Äkonometrikiïn                     arga zagwaruud                                    Garyn awlagaRedaktor doktor (Ph.D), d...
ii                                               Zoxiogqid:   –. Bazarsad                                                 ...
AguulgaÖmnöx üg                                                                                                        xi1...
iv                                                                                            Aguulga3 Olon xämjääst regre...
Aguulga                                                                                             v         Batatgax das...
vi                                                                                Aguulga          12.3.3 Kointegraci . . ...
Zurag 2.1   Xoër    xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwar               .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   .   . ...
viii                                                                                          Zurag       12.16   MA(2). Y...
Xüsnägt 3.1   . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .                    39 4.1 ...
Ömnöx ügÄkonometrik n´ ädiïn zasgiïn ob³ekt ba processuudyn todorxoï toon xamaar-lyg matematik statistikiïn argaar sudalda...
xii                                                                Ömnöx ügarga, regressiïn täg²itgäliïn sistemäär zagwary...
Büläg 1Or²il1.1   ZagwaruudMatematik ädiïn zasag n´ ädiïn zasgiïn xuuliudyg matematik tom³ëo, täg²it-gäläär ilärxiïldäg bo...
2                                                                      Or²il    • täg²itgäld nämj oruulax nämält xuw´sagqd...
1.2 Zagwaryn törlüüd                                                              3   Trend ba ulirlyn xandlaga.          ...
4                                                                                                Or²il1.3     Ögögdliïn tö...
Büläg 2Xos regressiïn zagwarXoër buµu xäd xädän sanamsargüï xämjigdäxüüniï xamaarlyg sudalj, xamaarlygfunkcän xälbäräär il...
6                                                                       Xos regressiïn zagwar2.2    Xamgiïn baga kwadratyn...
2.2 Xamgiïn baga kwadratyn arga (XBKA)                                                 7Sanamj 2.2.1. (2.3) sistemiïn äxni...
8                                                                 Xos regressiïn zagwar2.2.3    Biqlägiïn matrican xälbär(...
2.3 Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwar                                           9   2. Xt –sanamsargüï bi²; (X1 ,...
10                                                              Xos regressiïn zagwar     3a, 3b nöxcölüüdiïg daraax baïdl...
2.4 Gauss-Markowyn teorem. σ 2 dispersiïn ünälält                                       112.4.1   Aldaany dispers σ 2 –yn ...
12                                                                          Xos regressiïn zagwarSanamj 2.4.2. (2.14) tom³...
2.5 Regressiïn parametrüüdiïn ünälältiïn statistik qanar. b = b0 taamaglal²algax. Regressiïn koäfficientuudyn itgäx zawsar...
14                                                              Xos regressiïn zagwar      b−b     sXäräw    2 ba σ xämjig...
2.6 Regress dax´ xamaaran xuw´sagqiïn wariaciïn ²injilgää. Determinaciïnkoäfficient                                       ...
16                                                         Xos regressiïn zagwar   (2.21) tom³ëony 2–r täncätgäl zöwxön, t...
2.7 Regressiïn koäfficientiïn xamgiïn ix ünäniïxuw´ büxiï ünälält                                                         ...
18                                                                                      Xos regressiïn zagwar     Normal ²...
2.8 Batatgax dasgal, bodlogo                                                19   Ji²ää. Örxiïn orlogo. OXU–yn Statistikiïn...
20                                                                       Xos regressiïn zagwar              1         1   ...
2.8 Batatgax dasgal, bodlogo                                                         21Bodolt. ’ugaman regressiïn koäffici...
22                                                                        Xos regressiïn zagwarÄnä toxioldold R2 –yn utga ...
2.8 Batatgax dasgal, bodlogo                                                              23V(α) = s2 = s2 /n uqir        ...
24                                                                     Xos regressiïn zagwar                            xx...
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Econometric
Upcoming SlideShare
Loading in …5
×

Econometric

1,869 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

Econometric

  1. 1. Äkonometrikiïn arga zagwaruud Garyn awlagaRedaktor doktor (Ph.D), däd professor –.Bazarsad Ulaanbaatar xot 2007 on
  2. 2. ii Zoxiogqid: –. Bazarsad M. Banzragq W. Batzorig P. Dorjnaran U. Dälgärsaïxan –. Lutbat N. Mönxdalaï R. Änxbat c ’UTIS, KtMS Zoxiogqiïn ärx n´ xuuliar xamgaalagdsan bolno. Änäxüü nomyg zoxiogqiïnzöw²öörölgüïgäär xäsägqlän xuulbarlax, xuwilax bolon älektron mädäälliïn sandoruulax zärgäär a²iglaxyg xoriglono. Äkonometrikiïn arga zagwaruud Nomyn äxiïg L TEX sistem a²iglan bältgäsän –. Lutbat AÄdiïn zasgiïn märgäjläär suralcaj buï oµutan bolon äkonometrik sonirxogqbag², sudlaaq nart zoriulaw.Garyn awlaga ²ugaman regressiïn (xos ba olon xuw´sagqiïn) zagwaryn para-metrüüdiïn ünälält baïguulax xamgiïn baga kwadratyn ba xamgiïn ix ünäniïxuw´ büxiï arga tädgääriïn örgötgölüüd, awtoregressiïn process, ²ugaman zag-waraar prognoz xiïx, regressiïn täg²itgäliïn sistemiïn zagwar, xugacaany sta-cionar bolon stacionar bi² cuwaany zagwaryn onclog zäräg asuudlyg awq üzäj,ädiïn zasgiïn praktik xäräglääniï ji²ää bodloguudyg bodoj oruulsan.DDC519.6.028B-168ISBN 99927-73-132-1
  3. 3. AguulgaÖmnöx üg xi1 Or²il 1 1.1 Zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1 1.2 Zagwaryn törlüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.1 Xugacaany cuwaany zagwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2.2 Näg täg²itgäl büxiï regressiïn zagwar . . . . . . . . . . . . . 3 1.2.3 Näg ag²in dax´ täg²itgäliïn sistem . . . . . . . . . . . . . . 3 1.3 Ögögdliïn törlüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 1.4 Äkonometrikiïn zagwar baïguulax ündsän alxam . . . . . . . . . . . . 42 Xos regressiïn zagwar 5 2.1 Funkcän, statistik, korrel¶c xamaarluud . . . . . . . . . . . . . . . 5 2.2 Xamgiïn baga kwadratyn arga (XBKA) . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 2.2.1 Xazaïltaar ilärxiïlsän täg²itgäl . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.2 Geometr taïlbar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 2.2.3 Biqlägiïn matrican xälbär . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 2.3 Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwar . . . . . . . . . . . . . 8 2.4 Gauss-Markowyn teorem. σ 2 dispersiïn ünälält . . . . . . . . . . . . 10 2.4.1 Aldaany dispers σ 2 –yn ünälält . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.5 Regressiïn parametrüüdiïn ünälältiïn statistik qanar. b = b0 taamaglal ²algax. Regressiïn koäfficientuudyn itgäx zawsar . . 12 2.5.1 Aldaany dispersiïn ünälält s2 –yn tarxalt . . . . . . . . . . 12 2.5.2 a, b, s2 –ünälältüüdiïn ül xamaarax qanar . . . . . . . . . . . 13 2.5.3 H0 : b = b0 taamaglal ²algax . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.6 Regress dax´ xamaaran xuw´sagqiïn wariaciïn ²injilgää. Deter- minaciïn koäfficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.1 Determinaciïn koäfficient–R2 . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.6.2 R2 koäfficientiïn geometr taïlbar . . . . . . . . . . . . . . 16 2.6.3 F -statistik (Fi²eriïn ²injüür) . . . . . . . . . . . . . . . 16 2.7 Regressiïn koäfficientiïn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälält . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17 2.8 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
  4. 4. iv Aguulga3 Olon xämjääst regressiïn zagwar 29 3.1 Zagwaryn ur´dqilsan nöxcölüüd . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.2 Xamgiïn baga kwadratyn arga, Gauss-Markowyn teorem . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30 3.3 XBK-ünälältiïn statistik qanaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31 3.3.1 Aldaany dispers σ 2 –iïn ünälält. s2 –iïn tarxalt . . . . . . 31 3.3.2 β ba s2 ünälältüüd xamaaralgüï bolox n´ . . . . . . . . . . . . 32 3.4 Xamaaran xuw´sagqiïn wariaciïn ²injilgää. R2 ba Radj koäfficient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 . . . . . . 33 3.4.1 Al´ n´ “ saïn” bä? y üü? äswäl y µu? . . . . . . . . . . . . . . . 35 3.5 Statistik taamaglal ²algax. Itgäx zawsar, itgäx muj . . . . . . . 35 3.6 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 404 Olon xämjääst regressiïn zarim asuudluud 47 4.1 Mul´tikollinear ²inj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47 4.2 Idäwxgüï xuw´sagq . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49 4.3 Tuxaïn korrel¶c . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52 4.3.1 Xuw´sagqdyg däs daraalan songox . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.4 Zagwaryn onclogiïg todorxoïlox . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56 4.4.1 Quxal xuw´sagqdyg xassan toxioldol . . . . . . . . . . . . . . 57 4.4.2 Quxal bi² xuw´sagqdyg nämsän toxioldol . . . . . . . . . . . 58 4.4.3 Bogino äswäl urt regressiïg songox . . . . . . . . . . . . . . . 58 4.5 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 605 Olon xämjääst regressiïn zarim örgötgölüüd 79 5.1 Stoxastik regressoruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 80 5.2 Xamgiïn baga kwadratyn örgötgösön arga . . . . . . . . . . . . . . . . 82 5.3 Batatgax dasgal, bodlogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 856 Geteroskedastik ²inj, xugacaany korrel¶c 91 6.1 Geteroskedastik ²inj . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.1 Xamgiïn baga kwadratyn jignäsän arga . . . . . . . . . . . . . 91 6.1.2 Geteroskedastik toxioldlyg zasax . . . . . . . . . . . . . . . . 92 6.1.3 Geteroskedastik ²injiïg ilrüüläx test . . . . . . . . . . . . 98 6.2 Xugacaany korrel¶c. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2.1 I ärämbiïn awtoregressiïn process . . . . . . . . . . . . . . . . 100 6.2.2 Awtoregresstäï zagwaryg ünäläx . . . . . . . . . . . . . . . . . 101 6.2.3 Xugacaany korrel¶ctaï äsäxiïg ²algax Darbin-Uotsony test.103 6.3 Batatgax dasgal, bodlogo. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1067 Xamgiïn baga kwadratyn nämält nöxcöltäï, örgötgösön arga. 117 7.1 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1198 ’ugaman regressiïn zagwaraar prognozlox 123 8.1 Nöxcölt bus prognozlol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 8.2 Nöxcölt prognozlol . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 8.3 Aldaa awtoregresstäï üed prognozlox . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
