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Distrib.binomial

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distribucion binomial

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Distrib.binomial

  1. 1. 1 Estadística Descriptiva y Probabilidad Ing. Ricardo Rosas Roque Distribución Binomial Distribución Poisson
  2. 2. 2 Distribución Binomial • P es la probabilidad de que cualquier evento ocurra en un solo ensayo (probabilidad de éxito) • Q = 1 – P: probabilidad de que no ocurra en un solo ensayo (probabilidad de fracaso) • Probabilidad de que el evento ocurra exactamente X veces en N ensayos (x éxitos y n – x fracasos) • P (x) = N! px qn-x x! (n – x)!
  3. 3. Cómo reconocer si se trata de uan Distibución Binomial 1. Se realizan “n” pruebas y todas son independientes 2. “p” es la probabilidad de éxito en cada prueba que ocurra un suceso 3. El experimento es con repetición 4. Se da el valor de la variable aleatoria X = nº de éxitos. Varía desde 0 hasta n 3
  4. 4. 4 Ejemplo • La probabilidad de obtener exactamente 2 caras en 6 lanzamientos de una moneda es? N = 6 X = 2 p = q = 1 / 2 P ( X = 2 ) = 6 ! ( 1 / 2)2 ( 1 / 2 )6 – 2 2! 4! = 15/64
  5. 5. 5 • La probabilidad de obtener al menos 4 caras en 6 lanzamientos de una moneda es? P ( x >= 4) = 6 ! ( 1 / 2)4 (1 / 2)2 + 6 ! ( 1/ 2 )5 ( 1 / 2) + 6! (1 / 2)6 4! 2! 5! 6! = 15/64 + 6/ 64 + 1/64 = 11/32
  6. 6. 6 Propiedades de la Distribución Binomial • Media μ = Np Varianza σ2 = Npq Desviación σ = (Npq)½
  7. 7. 7 Ejemplo • En 100 lanzamientos de una moneda, la media de caras es? Y la desviación estándar? μ = Np = 100 ( 1 / 2) = 50 Es el número esperado de caras en 100 lanzamientos. σ = (Npq)½ = (100 x 1/ 2 x 1 /2)1/2 = 5
  8. 8. 8 Calcular la probabilidad de que en 5 lanzamientos de un dado se obtenga un 3 a) Ninguna vez b) una vez c) 5 veces Probabilidad de obtener 3 en un lanzamiento p = 1/6 Probabilidad de no obtener un 3: q = 1 – p = 5/6
  9. 9. 9 a) P (3 ocurre 0 veces) = 5! (1/6)0 (5/6)5 5! = 1 (1) (5/6)5 = 3125/7776 b) P (3 ocurre 1 vez) = 5! (1/6)1 (5/6)4 4! = 5 (1/6) (5/6)4 = 3125/7776 c) P (3 ocurre 5 veces) = 5! (1/6)5 (5/6)0 =1 / 7776 5!
  10. 10. 10 Si 20% de las tuercas producidas por una máquina son defectuosas, determinar la probabilidad de 4 tuercas tomadas al azar: a) 1 b) 0 c) a lo sumo 2 sean defectuosas. a) P (1 defectuosa) = 4! (0.2)1 (0.8)3 = 0.4096 3! b) P (0 defectuosa) = 4! (0.2)0 (0.8)4 = 0.4096 4! c) P (2 defectuosas) = 4! (0.2)2 (0.8)2 = 0.1536 2! 2!
  11. 11. 11 • Entonces: P (a lo sumo 2 defectuosos) = = P (ninguno) + P (1) + P (2) = 0.4096 + 0.4056 + 0.1536 = 0.9728
  12. 12. Ejercicios 1. La probabilidad de que un estudiante obtenga su título es de 0.4. Calcular para un grupo de 5 estudiantes, la probabilidad de que: a) Ninguna obtenga el título b) Dos obtengan el título d) Al menos dos obtengan el título e) Los 5 obtengan el título 12
  13. 13. 2. Un fabricante de focos prepara lotes de 20 focos y los envía a sus clientes. Suponer que cada pieza está defectuosa o no lo está, y que la probabilidad de que cualquiera de ellas esté defectuosa es de 0.05 a) Cuál es el número esperado de focos defectuosos b) Cuál es la probabilidad de que determinado lote no contengan focos defectuosos? 13
  14. 14. 3. El tratamiento de la gripe con vitamina C produce un efecto curativo en 75% de los casos. Se seleccionan 6 pacientes al azar. Cuál es la probabilidad de que: a) Ninguno esté curado? b) Todos están curados c) Al menos 4 están curados 14
  15. 15. 4. Suponer que la máquina A produce el doble de artículos que la máquina B. Se sabe que el 6% de los artículos que produce la máquina A son defectuosos, mientras que el 3% de los artículos producidos por la máquina B son defectuosos. Suponer que se junta la producción diaria de estas máquinas y se toma una muestra aleatoria de 10 artículos. Calcular la probabilidad de obtener 3 artículos defectuosos. 15
  16. 16. 16
