2. iii
PRESENTACIÓN
Razonamiento Matemático, es un curso que nos permite desarrollar muchas
capacidades, así como también otras habilidades inherentes al ser humano, es una
herramienta muy importante y útil para futuros técnicos y profesionales.
El contenido de este trabajo sirva también al estudiante para encontrar la
referencia necesaria y adecuada a todas sus espectativas en su preparación
integral, asimismo también enfocar y resolver cualquiera de los problemas
propuestos con éxito.
.
Braulio Gutiérrez Pari
iv
A toda la juventud estudiosa
3. v
CONTENIDO
Razonamiento Lógico…………….………………..……………………………..…….
Razonamiento Inductivo Deductivo………………….………………..…….…..…..
Planteo de Ecuaciones ……………………………..…………………..…...….……..
Problemas sobre Edades........……… ………………………………………..……..…
Problemas sobre Móviles …………………………………………………….……....
Problemas sobre Cronometría..…………………………….…………………... ..….
Problemas sobre Fracciones ……………………………………………….…………
Porcentajes ……………………………………………………….…………….……..
Operaciones Matemáticas…….…………………… …………………..…….……..
Operaciones Matemáticas (Tablas)………………...…………………..….…......
Problemas sobre Sucesiones………………………………………….…….……....
Problemas sobre Series……………………………………….……….…………...….
Conteo de Figuras ………..……………………… …………………..…….…..…..
Área de Regiones Sombreadas ……………………………….………………… …
Problemas sobre Perímetros………………………..…………………….……...…..
Análisis Combinatorio. ……………………………..…………………..……….. ..
Probabilidades………………………….…………..…………………..……….….. ..
Distribuciones Gráficas I…….………………………….………………………..…….
Distribuciones Gráficas II…….……………………………………………….……….
Logaritmos……………..……………….…………..…………………..………...….
Test I…………………..……………………………..…………………..……….…..
Test II………………………………………………..…………………..……….…..
Test III………………………………………………..…………………..……….…..
Recorridos Eulerianos ……………..……………….…………..…………………..…
Operaciones Inversas……………..……………….…………..……….…….….…..
Matemática recreativa……………..……………….…………..……….……………
Ejercicios de Repaso……………..……………….…………..……….…….….…
Claves…………………..………………..…………..…………………..………..….…..
1
10
16
25
30
34
40
47
53
57
61
67
73
79
87
92
98
102
104
106
111
113
115
117
121
123
125
144
vi
4. vii
ax
2
+ bx + c = 0
x
2
- ( " + $ ) x + "$ = 0
21; xx
a
>∀
Δ
⎭
⎬
⎫−−
⎩
⎨
⎧ +−
2
51;
2
51
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
ECUACIÓN CUADRÁTICA.
Una Ecuación cuadrática es de la forma:
; a … 0
Métodos de solución
I. Mediante aspa simple
Halle el valor de X en:
Resolver: 2 x
2
+ x – 3 = 0
Sol.: Factorizando por aspa simple
2x
2
+ x - 3 = 0
2x 3
x -1
⇒ ( 2x + 3)(x – 1) = 0
2x + 3 = 0 w x – 1= 0
⇒ x = -
2
3 w x = 1
⎭
⎬
⎫
⎩
⎨
⎧
−=∴ 1;
2
3
..SC
II. Mediante formula general.
2a
4acbb 2
2;1
−±−=x
donde b
2
-4ac =Î (discriminante)
Halle el valor de X en:
Resolver: x
2
+ x -1 = 0
Sol.:
)1(2
)1)(1(411 2
2;1
−−±−
=x
∴ C.S. =
Naturaleza de las raíces
Î> 0 ] raíces reales diferentes
Î= 0 ] raíces reales iguales
(Una única solución)
Î< 0 ] raíces imaginarias conjugadas
Reconstrucción de una raíz cuadrática
Si " y $ son las raíces de una
ecuación cuadrática; entonces la
ecuación es:
Propiedades
Si x1 , x2 las raíces de: ax
2
+bx + c = 0;
a ≠ 0
I. Suma de raíces (S):
S = x1 + x2 = -
a
b
II.Producto de raíces(P):
P = x1x2 =
a
c
III. Diferencia de raíces (D):
Sea: D = x1 –x2 =
Repaso de Conceptos fundamentales
viii
PRODUCTOS NOTABLES
1. Binomio al Cuadrado
(a + b)2
= a2
+ 2ab + b2
(a - b)2
= a2
- 2ab + b2
Identidad de Legendre
I1: (a + b)2
+ (a - b)2
= 2(a2
+ b2
)
I2: (a + b)2
- (a - b)2
= 4ab
2. Diferencia de cuadrados
(a + b) (a - b) = a2
- b2
3. Binomio al cubo
(a + b)3
= a3
+ 3a2
b + 3ab2
+ b3
(a - b)3
= a3
- 3a2
b + 3ab2