  5. 5. Aguulga v Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132 8.4 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1329 Xärägsäl xuw´sagqid 135 9.1 Xärägsäl xuw´sagqdyn tuslamjtaï olson ünälält zoximjtoï bolox n´ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135 9.2 Xämjiltiïn aldaany nölöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 9.3 Xamgiïn baga kwadratyn xoër alxamt xarga . . . . . . . . . . . . . . 136 9.4 Xausmany test . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137 9.5 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13810 Regressiïn täg²itgäliïn sistem. 143 10.1 Öör xoorondoo xolboogüï mät xaragdax täg²itgälüüd. . . . . . . . . 143 10.2 Näg ag²in dax´ täg²itgäliïn sistem . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2.1 Ärält ba niïlüülältiïn muruï . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145 10.2.2 Näg ag²in dax´ täg²itgäliïn sistemiïn matrican xälbär. Adilsax asuudal (identification problem). . . . . . . . . . . . . 151 10.2.3 Näg ag²in dax´ täg²itgäliïn sistemiïg ünäläx. Xamgiïn baga kwadratyn xoër alxamt arga. . . . . . . . . . . . . . . . . 154 10.3 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15711 Regressiïn zagwaryn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï arga 161 11.1 Or²il . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161 11.2 Matematik apparat . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162 11.3 Olon xämjääst normal tarxaltyn parametrüü- diïn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälält . . . . . . . . . . . . . . 163 11.4 Xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälältiïn qanaruud . . . . . . . . . 164 11.5 ’ugaman zagwar dax´ xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälält . . . . 165 11.6 ’ugaman zagwart taamaglal ²algax, I . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166 11.7 ’ugaman zagwart taamaglal ²algax, II . . . . . . . . . . . . . . . . . 169 11.8 ’ugaman bi² zaaglaluud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 170 11.9 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17112 Xugacaany cuwaa 181 12.1 Lag tarxsan zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.1.1 Ünäläx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 182 12.1.2 Olon gi²üünt lagtaï zagwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.1.3 Geometr lagtaï zagwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 183 12.2 Dinamik zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184 12.2.1 Aldaanuud n´ awtokorrel¶ctaï baïx awtoregressiïn zagwar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 185 12.2.2 Xugacaany xocrolttoï (lagtaï) xuw´sagqdyg aguulsan zarim ji²ää . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186 12.2.3 ’altgaan-ür dagawaryn xamaarlyn Granjeriïn test . . . . 188 12.3 Nägj ¶zguuruud ba kointegrac . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 189 12.3.1 Nägj ¶zguuruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 191 12.3.2 Xuurmag regress . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192
  6. 6. vi Aguulga 12.3.3 Kointegraci . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 193 12.4 Boks-Djenkinsiïn zagwar (ARIMA) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194 12.4.1 Trend, ulirlyn komponent, ¶lgawar awax . . . . . . . . . . . 195 12.4.2 Stacionar qanaryg ²algax . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 197 12.4.3 Awtoregressiïn ba ²iljix dundjiïn zagwar (ARMA) . . . . 198 12.4.4 Boks-Djenkinsiïn arga züï (ARIMA) . . . . . . . . . . . . . 203 12.4.5 ARMA zagwaryg ünäläx . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 207 12.4.6 ARMA zagwaryn ilärxiïläx qadwaryg ²algax . . . . . . . . 208 12.4.7 ARIMA zagwaruudaar prognozlox . . . . . . . . . . . . . . . . 210 12.4.8 Ulirlyn nölöö büxiï ARIMA zagwar . . . . . . . . . . . . . . 211 12.5 GARCH zagwaruud . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 12.6 Batatgax dasgal, bodlogo . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 214 Xawsralt 220 Nom züï 227
  7. 7. Zurag 2.1 Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwar . . . . . . . . . . . . . 6 2.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9 2.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15 2.8 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 48 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112 8.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130 10.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150 10.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151 11.1 Trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172 12.1 Trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.2 Sanamsargüï ²iljilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.3 Ulirlyn nölöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.4 Trend bolon ulirlyn nölöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196 12.5 Trend . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 198 12.6 Sanamsargüï ²iljilt . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12.7 Ulirlyn nölöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 199 12.8 Trend bolon ulirlyn nölöö . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 200 12.9 AR(1). Yt = 0.5Yt−1 + εt . –zguur µ = 2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.10 AR(1). Yt = −0.5Yt−1 + εt . –zguur µ = −2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204 12.11 AR(2). Yt = 0.8Yt−1 − 0.2Yt−2 + εt . –zguur µ1 = 2 + i, µ2 = 2 − i . . . . . . 204 12.12 AR(2). Yt = −0.8Yt−1 − 0.2Yt−2 + εt . –zguur µ1 = −2 + i, µ2 = −2 − i . . . 205 12.13 AR(2). Yt = −0.9Yt−1 − 0.2Yt−2 + εt . –zguur µ1 = −2.5, µ2 = −2 . . . . . . 205 12.14 AR(2). Yt = 0.9Yt−1 − 0.2Yt−2 + εt . –zguur µ1 = 2.5, µ2 = 2 . . . . . . . . . 205 12.15 AR(2). Yt = 0.1Yt−1 + 0.2Yt−2 + εt . –zguur µ1 = −2.5, µ2 = 2 . . . . . . . . 205
  8. 8. viii Zurag 12.16 MA(2). Yt = εt − 0.9εt−1 + 0.2εt−2 . –zguur µ1 = 2.5, µ2 = 2 . . . . . . . . . 206 12.17 MA(2). Yt = εt − 0.1εt−1 − 0.2εt−2 . –zguur µ1 = −2.5, µ2 = 2 . . . . . . . . 206 12.18 ARMA(1, 1). Yt = 0.8Yt−1 + εt − 0.5εt−1 . –zguur µAR = 1.125, µMA = 2 . . . 206 12.19 ARMA(1, 1). Yt = −0.8Yt−1 + εt + 0.5εt−1 . –zguur µAR = 1.125, µMA = −2 . 206 12.20 ARMA(1, 1). Yt = 0.4Yt−1 + εt + 0.5εt−1 . –zguur µAR = 2, µMA = −2 . . . . 207 12.21 ARMA(1, 1). Yt = −0.4Yt−1 + εt − 0.5εt−1 . –zguur µAR = −2, µMA = 2 . . . 207 12.22 Näg ödriïn PTC indeksiïn öörqlölt. . . . . . . . . . . . . . . . . . 212 12.23 Nöxcölt, standart xazaïltyn grafik . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215 12.24 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 218
  9. 9. Xüsnägt 3.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 4.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54 4.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55 4.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66 4.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68 4.5 D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982 . . . . . . 69 4.6 D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982 . . . . . . 71 4.7 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 6.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 94 6.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97 6.3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 6.4 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 6.5 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111 6.6 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113 6.7 D.Salvatore. Statistics and Econometrics, McGraw-Hill, 1982 . . . . . . 115 12.1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 192 12.2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 194
  10. 10. Ömnöx ügÄkonometrik n´ ädiïn zasgiïn ob³ekt ba processuudyn todorxoï toon xamaar-lyg matematik statistikiïn argaar sudaldag xäräglääniï ädiïn zasgiïn salbaruxaan µm. Ädiïn zasgiïn mön qanaryg tanin mädäx, zadlan ²injläx, xätiïntölöwiïg ur´dqilan taamaglax asuudluudyg äkonometrikiïn arguudaar ²iïdwär-länä. Manaï ix dääd surguuliud ädiïn zasgiïn surgaltyn xötölbör, tölöwlögöögöözax zääl öndör xögjsön orny xötölbört oïrtuulan ²inäqilj baïgaa önöö üedäkonometrikiïn ²injläx uxaanyg sudlax ²aardlaga zaïl²güï xärägcää bolondäw²igdäj baïna. Änä xärägcääg xangaxad µuny ömnö äx xäl däär biqigdsän nomsurax biqig, garyn awlaga, bodlogyn xuraamj ²aardlagataï n´ mädääj. Änäxüüzorilgod öqüüxän xuw´ nämär oruulax üüdnääs “ Äkonometrikiïn arga, zagwaruud”garyn awlagyg örgön olon un²igq, sudlaaq, bag², oµutan ta büxänd toliluuljbaïna. Änäxüü garyn awlaga n´ ’UTIS–yn KtMS–iïn äkonometrik, üïldliïn su-dalgaany bag, MUIS–iïn ÄZS–iïn matematikiïn bag² nar 2005 − 2007 ond xam-tran ¶wuulsan seminaryn ür dün bögööd –. R. Magnus, P. K. Katy²ew, A. A. Pere-seckiï naryn “ Äkonometrika (Naqal´nyï kurs)”, “ Sbornik zadaq po naqal´nomukursu äkonometriki” surax biqgüüdiïg ündsän material bolgon songon awq, xosbolon olon xämjääst regressiïn zagwaryn onolyn asuudluud, xugacaany cuwaany²injilgää, äkonometrikiïn olon törliïn zagwaruudyn oncloguud, tädgääriïnädiïn zasag dax´ praktik xäräglääniï bodloguudyg tüüwärlän awq äx xäl däärxörwüülän oruulsan bolno. Garyn awlaga or²il xäsgiïg oruulan 12 bülägtäï. II–III bülägt xos bolonolon xämjääst regressiïn zagwar, zagwaryn parametrüüdiïn ünälält baïguulaxxamgiïn baga kwadratyn bolon xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï arguud, ünälältiïnstatistik qanaruud, parametriïn itgäx zawsar baïguulax, statistik taamaglal²algax zäräg onolyn ²injtäï asuudluudyg awq üzäj, xargalzax praktik ji²ääbodloguudaar ba¶juulan taïlbarlasan. IV–V bülägt olon xämjääst regressiïn zarim oncloguud tuxaïlbal, mul´ti-kollinear ²inj, idäwxgüï xuw´sagq, tuxaïn korrel¶c bolon olon xämjääst reg-ressiïn zarim örgötgöliïn tuxaï asuudluudyg xöndöj onolyn bolon olon toonypraktik bodloguudyg äkonometrikiïn bagc programm a²iglan bodoj üzüüläw. VI–VII bülägt geteroskedastik ²inj aguulsan zagwar, ug ²injiïg ilrüüläxtestüüd, I ärämbiïn awtoregressiïn process, awtoregresstäï zagwaryg ünäläx pro-ceduruud, xugacaany korrel¶ciïg ²algax test bolon xolbogdox ji²ää bodloguudbagtsan. VIII–X bülägt ²ugaman regressiïn zagwar a²iglan prognozlox toxioldluud,xärägsäl xuw´sagq a²iglan parametriïn xazaïltgüï ünälält gargan awax onolyn
