parte dos ultimo trabajo segunda unidad

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estos son ejemplos de las distribuciones
bernoulli, normal ,binomial, gamma, t de student y poisson.

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parte dos ultimo trabajo segunda unidad

  1. 1. Berenice Rodríguez VázquezUltimo trabajo de segunda unidad2 ´´A´´LIC.EDGAR MATADistribuciones de probabilidadBernoulliBinomialPoissonNormalGammaT de studen
  2. 2. Bernoulli concepto.DISTRIBUCIÓN DE BERNOULLIEn teoría de probabilidad y estadística, la distribución de Bernoulli (odistribución dicotómica), nombrada así por el matemático y científico suizoJakob Bernoulli, es una distribución de probabilidad discreta, que tomavalor 1 para la probabilidad de éxito p y valor 0 para la probabilidad defracaso q = 1 − p. Por lo tanto, si X es una variable aleatoria con estadistribución.Consiste en realizar un experimento aleatorio una sola vez y observar sicierto suceso ocurre o no, siendo p la probabilidad de que esto seaasí (ÉXITO) y q=1-p el que no lo sea (FRACASO).Existen muchas situaciones en las que se presenta una experienciaBinomial. Cada uno de los experimentos es independiente de los restantes(la probabilidad del resultado de un experimento no depende delresultado del resto). El resultado de cada experimento ha de admitir sólodos categorías (a las que se denomina éxito y fracaso). Las probabilidadesde ambas posibilidades han de ser constantes en todos los experimentosExplicaciónUn experimento que tenga dos resultados. Al primero se le llama éxito y alotro fracaso. La probabilidad por éxito se denota por p. por consecuenciala probabilidad de fracaso es 1-p. lo anterior representa un ensayo deBernoulli con probabilidad de éxito p. el mas el más sencillo de este es ellanzamiento de una moneda. Los posibles resultados son dos “cara o cruz”si cara se define como éxito, entonces p constituye esa probabilidad. Enuna moneda p= ½N=número de elementos.P=éxito.
  3. 3. q=fracaso.X=variable aleatoria.La distribución Bernoulli estada por los únicos dos valores posibles quedeben ser 1 y 0; de no cumplirse esta regla es decir si se quebranta seestaría ablando de que no es una distribución Bernoulli sino otra de lastantas distribuciones.Ejemplo:X p1 .50 .5Suma 1  Si se lanza una moneda 5 veces ¿Probabilidad de que se obtenga 3 veces cruz?N=5P=.5q=.5X=3P= (1) (.5)3 (.5)2
  4. 4. La distribución Binomial está asociada a experimentos del siguiente tipo:- Realizamos n veces cierto experimento en el que consideramos solo laposibilidad de éxito o fracaso.- La obtención de éxito o fracaso en cada ocasión es independiente de laobtención de éxito oFracaso en las demás ocasiones.- La probabilidad de obtener ´éxito o fracaso siempre es la misma en cadaocasión.Veámoslo con un ejemploTiramos un dado 7 veces y contamos el numero de cincos que obtenemos.¿Cuál es la probabilidad de obtener tres cincos?.Este es un típico ejemplo de distribución Binomial, pues estamos repitiendo7 veces el experimento de lanzar un dado. ¿Cuál es nuestro ´éxito?.Evidentemente, sacar un 5, que es en lo que nos fijamos.El fracaso, por tanto, seria no sacar 5, sino sacar cualquier otro número.Por tanto, Éxito = E = “sacar un 5” = ´ ⇒p(E) =16Fracaso = F = “no sacar un 5” =⇒p (F) =56Para calcular la probabilidad que nos piden, observemos que nos dicenque sacamos 3 cincos y por lo tanto tenemos 3 ´éxitos y 4 fracasos, ¿decuantas maneras pueden darse estas posibilidades?.Podríamos sacar 3 cincos en las 3 primeras tiradas y luego 4 tiradas sinsacar cinco, es decir: EEEFFFFPero también podríamos sacar EFEFFFE, es decir que en realidad estamoscalculando la E es éxito y la F es fracaso.
