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Relaciones usuales

Identificación de ecuaciones correspondientes a las relaciones usuales (Recta, Parábola, Circunferencia, Elipse e Hipérbola)

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Relaciones usuales

  1. 1. 1 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA RELACIONES USUALES. 1.1. LA RECTA  L Es el conjunto de pares ordenados   2 ,x y  tal que rigen mediante la siguiente regla de correspondencia 0ax by c   .   2 : , / 0x y ax by c    L Gráficamente: X Y  : 0ax by c  L : 0 :a x by c ó y m x b    L L  :Dominio Dom L  :Rango Rang L : " "Ángulo de inclinación de la Recta   :Pendiente de la Recta m tg  NOTA (1) Para graficar la recta es necesario tener dos puntos y para hallarlos debemos intersectar con los ejes coordenados es decir:     ; 0 ; 0, ; 0 ; ,0 c c b b c c a a Sea x y A Sea y x B             NOTA (2) Teniendo dos puntos arbitrarios    0 0 0 1 1 1, ,P x y y P x y  , podemos hallar la ecuación general de la recta, es decir: X Y 0x 1x 0y 1y 0P 1P   1 0y y 1 0x x : 0ax by c  L : y m x b L 0 0 : : y y Ecuación de la recta m x x    L   1 0 1 0 : y y Pendiente de la recta m tg x x         0 0 0 1 1 1: , ,Puntos de Paso P x y y P x y 
  2. 2. 2 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA NOTA (3) Debes recordar que la pendiente de la recta " "m da información del ángulo de inclinación " " , es decir:                     2 2 0 0 0 0 " " 2 i Si m Pendiente positiva entonces es Agudo ii Si m Pendiente negativa entonces es Obtuso iii Si m entonces es Llano iv Si m no existe entonces es Recto                       CASOS PARTICULARES DE LA RECTA CASO 1: Rectas horizontales (Rectas paralelas al eje X ). Esta relación resulta cuando el coeficiente de la variable " "x es cero, es decir:       2 2 : , / 0 , 0 : , / c x y by c b c x y y k b                  L L Gráficamente O Y :H y kL   0y Eje X  k X : :HRecta Horizontal y kL  : HDominio Dom L : 0Pendiente m     : HRango Rang kL CASO 2: Rectas Verticales (Rectas paralelas al eje Y ). Esta relación resulta cuando el coeficiente de la variable " "y es cero, es decir:       2 2 : , / 0 , 0 : , / c x y ax c a c x y x h a                  L L Gráficamente O X Y x h  0x Eje Y : :VRecta Vertical x hL h    : VDominio Dom hL  : VRango Rang L : " "Pendiente m NO TIENE  2m tg    
  3. 3. 3 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA (E-2) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a rectas:     1 : 2 0 ; 0 ; 2 0, 2 ; 0 ; 2 2,0 x y Sea x y A Sea y x B                L  0, 2A    2,0B   O X Y 1 : 2 0x y  L     2 : 0 ; 0 ; 0 0,0 ; 1 ; 1 1,1 x y Sea x y A Sea x x B           L  1,1B  O A X Y 1 1 2 : 0x y L  3 : 1 0x Recta Vertical L O X Y 3 : 1 0x  L 1  4 : 2 0y Recta Horizontal L O X Y 4 : 3 0y  L 2 1
  4. 4. 4 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA 1.2. LA PARÁBOLA  P Es el conjunto de pares ordenados   2 ,x y  tal que la distancia de un punto que se mueve en un plano a una recta fija es igual a su distancia de un punto fijo del plano.                 2 2 2 2 2 2 1 2 2 22 2 1 2 : , / : , / : , / : , / x y y ax bx c x y x ay by c x y y a x h k x y x a y k h                        P P P P Caso1: (Parábolas paralelas al eje X)    : 0Parámetro a Se abrehacia arriba   1: ,Rango Rang k  P  1:Dominio Dom P    : 0Parámetro a Se abrehaciaabajo    1: ,Rango Rang k P  1:Dominio Dom P   22 1 1: :y ax bx c y a x h k      P P  : ,Vertice V h k  ,V h k h k O Y X 0a   ,V h k h k O Y X 0a  Caso2: (Parábolas paralelas al eje Y)  ,V h k h k O Y X 0a     : 0Parámetro a Se abrehaciala izquierda   2:Rango Rang P   2: ,Dominio Dom h P    : 0Parámetro a Se abrehaciala derecha   2:Rango Rang P  2: ,Dominio Dom h  P   22 2 2: :x ay by c x a y k h      P P  : ,Vertice V h k  ,V h k h k O Y X 0a 
