2 V1 ∩ V2 Ex.66: Dados V1 , V2 subespa¸os vetoriais de V , explicite o Segundo Teorema dos Isomorﬁsc mos quando V1 ´ o eixo-x e V2 ´ o eixo-y e e
29. 29. 1. Corpos e Espa¸os Vetoriais c Prof. Rold˜o da Rocha - CMCC - UFABC (2008) 26 a Ex.67: Suponha que um K-espa¸o vetorial V possa ser escrito como V = V1 ⊕ V2 . Considere c a aplica¸˜o canˆnica ca o V V2 v → v = v + V2 ¯ κ : V1 → Mostre que κ ´ um isomorﬁsmo e Ex.68: Dado U um subespa¸o vetorial de um K-espa¸o vetorial V , mostre que (V /U )∗ c c ˚ U