  5. 5. PoissonEn teoría de probabilidad y estadística, la distribuciónde Poisson es una distribución deprobabilidad discreta que expresa, a partir de unafrecuencia de ocurrencia media, la probabilidad queocurra un determinado número de eventos durantecierto periodo de tiempo.La función de masa de la distribución de Poisson esDonde k es el número de ocurrencias del evento o fenómeno (la función nos da la probabilidad de que el evento suceda precisamente k veces). λ es un parámetro positivo que representa el número de veces que se espera que ocurra el fenómeno durante un intervalo dado. Por ejemplo, si el suceso estudiado tiene lugar en promedio 4 veces por minuto y estamos interesados en la probabilidad de que ocurra k veces dentro de un intervalo de 10 minutos, usaremos un modelo de distribución de Poisson con λ = 10×4 = 40. e es la base de los logaritmos naturales (e = 2,71828 ...)Tanto el valor esperado como la varianza de unavariable aleatoria con distribución de Poisson son igualesa λ. Los momentos de orden superior son polinomios deTouchard en λ cuyos coeficientes tienen una
  6. 6. interpretación combinatoria. De hecho, cuando el valoresperado de la distribución de Poisson es 1, entoncessegún la fórmula de Dobinski, el n-ésimo momentoiguala al número de particiones de tamaño n.La moda de una variable aleatoria de distribución dePoisson con un λ no entero es igual a , el mayor de losenteros menores que λ (los símbolos representanla función parte entera). Cuando λ es un entero positivo,las modas son λ y λ − 1.La función generadora de momentos de la distribuciónde Poisson con valor esperado λ esLas variables aleatorias de Poisson tienen la propiedadde ser infinitamente divisibles.La divergencia Kullback-Leibler desde una variablealeatoria de Poisson de parámetro λ0 a otra deparámetro λ esPara qué sirve conocer que algo es Poisson?Porque si se tiene caracterizado el comportamientoprobabilístico de un fenómeno aleatorio, podemoscontestar preguntas como: Qué probabilidad hay de que lleguen más de 15 clientes al banco en un intervalo de 5 minutos de duración?
  7. 7. Qué probabilidad hay de que suceda por lo menos una falla en un tramo de 1km de tubería de gas? Qué probabilidad hay de que en un estanque de cultivo de camarón, haya más de media tonelada? Qué probabilidad hay de que en un área de 1km se encuentren más de 3 brotes de una enfermedad?Por qué algunas cosas supimos de antemano que ibana ser Poisson y que otras no?Porque los fenómenos que son procesos de Poisson en lalínea o en el tiempo, en la superficie, o en el espacio,tienen algunas características que matemáticamente ladelatan, como son: Que se está contando el número de eventos que suceden en un área (o intervalo de tiempo, o volumen) determinada. Que la probabilidad de que suceda un evento sobre un área muy pequeña, es también muy pequeña. Que en un mismo lugar (o en el mismo tiempo), no pueden suceder más de uno solo de los eventos que se están contando. Que si se duplica el tamaño de la superficie (intervalo de tiempo, etc.), entonces se duplica la probabilidad de registrar ahí un evento.Notas y conclusions Los ejemplos vistos de procesos de Poisson, son homogéneos en el sentido de que la
  8. 8. probabilidad de que suceda un evento no varíasegún la posición sobre el espacio. Existen tambiénprocesos de Poisson que son heterogéneos.Se concluye que los fenómenos aleatorios no sontan impredecibles como se pudiera pensar. Que enefecto, muestran un concepto llamado regularidadestadística, que es la que hace que éstos sepuedan estudiar matemáticamente.Que un observador de un fenómeno aleatorio, nopuede esperar más que cuantificar la posibilidadde que el mismo suceda.