  11. 11. xii Ömnöx ügarga, regressiïn täg²itgäliïn sistemäär zagwaryg ünäläx arguudyg oruulsan. XI bülägt regressiïn zagwar dax´ xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï argyg olonxämjääst toxioldold dälgärüülän awq üzäj, ünälältiïn qanaruud, örgötgösön²ugaman zagwart nämält zaaglaluudyg xangax äsäx tuxaï taamaglal ²algax tes-tüüdiïg tom³ëolon oruulsan. XII bülägt ¶nz büriïn xälbäriïn lag büxiï xugacaany cuwaany zagwaruud,tädgääriïn parametriïg ünäläx arga, xugacaany stacionar cuwaa, stacionar cu-waany AR, MA, ARIMA, ARMA zagwaruud tädgääriïn onclog bolon ARCH, GARCHzagwaryn tuxaï nämj tusgasan. Büläg tus büriïn äxänd onolyn towq toïm, zarim gargalgaa, sanamj dügnäl-tüüdiïg tom³ëolon, ädgäärtäï xolbogdson ädiïn zasgiïn praktik ji²ää bodloguu-dyg bodolttoï xamt oruulsan ba zarim toxioldold äkonometrikiïn bagc programma²iglan toocoollyg güïcätgäsän. Äcäst n´ änäxüü garyn awlagyg biqixäd ünätäï sanal zöwlögöö ögq seminarxamtran udirdsan MUIS–iïn professor, ’U–ny doktor R.Änxbatad talarxalilärxiïlj baïna. Nomyn talaarx ²üümj, sanal dügnältää KtMS–iïn äkonometrik üïldliïnsudalgaany bagiïn när däär irüülbäl günää talarxax bolno. Zoxiogqid
  12. 12. Büläg 1Or²il1.1 ZagwaruudMatematik ädiïn zasag n´ ädiïn zasgiïn xuuliudyg matematik tom³ëo, täg²it-gäläär ilärxiïldäg bol äkonometrik n´ ädgäär xuuliudyg tur²iltyn ögögdlüü-däär ²algaj ädiïn zasgiïn üzägdäl processt dün ²injilgää, prognoz xiïdägmatematikiïn ²injläx uxaany näg salbar µm. Nögöö talaar, äkonometrikiïnsalbaryg xögjüüläxäd garamgaï amjilt gargaj, ädiïn zasgiïn salbart Nobeliïn²agnal xürtsän (1969) R.Fri²iïn todorxoïlsnoor äkonometrik n´ matematik,ädiïn zasgiïn onol ba statistik gäsän gurwan salbar uxaany nägdäl µm. Ädiïnzasgiïn üzüülältüüdiïn toon xamaarlyg gargaxyn tuld tur²iltyn buµu ajig-laltyn utguudyg a²igladag. Üüniï daraa onol bolon ajiglaltyn utguud däärsuurilan tuxaïn üzägdäl processiïn zagwar bolowsruulan tüüniï parametrüüdiïgünälj, xätiïn tölöwiïg ur´dqilan toocoolj zöwlömj gargadag. Äkonometrikiïn²injilgääniï büx üe ²atand zagwar a²iglana. Ädiïn zasgiïn xuuliud n´ ixänxtoxioldold, ängiïn matematik tom³ëo, ilärxiïlläär dürslägdänä. Ji²äälbäl,xäräglääniï funkc awq üz´e: ln C = β0 + β1 ln Y + β2 ln P.Üünd, C–tuxaïn jild näg xünd noogdox ¶mar näg xünsniï xäräglääniï xämjää, Y –näg xünd noogdox tuxaïn jiliïn bodit orlogo, P –xünsniï bütäägdäxüüniï üniïn indeks ba änä n´ am´jirgaany batalgaajixtüw²niï erönxiï indeksäär zoxicuulagdana (defl¶tor ), β0 , β1 , β2 –togtmoluud. Änä täg²itgäliïg xäräglääniï tölöw baïdlyn täg²itgäl gänä. Änä täg²itgältuxaïn xünsniï bütäägdäxüüniïg üniïn indeks bolon bodit orlogoos xamaaruu-lan xäräglägq xärxän xudaldaj awax xämjääg dundjaar xaruulna. β0 , β1 , β2 koäf-ficientuudyn utgyg olsny daraa tölöw baïdlyn täg²itgäl bürän todorxoïlog-dono. Iïmd äkonometrikiïn ²injilgääniï näg zorilgo bol ajiglaltyn utguudyga²iglan ädgäär koäfficientuudyg todorxoïloxod or²ino. Gäxdää änä n´ corynganc zorilgo bi² µm. Äkonometrikiïn ²iïdäx öör busad zoriltuudyg todor-xoïlj bolno. Tuxaïlbal,
  13. 13. 2 Or²il • täg²itgäld nämj oruulax nämält xuw´sagqdyg sudlax. Ji²äälbäl, xün- sniï bi² baraa, bütäägdäxüüniï ünä baïj bolno, • täg²itgälääs xasax zarim xuw´sagqdyg sudlax, • ajiglaltyn utguud xär zäräg boditoïgoor songogdson, bodit baïdlyg zöw ilärxiïläx bolomjtoï äsäxiïg sudlax, • ²ugaman zagwar n´ xär zäräg ünän bolox, ädiïn zasgiïn onoloor zöw taïl- barlagdax äsäxiïg ²algax, • zagwar n´ bürän güïcäd bolson äsäxiïg ²algax, manaï ji²äänd bid zöwxön ärältiïn täg²itgäl awq üzsän. Xäräw ärält ba niïlüülältiïn täg²itgäliïg xamtad n´ awq üzwäl ¶mar baïx wä? • bidniï taw´san zoriltyg ²iïdwärläxiïn tuld, makro ädiïn zasgiïn däärx- täï töstäï täg²itgäliïg awq üzäx n´ xangalttaï äsäx, mikro tüw²niï ögög- dliïg awq üzäx ²aardlagataï äsäxiïg togtoox gäx mät. Däär awq üzsän zagwar n´ statistik zagwar µm. Zarimdaa dinamik zagwarilüü toxiromjtoï baïj bolno. Ji²äälbäl, öngörsön jiliïn orlogo änä jiliïnxäräglääniï tüw²ind nölöölnö gäj taamaglaj bolno. Tägwäl änä toxioldold,tüüniïg zagwaryn täg²itgäld oruulj toocox ²aardlaga garna. Äkonometrik n´ änä büx asuudluudyg awq üzäx ba ²iïdäx arguudyg änä nomyndaraagiïn bülgüüdäd todorxoï ji²ään däär taïlbarlan xaruulna.1.2 Zagwaryn törlüüdMatematik zagwaruud n´ biznes, ädiïn zasag, niïgmiïn uxaan tödiïgüï uls töriïnprocessyg sudlaxad örgön xäräglägdänä. Sudlaj buï processyn mön qanarygbürän tan´j mädäx, tüüniïg zadlan ²injläxäd matematik zagwaryg a²igladagbilää. Odoo baïgaa ögögdöl, ajiglaltyn utguud däär tulguurlan baïguulsan za-gwar n´ xamaaran xuw´sagqiïn xätiïn tölöwiïg ünäläxäd bas xäräglägdänä. ’in-jilgää bolon progonoz xiïxäd ündsän gurwan törliïn zagwar a²iglana.1.2.1 Xugacaany cuwaany zagwarÄnä zagwaryn angid daraax zagwaruud bagtana: Qig xandlaga (trend). y(t) = T (t) + εt .Üünd, T (t)–parametr xälbärt ögögdsön, xugacaany trend (ji²äälbäl, ²ugamantrend T (t) = a + bt), εt –sanamsargüï (stoxastik) komponent. Ulirlyn xandlaga. y(t) = S(t) + εt . S(t)–üet (ulirlyn xandlagat) komponent, εt –sanamsargüï (stoxastik) kompo-nent.
  14. 14. 1.2 Zagwaryn törlüüd 3 Trend ba ulirlyn xandlaga. y(t) = T (t) + S(t) + εt , y(t) = T (t)S(t) + εt .Üünd, T (t)–xugacaany trend, S(t)–ulirlyn trend, εt –sanamsargüï komponent. Ji²äälbäl, olon jiliïn urgacyn xämjää bolon Mongol ulsad jil bür irjbaïgaa juulqdyn too n´ ulirlyn bolon xugacaan trendäär ilärxiïlägdänä. Xugacaany cuwaany zagwaruudad nilääd töwögtäï zagwaruud bolox awtoregres-siïn zagwar, ²iljix dundjiïn zagwar (ARIMA) bolon busad zagwaruud bagtana.Iïm zagwaruudyn erönxiï onclog bol xugacaany cuwaany ömnöx utguudyg a²iglantüüniï tölöw baïdlyg bürän taïlbarlaxad or²ino.1.2.2 Näg täg²itgäl büxiï regressiïn zagwarÄnä zagwart xamaaran (taïlbarlagdax) xuw´sagq y n´ f (x, β) = f (x1 , x2 , . . . , xk , β1 , . . . , βp )xälbäriïn funkcäär ilärxiïlägdänä. Üünd, x1 , x2 , . . . , xk –ül xamaarax (taïlbar-lagq) xuw´sagqid, β1 , β2 , . . . , βp –parametrüüd. f (x, β) funkciïn xälbärääs xamaaruulan zagwaryg ²ugaman ba ²ugaman busgäj angilna. Ji²äälbäl, möxööldösniï ärältiïn funkciïg xugacaa, agaaryntemperatur, orlogyn dundaj tüw²in, nas, xüïs, bolowsrolyn tüw²in, ajillasanxugacaa zäräg xuw´sagquudaas xamaaruulan awq üzäj bolno. Änä törliïn zag-waruud n´ xugacaany cuwaany zagwartaï xar´cuulbal ilüü örgön xürääg xamardagonclogtoï.1.2.3 Näg ag²in dax´ täg²itgäliïn sistemÄnä törliïn zagwaruud n´ täg²itgäliïn sistemäär ilärxiïlägdänä. Sistem n´regressiïn täg²itgälüüdääs bürdäx ba täg²itgäl bür n´ ööriïn taïlbarlax xuw´-sagqdaas gadna öör täg²itgälüüdiïn taïlbarlax xuw´sagqdyg aguulsan baïdag.Iïmd taïlbarlax xuw´sagqdyg aguulsan sistem täg²itgälüüdiïg bodno gäsän ügµm.Ji²äälbäl, ärält niïlüülältiïn daraax zagwaryg awq üz´e. QD – t xugacaan dax´ bütäägdäxüüniï ärält (demand ), t QS – t xugacaan dax´ bütäägdäxüüniï niïlüülält (supply), t Pt – t xugacaan dax´ bütäägdäxüüniï üniïn tüw²in (price level ), Yt – t xugacaan dax´ orlogo (income). Ärält ba niïlüülältiïn daraax zagwaryg biqij bolno:  S  Qt = α1 + α2 Pt + α3 Pt−1 + εt (niïlüülält) QD = β + 1 + β2 Pt + β3 Yt + ut (ärält)  t QS = QD t t (täncwär)Bütäägdäxüüniï ünä Pt ba ärält Qt = QD = QS n´ zagwaryn täg²itgälüüdääs t toldono. Ööröör xälbäl, ändogen xuw´sagqid µm. Ädgääriïg todorxoïlox xuw´sag-qid n´ Yt –orlogo ba ömnöx ony Pt−1 –ünä bolno.
  15. 15. 4 Or²il1.3 Ögögdliïn törlüüdÄdiïn zasgiïn processyg zagwarqlaxad xoër törliïn ögögdliïg a²iglana: • oron zaïn ögögdöl (cross-sectional data), • xugacaany cuwaany ögögdöl (time series data).Ji²äälbäl, näg ijil xugacaand olon törliïn püüsüüdääs awsan üïldwärläliïnxämjää, ajilqdyn too, orlogo zäräg mädääläl n´ oron zaïn ögögdöl µm. Xarinsüüliïn jilüüdiïn uliral büräär ajiglasan infl¶ciïn tüw²in, dundaj calin,ündäsniï bütäägdäxüün, möngöniïn ursgal zäräg n´ xugacaany cuwaany ögögdölbolno. Mongol tögrögniï näg dollart xar´cax ödör büriïn xar´caa (xan²nyxälbälzäl) mön xugacaany cuwaany ögögdöl µm. Xugacaany cuwaany ögögdliïnnäg onclog bol ädgäär n´ xugacaany xuw´d ärämbälägdsän baïx ba oïrxon xugacaandajiglagdsan utguud n´ gol tölöw xoorondoo xamaaraltaï baïdagt or²ino.1.4 Äkonometrikiïn zagwar baïguulax ündsän alxamÄkonometrik zagwaryg daraax 6 üe ²attaïgaar baïguulna. 1-r ²at (tawil). Sudalgaany zorilgyg todorxoïlj, ädiïn zasgiïn xuw´-sagqdyg todorxoïlno. Äkonometrik zagwarqlalyn gol zorilgo n´ sudlaj buïädiïn zasgiïn processyg zadlan ²injläx, tüüniï ädiïn zasgiïn üzüülältiïnxätiïn toocoo xiïx, gadaad xuw´sagqdyn nölöög sudlax, sanamsargüï baïdlyg ¶l-gan tanix, udirdlagyn ²iïdwär gargax zäräg bolno. Ädiïn zasgiïn xuw´sagqdygonolyn ündäslältäïgäär songox ²aardlagataï. Tuxaïlbal, ül xamaarax buµutaïlbarlagq xuw´sagqid n´ funkcional buµu korrel¶c xamaaralgüï baïx ¶wdalµm. Äsräg toxioldold, zagwaryn parametrüüdiïg ünäläx bolomjgüï boldog babodit baïdald ül niïcäx, togtworgüï ²iïdiïg biï bolgoxod xürgädäg. Ädiïnzasgiïn processyn qanaryn üzüülältiïg (ji²äälbäl, xüïs, bolowsrol) ünäläxdää“ idäwxgüï” xuw´sagqdyg a²iglana. 2-r ²at (ur´dqilsan). Sudalj buï processyn mön qanaryg zadlan ²injläx,ur´dqilsan mädäälliïg formal xälbärt ²iljüüläx. 3-r ²at (parametrizaci). Zagwaryn erönxiï törliïg songono, tüünd orolcojbuï xamaarluudyg togtoono. Üünd f (x) funkciïn xälbäriïg songoj ül xamaarax(taïlbarlagq) ba taïlbarlagdax xuw´sagqdyn xamaarlyg togtoono. 4-r ²at (mädääläl). Ädiïn zasgiïn xuw´sagqdyn ajiglaltyn utguudyn mädääl-liïg biï bolgono: (xi1 , xi2 , . . . , xip ; yi1 , yi2 , . . . , yiq ), i = 1, 2, . . . , n. 5-r ²at (ünälgää). Zagwaryn parametrüüdiïg ünälnä. 6-r ²at (²algax). Zagwaryn bodit baïdlyg ilärxiïläx (adekwat) qanaryg su-dalna. Baïguulsan zagwar n´ ädiïn zasgiïn bodit baïdlyg xär zäräg nariïwqlal-taï, naïdwartaï xaruulj baïgaag änä ²atny ²injilgää xaruulna.
