Profesor: Daniel Quinto Pazce

SEMESTRE 2013-0


Es un proceso repetitivo en el que cada término
se puede expresar en términos anteriores.
Sn = C1Sn-1 + C2Sn-2 + … + Ck...
Sn
Sn
Sn
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Sn
Sn
Sn
Sn
Sn
Sn

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2) Sn = 3 Sn-1 ;
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n
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S16

5

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4)

Resolver su recursiva en forma iterativa

Sn = 2,47 Sn-1 con S0 = 2,47
Solución:
Sn = 2,47 Sn-1
Sn-1 = 2,47 Sn-2
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4)

Resolver en forma recursiva

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CN

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Ejercicios
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Ejercicio. Resolver
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Cuando N es una potencia de 2
CN



CN

CASO DE RECURRENCIA

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Ecuación característica
La ecuación característica, asociada a una relación de
recurrencia lineal, tiene t raíces reales d...
Ejemplo
A) Ecuación Características
De la Ecuación dada, pasamos al primer
miembro
a(n)-3a(n-1)-4a(n-2)=0
La ecuación cara...
Ejemplo
B) Solución General
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a(n)=c1(-1)n + c2(4)n
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Escribiendo en forma de función
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para n = 1
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Ecuación Características

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Ejercicio 3: dada relación recursiva
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2

12an 3 0 , n 4, a1 3, a2 11, a3 29

Hallar la solución no recursiva...
Ejercicio 4: dada la expresión:
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4
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si 0
si 1
1

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2) sin o

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• Ecuación Caract...
Ejercicios
Resuelva:

an

0
, n=0
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, n=1
-1
, n=2
21
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Es un proceso repetitivo de la función
recursiva, llamándose a sí misma varias
veces hasta retornar al punto de partida...
a)

b)
c)

Ayuda a comprender mejor, para escribir
algoritmos iterativos.
Es más fácil escribir algoritmos recursivos.
Cua...
a)

b)

c)

La rapidez de su procedimiento es lento.
La capacidad de su almacenamiento es
alto.
El seguimiento de su ejecu...
Ejemplo:
1.-CASO FACTORIAL

Como ejemplo:

N=3
3! = 3*2*1 = 6
FACT(3) = 3*FACT(2) = 6
= 3*2*FACT(1)
= 3*2*1*FACT(0)
Función FACT (N)
Inicio
Si N>0
FACT = N*FACT(N-1)
Sino
FACT = 1
Fin
Retornar FACT
Fin
2.-POTENCIA bx

Ejemplo:
23 = 8, b=2 x=3
Pot (2, 3) = 2*Pot (2, 2)
Pot (2, 3) = 2*(2*Pot (2, 1))
Pot (2, 3) = 2*(2*2)
Función Potencia (b, x)
Inicio
Si (x = 1)
Potencia b
Sino
Potencia  b*Potencia (b, x-1)
Fin
Fin
3.- Número de Fibonacci

0

1

1

2

3

5 8 13 21 34 …
Traza para n = 6
FIBO(6) = FIBO(5) + FIBO (4) = 5
FIBO(5) = FIBO (4) + FIBO (3)
FIBO (4) = FIBO (3) + FIBO (2)
FIBO (3) = ...


Función FIBO (n)
Inicio
Si (n>2)
FIBO  FIBO (n-1) + FIBO (n-2)
En otro caso
Si (n = 2)
FIBO  1
En otro caso
FIBO  0
...
Se sabe que: Fn

b2 F n 1 b2 Fn
Fn

Fn

2

1

...... bk Fn
Fn

k

2

Obtener la solución de recursión

Fn

bt1n

n
dt2

//...
Sustituyendo:
n

Fn

b

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5 1
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5 1
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2

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1

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2

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Reemplazando:
n

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1 1
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… formula no recursiva
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Las Torres de Hanoi
Forma “Relación Recursiva” de la Torre de Hanoi
Nº de Discos
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1
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Relación

Nº Movimientos
0
1=2*0+1
3=2*1+1
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Paso 0





