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Un ejemplo de número trascendente esOperaciones con números realesCon números reales pueden realizarse todo tipo de operac...
En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado deque el campo subyacente es el campo de los núm...
que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamenteequivalentes. Algunos de estos son:      (Cauchy) El con...
Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpoordenado. El último axioma es el que distingue d...
probar que la suma de los primeros números naturales es                 podemos hacerlo por inducción en la forma siguient...
Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento paraencontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes,q...
Encontrar la factorización de números grandes es un problema con        elevada complejidad computacional, de hecho no hay...
El siguiente cuadro es ilustrativo:Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.A cada punto de ...
Número complejoIlustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje decoordenadas horizontal y los i...
Números EnterosZ = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar soluc...
manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó asu lenta introducción en las matemáticas.El al...
– 14 + 34 =       20Resta en ZPara restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo(uno después del ot...
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Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa porN:N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero...
Los resultados coinciden, es decir,(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)2.-ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se c...
a·b=b·aPor ejemplo:5 · 8 = 8 · 5 = 403.-Elemento neutroEl 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera ...
Propiedades de la Division de Numeros NaturalesLa división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero d...
conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puederepresentarse por más de una fracción por ejemplo:Para pode...
Se define la suma      Se define la multiplicaciónRelaciones de equivalencia y orden en Q      Se define la equivalencia  ...
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Veronica trejo carbajal

  1. 1. VERONICA TREJO CARBAJALNúmeros realesEn matemáticas, los numeros reales(designados por ) incluyen tanto a losnúmeros racionales(positivos, negativos y el cero) como a los númerosirracionales (trascendentes y algebraicos), que no se pueden expresar demanera fraccionaria y tienen infinitas cifras decimales no periódicas, talescomo: .Los números reales pueden ser descritos y construidos de varias formas,algunas simples aunque carentes del rigor necesario para los propósitosformales de matemáticas y otras más complejas pero con el rigor necesariopara el trabajo matemático formal.Tipos de números realesUn número real puede ser un numero racional o un numero irracional. Losnúmeros racionales son aquellos que pueden expresarse como el cociente dedos números enteros, tal como 3/4, -21/3, 5, 0, 1/2, mientras que losirracionales son todos los demás. Los números racionales también puedendescribirse como aquellos cuya representación decimal es eventualmenteperiódica, mientras que los irracionales tienen una expansión decimalaperiódica:Ejemplos: 1/4 = 0,250000... Es un número racional puesto que es periódico a partir del tercer número decimal. 5/7 = 0,7142857142857142857.... Es racional y tiene un período de longitud 6 (repite 714285). Es irracional y su expansión decimal es aperiódica.Otra forma de clasificar los números reales es en algebraicos y trascendentes.Un número es algebraico si existe un polinomio de coeficientes racionales quelo tiene por raíz y es trascendente en caso contrario. Por lo tanto, todos losnúmeros racionales son algebraicos: si es un número racional, con p entero yq natural, entonces es raíz del de la ecuación qx=p. Sin embargo, no todos losnúmeros algebraicos son racionales.Ejemplos El número es algebraico puesto que es la raíz del polinomio
  2. 2. Un ejemplo de número trascendente esOperaciones con números realesCon números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas condos excepciones importantes: 1. No existen raices de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) de números negativos en números reales, (aunque sí existen en el conjunto de los numeros complejos donde dichas operaciones sí están definidas). 2. La división entre cero no está definida (pues cero no posee inverso multiplicativo, es decir, no existe número x tal que 0·x=1).Estas dos restricciones tienen repercusiones en otras áreas de las matemáticascomo el cálculo: existen asíntotasverticales en los lugares donde eldenominador de una función racional tiende a cero, es decir, en aquellosvalores de la variable en los que se presentaría una división entre cero, o noexiste gráfica real en aquellos valores de la variable en que resulten númerosnegativos para raíces de orden par, por mencionar un ejemplo de construcciónde gráficas en geometría analítica.NotaciónLos números reales se expresan con fracciones decimales que tienen unasecuencia infinita de dígitos a la derecha de la coma decimal, como porejemplo 324,8232. Frecuentemente también se subrepresentan con tres puntosconsecutivos al final (324,823211247…), lo que significaría que aún faltan másdígitos decimales, pero que se consideran sin importancia.Se dice que un número real es recursivo si sus dígitos se pueden expresar porun algoritmo recursivo. Un número no-recursivo es aquél que es imposible deespecificar explícitamente. Aun así, la escuela rusa de constructivismo suponeque todos los números reales son recursivos.Los ordenadores sólo pueden aproximarse a los números reales por númerosracionales; de todas maneras, algunos programas de ordenador pueden tratarun número real de manera exacta usando su definición algebraica (por ejemplo," ") en vez de su respectiva aproximación decimal.Los matemáticos usan el símbolo (o, de otra forma, .la letra "R" en negrita)para representar el conjunto de todos los números reales.La notación matemática se refiere a un espacio de dimensiones de losnúmeros reales; por ejemplo, un valor consiste de tres números reales ydetermina un lugar en un espacio de tres dimensiones.