  16. 16. Büläg 2Xos regressiïn zagwarXoër buµu xäd xädän sanamsargüï xämjigdäxüüniï xamaarlyg sudalj, xamaarlygfunkcän xälbäräär ilärxiïlän, gargan awsan zagwaryn parametrüüdiïg olox n´regressiïn ²injläliïn ündsän asuudal bilää. Ädiïn zasgiïn sudalgaany prak-tikt, ögögdlüüdiïg ürgälj olon xämjääst xäwiïn tarxalttaï äx olonlogoos awsanmätäär üzäj boldoggüï baïna. Uqir n´, tädgääriïn al´ näg n´ sanamsargüï bi²baïx äswäl, regressiïn muruï ilärxiï ²ugaman bi² baïx toxioldluud garna. Iïmtoxioldold, tur²iltyn ögögdlüüdäd “ xamgiïn saïn toxirox” muruï buµu gadar-guug baïguulaxyg zoridog bögööd änä üïl ajillagaa, argyg regressiïn ²injilgääxämään närlänä.2.1 Funkcän, statistik, korrel¶c xamaarluudNäg xämjigdäxüüniï utga bürt nögöö xämjigdäxüüniï todorxoï utga xargalzaxxamaarlyg funkcän xamaaral gädäg. Bid funkcän xamaarlyn tuxaï baïgaliïn²injläx uxaanaas, ji²äälbäl matematik, fizikiïn xuuliudaas mädäx bilää.Gätäl baïgal ertöncöd funkcän bi² xamaaraltaï xämjigdäxüünüüd bi²güï olonbaïdag ajää. Tuxaïlbal, X xämjigdäxüüniï bäxlägdsän utga bürt Y xämjig-däxüüniï utguudyn olonlog xargalzax bolowq quxam al´ utga n´ xargalzaxygur´dqilan xäläx bolomjgüï xämjigdäxüünüüd baïdag baïna. Iïnxüü näg xämjig-däxüüniï utga bürt nögöö xämjigdäxüüniï todorxoï tarxalt xargalzaj baïwaltädgääriïg statistik (stoxastik äswäl magadlalt) xamaaraltaï gänä. Statis-tik xamaarlyn ji²ää gäwäl, tarialangiïn todorxoï talbaïg bordson bordoonyxämjää ba ug talbaïgaas awax urgacyn xämjää µm. Xoër xämjigdäxüüniï statistik xamaaral näg utgataï bi²ääs üüdän näg xäm-jigdäxüüniï utguudaas nögöö xämjigdäxüüniï nöxcölt matematik dundaj xärxänxamaaraxyg awq üzdäg. Iïm statistik xamaarlyg korrel¶c xamaaral gänä. Ööröörxälbäl, näg xämjigdäxüüniï utga ba nögöö xämjigdäxüüniï nöxcölt mat. dund-jiïn funkcän xamaarlyg korrel¶c xamaaral gänä. Matematik ilärxiïlläärbiqwäl: M (Y /X = x) = ϕ(x), M (X/Y = y) = ψ(y) (2.1)(2.1)–iïg regressiïn zagwaryn täg²itgälüüd, tädgääriïn grafikiïg regressiïnmuruï gänä.
  17. 17. 6 Xos regressiïn zagwar2.2 Xamgiïn baga kwadratyn arga (XBKA)Bidänd Xt , Yt (t = 1, 2, . . . , n) gäsän xoër xämjigdäxüüniï tur²iltyn utguud (Xt , Yt )ögögdsön gäe. (Xt , Yt ) utguudyg xawtgaïn koordinatyn sistemd dürsläe. (Zurag2.1.) Bidniï zorilgo bol Y –iïn X–ääs xamaarax xamaarlyg “ xamgiïn saïnaar” Yt Yt − f (Xt , β) f (Xt , β) = α + βXt Xt Zurag 2.1: Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwarilärxiïläx f (Xt , β) = α+βx funkciïg olox ¶wdal. Änä n´ tur²iltyn ögögdlüüdäd“ xamgiïn saïn toxirox” f (X) = a + bX xälbäriïn ²ugaman funkciïg olno gäsänüg µm. Ööröör xälbäl, regressiïn zagwaryn muruïn α, β parametrüüdiïn ünälälta, b–g tur²iltyn ögögdlüüdiïn tuslamjtaïgaar olno gäsän üg. Däär durdsan“ xamgiïn saïnaar ilärxiïläx”, “ xamgiïn saïn toxirox” gädgiïn dor tur²iltynYt utguud zagwaryn muruïn a + bXt utgaas xazaïx xazaïltuudyn kwadratyn niïl-bär xamgiïn baga baïxyg oïlgono. Ööröör xälbäl, n F = [Yt − (a + bXt )]2 −→ min (2.2) t=1F funkcionaliïn äkstremumyn zaïl²güï nöxcliïg biqwäl: n n ∂F ∂F = −2 (Yt − a − bXt ) = 0, = −2 Xt (Yt − a − bXt ) = 0 ∂a ∂b t=1 t=1 2 buµu a · n + Xt = Yt , a· Xt + b · Xt = Xt Yt (2.3)(2.3) sistemiïn ²iïd a, b–g olbol n Xt Yt − ( Xt )( Yt ) Cov(X, Y ) b= 2 = (2.4) n Xt − ( Xt )2 Var(X) 1 1 a= Yt − Xt · b = Y − X · b (2.5) n nÜünd, X = (1/n) Xt , Y = (1/n) Yt , Cov(X, Y ) = E(X · Y ) − E(X) · E(Y ), Var(X) = E(X − E(X))2 = E(X 2 ) − E2 (X).E–matematik dundaj (expectation), Var–dispers (variance), Cov–kowariac (cova-riance).
  18. 18. 2.2 Xamgiïn baga kwadratyn arga (XBKA) 7Sanamj 2.2.1. (2.3) sistemiïn äxniï täg²itgälääs Y =a+b·X (2.6)Ööröör xälbäl, (2.1) funkcionaliïg minimalqlagq Y = a + bX ²uluun n´ (X, Y )cägiïg daïrna.Sanamj 2.2.2. Xt (t = 1, 2, . . . , n)–utguudyg bügd ijil bi² gäj toocno. Ööröörxälbäl, Var(X) = 0 üed (2.4) tom³ëo utga tögöldör µm.2.2.1 Xazaïltaar ilärxiïlsän täg²itgälXt , Yt utguud tüüwriïn dundjaasaa xazaïx xazaïltuudyg xt = Xt − X, yt = Yt − Ygäj tämdägläe. n Ömnöx bodlogotoï adilaar, F = [yt − (a + bxt )]2 funkcionaliïg minimal- t=1qlagq f (x) = a + bx ²ugaman funkciïg olox bodlogo awq üz´e. Bodlogyn ²iïd n´ geometr sätgälgääniï üüdnääs awq üzwäl, Xt , Yt xuw´sagqiïnxuw´d olson ¶g tär ²uluun (x, y) xawtgaï däär garax n´ todorxoï. Ünän xärägdäärää, X, Y xuw´sagqdaas x, y xazaïltuudad ²iljinä gädäg n´ zöwxön koordi-natyn äxiïg (X, Y ) cägt zööj buï xäräg µm. (2.4) ba (2.5) tom³ëond Xt , Yt –g (xt , yt )xuw´sagqdaar sol´j, x = y = (1/n) xt = (1/n) yt = 0 boloxyg toocwol xt yt (Xt − X)(Yt − Y ) a = 0, b = = (2.7) x2t (Xt − X)2Iïnxüü bid regressiïn ²uluuny öncgiïn koäfficient b–iïn öör xälbäriïg gar-gan awlaa.2.2.2 Geometr taïlbar(x, y) = x y = Xt Yt gäsän skal¶r ürjwär todorxoïlogdson n-xämjääst wektorogtorguï R n –iïg awq üz´e. Üünd, x –xörwüülsän matric buµu manaï toxioldold(1 × n) xämjääst wektor mör.         X1 Y1 1 e1  .   .  . . x =  .  , y =  .  , ı =  .  , e =  .  gäwäl . . . . Xn Yn 1 en y = a · ı + b · x, e = y − yÜünd: a, b–toon koäfficientuud, y – ı, x wektoruudaar baïguulagdax 2 xämjäästgiprxawtgaï (π) däär or²ix wektor (ı, x wektoruud kollinear bi²). e wektor xamgiïn baga utgataï baïx a, b–g olox zorilgo taw´¶. Ööröör xälbäl,π däd ogtorguïn y wektoroor y wektort xamgiïn saïn argaar döx´e. e wektor (π) xawtgaïd ⊥ baïx tiïm y wektor bodlogyn ²iïd bolox n´ ilärxiï.Üüniï tuld e wektor, ı ba x wektor tus bürt ⊥ baïxad xangalttaï: ı ·e=0 ⇔ et = 0 ⇔ (Yt − a − bXt ) = 0, (2.8) x ·e=0 ⇔ X t et = 0 ⇔ Xt (Yt − a − bXt ) = 0Üügäär bid äkstremumyn zaïl²güï nöxcölüüdiïg daxin gargan awlaa.
