CÁLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL         NA    WIKIPÉDIA                         0                         Página
Cálculo(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo)                              ...
Índice    •     1 História              o 1.1 Desenvolvimento    •     2 Princípios              o 2.1 Limites e Infinites...
encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quintoséculo depois de Cristo, para achar o volu...
Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico queviria a constituir o cálculo, a ambos é ...
números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função éencontrado pelo limite de números cada vez meno...
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encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o                                           ...
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Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode serexpressada como a derivada da velocid...
•   Mendelson, Elliot (2007). Bookman Companhia Editora, 2ª edição. Introdução ao Cálculo ISBN        8560031537    •   Gu...
ANEXO 1Limite(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite)Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamen...
Limite de uma funçãoSuponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão:                  )signifi...
Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, peloque o limite de f(x) é 2.Definição form...
Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser umdeterminado número, ou seja, no limite, es...
Limites em funções de duas ou mais variáveisA noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numér...
Nesse caso o limite L é zero   •   o limite se fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja,                 e...
ANEXO 1.1Limite de uma seqüência(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia)O limite de uma seqüência é um ...
Se         diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se       se e somente se para toda a vizinhança S de L exist...
ANEXO 2Derivada(http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada)Em Matemática, diz-se que uma ...
Índice     •    1 Definições formais     •    2 Exemplos     •    3 Propriedades das funções deriváveis              o 3.1...
Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como umprocesso de limite. Considera          ...
A função f de R em R definida por f(x) = x é derivável em todos os pontos de R e a suaderivada é igual a 1 em todos os pon...
o           oEm particular, se c ∈ R, então (c.f) = c.f. Resulta daqui e de se ter (f + g = f + g que a                   ...
Funções continuamente deriváveisSeja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-se qu...
Pontos críticos ou estacionáriosPontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontoscríticos. Exis...
Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversada função exponencial, resulta da i...
Funções com valores em RnSe I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em Rn,para algum n...
Usando derivadas para desenhar gráficos de funçõesAs derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em...
ANEXO 3Integral(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral )                    ATENÇÃO: Este artigo ou secção não cita as suas...
Definição conceitual                                                      Integrando a área de uma função                 ...
esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar emlinguagem matemática precisa. Por isto ...
derivada e em seguida o resultado integrado, obtém se a função original. Esta                                             ...
Exemplos de integraçãoEstas são as integrais de algumas das funções mais comuns:                                         (...
ANEXO 4Teorema fundamental do Cálculo(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo)O Teorema fundament...
Índice     •    1 Intuição     •    2 Formalização              o 2.1 Corolário     •    3 Prova              o 3.1 Parte ...
Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [                                       ...
Pode ser mostrado que                                                                .       (A soma das áreas de duas reg...
Para encontrar o outro limite, usaremos o teorema do sanduíche. O número c está no                                        ...
Aqui, aplicamos o teorema do valor médio. Como anteriormente, é o seguinte:                                   médio.Consid...
curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e naumentando, resultando em maior número de part...
é diferenciável para x = x0 com F(x0) = f(x0). Podemos tirar ainda mais restrições de f e                                 ...
ANEXO 5Integral de Riemann(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riema...
A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidadepara a área de S. Para se ter uma aproxi...
Soma de RiemannEscolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo[a,b]. A Soma de Rie...
Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquerpartição que seja selecionada que leve a ...