  3. 3. En matemática, la palabra "real" se usa como adjetivo, con el significado deque el campo subyacente es el campo de los números reales. Por ejemplo,matriz real, polinomio real, y Álgebra de Lie real.Construcciones de los números realesCaracterización axiomáticaArtículo principal: Axiomas de los números reales.Existen diferentes formas de construir el conjunto de los números reales a partirde axiomas, siendo la caracterización más común mediante las siguientes trespropiedades:Un conjunto es el conjunto de los números reales si satisface lassiguientes tres condiciones: 1. es un campo. 2. es un conjunto totalmente ordenado y el orden es compatible con las operaciones del campo: Si entonces ; Si y entonces . 3. El conjunto K es completo: satisface el axioma del supremo: Todo conjunto no vacío y acotado superiormente tiene un supremo.Las primeras dos condiciones definen el concepto de campo ordenado,mientras que la tercera propiedad es de naturaleza topológica y es la quediferencia al conjunto de los números reales de todos los demás camposordenados. Hay que hacer notar que, en principio pueden existir diferentesconjuntos que satisfagan las mismas condiciones y que podrían ser diferentesal conjunto de los números reales, pero un teorema establece que si esosucediera, ambas estructuras serían esencialmente la misma. Cualquier campo ordenado que cumpla las tres propiedades mencionadas esisoformoal conjunto de los números reales.En vista de lo anterior podemos hablar del conjunto de los números reales (y node un conjunto de números reales) y estableciendo su unicidad se puede usarel símbolo para representarlo.Al enunciar la tercera propiedad en ocasiones se especifica que es completoen el sentido de Dedekind, pues existen otros axiomas que se pueden usar y
  4. 4. que, asumiendo las primeras dos condiciones, todos son lógicamenteequivalentes. Algunos de estos son: (Cauchy) El conjunto K cumple que cualquier sucesión de cauchyes convergente. (Bolzano-Weierstrass) El conjunto K cumple que cualquier sucesión acotada tiene una subsucesión convergente. Cualquier sucesión decreciente de intervalos cerrados tiene intersección no vacía.Cada una de las primeras dos propiedades mencionadas al inicio de la seccióncorresponden a su vez a otra serie de axiomas, de modo que si se hace undesglose, puede caracterizarse el conjunto de los números reales como unconjunto que satisfaga la siguiente lista de axiomas. 1. Si , entonces (Cerradura en la suma) 2. Si , entonces (Conmutatividad en la suma) 3. Si , entonces (Asociatividad en la suma) 4. Existe de manera que para todo (Neutro aditivo) 5. Para cada existe un elemento tal que (Inverso aditivo) 6. Si , entonces (Cerradura en la multiplicación) 7. Si , entonces (Conmutatividad en la multiplicación) 8. Si , entonces (Asociatividad en la multiplicación) 9. Existe de manera que para cualquier (Neutro multiplicativo) 10. Para cada existe un elemento tal que (Inverso multiplicativo) 11. Si , entonces (Distributividad de la multiplicación en la suma) 12. Si , entonces se cumple sólo una de estas: (Tricotomía) o o o 13. Si , y entonces (Transitividad) 14. Si y , entonces (Monotonía en la suma) 15. Si , y , entonces (Monotonía en la multiplicación) 16. Si es un conjunto no vacío acotado superiormente en , entonces tiene supremo en (Axioma del supremo)
  5. 5. Los axiomas del 1 al 15 corresponden a la estructura más general de cuerpoordenado. El último axioma es el que distingue de otros cuerpos ordenadoscomo ,.LOS NUMEROS NATURALESsurgen de la necesidad de contar, de enumerar: ={1,2,3,4...} Con los números naturales se puede sumar. De hecho, con la operación suma, los naturales forman unsemigrupo conmutativo. Con la operación producto los naturales también tienen estructura de semigrupo conmutativo. El infinito de los números naturales se denomina infinito numerable. Cualquier conjunto que pueda ponerse en correspondencia directiva con el conjunto de los números naturales se dice que es infinito numerable. Por ejemplo, el conjunto de las potencias sucesivas de un número , es decir, el conjunto cuando es distinto de 0, 1 y -1, es un conjunto infinito numerable. El conjunto de los números enteros y el de los racionales también son infinitos numerables como se verá más adelante. El conjunto de los naturales es un conjunto totalmente ordenado, es decir, existe una relación de orden total, lo que significa que existe una relación de orden y que dos elementos cualesquiera pueden ser siempre comparados entre sí usando dicha relación. Dicho de otra forma, dados dos naturales, e , o bien , o bien . Todo subconjunto no vacío del conjunto de los naturales tiene un elemento mínimo, esto es, existe un elemento tal que para todo de se tiene . Por ejemplo, el subconjunto formado por los números pares tiene como elemento mínimo a 2. Principio de inducción matemática: si un subconjunto de verifica que y, si , resulta que , entonces . o Esto nos permite realizar razonamientos por inducción cuando queremos probar que una determinada propiedad se cumple para todo natural. Por ejemplo, si queremos