  19. 19. 8 Xos regressiïn zagwar2.2.3 Biqlägiïn matrican xälbär(n × 2) xämjääst matricyg X–äär tämdägläe.     1 X1 Y1 . X = . . , y =  . , β = a , .  . .  .  . e = y − Xβ. b 1 Xn YnÜünd, β n´ ül mädägdäx koäfficientuudyn (n × 1) xämjääst matric.e wektor ba π xawtgaï ortogonal´ baïx (2.8) nöxcliïg matric xälbäräär biqwälX e = 0 buµu X (y − Xβ) = X y − X Xβ = 0 xälbärtäï bolno.Ändääs X Xβ = X y buµu β = (X X)−1 · X y (2.9)Däär tämdägläsän ësoor ı, x wektoruud ²ugaman xamaaralgüï uqraas X X matricurwuutaï baïna.2.3 Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwarÖmnöx züïlüüdäd zöwxön tur²iltyn ögögdöld xamgiïn saïn toxirox ²ugamygbaïguulax tuxaï awq üzsän. Odoo, ögögdlüüdiïn zarim statistik qanaruudygbodlogyn tawild nämj oruul³¶. Ünän xäräg däärää, X–iïn zöwxön näg utgandY –iïn ¶nz büriïn utguud ajiglagdaj bolox bilää. Ji²ää1. X–xuw´ xüniï nas, Y –tüüniï calin Ji²ää2. X–örxiïn orlogo, Y –örxiïn xünsniï zardal. ’ugaman regressiïn onold Yt –iïn Xt –ääs xamaarax xamaarlyg daraax xäl-bärtäï awq üzdäg. Yt = a + b · Xt + εt , t = 1, 2, . . . , n.Üünd, Xt –sanamsargüï bi² xämjigdäxüün, Yt , εt –sanamsargüï xämjigdäxüünüüdbögööd daraax baïdlaar närläj xäw²sän baïdag. Yt –xamaaran xuw´sagq, taïlbarlagdax xuw´sagq, ändogen xuw´sagq... Xt –ül xamaarax xuw´sagq, taïlbarlagq xuw´sagq, äkzogen xuw´sagq, regressor... εt –regressiïn aldaa (zöröö, xälbälzäl), new¶zka (wozmu°enie)... Regressiïn aldaa–εt sanamsargüï baïdag n´ daraax 2 ündsän ²altgaantaï: 1. Bidniï zagwar bol bodit baïdlyn xuraanguï xälbär uqraas ünän qanartaaY –d nölöölöx öör busad parametrüüd orxigdson baïgaa. Ji²ää1–d xuw´ xüniïcalin tuxaïlbal bolowsrolyn tüw²in, ajillasan jil, xüïs, ajillaj buï sek-toryn (ulsyn, xuwiïn) töröl zärgääs xamaarna. 2. Ögögdlüüdiïg xämjixäd sanamsargüï aldaa garna. Tuxaïlbal Ji²ää2–d,örxiïn xünsniï zardlyn ögögdöl gäxäd l asuulgad orolcogqdyn xariultaar äswältädniï tämdäglälääs awagdax uqir aldaa garax bolomjtoï µm. Iïm uqraas εt –g Ytxämjigdäxüüntäï ijil tarxaltyn funkc büxiï sanamsargüï xämjigdäxüün gäjüznä. ’ugaman regressiïn songodog zagwaryn xuw´d tawigdax ur´dqilsannöxcölüüd: 1. Yt = a + b · Xt + εt , t = 1, 2, . . . , n.–zagwaryn tom³ëolol,
  20. 20. 2.3 Xoër xuw´sagqiïn ²ugaman regressiïn zagwar 9 2. Xt –sanamsargüï bi²; (X1 , . . . , Xn ) wektor ı = (1, . . . , 1) –täï kollinear bi². 3a. Eεt = 0, E(ε2 ) = V(εt ) = σ 2 , t 3b. E(εt εs ) = 0, ∀t = s, 3c. εt ∼ N (0, σ 2 ), t = 1, 2, . . . , n (nämält nöxcöl). Däärx nöxcölüüdiïg taïlbarla¶: 1. Zagwaryn matematik tom³ëolol n´, xamaaran xuw´sagq Yt –iïn Xt –ääs xa-maarax xamaaral sanamsargüï aldaany nariïwqlaltaïgaar f (Xt ) = a + b · Xt xuu-liar ilärxiïlägdäxiïg zaaj buï µm. 3a. Eεt = 0 nöxcöl n´ EYt = a + b · Xt buµu bäxlägdsän Xt –iïn xuw´d Yt –iïndundaj utga a + b · Xt baïxyg ilärxiïlnä. 3a. E(ε2 ) = V(εt ) = σ 2 nöxcöl n´ aldaany dipers ajiglaltyn dugaaraas (Xt tregressoroos) xamaaraxgüï boloxyg ilärxiïlnä. Änä nöxcöl bielägdäj baïwal al-daag gomoskedastik (homoscedasticity) gänä. Xäräw gomoskedastik nöxcöl bieläxgüïbaïwal aldaag geteroskedastik (heteroscedasticity) gäj närlänä. Daraax zurguu-daar (Zurag 2.2, Zurag 2.3) aldaany gomoskedastik, geteroskedastik toxioldluu-dyg üzüüläw. Y Y X X Zurag 2.2: Zurag 2.3: 3b. E(εt εs ) = 0, ∀t = s nöxcöl, öör öör ajiglaltyn aldaa korrel¶c xamaaral-güï boloxyg ilärxiïlnä. Ögögdlüüd xugacaany cuwaa baïx üed änä nöxcöl ¶magtaldagddag. Änä toxioldold aldaany awtokorrel¶ciïn (serial correlation) tuxaïawq üznä. E(εt εt+1 ) = ρ = 0 üed aldaany awtokorrel¶ciïn x¶lbar toxioldluudyg Zurag2.4 (ρ > 0), Zurag 2.5 (ρ < 0)–äär üzüüläw. Y Y X X Zurag 2.4: Zurag 2.5:
  21. 21. 10 Xos regressiïn zagwar 3a, 3b nöxcölüüdiïg daraax baïdlaar wektor xälbärt biqij bolno: Eε = 0, V(ε) = σ 2 InÜünd, ε = (ε1 , . . . , εn ) , In − n × n xämjääst nägj matric, V(ε) − n × n xämjääst,kowariaciïn matric. Tüünqlän 3a, 3b nöxcölüüdiïg xamaaran xuw´sagqiïn xuw´dbiqij boloxyg tämdägläe: EYt = a + b · Xt , V(Yy ) = σ 2 , Cov(Yt Ys ) = 0, t = s. 3c. nöxcöl n´ εt (t = 1, 2, . . . , n) aldaa xäwiïn tarxalttaï sanamsargüï xämjig-däxüün baïna gäsän üg µm: εt ∼ N (0, σ 2 ). Regressiïn täg²itgäl gargan awaxadäxniï 1–3b nöxcöl xangalttaï bolwq 3c nöxcliïg nämält bolgon awq üzdäg. 1–3cnöxcliïg xangax zagwaryg normal, ²ugaman regressiïn zagwar (Classical NormalLinear Regression model) gänä.Sanamj 2.3.1. Normal ²ugaman regressiïn nöxcöld 3b nöxcöl n´ “εt , εs (t = s)aldaanuud statistik xamaaralgüï” gäsän nöxcöltäï äkwiwilent baïna.Sanamj 2.3.2. 3a, 3b nöxcliïg ilüü sul nöxclöör (X sanamsargüï baïj bolno!)solixod zagwaryn ixänx qanaruud xadgalagdana: 3 a,b Cov(Xt , εs ) = 0, (∀ t, s) E(εt |X) = 0, E(ε2 |X) = σ 2 , (∀ t) t E(εt εs |X) = 0. (∀ t = s)2.4 Gauss-Markowyn teorem. σ 2 dispersiïn ünälält1–3b nöxcliïg xangax ²ugaman zagwaryn a, b, σ 2 parametrüüdiïn “ xamgiïn saïn”ünälältiïg (Xt , Yt ), t = 1, 2, . . . , n. ögögdlüüdäär olox ¶wdal bol bidniï zorilgobilää. “ Xamgiïn saïn” (Best Linear Unbiased Estimator, BLUE ) gädgiïn dor tu-xaïlbal, Yt –iïn xazaïltgüï ²ugaman ünälältüüdiïn angid xamgiïn baga disper-stäïg n´ oïlgono. Iïm ünälält or²in baïx n´, baga dispers büxiï ²ugaman bi²xazaïltgüï ünälält oldoxgüï gäsän üg bi² gädgiïg tämdägläe. Tüünqlän, xazaïl-tgüï gäsän nöxcliïn orond ünälält ba jinxänä utgyn dundaj kwadrat xazaïltE(b − b)2 xamgiïn baga baïx nöxcliïg awq bolno.Teorem 2.4.1 (Gauss-Markow). 1, 2, 3a, 3b nöxcölüüd bieläx üed xamgiïn bagakwadratyn argaar olson a, b ünälältüüd n´ büx xazaïltgüï ²ugaman ünälältüüdiïnangid xamgiïn baga disperstäï baïna. Teoremiïn batalgaag änd awq üzäxgüï bögööd batalgaany ¶wcad garax zarimür düng tämdägläe: σ2 V(b) = (2.10) x2t 2 Xt V(a) = σ 2 (2.11) n x2 t X 2 X Cov(a, b) = − σ =− σ2 (2.12) x2 t (Xt − X)2
  22. 22. 2.4 Gauss-Markowyn teorem. σ 2 dispersiïn ünälält 112.4.1 Aldaany dispers σ 2 –yn ünälältRegressiïn a, b koäfficientuudyn xamgiïn saïn (Gauss-Markowyn teoremiïn ut-gaar) ünälältiïg baïguulj bolj baïgaa bolowq, regressiïn täg²itgäld σ 2 gäsänöör näg parametr baïgaa bilää. Toocoologdoogüï üldsän sanamsargüï xüqin züï-liïn nölöö bolon ajiglaltyn (tur²iltyn) aldaag änäxüü parametr todorxoïlno. Regressiïn täg²itgäläär olson Yt –iïn utgyg Yt = a+bXt gäj tämdäglääd prog-nozyn utga (fitted value) gäj närlänä. Prognozyn ba tur²iltyn utgyn xoorondgarax zöröög regressiïn üldägdäl (et ) gäj närlääd Yt = Yt +et = a+bXt +et täg²it-gälääs olno . Regressiïn üldägdliïg Yt = a + b · Xt + εt zagwar dax´ regressiïnaldaataï anduuraxgüï baïxyg sanuul¶!. et üldägdäl εt aldaany adil sanamsargüïxämjigdäxüün baïx bögööd εt –ääs ¶lgaataï n´ ajiglagddagt or²ino. σ 2 –yn ünälält n´ et = Yt − a − bXt üldägdliïn kwadraataas xamaarna: e2 = t (Yt − a − bXt )2 = (Y + yt − a − bX − bxt )2 = (yt − bxt )2 = (bxt + εt − ε − bxt )2 = x2 (b − b)2 + 2(b − b) t xt (εt − ε) + (εt − ε)2 .Däärx niïlbäriïn mat.dundjiïg bodwol, E( e2 ) = (n − 2)σ 2 . Iïmd t 1 s2 = σ 2 = e2 t (2.13) n−2ünälält σ 2 –yn xazaïltgüï ünälält bolno. (2.10) ba (2.11) n´ σ 2 dispers mädägdäx üed a, b ünälältüüdiïn dispersiïg bo-dox tom³ëo µm. Gätäl praktikt aldaany dispers σ 2 mädägdäxgüï baïdag uqirajiglaltyn ögögdlöör, a, b koäfficientuudtaï xamt ünäläx ²aardlagataï boldog.Iïm uqraas a, b ünälältüüdiïn dispersiïg bodoxdoo (2.10), (2.11) tom³ëond σ 2 –ygs2 –aar sol´j praktik toocoog xiïdäg: s2 s2 V(b) = = x2t (Xt − X)2 2 Xt s2 Xt 2 V(a) = s2 = (2.14) n x2 t n (Xt − X)2 X 2 Xs2 Cov(a, b) = − s =− x2 t (Xt − X)2Regressiïn koäfficientuudyn ünälältiïn standart aldaag oloxod q ädgäär to-m³ëog a²iglana (sb = V(b)).Sanamj 2.4.1. Y –iïn X–ääs xamaarax xamaarlyg sudalj baïgaa bögööd ajiglal-tyn too n ögögdsön, xarin ajiglaltyn utguud X = (X1 , X2 , . . . , Xn )–iïg songoxbolomjtoï gäj sana¶. Tägwäl, öncgiïn koäfficient b–iïn ünälältiïn nariïwqlalxamgiïn ix baïxaar X–iïg xärxän songon awax wä? (2.14) tom³ëo ësoor b ünälältiïndispers V(b) n´ x2 niïlbär xiqnään ix baïx tutam töqnöön baga baïx n´ ilärxiï. tTägwäl Xt ögögdlüüdääs, dundaj utgynxaa orqind ilüü ix sarniltaïg n´ songowoltoxiromjtoï bolox n´ xaragdaj baïna.