- b3
Identidades de Cauchy
I3: (a + b)3
= a3
+ b3
+ 3ab(a + b)
I4: (a - b)3
= a3
- b3
- 3ab (a - b)
4. Suma y diferencia de cubos
a3
+ b3 = (a + b) (a2
- ab + b2
)
a3
- b3 = (a - b) (a2
+ ab + b2
)
5. Trinomio al cuadrado
(a+b+c)2
= a2
+b2
+c2
+2ab+2bc+2ca
6. Trinomio al cubo
(a+b+c)3 = a3 + b3 + c3 + 3ab(a+b) +
3bc(b+c)+3ca(c+a) + 6abc
(a+b+c)3
= a3 + b3 + c3 + 3(a + b)
(b + c) (c + a)
7. Identidades de Stevin
(x + a)(x + b) = x2
+ (a + b)x + ab
9. Identidad de Lagrange
(a2
+b2
)(x2
+y2
) = (ax + by)2
+ (ay -
bx)2
10. Igualdades condicionales
Si: a + b + c = 0, se verifican
* a2 + b2 + c2
= -2(ab + bc + ca)
* a3 + b3 + c3
= 3abc
* a4 + b4 + c4 = 2(ab + bc + ca)2
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
NOTABLES
8. Identidad trinómica de Argand
(x2m + xm
yn + y2n
) (x2m - xm
yn + y2n
) =
x4m + x2m
y2n + y4n
o30
o60
3K
2K
K
2K
o45
o45
K
K
o37
o53
5K
3K
4K
o8
o82
7K
K
/253o
K
2K
/237o
K
3K
o75 o15
h
4h
5. ix
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛ ===
4
1
4
12
1
2
1
2
2
2
1
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞
⎜
⎝
⎛
=
−−−
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛
c
1
b
1
a
1
X
1
cba
x
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟⎟
⎠
⎞
⎜⎜
⎝
⎛
⎟
⎠
⎞⎜
⎝
⎛=
−
2
1
2
1
2
12
2
EXPONENTES Y RADICALES
definimos
tenemos
b.b.b.b. .......b = b
n
; n IN∈
exponente natural
"n" veces
Exponente nulo
a = ;
-n
Exponente negativo
n > 0a° = 1 ; a 0≠
Exponente fraccionario
a =
m
n
amn
Multiplicación de
bases iguales
a . a = a
m+nm n
Potencia de un producto
Raíz de raíz
(ab) = a b
n n n
= a
n
b
n ; b 0≠a
b
n
= a
mnp
a
m n p
División de bases
iguales
=a
m
a
n a ; a 0
m-n
≠
Raíz de un producto
=ab
n
a
n
b
n
a > 0 b > 0∧
a > 0 b > 0∧
=
n
a
n
b
a
b
n
Consecuencia
= aa
m n p
a
q
a
r s
(np+q)r+s
mpr
Potencia de potencia
(a ) = a
m n mnp
p
Potencia de exponente
a = a
m m
n n
p p
Además:
= |a|a
2
en general:
= |a|a
2n2n
Nota:
= a ; a > 0a
nn
a
n
1
.
a ≠ 0
x
RAZONES TRIGONOMÉTRICAS
Definición
Son los distintos cocientes que se obtienen entre las longitudes de los lados de un
triángulo rectángulo con respecto a uno de sus ángulos agudos.
Las razones trigonométricas de un ángulo "θ" se definen como sigue:
seno de : sen =θ θ
cateto opuesto
hipotenusa
tangente de : tan =θ θ
cateto opuesto
cateto adyacente
secante de : sec =θ θ
hipotenusa
cateto adyacente
coseno de : cos =θ θ
cateto adyacente
hipotenusa
cotangente de : cot =θ θ
cateto adyacente
cateto opuesto
cosecante de : csc =θ θ
hipotenusa
cateto opuesto
A
C
B
b
c
a
θ
entonces:
b = a + c
22 2
sen =θ
a
b
cos =θ
c
b
tan =θ
a
c
cot =θ
c
a
sec =θ
b
c
csc =θ
b
a
(Teorema de Pitágoras)
θ α+ = 90º
α
30°
60°
k
k 3
45°
45°
k
k
k 2
37°
53°
3k
4k
5k
sen
cos
tan
cot
sec
csc
37°
3
5
4
5
3
4
4
3
5
4
5
3
53°
4
5
3
5
4
3
3
4
5
3
5
4
45°
1
1
2
2
2
2
2
2
30°
2
1
2
3
2
3
3
3
3
32
60°
1
2
2
3
32
3
3
3
3
2
6. xi
Bibliografía
1. ASOCIACIÓN ADUNI. 2000-2010. Boletines diversos. Lima: Lumbreras
editores
2. CEPRE-UNI, Recopilación de seminarios; Prácticas calificadas y Exámenes
parciales
3. LARSON R. 2011. Precálculo. Ed. Cengage. México
4. MILLER C. 2006. Matemática: Razonamiento y Aplicaciones. Ed. Pearson.
México
5. POVIS A. 2006. Razonamiento Matemático. Ed. Moshera. lima
6. RIVERA W. 2002. Razonamiento Matemática. Master editores. Lima.
xii
La lucha es ardua y dificultosa, pero
cuando nuestros objetivos son claros y
nobles, al final del camino siempre nos
espera el triunfo
Encomienda a Jehová tu camino, y
confía en él; y él hará (Sal. 37:5)
“Educar no es dar carrera para vivir,
si no templar el alma para las
dificultades de la vida”