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  1. 1. CÁLCULODIFERENCIAL E INTEGRAL NA WIKIPÉDIA 0 Página
  2. 2. Cálculo(http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo http://pt.wikipedia.org/wiki/C%C3%A1lculo) O cálculo permite calcular a área da região assinalada O Cálculo Diferencial e Integral também chamado de cálculo infinitesimal Integral, infinitesimal,ou simplesmente Cálculo é um ramo importante da matemática, desenvolvido a partirda Álgebra e da Geometria, que se dedica ao estudo de taxas de variação de grandezas Geometria,(como a inclinação de uma recta) e a acumulação de quantidades (como a área debaixo linaçãode uma curva ou o volume de um sólido). Onde há movimento ou crescimento e ondeforças variáveis agem produzindo aceleração, o cálculo é a matemática a ser empregada.O cálculo foi criado como uma ferramenta auxiliar em várias áreas das ciências exactas. iadoDesenvolvido por Isaac Newton e Gottfried Leibniz, em trabalhos independentes, o ,Cálculo ajuda em vários conceitos e definições desde a matemática, química, físicaclássica e até a física moderna. O estudante de cálculo deve ter um conhecimento emcertas áreas da matemática, como funções, geometria e trigonometria, pois são a base do scálculo. O cálculo tem inicialmente 3 "operações base", ou seja, possui áreas iniciais "operações-base",como o cálculo de limites, o cálculo de derivadas de funções e a integral de diferenciais. ,A integral indefinida também pode ser chamada de antiderivada, uma vez que é umprocesso que inverte a derivada de funções. Já a integral definida, inicialmente definidacomo Soma de Riemann, estabelece limites de integração, ou seja, é um processo ,estabelecido entre dois intervalos bem definidos, dai o nome integral definida.Com o advento do Teorema Fundamental do Cálculo estabeleceu-se uma conexão entre eorema seos dois ramos do cálculo: o Cálculo Diferencial e o Cálculo Integral O cálculo Integral.diferencial surgiu do problema da tangente, enquanto o cálculo integral surgiu de umproblema aparentemente não relacionado, o problema da área. O professor de IsaacNewton em Cambridge, Isaac Barrow descobriu que esses dois problemas estão de fato Barrow, blemasestritamente relacionados, ao perceber que a derivação e a integração são processosinversos. Foram Leibniz e Newton que exploraram essa relação e a utilizaram paratransformar o cálculo em um método matemático sistemático. Particularm Particularmente ambosviram que o Teorema Fundamental os capacitou a calcular áreas e integrais muito maisfacilmente, sem que fosse necessário calculá las como limites de soma (método descrito calculá-laspelo matemático Riemann, pupilo de Gauss) , 1 Página
  3. 3. Índice • 1 História o 1.1 Desenvolvimento • 2 Princípios o 2.1 Limites e Infinitesimais o 2.2 Derivadas o 2.3 Integrais o 2.4 Teorema Fundamental do Cálculo • 3 Aplicações • 4 Ver também o 4.1 Listas o 4.2 Tópicos relacionados o 4.3 Referências bibliográficas 4.3.1 Cálculo Básico 4.3.2 Cálculo Avançado o 4.4 Livros on-line o 4.5 Páginas na InternetHistóriaDesenvolvimento Arquimedes, segundo Gauss o maior matemático da antigüidade, já apresentava idéias relacionadas ao Cálculo dois séculos antes de Cristo.A história do cálculo se encaixa em vários períodos distintos, de forma notável nas erasantiga, medieval e moderna. Na era antiga foram introduzidas algumas idéias do cálculointegral, embora não tenha havido um desenvolvimento dessas idéias de forma rigorosae sistemática. A função básica do cálculo integral, calcular volumes e áreas, pode serremontada ao Papiro Egípcio de Moscow (1800 A.C.), no qual um egípcio trabalhou ovolume de um frustum piramidal. Eudoxus (408-355 A.C) usou o método da exaustãopara calcular áreas e volumes. Arquimedes (287-212 A.C.) levou essa idéia além, 2inventando a heurística que se aproxima do cálculo integral. O método da exaustão foi Páginaredescoberto na China por Liu Hui no terceiro século depois de Cristo, que o usou para
  4. 4. encontrar a área do círculo. O método também foi usado por Zu Chongzhi no quintoséculo depois de Cristo, para achar o volume de uma esfera. Sir Isaac Newton foi um dos mais famosos inventores e contribuidores do cálculo com relação a suas leis de movimento e outros conceitos matemáticos- físicosNo período medieval, o Matemático indiano Aryabhata usou a noção infinitesimal em499 D.C. expressando-a em um problema de astronomia na forma de uma equaçãodiferencial básica. Essa equação levou Bhāskara II no século doze a desenvolver umaderivada prematura representado uma mudança infinitesimal, ele desenvolveu também oque seria uma forma primitiva do “Teorema de Rolle”.No século XII o matemático persa Sharaf al-Din al-Tusi descobriu a derivada depolinômios cúbicos, um resultado importante no cálculo diferencial. No século XIV,Madhava de Sangamagrama, juntamente com outros matemáticos-astrônomos da EscolaKerala de Astronomia e Matemática, descreveu casos especiais da Série de Taylor, queno texto são tratadas como Yuktibhasa.No período moderno, descobertas independentes no cálculo foram feitas no início doséculo XVII no Japão por matemáticos como Seki Kowa que expandiu o método deexaustão. Na Europa, a segunda metade do século XVII foi uma época de grandesinovações. O Cálculo abriu novas oportunidades na física-matemática de resolverproblemas muito antigos que até então não haviam sido solucionados. Muitosmatemáticos contribuíram para essas descobertas, notavelmente John Wallis e IsaacBarrow. James Gregory proveu um caso especial do segundo teorema fundamental docálculo em 1668. Gottfried Wilhelm Leibniz, foi originalmente acusado de plagiar os trabalhos não publicados de Isaac Newton, hoje porém é considerado, juntamente com Newton, o inventor do cálculo 3 Página