  23. 23. 12 Xos regressiïn zagwarSanamj 2.4.2. (2.14) tom³ëonoos üzwäl sul gi²üün a bolon öncgiïn koäfficientb–iïn ünälältiïn xuw´d xäräw, X > 0 bol Cov(a, b) < 0 baïna. Üüniïg geometriïnüüdnääs awq üzwäl Y = a+bX ²uluuny grafik (X, Y ) cägiïg daïrax tul b–g ösöxöda–iïn xämjää bagasna (²uluun (X, Y ) cägiïg toïron cagiïn züüniï xödölgööniïäsräg ärgänä) gäsän üg µm (Zurag 2.6). Y (X, Y ) X Zurag 2.6:2.5 Regressiïn parametrüüdiïn ünälältiïn statistik qanar. b = b0 taamaglal ²algax. Regressiïn koäf- ficientuudyn itgäx zawsarε ∼ N (0, σ 2 In ) gäsän normal, ²ugaman regressiïn nöxcöl bielägdäj baïg. Ööröörxälbäl, ε n´ olon xämjääst xäwiïn tarxalttaï sanamsargüï xämjigdäxüün baïg.Änä toxioldold Yt mön xamtyn normal tarxalttaï baïna. Tägwäl, regressiïnkoäfficientuudyn XBKA–aar olson ünälältüüd (caa²id towqoor XBK-ünälältgänä) a, b n´ Yt –ääs ²ugaman uqraas mön xamtyn normal tarxalttaï baïna: 2 Xt 1 a∼N a, σ 2 , b∼N b, σ 2 (2.15) n x2 t n x2 tXäräw aldaa xäwiïn tarxalttaï gäsän taamaglal (nöxcöl) äs bielägdwäl (2.15)erönxiï toxioldold xüqingüï bolowq, Xt –iïn tölöw togtmol baïx (uslowi¶ regu-l¶rnosti ) zarim nöxcöld n–iïg ösöxöd a, b ünälältüüd x¶zgaartaa xäwiïn tarxal-ttaï baïna. Ööröör xälbäl, n → ∞ üed (2.15) bielnä.2.5.1 Aldaany dispersiïn ünälält s2 –yn tarxaltNormal ²ugaman regressiïn zagwaryn xuw´d, ööröör xälbäl, ε n´ olon xämjäästxäwiïn tarxalttaï sanamsargüï xämjigdäxüün baïx toxioldold (n − 2)s2 ∼ χ2 (n − 2) (2.16) σ2 σ2boloxyg xaruuldag. Ööröör xälbäl, s2 ∼ ·χ2 (n−2) buµu aldaany ünälältiïn n−2
  24. 24. 2.5 Regressiïn parametrüüdiïn ünälältiïn statistik qanar. b = b0 taamaglal²algax. Regressiïn koäfficientuudyn itgäx zawsar 13 σ2dispers s2 n´ ürjigdäxüüniï nariïwqlaltaïgaar (n − 2) qölööniï zäräg n−2büxiï xi-kwadrat (χ2 ) tarxalttaï baïna.Sanamj 2.5.1 (Qölööniï zäräg). Y1 , Y2 , . . . , Yn , Yn+1 , . . . , Yk sanamsargüï xämjigdä-xüünüüd dotor n n´ xos xosooroo xamaaralgüï, üldsän (n − k) n´ ¶mar näg ²uga- kman xolbootoï (²ugaman xamaaraltaï) bol Yi2 –kwadratuudyn niïlbäriïg n i=1qölööniï zärägtäï gänä. Ji²äälbäl, sanamsargüï xämjigdäxüün däär ajiglaltxiïj X1 , X2 , . . . , Xn utguudyg gargan awsan gäwäl Yi = Xi − X xazaïltuudyn nxuw´d Yi2 niïlbär n´ (n − 1) qölööniï zärägtäï baïna. Uqir n´ Yi = Xi − X i=1xämjigdäxüünüüdiïn xoorond X = (X1 + X2 + . . . + Xn )/n gäsän xolboo or²ino! n( Yi = 0).i=1 Xäräw däärx kwadratuudyn niïlbäriïg qölööniï zärägt n´ xuwaawal garsanxämjigdäxüün n´ σ 2 dispersiïn xazaïltgüï ünälält baïna: n (Xi − X)2 n i=1 1 = (Xi − X)2 = s2 . n−1 n−1 i=1Sanamj 2.5.2 (χ2 (n) tarxalt). ε1 , . . . , εn –ül xamaarax, standart xäwiïn tarxalt- ntaï sanamsargüï xämjigdäxüünüüd bol (∀i (i = 1, n), εi ∼ N (0, 1)) χ2 (n) = ε2 – i i=1xämjigdäxüüniïg n qölööniï zäräg büxiï xi-kwadrat tarxalttaï gänä (Eχ2 (n) =n, Vχ2 (n) = 2n).2.5.2 a, b, s2 –ünälältüüdiïn ül xamaarax qanarAldaany dispersiïn ünälält s2 n´ regressiïn üldägdäl et –ääs xamaarsan funkcuqir s2 ba (a, b)–g xamaaralgüï gäj batlaxyn tuld et ba (a, b)–g xamaaralgüïgäj batlaxad xangalttaï. Normal ²ugaman regressiïn zagwaryn nöxcöld ∀ txuw´d Cov(et , b) = 0, Cov(et , a) = 0 boloxyg x¶lbarxan batalj bolno. Änä n´ etba b, et ba a xämjigdäxüünüüd korrel¶c xamaaralgüï gäsän üg. Tägwäl “ xäwiïntarxalttaï sanamsargüï xämjigdäxüünüüd korrel¶c xamaaralgüï bol statistikxamaaralgüï” gäsän ür düng a²iglawal et ba b, et ba a, mön a ba b statistikxamaaralgüï. Iïnxüü XBK-ünälältüüd bolox a, b, s2 n´ xos xosooroo statistikxamaaralgüï xämjigdäxüünüüd baïna.2.5.3 H0 : b = b0 taamaglal ²algax(2.15)–aas b − b ∼ N (0, σ 2 ). Üünd, σ 2 = V(b) = σ 2 / x2 . Xäräw b xämjigdäxüüniïg t b b b−bnormqilbol N (0, 1) tarxalttaï bolno: ∼ N (0, 1). σ2 b s2 1 s 1(2.16)–aas 2 ∼ χ2 (n − 2) buµu ∼ χ2 (n − 2). σ n−2 σ n−2
  25. 25. 14 Xos regressiïn zagwar b−b sXäräw 2 ba σ xämjigdäxüüniï noogdworyg awq üzwäl (n − 2) qölööniï zäräg σ bbüxiï St´µdentiïn tarxalttaï sanamsargüï xämjigdäxüün baïna: b − b/σ 2 b t= ∼ t(n − 2). s/σσb s σ σ = b buµu = b boloxyg toocwolσ s s sb b−b t= ∼ t(n − 2). (2.17) sbDäärxiïn adilaar a−a t= ∼ t(n − 2). (2.18) saIïnxüü aldaa xäwiïn tarxalttaï toxioldold regressiïn ²uluuny normqlogdsonXBK-ünälältüüd St´µdentiïn tarxalttaï baïx n´. Xarin xt –iïn tölöw togt-mol baïx zarim toxioldold aldaag xäwiïn tarxalttaï gäj ²aardaxgüïgäär (2.17),(2.18) xämjigdäxüün bür x¶zgaartaa xäwiïn tarxalttaï baïdag boloxyg tämdägläe. H0 : b = b0 taamaglalyg H1 : b = b0 örsöldögq taamaglalyn nöxcöld ²algaxüed däärx (2.17), (2.18) statistikiïg a²iglana. (n − 2) qölööniï zäräg büxiït-tarxaltyn, tuxaïlbal 95%-iïn kwantil tc bol H0 taamaglal ünän baïxyn tuld b − b0 P −tc < < tc = 0.95 sbnöxcöl bielnä. Xäräw |t| > tc bol 5%-iïn itgäx tüw²intäïgäär H0 taamaglalygügüïsgänä (H1 taamaglalyg xülään awna). Äsräg toxioldold H0 taamaglalygxülään zöw²öörnö. P {|(b − b)/sb | < tc } = 0.95 täncätgäliïg P {b − tc sb < b < b + tc sb } = 0.95xälbärt biqwäl [b − tc sb , b + tc sb ] n´ b–iïn 95%–iïn itgäx zawsar bolno. It-gäx zawsar b parametriïn jinxänä utgyg ögögdsön itgäx magadlaltaïgaar xuqna(manaï toxioldold p = 0.95). H0 : b = 0 taamaglalyn üed t = b/sb bolox tul t-statistik ilüü x¶lbarbolno. Regressiïn ²injilgää xiïx komp´µteriïn bagc programmuudad änä utgygixäwqlän oruulsan baïdag. |t| > tc nöxcöl bielägdwäl (5%–iïn itgäx tüw²niïxuw´d tc ≈ 2) regressiïn koäfficient tägääs ¶lgaataï gäsän dügnält garax baulmaar X n´ Y –d ¶mar näg statistik nölöö üzüüläxiïg ilärxiïlnä. Xarin t-statistikiïn baga utguud n´ taïlbarlagq xuw´sagq X ba xamaaran xuw´sagq Y –iïn xoorond mädägdäxüïc statistik xolboo baïxgüï boloxyg ilärxiïlnä.
  26. 26. 2.6 Regress dax´ xamaaran xuw´sagqiïn wariaciïn ²injilgää. Determinaciïnkoäfficient 152.6 Regress dax´ xamaaran xuw´sagqiïn wariaciïn ²in- jilgää. Determinaciïn koäfficientYt utguud dundaj utgaasaa xazaïx xazaïltyn kwadratyn niïlbär bolox (Yt −Y )2–wariaciïg awq üz´e. Wariaciïg, regressiïn täg²itgäläär taïlbarlagdax, ültaïlbarlagdax (ööröör xälbäl: εt aldaataï xolbootoï) gäsän xoër xäsägt xuwaa¶. Yt –iïn prognozyn utgyg Yt = a + bXt gäwäl Yt − Y = (Yt − Yt ) + (Yt − Y ) (Zurag2.7). Tägwäl, Yt –iïn wariac daraax 3 niïlbärääs togtono: Yt Yt − Yt Yt Yt − Y Yt − Y Y Xt Zurag 2.7: (Yt − Y )2 = (Yt − Yt )2 + (Yt − Y )2 + 2 (Yt − Yt )(Yt − Y ) (2.19)y−y = e–regressiïn üldägdliïn wektor ı togtmol ba x wektort ortogonal´ uqraasdäärx niïlbäriïn 3–r nämägdäxüün tägtäï täncüü. Iïmd (Yt − Y )2 = (Yt − Yt )2 + (Yt − Y )2 . (2.20) TSS ESS RSSÜünd, TSS–niït dispers (total sum of squares), ESS–regressäär ül taïlbarlagdax dispers (error sum of squares), RSS–regressäär taïlbarlagdax dispers (regression sum of squares).Sanamj 2.6.1. Togtmol wektoryg taïlbarlagq parametriïn toond oruulsan nöx-cöld l üldägdliïn wektor togtmol wektort ⊥ baïna (ı e = et = 0). Iïm uqraaszöwxön, togtmol wektoryg ül xamaarax xuw´sagqtaï nägtgäsän toxioldold (2.20)tom³ëo xüqintäï baïna.2.6.1 Determinaciïn koäfficient–R2Todorxoïlolt 2.6.1. ESS RSS R2 = 1 − = (2.21) TSS TSSxämjigdäxüüniïg determinaciïn koäfficient buµu dispersäär taïlbarlagdaxxuw´ gänä.