  6. 6. probar que la suma de los primeros números naturales es podemos hacerlo por inducción en la forma siguiente: Para es claro que la suma de los 1 primeros números naturales es . Suponiendo cierta la fórmula para , es decir, , veamos que también es cierta para , Luego la fórmula es válida para todo n natural. o Ejercicio: Demostrar, razonando por inducción, las siguientes fórmulas:  Dados dos números naturales , no es cierto en general que exista un natural tal que . Si tal existe se denomina cociente exacto de por , y la división se denomina exacta. En este caso se dice que es divisible por , o que es un divisor de , o que es un múltiplo de . Cuando no es así, siempre es posible encontrar y que verifiquen con Los números , , y se denominan dividendo, divisor,cocienteyresto respectivamente y el procedimiento para determinar y a partir de y se denomina división entera.Descomposición en factores primos: Un número primo es aquél número natural que sólo es divisible por sí mismo y por la unidad, por ejemplo 2, 3, 5, 7, 11, 13, 17, 19, 23, ..., son números primos.
  7. 7. Hay infinitos números primos. Un famoso procedimiento paraencontrar números primos es la denominada criba de Eratóstenes,que consiste en tomar una lista de los números naturales e irtachando sucesivamente los múltiplos de cada natural que aún nohubiera sido tachado previamente.El uso de números primos grandes tiene aplicaciones en criptografía(ocultación de secretos).Todo número natural admite una descomposición en producto denúmeros primos. Esta descomposición es única salvo el orden de losprimos considerados. En el siguiente recuadro tienes algunosejemplos.
  8. 8. Encontrar la factorización de números grandes es un problema con elevada complejidad computacional, de hecho no hay ningún algoritmo eficiente para ello. Por eso varios sistemas criptográficos se basan en este problema.NUMEROS REALESSe representan con la letra .El conjunto de los Números Reales ( ) está integrado por:• El conjunto de los Números Racionales ( ) que corresponden a la unión detodos los números cuya expresión decimal es finita, infinita periódica oinfinita semiperiódica.• El conjunto de los Números Irracionales (I) queestá formado por la uniónde todos los números que admiten una expresión infinita no periódica.Entonces, se llaman Números Reales atodos aquellos que se puedenexpresar en forma decimal finita o infinita; es decir, el conjunto de los NúmerosReales ( ) está formado por los elementos del conjunto unido con I .
  9. 9. El siguiente cuadro es ilustrativo:Todos los números reales pueden ser representados en la recta numérica.A cada punto de la recta numérica le corresponde un número real y viceversa;es decir, existe una correspondencia uno a uno entre los puntos de la rectanumérica y los números reales.Importante:Con números reales pueden realizarse todo tipo de operaciones básicas condos excepciones importantes:1.- No existen raíces de orden par (cuadradas, cuartas, sextas, etc.) denúmeros negativos en números reales, razón por la cual existe el conjunto delos números complejos donde estas operaciones sí están definidas.2.- No existe la división entre cero, pues carece de sentido dividir entre nadao entre nadie; es decir, no existe la operación de dividir entre nada.En otras palabras, no son reales las fracciones con denominador cero y lasraíces de índice par y radicando negativo.Infinito no es un número realInfinito no es un número real, es una idea. Una idea de algo que no termina.Recuerde, además, que cualquier fracción con numerador cero, tiene comoresultado final, el cero (cero dividido cualquier cosa es igual a cero)
  10. 10. Número complejoIlustración del plano complejo. Los números reales se encuentran en el eje decoordenadas horizontal y los imaginarios en el eje vertical.CONJUNTOS NUMERICOSNúmeros NaturalesN = { 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7,.......}El conjunto de los Números Naturales surgió de la necesidad de contar, lo cualse manifiesta en el ser humano desde sus inicios.Este conjunto se caracteriza porque:Tiene un número ilimitado de elementosCada elemento tiene un sucesor y todos, excepto el 1, un antecesor.El sucesor de un número natural se obtiene sumando uno (+1); el antecesor seobtiene restando uno (-1).2) N* = N0 = Conjunto de los Números CardinalesN 0 = { 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6,.....}Al Conjunto de los Números Naturales se le agregó el 0 (cero) y se forma elConjunto de los Números Cardinales.
