operativa investigación

1. OPERACIONES 2 (ICA – 455) – Formulario de Teoría de Colas y
Simulación
Profesor: Pablo Diez; Ayudantes: Gabriel Durán y Francisco Henríquez
Fórmulas para Teoría de Colas
Para M/M/1
P0 =
n
λ
λ
µ −λ
= 1 − ρ ; Pn =  λ   µ − λ  = ρ n (1 − ρ) ; ρ =
;L =
  
µ  µ 

µ
µ −λ
µ
  

Wq =
; Lq = λWq
; W =
1
;
µ −λ
λ
λ
−µ(1− ) t
µ
; P( w > t ) = e
µ( µ − λ)
Para M/M/S
P =
0
L=
 λn
 µ n S !S ( n− S ) P0 ;si n > S

; P
n
λn

P ; si n ≤ S
 µ nn! 0

1
n
s
 λ 1
1  λ
1
∑ µ n ! + S !  µ

  1− λ
n =0 
Sµ
s −1
λ
 
µ
 
S +1
P0
λ
λ
+   = Lq +  
2
µ
µ
 
 

λ
( S − 1)!  S − 


µ

Wq =
Lq
λ
=W −
;
Lq =
 λ
 
 µ
;
S+
1
P
0

λ
( S −1)! S − 
µ

2
;
L = λW ;
W =
L
λ
;
1
µ
S


 λ

λ 
P  

0


1 − e −µt  S −1− µ   
 µ


P( w > t ) = e −µt 1 +


λ   S −1 − λ  

S !1 −  

µ 
µ 





Modelo M/M/1/K
 λ  n
   P ; si n ≤ k P
;
Pn   µ  0

 0 ; si n > k
0
=
 λ
1 − 
 µ
 λ
1 − 
 µ
k+
1
k +1
 λ
λ
( k +1)  
 µ
µ
−
; L=
k +1
λ
 λ
1−
1 − 
µ
 µ
; Lq = L − (1 − P ) ; W =
0
L
λ
1

2. Wq =
 λ

; λ = λ1 −  P0  = λ(1 − Pk )
 µ
  

k
Lq
λ


Modelo M/M/S/K ( λ , W y Wq se calculan como en M/M/1/K)
P0 =
1
n
S
λ 1 λ 1 k  λ 
1 + ∑ 
+ 
 
 µ  S! ∑  Sµ 


n =1  µ  n!
n = S +1 
 

s
 λn
 µ n n! P0 ; si n ≤ S


λn
Pn  n ( n − S ) P 0 ; si S ≤ n ≤ k ;
 µ S! S
0
; si n > k


Lq =
n −S
 λ
 
 µ
S −1
 S −1 
L = ∑ nPn + Lq + S 1 − ∑ Pn 
n =0
 n =0 
;
S +1

( S −1)! S

P
0
k −S
  λ  k −S
 λ 
λ 
1
− ( k − S )
 −

 1 −

2
Sµ 
 Sµ 

λ    Sµ

− 
µ
Modelo M/M/1/N
P =
0
1
N !  λ
∑( N − n )!  µ
 
n =0
Wq =
N
Lq
λ
n
n
;P =
n
 λ
N!
  P ; Lq
0
( N − n )!  µ
N
= ∑( n −1) Pn ; L = N −
n =1
µ
L
(1 − P0 ) ; W =
λ
λ
; λ = λ( N − L)
Modelo M/M/S/N
n

λ
N!
  P0 ; si n ≤ S

 
 ( N − n )! n!  µ 
1

n
P0 =
λ
N!

n
S −1
N
Pn 
  P0 ; si S ≤ n ≤ N ;
λ
N!
N!
(n -S) 

∑ ( N − n )! n!  µ  + n =S ( N − n )! S! S ( n −s )
∑
 
 (N - n)!S!S  µ 
n =0
 
0
; si n > N



S −1
N
 S −1 
L
L
Lq = ∑( n − S ) Pn ; L = ∑ nPn + Lq + s1 − ∑ Pn  ; W = ; Wq = q
λ
 n =0 
λ
n =s
n=0
λ
 
µ
 
n
Fórmulas de Simulación
~U ( a , b ) X = a + r ( b − a )
Distribución Uniforme X i
i
i
ln(1 − ri )
Distribución exponencial X i ~exp(α ) X i = −
α
2

3. Distribución de Weilbul X i ~W (α, β ) X i =
 n 
σ   ∑ ri  −
  i=1 
Normal ~
X i N( µ , σ 2 ) X i = µ +
n
12
n

2
1
α
β
− ln(1 − ri )
 n  
= µ + σ   ∑ ri  − 6
  i=1  
3