  27. 27. 16 Xos regressiïn zagwar (2.21) tom³ëony 2–r täncätgäl zöwxön, togtmolyg regressiïn xuw´sagqid oruul-san toxioldold bielägdäxiïg tämdägläe. Determinaciïn koäfficientiïn todorxoïloltoos 0 ≤ R2 ≤ 1. Xäräw R2 = 0bol regressiïn täg²itgäl, Yt = Y gäsän ilärxiï züïlääs öör µug q äs ögnö. XarinR2 = 1 bol regressiïn täg²itgäläär büx züïl taïlbarlagdana: ajiglaltyn büxcägüüd regressiïn ²uluun däär or²ix ba büx et = 0. Iïmd R2 –yn utga 1–d xiqnäänoïr baïx tutam regress bodit baïdlyg nariïn dürslänä. Änä n´ geometr utgaaraa,y wektor y wektort ilüü nariïn döxnö gäsän üg µm. Regressiïn qanaryg ünäläxädR2 koäfficientiïg xärxän a²iglax tuxaï daraagiïn Büläg 3–t dälgärüülj awqüzäx bolno.2.6.2 R2 koäfficientiïn geometr taïlbar(2.2)–d awq üzsän, regressiïn geometr taïlbartaa ärgäj or³ë. Y ı wektor n´ ywektoryn ı däärx ortogonal´ proekc bolno. Xarin y wektor y wektoryn (ı, x)xawtgaï däärx ortogonal´ proekc baïna (Zurag 2.8). Gurwan perpendikul¶rynteorem ësoor y wektoryn ı däärx ortogonal´ proekc n´ Y ı wektortoï dawxcana.Tägwäl, (2.20) täncätgäl n´ y − Y ı, y − Y ı, e taluudtaï täg² öncögt gurwaljnyxuw´ dax´ Pifagoryn teorem µm. Ööröör xälbäl, y − Y ı 2 = e 2 + y − Y ı 2 .Iïm uqraas R2 = RSS/TSS = cos2 ϕ, Üünd, ϕ − (y − Y ı) ba (y − Y ı) wektoruudyn y e=y−y y−Yı x y y−Yı Yı ı Zurag 2.8:xoorondox öncög.Sanamj 2.6.2. R2 n´ Yt , Yt xuw´sagqdyn xoorondox tüüwriïn korrel¶ciïn koäf-ficientiïn kwadrattaï täncüü.2.6.3 F -statistik (Fi²eriïn ²injüür)Daxin, normal ²ugaman regressmïn zagwar aw³¶. (2.15), (2.16) tom³ëonoos: b−b b−b = ∼ N (0, 1); sb σ/ x2 t (n − 2)s2 e2t 2 = 2 ∼ χ2 (n − 2). σ σ
  28. 28. 2.7 Regressiïn koäfficientiïn xamgiïn ix ünäniïxuw´ büxiï ünälält 17s2 , b–g xamaaralgüï gäj däär batalsan tul χ2 bolon Fi²eriïn tarxaltyn todor-xoïlolt ësoor: 2 b−b 1 1 σb 1 (b − b)2 x2 χ(1)2 F = = t ∼ 1 = F (1, n − 2) (2.22) e2 1 e2 /(n − 2) 1 t t χ2 (n − 2) σ2 n−2 n−2Gargan awsan F -statistikiïg H0 : b − b0 = 0 gäsän täg taamaglal ²algaxada²iglana. Änä taamaglalyn üed (2.22) statistik daraax xälbärtäï bolno. (b − b0 )2 x2t F = 2 /(n − 2) ∼ F (1, n − 2) (2.23) etXäräw täg taamaglal ünän bol (2.23)–yn F utga baga baïna. Xäräw F utga, ögögdsönitgäx tüw²in α–iïn xuw´d (1, n − 2) parametrüüd büxiï Fi²eriïn tarxaltynkritik utga Fα (1, n − 2)–aas ix baïwal täg taamaglalyg xärägsäxgüï. (2.23) statistik H0 : b = 0 taamaglalyn xuw´d x¶lbarqlagdana (X, Y –iïnxoorond ²ugaman funkcional xolboogüï toxioldol). Änä toxioldold (2.23) to-m³ëog wektor xälbäräär biqwäl daraax xälbärtäï bolno. y∗y∗ F = (yt )2 = y ∗ y ∗ . (2.24) e e/(n − 2) Determinaciïn koäfficientiïg xazaïltaar ilärxiïlän biqwäl y∗y∗ y∗y∗ R2 = = . (2.25) y∗y∗ e e + y∗y∗(2.24), (2.25)–aas F -statistik ba R2 koäfficientiïn xolboog ilärxiïlbäl R2 RSS F = (n − 2) 2 = (n − 2) (2.26) 1−R ESSF –iïn baga utguudad R2 –yn baga utga xargalzana.Sanamj 2.6.3. (2.17) ba (2.23)–g xar´cuulbal F = t2 boloxyg xarj bolno. Ööröörxälbäl, t ba F statistikiïg a²iglan H0 taamaglalyg ²algaxad näg xämjäästregressiïn zagwaryn xuw´d adil ür dün ögnö.2.7 Regressiïn koäfficientiïn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälältXBKA–aas gadna, ²ugaman regresiïn parametrüüdiïg ünäläx öör arga n´ xamgiïnix ünäniï xuw´ büxiï arga µm (Method of Maximum Likelihood ML). Änä argyntuxaï xojim XI bülägt awq üzäx bögööd änä xäsägt zöwxön xos regressiïn xuw´dxärxän xärägläx talaar durd³¶.
  29. 29. 18 Xos regressiïn zagwar Normal ²ugaman regressiïn Yt = a + bXt + εt (2.27)zagwaryn parametrüüdiïg olox zorilgo taw´¶. Regressiïn büx εt aldaa xamaaral-güï bögööd xäwiïn tarxalttaï gäe: εt ∼ N (0, σ 2 ). (2.28)Äkwiwalent xälbäräär biqwäl Yt ∼ N (a + bXt , σ 2 ). Tur²iltyn (Xt , Yt ), t = 1, 2, . . . , n utguudyn xuw´d “(2.27)÷(2.28) zagwaryna, b, σ 2 parametrüüdiïn xamgiïn ix magadlaltaï utguud xäd wä?” gäsän asuul-tand xariulax zorilgo taw´¶. Üüniï tuld, ajiglalt büriïn magadlalyn n¶gtuu-dyn ürjwärtäï täncüü, “ xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï” gäj närlägdäx daraaxfunkciïg zoxioë: n L(Y1 , . . . , Yn , a, b, σ 2 ) = P (Y1 , . . . , Yn |X1 , . . . , Xn , a, b, σ 2 ) = P (Yt ) t=1 1 = (2π)−n/2 (σ 2 )−n/2 exp − (Yt − a − bXt )2 . (2.29) 2σ 2Üünd, P − n´ Xt , Yt bolon a, b, σ 2 parametrüüdääs xamaarsan magadlalyn n¶gt.Parametrüüdiïn xamgiïn ix magadlaltaï utgyg olno gädäg n´, L funkciïg mak-simumd n´ xürgäx utguudyg olno gäsän üg. L ba ln L funkc ijilxän cägüüd däärmaksimum utgaa awax uqraas ln L funkciïn maksimumyg oloxod xangalttaï. n n 1 ln L(Y1 , . . . , Yn , a, b, σ 2 ) = − ln(2π) − ln(σ 2 ) − 2 (Yt − a − bXt )2 . (2.30) 2 2 2σln L funkciïn äkstremum or²ix zaïl²güï nöxcliïg biqwäl: ∂ ln L 1 = 2 (Yt − a − bXt ) = 0 (2.31) ∂a σ ∂ ln L 1 = 2 Xt (Yt − a − bXt ) = 0 (2.32) ∂b σ ∂ ln L n 1 1 =− + Xt (Yt − a − bXt )2 = 0 (2.33) ∂σ 2 2 σ 2 2σ 4(2.31)÷(2.33) täg²itgäliïn sisitemiïn ²iïd n´ xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiïMLünälältüüd bolno: xt yt 2 1 bML = ; aML = Y − bML X; σML = e2 . t (2.34) x2 t na, b parametrüüdiïn xamgiïn ix ünäniï xuw´ büxiï ünälältüüd XBKA–aar olsonünälältüüdtäï dawcana: aML = aOLS , bML = bOLS . Xarin σ 2 –yn xamgiïn ix 2ünäniï xuw´ büxiï ünälält n´ σOLS = e2 /(n − 2)–toï dawxcaxgüï baïna. Uqir t 2 –xazaïlttaï. Iïnxüü σ 2 = n−2 2n´, σML ML · σOLS n´ xazaïlttaï bolowq zoximjtoï nünälält bolno.
  30. 30. 2.8 Batatgax dasgal, bodlogo 19 Ji²ää. Örxiïn orlogo. OXU–yn Statistikiïn Ulsyn Xoroo, Sociolo-giïn xüräälän, Xünsniï xüräälängüüd ANU–yn Xoïd Karoliny Ix Surguul´taïxamtran 1995 ony namar OXU–yn 3594 örxöd sudalgaa xiïjää. Änä ür dünga²iglan örxiïn orlogo, zardlyn xamaarlyg togtoox zorilgoor daraax regressiïntäg²itgäliïg gargan awqää. Inc–örxiïn bodit orlogo, Expend –örxiïn bodit zardal. Expend = 4663.3 + 0.686 Inc , R2 = 0.21, s = 11307. (233.6) (0.0223)Xaaltand regressiïn koäfficientuudyn standart aldaag tämdägläw. Koäfficien-tuudyn t-statistikiïn (t-²injüüriïn) utga xargalzan 19.36 ba 30.81. Ööröörxälbäl, koäfficientuud tägääs mädägdäxüïc ¶lgagdaj buï uqir nölöötäï. Gäwqdeterminaciïn koäfficient R2 –yn utga baga baïna. Änä n´, örxiïn gi²üüdiïnbüräldäxüün, or²in suugaa gazar, zardlyn bütäc öör öör baïgaagaar, ööröör xäl-bäl ögögdlüüd nägän törliïn bi² baïsnaar taïlbarlagdana. Xarin ilüü nägäntörliïn tüüwriïn xuw´d determinaciïn koäfficient ixsäj bolox µm. Tuxaïl-bal, zöwxön 1 am bültäï 509 örxiïn xuw´d regressiïn täg²itgäl: Expend = 3229.2 + 0.355 Inc , R2 = 0.39, s = 4567. (182.0) (0.0162)t-statistikiïn utguud 17.74 ba 20.70 garsan tul ömnöxiïn adilaar koäfficien-tuud nölöötäï. Xarin R2 koäfficient 0.21–ääs 0.39 xürtäl ösöj, aldaany stan-dart xazaïlt 11307–oos 4567 xürtäl buursan tul bidniï xüssän ësoor regressiïntaïlbarlax qadwar össön. Üüniïg, 1 am bültäï örxiïn xuw´d xüüxäd, xög²id gäxmät öör gi²üünd zardal gardaggüï uqraas orlogynxoo bagaxan xäsgiïg xünsniïxärägcäänd zarcuuldgaar taïlbarlaj bolno.∂Expend/∂Inc n´ xäräglääniï xälbiïltiïg todorxoïlox bögööd 1 am bültäï örxiïnxuw´d 0.355, niït tüüwriïn xuw´d 0.686 garsan. N f –äär örxiïn am büliïn toog tämdägläe. n = 3594 üed örxiïn 1 gi²üüniïdundaj orlogoos örxiïn 1 gi²üüniï dundaj zardal xamaarax regressiïg ünäl´e: Expend/N f = 2387.2 + 0.447 Inc /N f, R2 = 0.24, s = 4202. (76.8) (0.0133)Äxniï regressiïg bodwol R2 –yn utga ösöj, xarin aldaany dispers bagassan ürdün garq baïna.2.8 Batatgax dasgal, bodlogoBodlogo 2.1. (X, Y ) xämjigdäxüüniï 16 xos utgaar daraax ür düng gargan awqää. Y 2 = 526, X 2 = 657, XY = 492, Y = 64, X = 96.Yt = α + βXt + ε regressiïg ünälj, H0 : β = 1.0 taamaglalyg ²alga.Bodolt. 1) Regressiïn parametriïn ünälältüüd (2.4), (2.5) tom³ëo ësoor n Xt Yt − ( Xt )( Yt ) 16 · 492 − 96 · 64 4 β= 2−( 2 = 2 = = 1.33, n Xt Xt ) 16 · 657 − 96 3
  31. 31. 20 Xos regressiïn zagwar 1 1 64 96 4 α= Yt − Xt · β = Y − X · β = − · = −4. n n 16 16 3Üldägdlüüdiïn kwadratyn niïlbäriïg bodwol: e2 = t (Yt − (α + βXt ))2 = Yt2 − 2Yt (α + βXt ) + (α + βXt )2 = Yt2 − 2α Yt − 2β Yt Xt + nα2 + 2αβ Xt + β 2 2 Xt = 126.Aldaany dispersiïn ünälält (2.13) tom³ëo ësoor: 1 126 σ 2 = s2 = e2 = t = 9. n−2 14 2) β–iïn dispersiïn ünälält s2 s2 9 1 s2 = = = = tul β x2t (Xt − X)2 657 − 96 2 /16 9H0 taamaglalyg ²algaxyn tuld (2.17) statistikiïg a²iglana. β − β0 4/3 − 1 t= = = 1. sβ 1/3t-statistikiïn 95%–iïn kritik utga n´ 2.145 uqraas (|t| = 1 < tk = 2.145) H0 :β = 1.0 taamaglal 5%–iïn itgäx tüw²niï xuw´d n¶caagdaxgüï.Bodlogo 2.2. β n´ Y –iïn X däärx regressiïn ²uluuny öncgiïn koäfficient,γ n´ X–iïn Y däärx regressiïn öncgiïn koäfficient bol R2 = 1 baïx zaïl²güïbögööd xürälcäätäï nöxcöl n´ β = 1/γ boloxyg üzüül.Bodolt. Xazaïltaar ilärxiïlsän täg²itgäl (2.7)–g a²iglawal x¶lbar bolno: xt yt xt yt ( xt yt )2 β= , γ= ⇒ βγ = 2. x2t yt2 x 2 yt tyt = Yt − Y = α + βXt − α − βX = βxt tul (2.25) ësoor: 2 y y β 2 x2 xt yt x2 ( xt yt )2 R = ∗ ∗ = 2 t 2 = t = 2. y∗y∗ yt x2t 2 yt x 2 yt tÄndääs R2 = βγ. Iïmd, R2 = 1 nöxcöl n´ β = 1/γ nöxcöltäï äkwiwalent µm.Änäxüü ür dün n´ geometr utgaaraa, xargalzax regressiïn ²uluuny öncgiïn koäf-ficientuudyn ürjwär zöwxön, y wektor n´ nägj ba x wektoroor baïguulsan xawt-gaï däär or²ix üed 1–täï täncüü baïxyg ilärxiïlnä. Ööröör xälbäl, ajiglaltyn(tur²iltyn) büx cägüüd regressiïn ²uluun däär or²ino gäsän üg.Bodlogo 2.3. Yt = α + βXt + εt regressiïn xamaaran xuw´sagq n´ 2 nämägdäxüündzadarsan baïg: Yt = Y1t + Y2t . Nämägdäxüün büriïn xuw´d daraax 2 regressiïg awqüz´e: Y1t = α1 + β1 Xt + ε1t , Y2t = α2 + β2 Xt + ε2t . Ädgäär 3 regressiïn XBK-ünälältiïn xuw´d daraax xar´caa bieläxiïg üzüül: α = α1 + α2 , β = β1 + β2 .