  11. 11. Números EnterosZ = {..... –3, -2, -1, 0, 1, 2, 3,...}El Conjunto de los Números Enteros surge de la necesidad de dar solucióngeneral a la sustracción, pues cuando el sustraendo es mayor que elminuendo, esta sustracción no tiene solución en los Conjuntos Naturales yCardinales (por ejemplo: 5 – 20 = ¿?). Debido a esto, la recta numérica seextiende hacia la izquierda, de modo que a cada punto que representa unnúmero natural le corresponda un punto simétrico, situado a la izquierda delcero. Punto simétrico es aquel que está ubicado a igual distancia del cero (unoa la derecha y el otro a la izquierda de él).Números Enteros negativosZ = Tiene 3 Subconjuntos:Enteros Negativos: Z ¯Enteros Positivos: Z+Enteros Positivos y el Cero: Z0+Por lo tanto, el Conjunto de los Números Enteros es la unión de los tressubconjuntos mencionados. Z = Z ¯ U {0} U Z +NUMEROS ENTEROSDesde hacía mucho tiempo, los chinos utilizabanbastoncillos de bambú o de madera para representarlos números y realizar, en especial, cálculoscomerciales de una manera práctica, pero tambiénpara tratar cuestiones relacionadas con los aumentosy disminuciones de magnitudes, o con distancias recorridas en sentidosopuestos; esos bastoncillos eran negros o rojos según que representarancantidades positivas o negativas, de acuerdo con una atribución del color quees justamente la opuesta a la empleada en la contabilidad occidental.Los matemáticos hindúes del siglo VI mencionan también el uso de númerosnegativos para tratar este tipo de problema. Los antiguos griegos, por elcontrario, rechazaron que pudieran existir tales números.En Europa medieval, los árabes dieron a conocer los números negativos de loshindúes, que en el siglo XII se utilizaban ya ocasionalmente para designar laspérdidas en el análisis de cuestiones financieras. Durante el Renacimiento, el
  12. 12. manejo práctico de esos números en la contabilidad y otros contextos ayudó asu lenta introducción en las matemáticas.El alemánMichaelStifel (1487-1567), monje agustino convertido alprotestantismo y amigo personal de Lutero, fue uno de los primeros en admitirel uso de coeficientes negativos para el estudio de las ecuaciones cuadráticasy divulgó el uso del signo menos “―“ para designar la resta; de hecho, lossignos + y ― estaban ya en uso entre los comerciantes alemanes del siglo XVpara indicar el exceso o el defecto de mercancías en los almacenes. Con todo,la consideración de las cantidades negativas como correspondientes anúmeros matemáticamente legítimos alcanzó aceptación general hasta el sigloXVIII, cuando los números negativos empezaron a ser entendidos comoopuestos de los positivos.En la matemática moderna el conjunto de los números enteros (Z) abarca todoslos enteros tanto negativos como positivos, y llega hasta el infinito hacia amboslados de una recta numérica, por tanto, en rigor no existe un comienzo, salvoque como tal se considere el CERO (el cual agregado al conjunto de losnúmeros naturales forma el conjunto de los Cardinales).Operaciones en Z (con enteros positivos y negativos)Para poder realizar las operaciones en el conjunto de los números enteros (Z)debes memorizar las siguientes reglas (son fáciles; sólo requieren de práctica).Suma en Z (Conjunto de Números Enteros positivos y negativos):Existen únicamente dos casos: números de igual signo y números consigno distinto. Las reglas a memorizar son las siguientes:a) Números de igual signo: Cuando dos números tiene igual signo se debesumar y conservar el signo.Ejermplos : – 3 + – 8 = – 11 ( sumo y conservo el signo) 12 + 25 = 37 ( sumo y conservo el signo)b) Números con distinto signo: Cuando dos números tienen distinto signo sedebe restar y conservar el signo del número que tiene mayor valorabsoluto (recuerda que el valor absoluto son unidades de distancia, lo cualsignifica que se debe considerar el número sin su signo).Ejemplo: – 7 + 12 = 5 (tener 12 es lo mismo que tener +12, por lotanto, los números son de distinto signo y se deben restar: 12 – 7 = 5 ¿concuál signo queda? El valor absoluto de –7 es 7 y el valor absoluto de +12 es12, por lo tanto, el número que tiene mayor valor absoluto es el 12; debido aesto el resultado es un número positivo). 5 + – 51 = – 46 ( es negativo porque el 51 tiene mayor valorabsoluto)