Inicialización: la torre A
contiene 4 discos de
diferentes tamaños los discos
sólo pueden ir sobre uno de
ma...
Paso 1 y 2

Paso 3 y 4
Paso 5 y 6

Paso 7 y 8
Paso 9 y 10

Paso 11 y 1 2
Paso 13 y 14

Paso 15
Movimientos de la Torre de Hanoi
H (n, A, B, C)
n=3

H(n, A, B, C)

Ejercicio:
Obtener todos los movimientos H (4, A, B, C)
Obtener todos los movimientos H (2, A, B, C)
Inicialmente los “n” discos están en el poste A, nos proponemos
mover
“n-1” discos del poste A al poste B
¿Cuántos movimie...
EJERCICIOS RESUELTOS
1) Sea Sn=2Sn-1, S0=1. Hallar la relación
iterativa.
Sn=2Sn-1=21Sn-1
Sn=2(2Sn-2)=22Sn-2
Sn=2(2(2Sn-3))=23Sn-3
…
Sn=2(2(2(....
2) Sea Sn=Sn-1+n, S1=1; n>=2. Hallar la
relación iterativa.
Sn= Sn-1+n=Sn-1+(n)
Sn=(Sn-2+n-1)+n=Sn-2+(n-1)+(n)
Sn=((Sn-3+n...
3) Del factorial de un número (N!) crear la
función recursiva, la traza para N=5 y el
algoritmo.
1
N=0
FN=
N*FN-1

Traza p...
4) De la potencia de un número bx crear la función
recursiva y la traza para b=2 y x=5 y el algoritmo
recursivo.
b

x=0

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5) Del número combinatorio .crear la función recursiva, la
traza para y el algoritmo recursivo.

Función COMB (N,K)
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Recursividad es un tema muy importante cuando se quiere programar, también es un tema que se desarrolla en el curso de matemáticas discretas.