  9. 9. Distribución normalSe le llama distribución normal, distribución de Gauss odistribución gaussiana, a una de las distribuciones deprobabilidad de variable continua que con más frecuenciaaparece aproximada en fenómenos reales.La gráfica de su función de densidad tiene una formaacampanada y es simétrica respecto de un determinadoparámetro. Esta curva se conoce como campana de Gauss y e es el gráfico de de una función gaussiana.Ejemplo de alguna grafica seria:
  10. 10. DISTRIBUCIÓN GAMMAEs una distribución adecuada para modelizar elcomportamiento de variables aleatorias continuas con asimetríapositiva. Es decir, variables que presentan una mayor densidadde sucesos a la izquierda de la media que a la derecha. En suexpresión se encuentran dos parámetros, siempre positivos, (α)alfa y (β) beta de los que depende su forma y alcance por laderecha, y también la función Gamma Γ(α), responsable de laconvergencia de la distribución.Los parámetros de la distribuciónEl primer parámetro (α) situa la máxima intensidad deprobabilidad y por este motivo en algunas fuentes se denomina“la forma” de la distribución: cuando se toman valores próximosa cero aparece entonces un dibujo muy similar al de ladistribución exponencial. Cuando se toman valores más grandesde (α) el centro de la distribución se desplaza a la derecha y vaapareciendo la forma de una campana de Gauss con asimetríapositiva. Es el segundo parámetro (β) el que determina la formao alcance de esta asimetría positiva desplazando la densidadde probabilidad en la cola de la derecha. Para valoreselevados de (β) la distribución acumula más densidad deprobabilidad en el extremo derecho de la cola, alargandomucho su dibujo y dispersando la probabilidad a lo largo delplano. Al dispersar la probabilidad la altura máxima dedensidad de probabilidad se va reduciendo; de aquí que se ledenomine “escala”. Valores más pequeños de (β) conducen auna figura más simétrica y concentrada, con un pico dedensidad de probabilidad más elevado. Una forma deinterpretar (β) es “tiempo promedio entre ocurrencia de unsuceso”. Relacionándose con el parámetro de la Poisson comoβ=1/λ. Alternativamente λ será el ratio de ocurrencia: λ=1/β. La
  11. 11. expresión también será necesaria más adelante para poderllevar a cabo el desarrollo matemático.La distribución gamma se puede caracterizar del modosiguiente: si se está interesado en la ocurrencia de un eventogenerado por un proceso de Poisson de media lambda, lavariable que mide el tiempo transcurrido hasta obtener nocurrencias del evento sigue una distribución gamma conparámetros a=n×lambda (escala) y p=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realizael estudio de la duración de elementos físicos (tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “faltade memoria”. Por esta razón, es muy utilizada en las teorías de lafiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemploen una consulta médica “tiempo que transcurre hasta lallegada del segundo paciente”), la teoría de la cola,electricidad, procesos industriales.
  12. 12. T- STUDENT En probabilidad y estadística, la distribución t (de Studet) es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Studet para la determinación de las diferencias entre dos medias muéstrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra. Es una distribución de probabilidad que surge del problema de estimar la media de una población normalmente distribuida cuando el tamaño de la muestra es pequeño. Aparece de manera natural al realizar la prueba t de Studet para la determinación de las diferencias entre dos medias muestrales y para la construcción del intervalo de confianza para la diferencia entre las medias de dos poblaciones cuando se desconoce la desviación típica de una población y ésta debe ser estimada a partir de los datos de una muestra.
  13. 13. Ejemplo de distribuciones Bernoulli1) Tenemos cartas que están enumeradas del 1 al 9¿Cuál es la probabilidad de sacar la carta 9?° La probabilidad de que obtengamos la carta 9. P(x=1) = (1/9) 1 * (8/9) 0 = 1/9 =0.111° La probabilidad de que NO obtengamos la carta 9. P(x=0) = (1/9)0 * (8/9)1 = 8/9 = 0.8882) Una maestra enumera a sus alumnos del 1 al 16, paraasí poder darles un premio, pero la maestra losseleccionará con los ojos cerrados, ¿ Cual es laprobabilidad de que salga el alumno numero 16?° La probabilidad de que seleccione al alumno numero16. P(x=1) = (1/16) 1 * (15/16) 0 = 1/16 =0.0625° La probabilidad de que NO seleccione al alumnonumero 16.