  13. 13. – 14 + 34 = 20Resta en ZPara restar dos números o más, es necesario realizar dos cambios de signo(uno después del otro) porque de estamanera la resta se transforma ensuma y se aplican las reglas mencionadas anteriormente. Son dos los cambiosde signo que deben hacerse:a) Cambiar el signo de la resta en suma yb) Cambiar el signo del número que está a la derecha del signo deoperación por su signo contrarioEjemplo 1: –3 – 10a) cambiamos el signo de resta por el de suma: –3 + 10b) cambiamos el signo del número que está a la derecha del signo deoperación (que ahora es el +):– 3 + – 10 = –13 ( signos iguales se suma y conserva el signo)Ejemplo 2:19 – – 16a) cambiamos el signo de resta por el de suma:19 + –16b) cambiamos el signo del número que está a la derecha (– 16) del signo deoperación (que ahora es el +):19 + + 16 = 19 + 16 = 35Multiplicación y División en ZLa regla que se utiliza es la misma para multiplicar que para dividir. ¿CÓMO SEHACE? Multiplico los números y luego multiplico los signos de acuerdo a lasiguiente tabla:+ • + = +– • – = ++ • – = –– • + = –Ejemplos: – 5 • – 10 = 50 ( 5 • 10 = 50 ; – • – = + )
  14. 14. 12 • –4 = – 48 ( 12 • 4 = 48;: +• – = –)Siempre se deben multiplicar o dividir los números y luego aplicar las reglas designos para dichas operaciones (las reglas de signos para la suma son para lasuma y no deben ser confundidos con los de estas otras operaciones).4) Q = Conjunto de los Números RacionalesQ = {....- ¾, - ½, - ¼ , 0, ¼ , ½, ¾,.....}El conjunto de los Números Racionales se creó debido a las limitaciones decálculo que se presentaban en el conjunto de los Números Naturales, NúmerosCardinales y Números Enteros. Por ejemplo, sólo se puede dividir en elconjunto de los Números Enteros si y sólo si el dividendo es múltiplo,distinto de cero, del divisor. Para solucionar esta dificultad, se creó esteconjunto, el cual está formado por todos los números de la forma a / b. Estafracción en la cual el numerador es a, es un número entero y el denominador b,es un número entero distinto de cero. El conjunto de los Números Racionales(Q ) se ha construido a partir del conjunto de los Números Enteros (Z).Se expresa por comprensión como: Q = { a / b tal que a y b Z; y b 0}Este conjunto se representa gráficamente, dividiendo cada intervalo de unarecta numérica en espacios iguales, que representen números enteros. Cadauna de estas subdivisiones representa una fracción con denominador igual alnúmero de partes de la subdivisión.Cada fracción es un número racional y cada número racional consta deinfinitas fracciones equivalentes.5) I = Q* = Conjunto de Números IrracionalesI = Conjunto de Números Decimales Infinitos no PeriódicosEste conjunto surgió de la necesidad de reunir a ciertos números que nopertenecen a los conjuntos anteriores; entre ellos se pueden citar a las raícesinexactas, el número Pi, etc. A él pertenecen todos los números decimalesinfinitos puros, es decir aquellos números que no pueden transformarse enuna fracción. No deben confundirse con los números racionales, porque éstosson números decimales finitos, infinitos periódicos e infinitos semiperiódicosque sí pueden transformarse en una fracción. ¿Que son los Numeros Naturales?Número natural, el que sirve para designar la cantidad de elementos que tieneun cierto conjunto, y se llama cardinal de dicho conjunto.
