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aplicación e importancia de los

circuitos, del algebra de boole y compuertas lógicas.

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  1. 1. Instituto Universitario de Tecnología “Antonio José de Sucre” Extensión BarquisimetoAplicación e importancia de los circuitos, del algebra de boole y compuertas lógicas. Alumno: Brayer Yepez 24.925.335
  2. 2. Aplicación e importancia de los circuitos, del algebra de booleLos circuitos que componen una computadora son muy diversos: los hay destinados aportarenergía necesaria para las distintas partes que componen la maquina y los hay dedicados agenerar, procesar y propagar señales que contienen información. Dentro de este segundogrupo se distinguen a su vez circuitos que trabajan con información analógica y los quetratan con valores digitales como la algebra booleana.Álgebra BooleanaEl álgebra booleana es un sistema matemático deductivo centrado en los valores cero y uno(falso y verdadero). Un operador binario " º " definido en éste juego de valores acepta unpar de entradas y produce un solo valor booleano, por ejemplo, el operador booleano ANDacepta dos entradas booleanas y produce una sola salida booleana.Para cualquier sistema algebraico existen una serie de postulados iníciales, de aquí sepueden deducir reglas adicionales, teoremas y otras propiedades del sistema, el álgebrabooleana a menudo emplea los siguientes postulados: Cerrado. El sistema booleano se considera cerrado con respecto a un operador binario si para cada par de valores booleanos se produce un solo resultado booleano. Conmutativo. Se dice que un operador binario " º " es conmutativo si A º B = B º A para todos los posibles valores de A y B. Asociativo. Se dice que un operador binario " º " es asociativo si (A º B) º C = A º (B º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Distributivo. Dos operadores binarios " º " y " % " son distributivos si A º (B % C) = (A º B) % (A º C) para todos los valores booleanos A, B, y C. Identidad. Un valor booleano I se dice que es un elemento de identidad con respecto a un operador binario " º " si A º I = A. Inverso. Un valor booleano I es un elemento inverso con respecto a un operador booleano " º " si A º I = B, y B es diferente de A, es decir, B es el valor opuesto de A.Para nuestros propósitos basaremos el álgebra booleana en el siguiente juego de operadoresy valores:- Los dos posibles valores en el sistema booleano son cero y uno, a menudo llamaremos aéstos valores respectivamente como falso y verdadero.- El símbolo · representa la operación lógica AND. Cuando se utilicen nombres devariables de una sola letra se eliminará el símbolo ·, por lo tanto AB representa laoperación lógica AND entre las variables A y B, a esto también le llamamos el productoentre A y B.- El símbolo "+" representa la operación lógica OR, decimos que A+B es la operaciónlógica OR entre A y B, también llamada la suma de A y B.- El complemento lógico, negación ó NOT es un operador unitario, en éste textoutilizaremos el símbolo " " para denotar la negación lógica, por ejemplo, A denota laoperación lógica NOT de A.
  3. 3. Si varios operadores diferentes aparecen en una sola expresión booleana, el resultado de laexpresión depende de la procedencia de los operadores, la cual es de mayor a menor,paréntesis, operador lógico NOT, operador lógico AND y operador lógico OR. Tanto eloperador lógico AND como el OR son asociativos por la izquierda. Si dos operadores conla misma procedencia están adyacentes, entonces se evalúan de izquierda a derecha. Eloperador lógico NOT es asociativo por la derecha.Utilizaremos además los siguientes postulados: P1 El álgebra booleana es cerrada bajo las operaciones AND, OR y NOT P2 El elemento de identidad con respecto a · es uno y con respecto a + es cero. No existe elemento de identidad para el operador NOT P3 Los operadores · y + son conmutativos. P4 · y + son