  14. 14. P(x=0) = (1/9)0 * (15/16)1 = 15/16 =0.93753) Hay una urna con 342 boletos, para ganar unautomóvil, al momento de sacar alguno de ellos ¿queprobabilidad hay para que pueda salir premiado elboleto número 342?° La probabilidad de que saque el boleto número 342. P(x=1) = (1/342) 1 * (341/342) 0 =1/342 = 0.00292° La probabilidad de que NO seleccione al alumnonumero 342. P(x=0) = (1/342)0 * (341/342)1 =341/342 = 0.997074) "Lanzar una moneda, probabilidad de conseguir quesalga cruz".Se trata de un solo experimento, con dos resultadosposibles: el éxito (p) se considerará sacar cruz. Valdrá 0,5.El fracaso (q) que saliera cara, que vale (1 - p) = 1 - 0,5 =0,5.La variable aleatoria X medirá "número de cruces quesalen en un lanzamiento", y sólo existirán dos resultadosposibles: 0 (ninguna cruz, es decir, salir cara) y 1 (unacruz).
  15. 15. Por tanto, la v.a. X se distribuirá como una Bernoulli, yaque cumple todos los requisitos.° La probabilidad de obtener cruz. P(x=1) = (0.5) 1 * (0.5) 0 = 0.5 = 0.5° La probabilidad de no obtener cruz. P(x=0) = (0.5)0 * (0.5)1 = 0.5 = 0.5
  16. 16. Ejemplo de distribución binomial
  17. 17. En un examen formado por 20 preguntas, cada una de las cuales se respondedeclarando“verdadero” o “falso”, el alumno sabe que, históricamente, en el 75% de los casos laRespuesta correcta es “verdadera” y decide responder al examen tirando dos monedas,pone“falso” si ambas monedas muestran una cara y “verdadero” si al menos hay una cruz. SeDesea saber qué probabilidad hay de que tenga al menos 14 aciertos.Hay que proporcionarle a Epidat 3.1 los parámetros de la distribución y el punto k a partirDel cual se calculará la probabilidad. En este caso n=20, p=0,75 y el punto k=14.Resultados con Epidat 3.1Cálculo de probabilidades. Distribuciones discretasBinomial (n,p)n: Número de pruebas 20p: Probabilidad de éxito 0,7500Punto K 14Probabilidad Pr[X=k] 0,1686Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,3828Cola Derecha Pr[X>k] 0,6172Media 15,0000Varianza 3,7500La probabilidad de que el alumno tenga más de 14 aciertos se sitúa en 0,61.
  18. 18. Ejemplos de distribución Poisson Ejemplo.- 1 Si ya se conoce que solo el 3% de los alumnos de contabilidad son muy inteligentes ¿ Calcular la probabilidad de que si tomamos 100 alumnos al azar 5 de ellos sean muy inteligentes n= 100 P=0.03 =100*0.03=3 x=5 Ejemplo2.- La producción de televisores en Samsung trae asociada una probabilidad de defecto del 2%, si se toma un lote o muestra de 85 televisores, obtener la probabilidad que existan 4 televisores con defectos. n=85 P=0.02
  19. 19. P(x5)=(e^-17)(1.7^4)/4!=0.0635746 X=4 =1.7 Ejemplo3.- una jaula con 100 pericos15 de ellos hablan ruso calcular laprobabilidad de que si tomamos 20 alazar 3 de ellos hablan ruso n=20 P=0.15 P (x=3)=(e^-8)(3^3)/3!=0.2240418 X=3 =3 Ejemplo4.- El 8% de los registroscontables de una empresa presentanalgún problema, si un auditor toma unamuestra de 40 registros ¿Calcularprobabilidad de que existan 5 registroscon problemas?