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Recursividad

  1. 1. Profesor: Daniel Quinto Pazce SEMESTRE 2013-0
  2. 2.  Es un proceso repetitivo en el que cada término se puede expresar en términos anteriores. Sn = C1Sn-1 + C2Sn-2 + … + CkSn-k Donde: S0, S1 son condiciones iniciales 1) Ejemplo: Sn = 2*Sn-1 + 1 , S0 = 0 Halle una fórmula iterativa.
  3. 3. Sn Sn Sn Sn-2 Sn Sn Sn Sn Sn Sn = 2*Sn-1 + 1 = 2*(2Sn-2 +1) + 1 = 22Sn-2 + 2 + 1 = 2*Sn-3 + 1 = 22(2*Sn-3 + 1) + 2 + 1 = 23Sn-3 + 22 + 2 + 1 = 2nSn-n + 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 = 2nS0 + 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 = 2n-1 + 2n-2 + … + 22 + 2 + 1 = 2n 1 2 1 Sn = 2 n 1
  4. 4. 2) Sn = 3 Sn-1 ; Halle S5 S0 = 1 S5 = 3S4 S5 = 3(3S3) S5 = 3(3(3S2)) S5 = 3(3(3(3S1))) S5 = 3(3(3(3(3S0)))) S5 = 35S0 S5 =343 (1) S5 =343
  5. 5. 3) n n Sn S[ ] S[ ]; S 0 2 3 0 y S1 1, halle S16 S1 S2 S0 S4 S1 S8 S1 S2 S0 S16 3S0 5S1 S16 3 * 0 5 *1 S16 5 S16 S1 S2 S0 S5 S1
  6. 6. 4) Resolver su recursiva en forma iterativa Sn = 2,47 Sn-1 con S0 = 2,47 Solución: Sn = 2,47 Sn-1 Sn-1 = 2,47 Sn-2 Sn = (2,47)2 Sn – 2 Sn-2 = 2,47 Sn-3 Sn = (2,47)3 Sn – 3 generalizando … Sn = (2,47)n Sn – n = (2,47)n . S0 Sn = (2,47)n+1
  7. 7. 4) Resolver en forma recursiva CN 2C N N 2 N es una potencia de 2 ; N = 2n C.I. C1 =0 , N >= 2
  8. 8. CN 2C N N 2 C2n 2C 2 n C2n C2n 2n C2n 2n 1 C2n 2 n 2 C2n n 2 C2n 2n C2n n 2 C2n 2 n C1 n 0 n 1 1 1 1 2 n n n n n 2 C2n 2n n 2 C2n 2n * n CN n 2n 1
  9. 9. Ejercicios N2 C Ejercicio. Resolver 1 =1 , N>= 2 2 Cuando N es una potencia de 2 CN  CN CASO DE RECURRENCIA Dada la relación recursiva de orden superior S(n) = S1b1n + S2b2n + ... + Stbtn; 1 k t 
  10. 10. Ecuación característica La ecuación característica, asociada a una relación de recurrencia lineal, tiene t raíces reales distintas, b1, b2,..bt 1. Dada la ecuación recursiva a(n) = 3a(n-1)+4a(n-2) si n>2, con condiciones iníciales a(0)=0 y a(1)=1, hallar la solución general. Solución:
  11. 11. Ejemplo A) Ecuación Características De la Ecuación dada, pasamos al primer miembro a(n)-3a(n-1)-4a(n-2)=0 La ecuación característica es de la forma : t2-3t-4=0 Resolvemos (t + 1)( t- 4) = 0 t1=-1 y t2 = 4
  12. 12. Ejemplo B) Solución General a(n)=c1(t1)n + c2(t2)n a(n)=c1(-1)n + c2(4)n resolviendo por las condiciones iníciales tenemos: para a(0)=0 se tiene c1 + c2= 0 Para a(1)=1 se tiene - c1 + 4 c2 = 1, resolviendo c1 y c2 se tiene: c1 = -1/5 y c2 = 1/5 a(n) = 1/5(4n-(-1)n)
  13. 13. Escribiendo en forma de función 0 para n = 0 a(n) = 1 para n = 1 3a(n-1)-4a(n-2) para n > 1  Ejemplo 2 Dada an = 6an-1 – 9an-2 ; a0 = 1, a1 = 6 ¿Hallar la solución General?
  14. 14. Solucion  Ecuación Características an – 6an-1 + 9n-2 = 0 t2 – 6t + 9 = 0 (t - 3)2 = 0 Existe solución de multiplicidad par t1 = 3 ; t 2 = 3  Solución General an = C1(t1)n + C2 n (t2)n an = C13n + C2n3n resolver C1, C2 con las condición iniciales * Para a0 = 1 30 C1 + 0.30 C2 = 1 C1 = 1 * Para a1 = 6 31C1 + 1.31 C2 = 6 6 = 3 + 3 C2 Luego: reemplazando en la solución general an = 3n + n.3n Solución General: an = 3n (n + 1) C2 = 1