  5. 5. 5 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA OBSERVACIÓN (1) Para identificar las ecuaciones correspondientes a las parábolas y distinguirla de los otros lugares geométricos se debe tener en cuenta que en la ecuación una de las variables es de segundo grado (Puede ser " " " "x ó y ) y la otra debe ser de primer grado. 2 2 1 2: 0 ; : 0a y b y c x d a x b x c y d       P P 12 12 OBSERVACIÓN (2) Para saber si la parábola tiene su eje focal paralelo al eje X ó Y se toma en cuenta a la variable de 1 Grado, es decir: 1. Si la variables " "x es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje X 2 1 1: 0 / /a y b y cx d Eje Focal de X    P P 1 2. Si la variables " "y es de 1 Grado , entonces su eje focal es paralelo al eje Y 2 2 2: 0 / /a x b x c y d Eje Focal de Y    P P 1 (E-3) Realice la gráfica de las siguientes ecuaciones correspondientes a parábolas:   2 1 : : 0,0 : 1 y x Vertice V Parámetro a    P O X Y 2 1 : y xP 1 1           2 2 2 2 2 2 : 2 4 0 2 2 1 1 0 2 1 2 0 2 1 2 : 2, 1 : 2 0 y y x y x x y x x y Vertice V Parámetro a                       P O X Y 2 2 : 2 4 0y y x  P 2 1  2, 1V  
  6. 6. 6 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA 1.3. LA CIRCUNFERENCIA  C Es el conjunto de pares ordenados   2 ,x y  que da como resultado de hacer mover un punto en el plano de tal manera que se conserva siempre a una misma distancia de un punto fijo (centro).          2 22 2 2 2 2 : , / 0 ; : , /x y x bx y dy e x y x h y k r            C C Gráficamente:    : ,Rango Rang k r k r  C    : ,Dominio Dom h r h r  C     2 22 2 2 : 0 :x bx y dy e x h y k r         C C  : ,Centro C h k : 0Radio r   ,C h k h k Y X 0r  h rh r k r k r OBSERVACIÓN (2) Para identificar la ecuación correspondiente de la circunferencia y distinguirlas de los demás lugares geométricos, es necesario tener en cuenta las siguientes condiciones: 1. Las variables " " " "x e y de la regla de correspondencia ambas deben ser de segundo grado. 2. Los coeficientes de las variables de 2° grado deben tener los mismos coeficientes. 2 2 : 0x bx y dy e    C " " 2 x e y deben ser de Grado Igual coeficiente EJEMPLOS DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A CIRCUNFERENCIAS 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 4 : 1 0 : 4 8 4 13 0 : 4 0 : 2 2 5 0 x y x x y x x y x x y                 C C C C
  7. 7. 7 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA 1.4. LA ELIPSE  E Es el conjunto de pares ordenados   2 ,x y  tal que describe el movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que la suma de sus distancias a dos puntos fijos de ese plano es siempre iguala a una constante, mayor que la distancia entre los dos puntos.   2 2 2 : , / 0 : " " " " . x y ax bx cy dy e Donde a y c son coeficientes diferentes y de signos iguales       E Caso1: Elipses paralelas al eje X   // X   E    : ,Dominio Dom h a h a  E    : ,Rango Rang k b k b  E     2 2 2 2 2 2 : : 0 : 1 x h y k Elipse ax bx cy dy e a b          E E  : ,Centro C h k :Parámetro a b O X Y b a  ,C h k h k h ah a k b k b  Rang E  Dom E Caso 2: Elipses paralelas al eje Y   //Y E    : ,Dominio Dom h b h b  E    : ,Rango Rang k a k a  E     2 2 2 2 2 2 : : 0 : 1 y k x h Elipse ax bx cy dy e a b          E E  : ,Centro C h k :Parámetro a b O X Y b a  ,C h k h k h bh b k a k a  Rang E  Dom E