  32. 32. 2.8 Batatgax dasgal, bodlogo 21Bodolt. ’ugaman regressiïn koäfficientuudyg olox tom³ëond Yt –iïn zadar-gaag orluulbal: n Xt (Y1t + Y2t ) − ( Xt ) ( (Y1t + Y2t )) β= 2 n Xt − ( Xt )2 n Xt Y1t − ( Xt ) ( Y1t ) n Xt Y2t − ( Xt ) ( Y2t ) = 2 + 2 = β1 + β2 . n Xt − ( Xt )2 n Xt − ( Xt )2 1 1 α= (Y1t + Y2t ) − Xt (β1 + β2 ) n n 1 1 1 1 = Y1t − Xt β1 + Y2t − Xt β2 = α1 + α2 . n n n nBodlogo 2.4. Tüüwriïn X 5 11 15 17 20 22 25 27 30 35 Y 70 65 55 60 50 35 40 30 25 32ögögdlöör daraax xämjigdäxüünüüdiïg ol. a) Yt –iïn Xt däärx, sul gi²üün büxiï regressiïn determinaciïn koäfficient; b) Yt –iïn Xt däärx sul gi²üüngüï regressiïn determinaciïn koäfficient; w) yt –iïn xt däärx, sul gi²üün büxiï regressiïn determinaciïn koäfficient,Üünd yt , xt n´ Yt ba Xt –iïn dundjaasaa xazaïx xazaïltuud; g) yt –iïn xt däärx, sul gi²üüngüï regressiïn determinaciïn koäfficient.Bodolt. a) Yt –iïn Xt däärx, sul gi²üün büxiï regressiïn täg²itgäl Yy = α +βXt + εt xälbärtäï. (2.4), (2.5) tom³ëo ësoor β, α ünälältüüdiïg olbol: n Xt Yt − ( Xt )( Yt ) 10 · 8360 − 207 · 462 b= 2−( = ≈ −1.63, n Xt Xt )2 10 · 5023 − 2072 a = Y − X · b = 46.2 − 20.7 · (−1.63) = 79.95.Iïmd, Yt = 79.95 − 1.63Xt . Determinaciïn koäfficientiïg bodwol RSS (Yt − Y )2 1962.0 R2 = = = = 0.8607. TSS (Yt − Y )2 2279.6 b) Yt –iïn Xt däärx, sul gi²üüngüï regressiïn täg²itgäl Yy = βXt + εt xäl-bärtäï bögööd β ünälält daraax tom³ëogoor oldono. Yt Xt 8360 β= 2 = 5023 = 1.66. XtSul gi²üüngüï regressiïn xuw´d TSS = ESS+RSS täncätgäl bielägdäxgüï uqraasdeterminaciïn koäfficientiïg zöwöör todorxoïlox bolomjgüï. Tuxaïlbal, manaïtoxioldold R2 –yg daraax 2 argaar olox bolomjtoï. 2 RSS 3424.7 R(1) = = = 1.50, TSS 2279.6 2 ESS 9710.1 R(2) =1− =1− = −3.26. TSS 2279.6
  33. 33. 22 Xos regressiïn zagwarÄnä toxioldold R2 –yn utga (0; 1) interwald xar´¶alagdax albagüï baïna! w), g) yt –iïn xt däärx regressiïn täg²itgäl a) xäsägt awq üzsäntäï adil. Uqirn´, ädgäär 3 toxioldold cägüüdiïn xarilcan baïr²il bolon regressiïn ²uluu-nuud dawxcana. Iïnxüü R2 = 0.8607. w) toxioldold regressiïn ²uluun koordi-natyn äxiïg daïrax uqraas w), g) toxioldluud dawxcana.Bodlogo 2.5. Togtmol regressiïn daraax zagwaryg awq üz´e: Yt = α + εt , t = 1, 2, . . . , n. a) α, σ 2 –parametrüüdiïn XBK-ünälältiïg ol. b) α ünälältiïn dispersiïg ol. α−α w) statistik t(n − 1) tarxalttaï boloxyg üzüül. sα g) determinaciïn koäfficient R2 xädtäï täncüü wä?Bodolt. a) Bodlogo, üldägdlüüdiïn kwadratyn niïlbäriïn minimumyg oloxasuudald ²iljinä: F (α) = (Yt − α)2 −→ min .Äkstremumyn zaïl²güï nöxcöl ësoor ∂ (Yt − α)2 = 0 buµu (Yt − α) = 0. ∂αÄnä täg²itgäliïg bodoj, α–iïn XBK-ünälältiïg olbol: 1 α= Yt = Y . nσ 2 –yn ünälältiïg oloxyn tuld üldägdlüüdiïn kwadratyn niïlbäriïg awq üz´e: E (Yt − Y )2 = E (εt − ε)2 = E (ε2 + ε2 − 2εt ε) t =E ε2 + nε2 − 2 t εt ε = E ε2 + nε2 − 2nε2 t σ2 =E ε2 − nε2 = nσ 2 − n t = (n − 1)σ 2 . nÄndääs, 1 1 σ 2 = s2 = e2 = t (Yt − Y )2 n´ σ 2 –yn xazaïltgüï n−1 n−1ünälält bolox n´ xaragdana. 1 1 1 b) V(α) = V Yt = 2 nV(Yt ) = σ 2 . n n n w) Aldaa xäwiïn tarxalttaï baïx tuxaï (εt ∼ N (0, σ 2 )) nämält nöxcöl bielägdäjbaïg. Tägwäl α ünälält mön xäwiïn tarxalttaï baïna: α ∼ N (0, σ 2 /n). (2.17)tom³ëony gargalgaany adilaar √ (Y − α) n ∼ t(n − 1). 1 n−1 (Yt − Y )2
  34. 34. 2.8 Batatgax dasgal, bodlogo 23V(α) = s2 = s2 /n uqir α √ (Y − α) n (Y − α) α−α = √ = ∼ t(n − 1). 1 (Yt − Y )2 s/ n s2 α n−1 g) Determinaciïn koäfficientiïg (2.21) tom³ëogoor bodwol ESS (Yt − α)2 (Yt − Y )2 R2 = 1 − =1− =1− = 1 − 1 = 0. TSS (Yt − Y )2 (Yt − Y )2Bodlogo 2.6. Sul gi²üüngüï regressiïn zagwaryg awq üz´e Yt = βXt + εt , t = 1, 2, . . . , n. a) β, σ 2 –parametrüüdiïn XBK-ünälältiïg ol. b) β ünälältiïn dispersiïg ol. β−β w) statistik t(n − 1) tarxalttaï boloxyg üzüül. sβ g) R2 = RSS/TSS tom³ëogoor olson R2 –yn utga 1–ääs ix, R2 = 1 − (ESS/TSS)tom³ëogoor olson R2 –yn utga 0–ääs baga baïx ji²ää garga.Bodolt. a) Bodlogo, daraax funkciïn minimumyg olox asuudald ²iljinä: F (β) = (Yt − βXt )2 .Äkstremumyn zaïl²güï nöxcöl ësoor ∂ (Yt − βXt )2 = 0 buµu (Yt − βXt )Xt = 0. ∂βÄnä täg²itgäliïg bodoj, β–iïn XBK-ünälältiïg olbol: Xt Yt β= 2 . XtRegressiïn üldägdliïg ol³ë: Xs Ys et = Yt − βXt = Yt − Xt 2 . XsWektor xälbärt biqwäl 2 xx xx e= y− =I− y = Ay. xx xxA n´ idempotent matric boloxyg ²algaj bolno: 2 xx xx xx xx xx A2 = I− =I −2 + 2 =I− = A. xx xx (x x) xx
  35. 35. 24 Xos regressiïn zagwar xx xx x Ax = I− x=x− = x − x = 0 uqir A = A. xx xxIïmd, e = Ay = A(βx + ε) = βAx + Aε = Aε . Regressiïn üldägdlüüdiïn kwadratyn niïlbäriïn mat. dundjiïg bod³ë. E e2 = E(e e) = E(tr(e e)) = E(tr(ee )) = E(tr((Aε)(Aε) )) t = E(tr(Aεε A )) = tr(AE(εε )A ) = tr(AV(ε)A ) = σ 2 tr(AA ) = σ 2 tr(A2 ) = σ 2 tr(A) xx 1 = σ 2 tr In − = σ 2 trIn − tr(xx ) xx xx 1 = σ2 n − tr(xx ) = σ 2 (n − 1). xx 1Ändääs σ 2 = s2 = e2 n´ xazaïltgüï ünälält bolox n´ xaragdaj baïna. t n−1 b) β ünälältiïn dispersiïg bod³ë. xy 1 1 V(β) = V = V(x y) = x V(y)x xx (x x)2 (x x)2 xx σ2 σ2 = σ2 = = 2. (x x)2 xx Xt w) Aldaag xäwiïn tarxalttaï gäe: ε ∼ N (0, σ 2 In ). A matric idempotentboloxyg toocwol: 1 1 1 ε ε e2 = t e e = 2 e Ae = A ∼ χ2 (rank(A)). σ2 σ 2 σ σ σa) xäsägt rank(A) = tr(A) = n − 1 gäj batalsan tul s2 1 (n − 1) 2 = 2 e2 ∼ χ2 (n − 1). t σ σβ ünälält xäwiïn tarxalttaï: σ2 σ2 β∼N β, 2 äswäl β − β ∼ N 0, 2 . Xt XtIïmd bidniï sonirxson statistik daraax xälbärtäï bolno: β−β β−β (β − β)/(σ/ 2 Xt ) N (0, 1) = = ∼ . sβ s/ 2 Xt s/σ 1 2 n−1 χ (n − 1)Änä statistik (n − 1) qölööniï zäräg büxiï St´µdentiïn tarxalttaï (t(n − 1))boloxyg batlaxyn tuld xürtwär xuwaar´ xoëryg xamaaralgüï gäj batlax üldlää.

×