Introducción Métodos directos de soluciónSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE SOLUCIÓNMg. Ana Laksmy Gamarra Carrasco...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesForma generalUn sistema de m ecuaciones lineales en...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesForma matriciala11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ....
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + ...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor sustitución regresiva:x1 = −0.15x2 = 2.5...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de Factorización LUConsideremos el sistema d...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por factorización LU el sistema:4x1...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónPor triangularización:−24 f1 + f2...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónU:Matriz triangular superiorU =...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolvemos:Lc = b1 0 02/4 1 01/...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolvemos:Ux = c4 −9 20 ...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por factorización LU el sistema:x1 ...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de CholeskyConsideremos el sistema de ecuaci...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de CholeskyLa matriz triangular inferior L t...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva usando el método de Cholesky el sig...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónA = L.LtDe donde obtenemos:
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónA = L.LtDe donde obtenemos:l211 =...
Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolviendo el sistema:Lc = b2 ...
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Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:Ltx ...
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Sistema de ecuaciones lineales

  1. 1. Introducción Métodos directos de soluciónSISTEMAS DE ECUACIONES LINEALESMÉTODOS DE SOLUCIÓNMg. Ana Laksmy Gamarra CarrascoUniversidad Privada Antenor OrregoAbril del 2013
  2. 2. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesForma generalUn sistema de m ecuaciones lineales en n incógnitas tiene laforma general siguiente:a11x1 + a12x2 + a13x3 + ... + a1nxn = b1a21x1 + a22x2 + a23x3 + ... + a2nxn = b2...am1x1 + am2x2 + am3x3 + ... + amnxn = bm
  3. 3. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesForma matriciala11 a12 a13 ... a1na21 a22 a23 ... a2n... ... ... ... ...am1 am2 am3 ... amnx1x2...xn =b1b2...bmAx = bDonde:A: Matriz coeficiente del sistemax: Vector incógnitab: Vector de términos independientes
  4. 4. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesExistencia y unicidad de la soluciónSea:Ax = bSi b = 0, el sistema es homogéneo.Si b = 0, el sistema es no homogéneo.
  5. 5. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesExistencia y unicidad de la soluciónDefinimos la matriz aumentada B, de la sigiente manera:B =a11 a12 a13 ... a1n b1a21 a22 a23 ... a2n b2... ... ... ... ... ...am1 am2 am3 ... amn bmLa matriz aumentada podemos escribirla en la forma:B = [aij : bj]
  6. 6. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesExistencia y unicidad de la soluciónSea Ax = b,INCONSISTENTEr(A) = r(B)El sistema no tiene solución.CONSISTENTEr(A) = r(B)1 Solución única.r(A) = n2 Número infinito de soluciones.r(A) < n
  7. 7. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesRango de una matrizEs el número de filas o columnas linealmente independientes,utilizando esta definición se puede calcular usando el métodode Gauss.EjemploCalcular el rango de la siguiente matriz: A =1 2 22 1 22 2 1EjemploCalcular el rango de la siguiente matriz: B =5 −1 −11 2 34 3 2
  8. 8. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplosVerificar si los siguientes sistemas de ecuaciones tienensolución:2x + 4y = 03x + 6y = 05x − y − z = 0x + 2y + 3z = 144x + 3y + 2z = 16
  9. 9. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussConsidermos el siguiente sistema (1):a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1a21x1 + a22x2 + a23x3 = b2 ...f2a31x1 + a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
  10. 10. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussPrimer paso:(−a21/a11)f1 + f2(−a31/a11)f1 + f3Esto dá lugar al nuevo sistema (2):
  11. 11. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussPrimer paso:(−a21/a11)f1 + f2(−a31/a11)f1 + f3Esto dá lugar al nuevo sistema (2):a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1a22x2 + a23x3 = b2 ...f2a32x2 + a33x3 = b3 ...f3
  12. 12. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussSegundo paso:(−a32/a22)f2 + f3Luego obtenemos el sistema (3):
  13. 13. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussSegundo paso:(−a32/a22)f2 + f3Luego obtenemos el sistema (3):a11x1 + a12x2 + a13x3 = b1 ...f1a22x2 + a23x3 = b2 ...f2a33x3 = b3 ...f3El proceso de llevar el sistema de ecuaciones (1) a la forma dela ecuación (3) se conoce como triangularización.
  14. 14. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEliminación de GaussEl sistema en la forma (3) se resuelve despejando de su últimaecuación x3, sustituyendo x3 en la segunda ecuación ydespejando x2 de ella. Por último, con x3 y x2 sustituidos en laprimera ecuación de (3) se obtiene x1. Esta parte del procesose llama sustitución regresiva.En la ilustración de los ejemplos se empleará la matrizaumentada B.