  8. 8. 8 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una elipse y distinguirlas de los otros lugares geométricos, es necesario tener en cuenta que: 1. Las variables " " " "x e y de la ecuación general de la Elipse ambas deben ser de segundo grado. 2. Los coeficientes de las variables de 2° grado deben tener diferentes. 2 2 : 0a x bx c y dy e    E " " 2 x e y deben ser de Grado Diferente coeficiente EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A ELIPSES 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 4 : 4 4 0 : 8 4 0 : 9 4 36 0 : 4 9 36 0 x y x x y x y x y             E E E E NOTA.- Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e     donde los coeficientes " "a y c son diferentes pero del mismo signo, se puede expresar mediante el método de completar cuadrados de la siguiente forma:     2 2 2 2 1 x h y k n m     Después de hallar la ecuación anterior, para determinar si la Elipse se extiende en el eje X o en eje Y , debemos tomar en cuenta lo siguiente: PRIMERO.- Los valores " "n y m de los denominadores de la ecuación están relacionado con la variable del numerador, es decir:     2 2 2 2 1 x h y k n m         " " " " " " " " relacionado relacionado n está relacionado con la variable x n x m está relacionado con la variable y m y   SEGUNDO.- Para identificar los valores de los parámetros de " "a y b correspondientes de la ecuación se debe tomar en cuenta que, el mayor valor siempre le corresponde al parámetro " "a y tomando en cuenta lo anterior se puede determinar a qué variable le corresponde y por lo tanto podemos saber en qué eje se extiende más la gráfica de la Elipse, es decir:     , . , . i Si n m entonces n a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje X ii Si m n entonces m a luego la grafica de la Elipse se extiende en el eje Y    
  9. 9. 9 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA EJEMPLO : Grafique las siguientes relaciones:       2 2 2 2 1 1 ........ 1 ; 1 ........ 2 4 9 16 9 x y x y     SOLUCIÓN: Para la ecuación (1), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las consideraciones hechas en la observación se tiene:     : 3 2 Parametros a Eje Y b Eje X     2 2 2 2 1 1 2 3 x y     2 2 2 2 1 1 2 3 x y     2 2 1 1 4 9 x y   n m  : 1,0Centro C  En forma análoga para la ecuación (2), de acuerdo a la ecuación correspondiente de la Elipse y las consideraciones hechas en la observación se tiene:     : 4 3 Parametros a Eje X b EjeY   2 2 2 2 1 4 3 x y   2 2 2 2 1 4 3 x y   2 2 1 16 9 x y   n m  : 0,0Centro C  Gráfica de las Elipse (1) y (2): O  1,0C  3a  2b  X Y  1Grafico 2 2 1 16 9 x y     2 2 1 1 4 9 x y   O  0,0C  3b  4a  X Y  2Grafico