  20. 20. n=40 P=0.08P(X=5)(e^3.2)(3.2^5)/5!=0.1139793 =3.2 X=5Ejemplo.-5 Se calcula que la ciudad el20% de las personas tiene defecto de lavista si tomamos una muestra de 50personas al azar ¿Calcular Probabilidadque existan 5 registros con problemas?n=40P=0.08 =10
  21. 21. Ejemplo de distribución normal 1.- Una población normal tiene una media de 80 una desviación estándar de 14.0 µ = 80 σ = 14z a) Calcule la probabilidad de un valor localizado entre 75.0 y 90.0 p (75 ≤ x ≤ 90) 75 80 90 Probabilidad μ acumulada. z = 0.7611 z = 0.3594 p (75 ≤ x ≤ 90) = 0.7611 – 0.3594 = 0.4017 b) Calcule la probabilidad de un valor de 75.0 ó menor. p(x ≤ 75) Probabilidad z acumulada. 0.3594 p(x ≤ 75) = 0.3594 75 80 c) Calcule la probabilidad de un valor μ localizado entre 55.0 y 70.0 p (55 ≤ x ≤ 70) Probabilidad z acumulada. = 0.2389 z = 0.0367
  22. 22. p (55 ≤ x ≤ 70) = 0.2389 – 0.0367= 0.2022 55 70 80 μLos montos de dinero que se piden en las solicitudes de préstamos enDown River Federal Savings tiene una distribución normal, una media de$70,000 y una desviación estándar de $20,000. Esta mañana se recibióuna solicitud de préstamo. ¿Cuál es la probabilidad de que: µ= $70,00 σ =$20,0 za) El monto solicitado sea de $80,000 o superior? p(x ≥ 80,000) Probabilidad – acumulada. z = 0.6915 p(x ≥ 80,000) = 1 – 0.6915= 0.3085 70000 80000 μb) El monto solicitado oscile entre $65,000 y $80,000? p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) Probabilidad – z = acumulada. – 0.6915 z = p(65,000 ≤ x ≤ 80,000) = 0.6915 – 0.40130.4013 = 0.2902 65000 70000 80000 μc) El monto solicitado sea de $65,000 o superior. p(x ≥ 65,000) Probabilidad acumulada. 0.4013
  23. 23. –z =p(x ≥ 65,000) = 1 –0.4013 = 0.5987 65000 70000 μ3.-Entre las ciudades de Estados Unidos con una población de másde 250,000 habitantes, la media del tiempo de viaje de ida al trabajoes de 24.3 minutos. El tiempo de viaje más largo pertenece a laciudad de Nueva York, donde el tiempo medio es de 38.3 minutos.Suponga que la distribución de los tiempos de viaje en la ciudad deNueva York tiene una distribución de probabilidad normal y ladesviación estándar es de 7.5 minutos. µ = 38.3 min. σ = 7.5 min. za) ¿Qué porcentaje de viajes en la ciudad de Nueva York consumen menos de 30 minutos? p( x ≤ 30) Probabilidad – z = acumulada. 0.1335 p( x ≤ 30) = 0.1335 = 13.35% 30 38.3b) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 35 minutos? μ p(30 ≤ x ≤ 35) Probabilidad – z = acumulada. – 0.3300 z = 30 35 38.3 0.1335 μ
  24. 24. p(30 ≤ x ≤ 35) = 0.3300 – 0.1335 = 0.1965 = 19.65%c) ¿Qué porcentaje de viajes consumen entre 30 y 40 minutos? p(30 ≤ x ≤ 40) Probabilidad acumulada. – z µ = 1,200 0.5910 σ = 225 = z – z Probabilidad 0.1335 acumulada. = 5% = .0500 – z = 30 38.3 p(30 ≤ x ≤ 40) = 0.5910 – 0.1335 = μ 0.4575 = 45.75%4.- Las ventas mensuales de silenciadores en el área de Richmond,Virginia, tiene una distribución normal, con una media de $1,200 yuna desviación estándar de $225. Al fabricante le gustaría establecerniveles de inventario de manera que solo haya 5% de probabilidadde que se agoten las existencias. ¿Dónde se deben establecer losniveles de inventario?1 - 0.0500 = 0.9500 Valor z = 1.65 – 5% ó 0.0500 1.65 z