  15. 15. Los números naturales son infinitos. El conjunto de todos ellos se designa porN:N = {0, 1, 2, 3, 4,…, 10, 11, 12,…}El cero, a veces, se excluye del conjunto de los números naturales.Además de cardinales (para contar), los números naturales son ordinales, puessirven para ordenar los elementos de un conjunto:1º (primero), 2º (segundo),…, 16º (decimosexto),…Los números naturales son los primeros que surgen en las distintascivilizaciones, ya que las tareas de contar y de ordenar son las máselementales que se pueden realizar en el tratamiento de las cantidades.Entre los números naturales están definidas las operaciones adición ymultiplicación. Además, el resultado de sumar o de multiplicar dos númerosnaturales es también un número natural, por lo que se dice que sonoperaciones internas.La sustracción, sin embargo, no es una operación interna en N, pues ladiferencia de dos números naturales puede no ser un número natural (no lo escuando el sustraendo es mayor que el minuendo). Por eso se crea el conjuntoZ de los números enteros, en el que se puede restar un número de otro,cualesquiera que sean éstos.La división tampoco es una operación interna en N, pues el cociente de dosnúmeros naturales puede no ser un número natural (no lo es cuando eldividendo no es múltiplo del divisor). Por eso se crea el conjunto Q de losnúmeros racionales, en el que se puede dividir cualquier número por otro (salvopor el cero). La división entera es un tipo de división peculiar de los númerosnaturales en la que además de un cociente se obtiene un resto Propiedades de la adicion de Numeros NaturalesLa adición de números naturales cumple las propiedades asociativa,conmutativa y elemento neutro.1.- Asociativa:Si a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a + b) + c = a + (b + c)Por ejemplo:(7 + 4) + 5 = 11 + 5 = 167 + (4 + 5) = 7 + 9 = 16
  16. 16. Los resultados coinciden, es decir,(7 + 4) + 5 = 7 + ( 4 + 5)2.-ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:a+b=b+aEn particular, para los números 7 y 4, se verifica que:7+4=4+7Gracias a las propiedades asociativa y conmutativa de la adición se puedenefectuar largas sumas de números naturales sin utilizar paréntesis y sin teneren cuenta el orden.3.- Elemento neutroEl 0 es el elemento neutro de la suma de enteros porque, cualquiera que sea elnúmero natural a, se cumple que:a+0=a Propiedades de la Multiplicacion de Numeros NaturalesLa multiplicación de números naturales cumple las propiedades asociativa,conmutativa, elemento neutro y distributiva del producto respecto de la suma.1.-AsociativaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:(a · b) · c = a · (b · c)Por ejemplo:(3 · 5) · 2 = 15 · 2 = 303 · (5 · 2) = 3 · 10 = 30Los resultados coinciden, es decir,(3 · 5) · 2 = 3 · (5 · 2)2.- ConmutativaSi a, b son números naturales cualesquiera se cumple que:
  17. 17. a·b=b·aPor ejemplo:5 · 8 = 8 · 5 = 403.-Elemento neutroEl 1 es el elemento neutro de la multiplicación porque, cualquiera que sea elnúmero natural a, se cumple que:a·1=a4.- Distributiva del producto respecto de la sumaSi a, b, c son números naturales cualesquiera se cumple que:a · (b + c) = a · b + a · cPor ejemplo:5 · (3 + 8) = 5 · 11 = 555 · 3 + 5 · 8 = 15 + 40 = 55Los resultados coinciden, es decir,5 · (3 + 8) = 5 · 3 + 5 · 8 Propiedades de la Sustraccion de Numeros NaturalesIgual que la suma la resta es una operación que se deriva de la operación decontar.Si tenemos 6 ovejas y los lobos se comen 2 ovejas ¿cuantas ovejas tenemos?.Una forma de hacerlo sería volver a contar todas las ovejas, pero alguien quehubiese contado varias veces el mismo caso, recordaría el resultado y nonecesitaría volver a contar las ovejas. Sabría que 6 - 2 = 4.Los términos de la resta se llaman minuendo (las ovejas que tenemos) ysustraendo (las ovejas que se comieron los lobos).Propiedades de la resta:La resta no tiene la propiedad conmutativa (no es lo mismo a - b que b - a)
  18. 18. Propiedades de la Division de Numeros NaturalesLa división es la operación que tenemos que hacer para repartir un numero decosas entre un número de personas.Los términos de la división se llaman dividendo (el número de cosas), divisor (elnúmero de personas), cociente (el numero que le corresponde a cada persona)y resto (lo que sobra).Si el resto es cero la división se llama exacta y en caso contrario inexacta.En matemáticas, se llama número racional a todo número que puederepresentarse como el cociente de dos números enteros (más precisamente,un entero y un natural positivo1 ) es decir, una fracción comúna/b connumerador a y denominador b distinto de cero. El término «racional» alude afracción o parte de un todo. El conjunto de los números racionales se denotapor Q (o bien , en Blackboardbold) que deriva de «cociente» (Quotient envarios idiomas europeos). Este conjunto de números incluye a