  15. 15. Ejercicio 3: dada relación recursiva an 7an 1 16an 2 12an 3 0 , n 4, a1 3, a2 11, a3 29 Hallar la solución no recursiva Solución: •Ecuación Características Pasando al primer miembro: 3 - 7 2 + 16 - 12 = 0, resolviendo ( - 2)2 ( - 3) = 0 Cuyas raíces son: = 2, de multiplicidad par y = 3 La solución general será Ecuación General an = A1 ( 1)n + A2 n ( 2)n + A3( 3)n an = A1 (2)n + A2 n (2)n + A3(3)n Por las condiciones iníciales: Para a1 = 3, a2 = 11, y a3 = 29 se tiene Cuya solución es A1 = 1, A2 = 2 y A3 = -1, por lo que la solución no recursiva, será: an = 2n + n 2n + 1 – 3n
  16. 16. Ejercicio 4: dada la expresión: a(n) 0 4 8a n si 0 si 1 1 15a(n 2) sin o Hallar la solución general • Ecuación Características Suponiendo que a(n) = n reemplazamos: an = 8 n-1 – 15 n-2 (t –5) (t –3) = 0 (t2 – 8t + 15) = 0 (t –5) (t –3) = 0 Ecuación General a(n) = c15n + c23n para n = 0 a(0) = c150 + c230 0 = c1 + c2 para n = 1 a (1) = c151 + c231 4 = 5c1 + 3c2 c1 = 2 y c2 = - 2 a(n) = 2 . 5n – 2. 3n
  17. 17. Ejercicios Resuelva: an 0 , n=0 -9 , n=1 -1 , n=2 21 , n=3 5an 1 8an 2 4an 3 , otro caso 1 an , n=1 6 20 , n=2 , n=3 6an 1 11an 2 6an 3 , otro caso
  18. 18.  Es un proceso repetitivo de la función recursiva, llamándose a sí misma varias veces hasta retornar al punto de partida.
  19. 19. a) b) c) Ayuda a comprender mejor, para escribir algoritmos iterativos. Es más fácil escribir algoritmos recursivos. Cualquier algoritmo recursivo se puede escribir en su forma iterativa.
  20. 20. a) b) c) La rapidez de su procedimiento es lento. La capacidad de su almacenamiento es alto. El seguimiento de su ejecución es más difícil.
  21. 21. Ejemplo: 1.-CASO FACTORIAL Como ejemplo: N=3 3! = 3*2*1 = 6 FACT(3) = 3*FACT(2) = 6 = 3*2*FACT(1) = 3*2*1*FACT(0)
  22. 22. Función FACT (N) Inicio Si N>0 FACT = N*FACT(N-1) Sino FACT = 1 Fin Retornar FACT Fin
  23. 23. 2.-POTENCIA bx Ejemplo: 23 = 8, b=2 x=3 Pot (2, 3) = 2*Pot (2, 2) Pot (2, 3) = 2*(2*Pot (2, 1)) Pot (2, 3) = 2*(2*2)
  24. 24. Función Potencia (b, x) Inicio Si (x = 1) Potencia b Sino Potencia  b*Potencia (b, x-1) Fin Fin
  25. 25. 3.- Número de Fibonacci 0 1 1 2 3 5 8 13 21 34 …
  26. 26. Traza para n = 6 FIBO(6) = FIBO(5) + FIBO (4) = 5 FIBO(5) = FIBO (4) + FIBO (3) FIBO (4) = FIBO (3) + FIBO (2) FIBO (3) = FIBO (2) + FIBO (1) 1 0
  27. 27.  Función FIBO (n) Inicio Si (n>2) FIBO  FIBO (n-1) + FIBO (n-2) En otro caso Si (n = 2) FIBO  1 En otro caso FIBO  0 Fin Fin Fin
  28. 28. Se sabe que: Fn b2 F n 1 b2 Fn Fn Fn 2 1 ...... bk Fn Fn k 2 Obtener la solución de recursión Fn bt1n n dt2 // t1 y t 2 raíces, n>=3 de Condiciones iniciales t2 F 1 t2 t1 t2 t 1 0 1, F2 t 1 5 1 2 1 5 2 2 0
  29. 29. Sustituyendo: n Fn b n 5 1 2 1 d 5 2 1 F1 1 b 1 5 1 2 d 1 5 2 2 F2 2 b 5 1 2 1 (1) 2 d 1 5 2 Resolviendo ( 1 ) y ( 2 ) b 1 1 5 2 5 d 1 1 5 2 5 2 (2)