  15. 15. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por eliminación de gauss el sistema:4x1 − 9x2 + 2x3 = 52x1 − 4x2 + 6x3 = 3x1 − x2 + 3x3 = 4Solución:La matriz aumentada del sistema es:B =4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
  16. 16. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
  17. 17. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75−1.250.5 f2 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
  18. 18. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75−1.250.5 f2 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5En términos de sistemas de ecuaciones quedaría:4x1 − 9x2 + 2x3 = 50.5x2 + 5x3 = 0.5−10x3 = 1.5
  19. 19. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploPor sustitución regresiva:x1 = −0.15x2 = 2.5x3 = 6.95
  20. 20. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de Factorización LUConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:Ax = bLUx = bU una matriz triangular superior.L una matriz triangular inferior.Hacemos Ux = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:Ux = cdonde: x es el vector solución.
  21. 21. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por factorización LU el sistema:4x1 − 9x2 + 2x3 = 52x1 − 4x2 + 6x3 = 3x1 − x2 + 3x3 = 4Solución:La matriz aumentada del sistema es:B =4 −9 2 52 −4 6 31 −1 3 4
  22. 22. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75
  23. 23. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónPor triangularización:−24 f1 + f2, −14 f1 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 1.25 2.5 2.75−1.250.5 f2 + f3 ∼4 −9 2 50 0.5 5 0.50 0 −10 1.5
  24. 24. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónU:Matriz triangular superiorU =4 −9 20 0.5 50 0 −10L:Matriz triangular inferiorL =1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1
  25. 25. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolvemos:Lc = b1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1c1c2c3 =534donde:
  26. 26. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolvemos:Lc = b1 0 02/4 1 01/4 1.25/0.5 1c1c2c3 =534donde:c1 = 5c2 = 0.5c3 = 1.5
  27. 27. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolvemos:Ux = c4 −9 20 0.5 50 0 −10x1x2x3 =50.51.5donde:
  28. 28. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolvemos:Ux = c4 −9 20 0.5 50 0 −10x1x2x3 =50.51.5donde:x1 = −0.15x2 = 2.5x3 = 6.95
  29. 29. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por factorización LU el sistema:x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 212x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 523x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 794x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82Solución:
  30. 30. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva por factorización LU el sistema:x1 + 2x2 + 4x3 + x4 = 212x1 + 8x2 + 6x3 + 4x4 = 523x1 + 10x2 + 8x3 + 8x4 = 794x1 + 12x2 + 10x3 + 6x4 = 82Solución:x1 = 2 x2 = 2x3 = 3 x4 = 4
  31. 31. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de CholeskyConsideremos el sistema de ecuaciones lineales:Ax = bLLtx = bA una matriz simétrica y definida positiva.L una matriz triangular inferior.Hacemos Lt x = c, c es el vector desconocido.Resolvemos Lc = b, una vez calculado c, se resuelve:Ltx = cdonde: x es el vector solución.
  32. 32. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesMétodo de CholeskyLa matriz triangular inferior L tiene la forma:l11 0 0 ... 0l21 l22 0 ... 0... ... ... ... ...ln1 ln2 ln3 ... lnn
  33. 33. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:4x1 + x2 + 2x3 = 1x1 + 2x2 + 0x3 = 22x1 + 0x2 + 5x3 = 4
  34. 34. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemploResuelva usando el método de Cholesky el siguiente sistema:4x1 + x2 + 2x3 = 1x1 + 2x2 + 0x3 = 22x1 + 0x2 + 5x3 = 4A es simétrica y definida positiva.
  35. 35. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónA = L.LtDe donde obtenemos:
  36. 36. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónA = L.LtDe donde obtenemos:l211 = a11 ⇒ l11 = 2l11.l21 = a12 ⇒ l21 = 0.5l11.l31 = a13 ⇒ l31 = 1l221 + l222 = a22 ⇒ l22 = 1.32287l21.l31 + l22.l32 = a23 ⇒ l32 = −0.37796l231 + l232 + l233 = a33 ⇒ l33 = 1.96396
  37. 37. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolviendo el sistema:Lc = b2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396c1c2c3 =124obtenemos:
  38. 38. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónResolviendo el sistema:Lc = b2 0 00.5 1.32287 01 −0.37796 1.96396c1c2c3 =124obtenemos:c1 = 0.5c2 = 1.32287c3 = 2.0367
  39. 39. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:Ltx = c2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396x1x2x3 =0.51.322872.0367obtenemos:
  40. 40. Introducción Métodos directos de soluciónSistema de ecuaciones linealesEjemplo - soluciónLuego resolviendo el sistema:Ltx = c2 0.5 10 1.32287 −0.377960 0 1.96396x1x2x3 =0.51.322872.0367obtenemos:x1 = −0.59259x2 = 1.29629x3 = 1.037

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