los númerosenteros ( ), y es un subconjunto de los números reales ( ).La escritura decimal de un número racional es, o bien un número decimal finito,o bien periódico. Esto es cierto no solo para números escritos en base 10(sistema decimal), también lo es en base binaria, hexadecimal o cualquier otrabase entera. Recíprocamente, todo número que admite una expansión finita operiódica (en cualquier base entera), es un número racional.Un número real que no es racional, se llama número irracional; la expansióndecimal de los números irracionales, a diferencia de los racionales, es infinitano-periódica.En sentido estricto, número racional es el conjunto de todas las fraccionesequivalentes a una dada; de todas ellas, se toma como representante canónicode dicho número racional a la fracción irreducible. Las fracciones equivalentesentre sí –número racional– son una clase de equivalencia, resultado de laaplicación de una relación de equivalenciasobre ..El conjunto de los números racionales puede construirse a partir del conjuntode fracciones cuyo numerador y cuyo denominador son números enteros. Elconjunto de los números racionales no es directamente identificable con el
  19. 19. conjunto de fracciones, porque a veces un número racional puederepresentarse por más de una fracción por ejemplo:Para poder definir los números racionales debe definirse cuando dos fraccionesdiferentes son equivalentes y por tanto representan el mismo número racional.Formalmente cada número racional puede representarse como la clase deequivalencia de un par ordenado de enteros, con la siguiente relación deequivalencia:DemostraciónPara el conjunto de los números racionales puede escribirse:Y si se tienen en cuenta la relación de equivalencia anterior de hecho se tiene:Aritmética de los números racionalesRepresentación gráfica de las fracciones cuyo divisor es 4.Definición de suma y multiplicación en Q
  20. 20. Se define la suma Se define la multiplicaciónRelaciones de equivalencia y orden en Q Se define la equivalencia cuando Los racionales positivos son todos los tales que Los racionales negativos son todos los tales que Se define el orden cuandoExistencia de neutros e inversos Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro aditivo de los racionales y se le denota por . Para cualquier número racional: se cumple que entonces es el neutro multiplicativo de los racionales y se le denota por . Cada número racional: tiene un inverso aditivo tal que Cada número racional: con excepción de tiene un inverso multiplicativo tal queEquivalencias notables en Q Todo número entero se puede escribir como fracción con y
  21. 21. con y con y .Propiedades El conjunto , con las propiedades de adición y multiplicación definidas más arriba, conforma un cuerpo conmutativo: el cuerpo de cocientes de los enteros . Los racionales son el menor cuerpo con característica nula. La clausura algebraicade , es el conjunto de los números algebraicos. El conjunto de los números racionales es numerable, es decir que existe una biyección entre y (tienen la misma cantidad de elementos). El conjunto de los número reales no es numerable (la parte no- denombrable de los reales, la constituyen los números irracionales). Propiedad arquimediana: el conjunto es denso en por construcción misma de ; es decir, para cualquier pareja de números racionales existe otro número racional situado entre ellos. Los racionales forman un dominio de factorización única ya que todo racional puede descomponerse en la forma: donde son números enteros primos, (siendo algunos de ellos negativos si q no es entero) y . Por ejemplo .Representación racional de los números decimalesTodo número real admite una representación decimal ilimitada, estarepresentación es única si se excluyen secuencias infinitas de 9 (como porejemplo el 0,9 periódico). Todo número decimal finito o periódico puedeexpresarse como número racional de la siguiente manera: Decimales exactos o finitos: se escribe en el numerador la expresión decimal sin la coma (como un número entero), y en el denominador un uno seguido de tantos ceros como cifras decimales. o Ejemplo:
  22. 22. Decimales periódicos puros: la fracción correspondiente tiene como numerador la diferencia entre el número escrito sin la coma, y la parte anterior al periodo; y como denominador, tantos "9" como cifras tiene el periodo. o Ejemplo: Decimales periódicos mixtos: tendrá como numerador la diferencia entre y , donde es el número escrito sin la coma, y es el número sin la parte decimal periódica, escritos ambos como números enteros. El denominador tendrá tantos "9" como cifras tiene el periodo y otros tantos "0" como cifras tenga el anteperíodo. o Ejemplo: Sea el número entonces y , por lo que la fracción correspondiente será , es decir: .Desarrollo decimal de los números racionalesEl valor decimal de un número racional, es simplemente el resultado de dividirel numerador entre el denominador. Los números racionales se caracterizanpor tener una escritura decimal que sólo puede ser de tres tipos: Exacta: la parte decimal tiene un número finito de cifras. Al no ser significativos, los ceros a la derecha del separador decimal pueden omitirse, lo que da por resultado una expresión «finita» o «terminal». Ejemplo: Periódica pura: toda la parte decimal se repite indefinidamente. Ejemplo: Periódica mixta: no toda la parte decimal se repite. Ejemplo:Nota: lo mismo aplica para el desarrollo decimal de un número racional enbases distintas de diez.Número racional en otras bases