  30. 30. Reemplazando: n Fn 1 1 5 2 5 1 n 5 1 1 5 2 5 2 n 1 Fn 1 5 2 n 1 1 1 5 2 5 1 1 5 2 5 … formula no recursiva Tomando Fn bt n 1 Fn n bt1 Fn2 n bt 2 Fn 1 Fn Fn n bt1 posibles soluciones Fn2 n bt 2 Ecuaciones bt n bt n 1 bt n 2 div bt n 2 t2 t 1 0
  31. 31. Las Torres de Hanoi
  32. 32. Forma “Relación Recursiva” de la Torre de Hanoi Nº de Discos 0 1 2 3 …. n Relación Nº Movimientos 0 1=2*0+1 3=2*1+1 7=2*3+1 C0 C1 C2 C3 Cn Cn Cn 2 * Cn Cn 2n 1 1 1 2 * Cn 1 1  Relación Recursiva  Relación no Recursiva Ejemplo: Mover todos los discos de la torre A a la torre B en la menor cantidad de pasos
  33. 33. Paso 0   Inicialización: la torre A contiene 4 discos de diferentes tamaños los discos sólo pueden ir sobre uno de mayor tamaño Objetivo: mover todos los discos de la torre A a la torre B Formula recursiva Cn 2 * Cn 1 1 C4 2 * C3 1 C4 2 * (2 * C2 1) 1 C4 2 * (2 * (2 * C1 1) 1) 1 C4 2 * (2 * (2 * (2 * C0 1) 1) 1) 1 C0 0 De la formula recursiva deducimos que para 4 discos, se realizaran 15 pasos entonces C4 2 * (2 * (2 * (2 * 0 1) 1) 1) 1 15
  34. 34. Paso 1 y 2 Paso 3 y 4
  35. 35. Paso 5 y 6 Paso 7 y 8
  36. 36. Paso 9 y 10 Paso 11 y 1 2
  37. 37. Paso 13 y 14 Paso 15
  38. 38. Movimientos de la Torre de Hanoi H (n, A, B, C)
  39. 39. n=3 H(n, A, B, C) Ejercicio: Obtener todos los movimientos H (4, A, B, C) Obtener todos los movimientos H (2, A, B, C)
  40. 40. Inicialmente los “n” discos están en el poste A, nos proponemos mover “n-1” discos del poste A al poste B ¿Cuántos movimientos necesita para llegar al poste C? Hacer representación gráfica.
  41. 41. EJERCICIOS RESUELTOS
  42. 42. 1) Sea Sn=2Sn-1, S0=1. Hallar la relación iterativa. Sn=2Sn-1=21Sn-1 Sn=2(2Sn-2)=22Sn-2 Sn=2(2(2Sn-3))=23Sn-3 … Sn=2(2(2(..)))=2nSn-n=2n(S0) Sn=2n Relación Iterativa: Sn=2n
  43. 43. 2) Sea Sn=Sn-1+n, S1=1; n>=2. Hallar la relación iterativa. Sn= Sn-1+n=Sn-1+(n) Sn=(Sn-2+n-1)+n=Sn-2+(n-1)+(n) Sn=((Sn-3+n-2)+(n-1)+n)=Sn-3+(n-2)+(n-1)+(n) Sn=(((Sn-4+n-3)+n-2)+n-1)+n=Sn-4+(n-3)+(n-2)+(n-1)+(n) … Sn= Sn-(n-1)+(n-(n-2))+ (n-(n-3))+…+(n-3)+(n-2)+(n-1)+(n) Sn=(1)+(2)+…+ (n-3)+(n-2)+(n-1)+(n) Sn=n (n+1)/2 Relación Iterativa: Sn= n(n+1)/2
  44. 44. 3) Del factorial de un número (N!) crear la función recursiva, la traza para N=5 y el algoritmo. 1 N=0 FN= N*FN-1 Traza para N=5: F5=5*F4 F5=5*4*F3 F5=5*4*3*F2 F5=5*4*3*2*F1 F5=5*4*3*2*1=120 N>0 Función FACT (N) Inicio Si N>0 FACT = N*FACT(N-1) Sino FACT = 1 Fin Retornar FACT Fin
  45. 45. 4) De la potencia de un número bx crear la función recursiva y la traza para b=2 y x=5 y el algoritmo recursivo. b x=0 B*P(b,x-1), x>1 P(b,x)= P(2,5)=2*P(2,4) P(2,5)=2*2*P(2,3) P(2,5)=2*2*2*P(2,2) P(2,5)=2*2*2*2*P(2,1) P(2,5)=2*2*2*2*2=32 Función Potencia (b, x) Inicio Si (x = 1) Potencia b Sino Potencia  b*Potencia (b, x-1) Fin Fin
  46. 46. 5) Del número combinatorio .crear la función recursiva, la traza para y el algoritmo recursivo. Función COMB (N,K) Inicio Si K=1 COMB = N Sino Si N=K+1 COMB = N Sino COMB=COMB(N-1,K-1)+COMB(N-1,K) Fin Retornar COMB Fin

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