  17. 17. Distribución de Poisson • Obtener las probabilidades de aquellas situaciones gerenciales que ocurren de forma impredecible y ocasional. • Identificar las propiedades de una distribución de Poisson • Determinar el promedio, varianza y desviación estándar utilizando las variables de la distribución. 17
  18. 18. Utilidad • Se utiliza donde los sucesos son impredecibles o de ocurrencia aleatoria. En otras palabras no se sabe el total de posibles resultados. • Se utiliza cuando la probabilidad del evento que interesa se distribuye dentro de un segmento n dado como por ejemplo; distancia, área, volumen o tiempo definido. 18
  19. 19. 19 Distribución de Poisson Es una distribución muy usada en medicina y biología. Debe cumplir las siguientes condiciones:  La ocurrencia de los eventos son independientes.  El numero promedio de veces () que ocurre un éxito por cada unidad de tiempo o de espacio es constante.  La probabilidad de un suceso es una unidad de tiempo o de espacio muy pequeña.
  20. 20. 20 Es una distribución de probabilidad discreta. Se aplica la siguiente función: ( ) ! x x e P x     P(x) probabilidad de tener exactamente x presentaciones.  e base de logaritmo natural 2.71828   es el promedio de presentaciones. = Np  x numero de ocurrencias de un evento DISTRIBUCION DE POISSON
  21. 21. Media y Varianza 21
  22. 22. • La distribución de Poisson puede ser vista como un caso limitante de la distribución binomial. • Es decir, que una distribución binomial en la que n tiende al ∞ y la probabilidad se puede aproximar a 0. 22
  23. 23. Aplicación • La distribución de Poisson, se aplica a varios fenómenos discretos de la naturaleza (esto es, aquellos fenómenos que ocurren 0, 1, 2, 3, ... veces durante un periodo definido de tiempo o en una área determinada) • Cuando la probabilidad de ocurrencia del fenómeno es constante en el tiempo o el espacio. 23
  24. 24. 24 Ejemplo: Suponer que se esta investigando la seguridad de una peligrosa intersección de calles, los registros policiacos indican una media de 5 accidentes mensuales en esta intersección. El numero de accidentes esta distribuido de acuerdo con una distribución de Poisson y el departamento de seguridad vial desea que se calcule la probabilidad de que en cualquier mes ocurra exactamente 3 accidentes. X = 3 acc/mes  = 5 acc/mes 3 5 ( 3) 5 2.7183 0.14042 14.04% 3! xP      DISTRIBUCION DE POISSON ( ) ! x x e P x   
  25. 25. Ejercicio • Si un banco recibe en promedio 6 cheques sin fondo por día, ¿cuáles son las probabilidades de que reciba: a) cuatro cheques sin fondo en un día dado, b) 10 cheques sin fondos en cualquiera de dos días consecutivos? 25
  26. 26. a) x = variable que define número de cheques sin fondo que llegan al banco en un día cualquiera = 0, 1, 2, 3, .....  = 6 cheques sin fondo por día  = 2.718 P (x = 4) = 64 (2.718)-6 4! = 0.13392 26
  27. 27. b)  = 6 x 2 cheques sin fondo por día P (x = 10) = 1210 (2.718)-12 10! = 0.104953 27
  28. 28. Ejemplo • Si 2% de los libros encuadernados en cierto taller tiene encuadernación defectuosa, obtener la probabilidad de que 5 de 400 libros encuadernados en este taller tengan encuadernaciones defectuosas. 28
  29. 29. x = 5 Λ = 400 (0.02) Pr (X = 5) = 85 . e-8 5! = 0.092 29
  30. 30. • A una garita de peaje llegan aleatoriamente 300 autos por hora. Calcular la probabilidad de que: a) Un auto llegue durante un período de 1 minuto b) Por lo menos dos autos lleguen durante un período dado de un minuto. 30
  31. 31. • Se produce defectos en forma aleatoria en cierto tipo de tejidos de lana con un promedio de un defecto cada 100 m2. Cuál es la probabilidad de que una pieza de 50 por 10 metros a) no tenga defectos b) de que presente un defecto como máximo 31
  32. 32. • Una Universidad procesa 100,000 calificaciones en determinado semestre. En ocasiones anteriores se ha descubierto que 0.1% de todas las calificaciones estaban equivocadas. Suponer que una persona estudia cinco materias en esta Universidad en un semestre. Cuál es la probabilidad de que todas las calificaciones estén correctas? 32

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