  23. 23. En un sistema de numeración posicional de base racional, las fraccionesirreducibles cuyo denominador contiene factores primos distintos de aquellosque factorizan la base, no tienen representación finita. Ejemplos: o En base 10, un racional tendrá un desarrollo finito si y sólo si el denominador de su fracción irreducible es de la forma 2 n·5p (n y p enteros). o En base duodecimal es infinita y recurrente la representación de todas aquellas fracciones cuyo denominador contiene factores primos distintos de 2 y 3.Propiedades topológicas de los números racionales Forman un subconjunto denso de los números reales: todo número real tiene racionales arbitrariamente cerca. Poseen una expansión finita como fracción continuaregular. Con la topología del orden, forman un anillo topológico, o de grupo parcialmente ordenado; presentan una topología inducida; también forman un espacio métrico con la métrica d(x,y) = |x − y|. Los racionales son un ejemplo de espacio que no es localmente compacto. Se caracterizan topológicamente por ser el único espacio metrizablenumerable sin puntos aislados (también es totalmente discontinuo). Los números racionales no forman un espacio métrico completo.Número p-ádicoSea p un número primo y para todo entero no nulo a, sea |a|p = p−n, donde pn esla mayor potencia de pque divide aa.Si |0|p = 0, y para cada número racional a/b, |a/b|p = |a|p / |b|p, entonces lafunción multiplicativa define una métricasobre .El espacio métrico no es completo, su completitud es el cuerpo de losnúmeros p-ádicos . El teorema de Ostrowski asegura que todo valorabsoluto no-trivial sobre es equivalente ya sea al valor absoluto usual, o alvalor absoluto p-ádico. Clasificación de números Complejo Reale Racionale Entero Naturale Naturales s s s s s primos
  24. 24. Naturales compuesto s Cero Enteros negativos Fracción propia Fraccionarios Fracción impropia Irracionales algebraicos Irracionales Trascendentes Imaginarios puros1. . 2. CONJUNTO DE NUMEROS RACIONALES3.4. Concepto.-5. Es un número de la forma a/b en donde b es diferente de o y se encuentran ubicados dentro de los números reales.6.7. - Enteros + Racionales Comunes Reales Fraccionarios Decimales Irracionales8.9.
  25. 25. 10. Hay que tomar en cuenta que todos los números enteros tienen como denominador el número uno y por lo tanto son racionales. Por lo anterior se sabe que un número racional cuenta con dos elementos:11. Numerador.- Indica cuantas partes se tomaron del entero12. Denominador.- Indica en cuantas partes se dividió el entero y es diferente de o13.14. a = Numerador15. b = Denominador b 016.17.18. Fracciones Equivalentes.-19.20. Son aquellas que tienen diferente forma pero el mismo valor. Para saber si dos fracciones son equivalentes, se aplica la regla del sandwich y el producto de los extremos será igual al producto de los medios.21. a c a22. ( a )( d ) ( c )( d ) b d b c d23. ExtremosMedios24.25.26. Esta regla nos ayuda a determinar en una pareja cuál de las fracciones es mayor.27.28.29.30.31. 1 3 2 132. 2 4 6 333. Equivalentes34.35. Ejercicios:36. 5 8 3 6 7 6 3 2 5 437. a ) b) c) d) e) 7 9 5 10 9 8 4 7 10 838.39.40. En caso que se tengan que comparar dos o más fracciones, éstas tendrán que tener un denominador común para poder realizar la comparación.41.
  26. 26. 2 4 6 8 Múltiplos de 5 5 10 15 20 42. 3 6 9 12 15 Múltiplos de 4 4 8 12 16 20 43. 44. Procedimiento: 45. 1.- Se obtiene el mcm de los denominadores, a éste se le llamará común denominador. 46. 2.- El común denominador se divide entre cada uno de los denominadores, el cociente que resulte se multiplicará por cada uno de los numeradores de las fracciones. 47. 48. 49. a) mcm 6,3,4, = 12 Común denominador 50.2 46 12 51. 52.1 43 121 34 12 53. 12b) x2 4 6 12 x1 4 3 12 x1 3 4 54.
  27. 27. 3 7 1 a) , , 4 8 64 mcm 64 64 48 x3 4 64 64 56 x7 8 64 64 1 x1 64 64 7 3 1 8 4 64 b )1 / 7 , 3 / 4 ,1 / 12 2 mcm ( 7 )( 2 )( 3 ) 84 84 12 x1 7 84 84 63 x3 4 84 84 7 x1 12 84 3 1 1 4 7 12 c ) 8 / 16 , 4 / 5 , 5 / 25 4 2 mcm ( 2 )( 5 ) 400 400 200 x8 6 400 400 320 x4 55. Ejercicio: 5 400 400 80 x5 25 400 4 8 5 5 16 25VERONICA TREJO CARBAJAL

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