  10. 10. 10 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA 1.5. LA HIPERBOLA H Es el conjunto de pares ordenados   2 ,x y  tal que describe el movimiento de un punto que se mueve en un plano de tal manera que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos del plano, llamados focos, es siempre igual a una cantidad constante, positiva y menor que la distancia entre los focos.                2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 22 2 2 2 : , / 0 : " " " " . : , / 1 ; : , / 1 x y a x bx c y dy e Donde a y c son de signos diferentes x h y k y k x h x y x y a b a b                                     H H H Signos Caso1: Hipérbola paralela al eje X  // X    H O h k  ,C h k a b h ah a Asintotas X Y   1: , ,Dominio Dom h a h a     H  1:Rango Rang H     2 2 2 2 1 1 2 2 : 0 : 1 x h y k ax bx cy dy e a b          H H  : ,Centro C h k :Parámetros a y b Caso2: Hipérbola paralela al eje Y  //Y  H O h k  ,C h k a b h bh b Asintotas X Y k a k a  2:Dominio Dom H    2: , ,Rango Rang k a k a    H     2 2 2 2 2 2 2 2 : 0 : 1 y k x h ax bx cy dy e a b          H H  : ,Centro C h k :Parámetros a y b
  11. 11. 11 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA OBSERVACIÓN (1) Para identificar la ecuación de una hipérbola y distinguirlas de los otros lugares geométricos, es necesario tener en cuenta que: 1. Las variables " " " "x e y de la regla de correspondencia ambas deben ser de segundo grado. 2. Los coeficientes de las variables de 2° grado deben ser de diferente signo. 2 2 : 0a x bx c y dy e    H " " 2 x e y deben ser de Grado Diferente signo EJEMPLO DE ECUACIONES CORRESPONDIENTES A HIPÉRBOLAS 2 2 2 2 1 2 2 2 2 2 3 4 : 4 0 : 8 4 0 : 9 4 36 0 : 4 8 9 18 41 0 x y x x y x y x x y y               H H H H NOTA (1) Dada la ecuación de la forma: 2 2 0ax bx cy dy e     , donde los coeficientes " "a y c tienen signos diferentes y transformar en una de las siguientes ecuaciones:         2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x h y k y k x h a b a b          De las ecuaciones anteriores se puede determinar si la gráfica correspondiente a las hipérbolas se desplaza en el eje X o en Y, teniendo en cuenta los siguientes aspectos: (1) Si   2 2 x h a  va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a X. (2) Si   2 2 y k a  va primero en la ecuación con signo positivo entonces la hipérbola es paralela a Y. NOTA (2) Si los coeficientes " "a y c de la ecuación 2 2 0ax bx cy dy e     son iguales, pero de signos diferentes, en tal efecto la ecuación será de la forma:  2 2 0 *x bx y dy e     NOTA (3) De la ecuación (*), se obtiene que los parámetros " "a y b de las ecuaciones:         2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 x h y k y k x h a b a b         
  12. 12. 12 MSc. Lic. NÉSTOR BOLÍVAR ESPINOZA son iguales  a b , las cuales son llamadas HIPERBOLA EQUILATERA, cuyas ecuaciones toman la siguiente forma:         2 2 2 22 2 1 2: ; :x h y k a y k x h a       H H h k a a b  / /Hipérbola Equilatera X    H  : ,Centro C h k :Parámetros a b     2 22 2 2 1 1: 0 :x bx y dy e x h y k a         H H  / /Hipérbola Equilatera Y  H  : ,Centro C h k :Parámetros a b     2 22 2 2 2 2: 0 :x bx y dy e y k x h a         H H h k a b a NOTA (4) Las hipérbolas equiláteras al trasladarse a un nuevo sistema cuyo origen es  ' ,O h k de coordenadas y rotar un ángulo 4    , se tiene una ecuación de la siguiente forma:            2 2 2 : , / 0 : , / ; 0 x y xy bx cy e x y x h y k a a               H H X Y O X Y Oh k 0a  x h y k  ,C h k x h y k 0a   ,C h k h k      : : :Hipérbola Equilatera x h y k a x h y k a      H H     : 0 0 Parámetro a I y III Cuadrantes formado por las asíntotas a II y IV Cuadrantes formado por las asíntotas    : ,Centro C h k    :Dominio om h D H     :Asintotas x h Vertical y k Horizontal      :Rango ang k R H

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