  25. 25. x = 1,571.25 X= 1,571.25 5.-En 2004 y 2005, el costo medio anual para asistir a una universidad privada en Estados Unidos era de $20,082. Suponga que la distribución de los costos anuales se rigen por una distribución de probabilidad normal y que la desviación estándar es de $4,500. El 95% de los estudiantes de universidades privadas paga menos de ¿Qué cantidad? 1.64 z 95% ó 0.9500– x = 27,462. X= 27,462 75 µ = 20,082 z σ = 4,500 Probabilidad Valor acumulada. de z 95% = .9500 =
  26. 26. Ejemplos de distribución gammaLa distribución gamma se puede caracterizar del modo siguiente: si se está interesado en la ocurrencia de unevento generado por un proceso de Poisson de media lambda, la variable que mide el tiempo transcurridohasta obtener n ocurrencias del evento sigue una distribución gamma con parámetros a= n lambda(escala) yp=n (forma). Se denotaGamma(a,p).Por ejemplo, la distribución gamma aparece cuando se realiza el estudio de la duración de elementos físicos(tiempo de vida).Esta distribución presenta como propiedad interesante la “falta de memoria”. Por esta razón, es muy utilizadaen las teorías de la fiabilidad, mantenimiento y fenómenos de espera (por ejemplo en una consulta médica“tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”).Ejercicio 1El número de pacientes que llegan a la consulta de un médico sigue una distribución dePoisson de media 3 pacientes por hora. Calcular la probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta lallegada del segundo paciente.Debe tenerse en cuenta que la variable aleatoria “tiempo que transcurre hasta la llegada del segundo paciente”sigue una distribución Gamma (6, 2).Solución:Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuasGamma (a p)a : Escala 60000p : Forma 20000Punto X 10000Cola Izquierda Pr[X<=k] 0,9826Cola Derecha Pr[X>=k] 0,0174Media 0,3333Varianza 0,0556Moda 0,1667La probabilidad de que transcurra menos de una hora hasta que llegue el segundo paciente es 0,98.
  27. 27. Ejercicio 2Suponiendo que el tiempo de supervivencia, en años, de pacientes que son sometidos a una cierta intervenciónquirúrgica en un hospital sigue una distribución Gamma con parámetros a=0,81 y p=7,81, calcúlese:1. El tiempo medio de supervivencia.2. Los años a partir de los cuales la probabilidad de supervivencia es menor que 0,1.Cálculo de probabilidades. Distribuciones continuas Gamma (a,p)a : Escala 0,8100p : Forma 7,8100Cola Izquierda Pr [X<=k] 0,9000Cola Derecha Pr [X>=k] Punto X 14,2429Media 9,6420Varianza 11,9037Moda 8,4074El tiempo medio de supervivencia es de, aproximadamente, 10
  28. 28. Un fabricante de focos afirma que su producto durará un promedio de 500 horas detrabajo. Para conservar este promedio esta persona verifica 25 focos cada mes. Si el valory calculado cae entre –t 0.05 y t 0.05, él se encuentra satisfecho con esta afirmación.¿Qué conclusión deberá él sacar de una muestra de 25 focos cuya duración fue?: 520 521 511 513 510 µ=500 h 513 522 500 521 495 n=25 496 488 500 502 512 Nc=90% 510 510 475 505 521 X=505.36 506 503 487 493 500 S=12.07SOLUCIÓN. t= x -μ SI n α = 1- Nc = 10%v = n-1 = 24t = 2.22 Enseguida se muestra la distribución del problema según el grafico sig.