distributivos uno con respecto al otro, esto es, A· (B+C) = (A·B)+(A·C) y A+ (B·C) = (A+B) ·(A+C). P5 Para cada valor A existe un valor A tal que A·A = 0 y A+A = 1. Éste valor es el complemento lógico de A. P6 · y + son ambos asociativos, esto es, (AB) C = A (BC) y (A+B)+C = A+ (B+C).Es posible probar todos los teoremas del álgebra booleana utilizando éstos postulados,además es buena idea familiarizarse con algunos de los teoremas más importantes de loscuales podemos mencionar los siguientes: Teorema 1: A + A = A Teorema 2: A · A = A Teorema 3: A + 0 = A Teorema 4: A · 1 = A Teorema 5: A · 0 = 0 Teorema 6: A + 1 = 1 Teorema 7: (A + B) = A · B Teorema 8: (A · B) = A + B Teorema 9: A + A · B = A Teorema 10: A · (A + B) = A Teorema 11: A + AB = A + B Teorema 12: A · (A + B) = AB Teorema 13: AB + AB = A Teorema 14: (A + B) · (A + B) = A Teorema 15: A + A = 1 Teorema 16: A · A = 0Los teoremas siete y ocho son conocidos como Teoremas de De Morgan en honor almatemático que los descubrió.Características:Un álgebra de Boole es un conjunto en el que destacan las siguientes características:1- Se han definido dos funciones binarias (que necesitan dos parámetros) que llamaremosaditiva (que representaremos por x+ y) y multiplicativa (que representaremos por xy) y una función manaría (de un solo
  4. 4. parámetro) que representaremos por x.2- Se han definido dos elementos (que designaremos por 0 y 1)Y 3- Tiene las siguientes propiedades: Conmutativa respecto a la primera función: x + y = y + x Conmutativa respecto a la segunda función: xy = yx Asociativa respecto a la primera función: (x + y) + z = x + (y +z) Asociativa respecto a la segunda función: (xy)z = x(yz) Distributiva respecto a la primera función: (x +y)z = xz + yz Distributiva respecto a la segunda función: (xy) + z = (x + z)( y + z) Identidad respecto a la primera función: x + 0 = x Identidad respecto a la segunda función: x1 = x Complemento respecto a la primera función: x + x = 1 Complemento respecto a la segunda función: xx = 0Propiedades Del Álgebra De Boole 1. IDE potente respecto a la primera función: x + x = x IDE potente respecto a la segunda función: xx = x Maximalidad del 1: x + 1 = 1 Minimalidad del 0: x0 = 0 Involución: x = x Inmersión respecto a la primera función: x + (xy) = x Inmersión respecto a la segunda función: x(x + y) = x Ley de Morgan respecto a la primera función: (x + y) = xy Ley de Morgan respecto a la segunda función: (xy) = x + y Compuerta OR-EX o XOR Es OR Exclusiva en este caso con dos entradas (puede tener más) y lo que hará con ellas será una suma lógica entre a por b invertida y a invertida por b.*Al ser O Exclusiva su salida será 1 si una y sólo una de sus entradas es 1* 2. Compuertas Lógicas Combinadas
  5. 5. Al agregar una compuerta NOT a cada una de las compuertas anteriores losresultados de sus respectivas tablas de verdad se invierten, y dan origen a tresnuevas compuertas llamadas NAND, NOR y NOR-EX. Veamos ahora como son ycuál es el símbolo que las representa...Compuerta NANDResponde a la inversión del producto lógico de sus entradas, en su representaciónsimbólica se reemplaza la compuerta NOT por un círculo a la salida de la compuertaAND. 3.Compuerta NOREl resultado que se obtiene a la salida de esta compuerta resulta de la inversión de laoperación lógica o inclusiva es como un no a y/o b. Igual que antes, solo agregasun círculo a la compuerta OR y ya tienes una NOR. 4.Compuerta NOR-EXEs simplemente la inversión de la compuerta OR-EX, los resultados se puedenapreciar en la tabla de verdad, que bien podrías compararla con la anterior y notar ladiferencia, el símbolo que la representa lo tienes en el siguiente gráfico. 5.BuffersEn realidad no realiza ninguna operación lógica, su finalidad es amplificar un pocola señal (o refrescarla si se puede decir). Como puedes ver en el siguiente gráfico laseñal de salida es la misma que de entrada. 6.

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