  29. 29. El profesor Pérez olvida poner su despertador3 de cada 10 días. Además, ha comprobado que uno de cada 10 días en los que pone eldespertador acaba no levantándose a tiempo de dar su primera clase, mientras que 2 decada 10 días en los que olvida poner el despertador, llega a tiempo adar su primera clase.(a) Identifica y da nombre a los sucesos que aparecen en el enunciado.(b) ¿Cual es la probabilidad de que el profesor Pérez llegue a tiempo a dar su primeraclase?Solución: En primer lugar conviene Identificar el experimento aleatorio que estamosrealizando. Este consiste en tomar un día al azar en la vida del profesor Pérez y analizarloen base a los siguientes sucesos.(a) Para un día al azar decimos que se ha dado el suceso:O ≡ cuando el profesor ha olvidado poner el despertadorT ≡ cuando el profesor ha llegado tarde a su primera clase.Notemos que tanto {O, O} como {T, T} forman un sistema completo de sucesos. Acontinuación traducimos en términos de probabilidad de los sucesos anteriores todos losdatos que nos dan en el enunciado. P(O) = , P (T |O) = , P(O) = , P(T |O) = .(b) El suceso “llegar a tiempo a su clase” es el complementario de T , por tanto nos pidenque calculemos P(T¯). Puesto que {O, O} es un sistema completo de sucesos, podemosaplicar la formulas de la probabilidad total, de donde tenemos que:
  30. 30. P (T¯) = P (T |O¯) P(O) + P (T | ¯ O¯) P (O¯).En la expresión anterior aparecen varios de los datos que nos ha proporcionando elenunciado, sin embargo no conocemos directamente el valor de P(T |¯ O¯). Paracalcularlo utilizamos queP(T |¯ O¯) = 1 − P(T |O¯) = 1 − = De esta forma, la expresión anterior se puede escribircomo: P(T¯) = + =0.69 La longitud de los tornillos fabricados en una fábricatienen media μ=10 mm y desviación s=1 mm, calcular la probabilidad de que en unamuestra de tamaño n=25, la longitud media del tornillo sea inferior a 20.5 mm:P (μ<20.5)Estandarizamos T=(X-μ)/(s/√n) que sigue una distribución t de n-1 grados de libertadT=(20.5-20)/(1/√25) = 2.5P (μ<20.5) --> P (T<2.5) ~ t(24)P (T<2.5) = 0.9902P (μ<20.5)=0.9902La probabilidad que la longitud media de la muestra de 25 tornillos sea inferior a 20.5 mmes del 99.02% Calcular el percentil w0=95 y w0=25 en cada uno de los siguientes casos:1. En una distribución t-Studet con 3 grados de libertad.
  31. 31. 2. En una distribución t-Studet con 30 grados de libertad.Solución.1. Recordemos que w0=95 es aquel número real que verifica: S [W · w0=95] = 0=95Para encontrar este valor en la tabla de la distribución t-Studet bastará:- ) Localizar en la primera columna los grados de libertad, en este caso: 3.- ) Localizar en la primer fila la probabilidad acumulada, en nuestro caso: 0=95=- ) Movernos horizontal y verticalmente desde las posiciones anteriores hasta cruzarnos enel punto w0=95.Por tanto el percentil w0=95, en una t-Studet con 3 grados de libertad será el valor: w0=95 = 2=3534Es decir, si desde el valor 2.3534 nos movemos horizontalmente hasta la primera columna,llegaremos al valor 3 (grados de libertad), y si lo hacemos verticalmente hacia la primerafila la llegaremos al valor 0.95 (probabilidad acumulada).Como en la tabla únicamente tenemos tabulada la t-Studet para colas probabilísticasque van desde 0=75 hasta 0=999, para calcular el percentil w0=25, tendremos querealizar la siguiente consideración: S [W · w0=25] = 1 ¡ s[W ¸ w0=25]Como la distribución t-Studet es simétrica, se verifica: w0=25 = ¡w0=75Y resulta: s[W · w0=25] = 1 ¡ s[W · w0=75]Por tanto, buscando en la tabla con los datos:Grados de libertad: 3Cola de probabilidad: 0.75Tenemos: w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=76492. En el caso de 30 grados de libertad actuaremos de modo similar al caso anterior, perobuscando en la fila 30 de la tabla. Resultando:w0=95 = 1=6973Y w0=25 = ¡w0=75 = ¡0=6828
  32. 32. Calcular los percentiles I8>7;0=99 y I8>7;0=01Solución.Para buscar en la tabla de la F-Snedecor el percentil I8>7; 0=99 hemos de tener en cuentaque:df_1 = 8 (1d Fila de la tabla)df_2 = 7 (1 d Columna de la tabla)0=99 = Probabilidad acumulada (Última columna de la tabla)El valor donde se cruzan todos estos datos será el percentil buscado.Por tanto: I9>7; 099 = 6=8

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