  5. 5. Coube a Leibniz e Newton recolher essas idéias e juntá-las em um corpo teórico queviria a constituir o cálculo, a ambos é atribuído a simultânea e independente invençãodo cálculo. Historicamente Newton foi o primeiro a aplicar o cálculo à física ao passoque Leibniz desenvolveu a notação utilizada até os dias de hoje. O argumento históricopara conferir aos dois a invenção do cálculo é que ambos chegaram de maneirasdistintas ao teorema fundamental do cálculo.Quando Newton e Leibniz publicaram seus resultados, houve uma grande controvérsiade qual matemático (e portanto que país: Inglaterra ou Alemanha) merecia o crédito.Newton derivou seus resultados primeiro, mas Leibniz publicou primeiro. Newtonargumentou que Leibniz roubou idéias de seus escritos não publicados, que Newton àépoca compartilhara com alguns poucos membros da Sociedade Real. Esta controvérsiadividiu os matemáticos ingleses dos matemáticos alemães por muitos anos. Um examecuidadoso dos escritos de Leibniz e Newton mostra que ambos chegaram a seusresultados independentemente, com Leibniz iniciando com integração e Newton comdiferenciação. Nos dias de hoje tem-se que Newton e Leibniz descobriram o cálculoindependentemente. Leibniz, porém, foi quem deu o nome cálculo à nova disciplina,Newton a chamara de “A ciência dos fluxos”.Desde o tempo de Leibniz e Newton, muitos matemáticos contribuíram para o contínuodesenvolvimento do cálculo. No século XIX, o cálculo foi abordado de uma formamuito mais rigorosa por matemáticos como Cauchy, Riemann e Weierstrass. Foitambém durante este período que idéias do cálculo foram generalizadas ao espaçoeuclidiano e ao plano complexo. Lebesgue mais tarde generalizou a noção de integral.PrincípiosLimites e Infinitesimais Ver anexo 1O cálculo é comumente utilizado pela manipulação de quantidades muito pequenas.Historicamente, o primeiro método de utilizá-lo era pelas infinitesimais. Estes objetospodem ser tratados como números que são, de alguma forma, "infinitamente pequenos".Na linha numérica, isso seria locais onde não é zero, mas possui "zero" de distância dezero. Nenhum número diferente de zero é um infinitesimal, porque sua distância de zeroé positiva. Qualquer múltiplo de um infinitesimal continua sendo um infinitesimal. Emoutras palavras, infinitesimais não satisfazem a propriedade Archimediana. Deste pontode vista, o cálculo é uma coleção de técnicas para manipular infinitesimais. Talpensamento foi ignorado no século XIX porque era muito difícil ter a noção precisa deuma infinitesimal. Entretanto, o conceito foi reutilizado no século XX com a introduçãoda análise não padronizada, a qual propiciou fundamentos sólidos para a manipulaçãode infinitesimaisNo século XIX, as infinitesimais foram substituídas pelos limites. Limites descrevem ovalor de uma função em um certo ponto em termos dos valores de pontos próximos. 4Eles capturam o comportamento numérico em baixa escala, como nas infinitesimais, Páginamas utilizando números ordinários. Deste ponto de vista, calculo é uma coleção detécnicas para a manipulação de certos limites. As infinitesimais foram substituídas por
  6. 6. números muito pequenos, e o comportamento infinitamente pequeno da função éencontrado pelo limite de números cada vez menores. Limites são fáceis de seremcolocados em fundações rigorosas e, por esse motivo, são a abordagem padrão para ocálculo.Derivadas Ver anexo 2 Reta tangente em (x, f(x))O cálculo diferencial é o estudo da definição, propriedade e aplicações da derivada oudeslocamento de um gráfico. O processo de encontrar a derivada é chamado"diferenciação". Em linguagem técnica, a derivada é um operador linear, o qual formauma nova função a partir da função original, em que cada ponto da nova função é odeslocamento da função original.O conceito de derivada é fundamentalmente mais avançado do que os conceitosencontrados em álgebra. Em álgebra, os estudantes aprendem sobre funções em que onúmero de entrada gera um número de saída. Por exemplo, se no dobro da função éinserido 3, então a saída é 6, enquanto se a função é quadrática, e é inserido 3, então asaída é 9. Mas na derivada, a entrada é uma função e a saída é outra função. Porexemplo, se na derivada é colocada uma função quadrada, então a saída é o dobro deuma função, porque o dobro da função fornece o deslocamento da função quadrática emqualquer ponto dado da função.Para entender a derivada, os estudantes precisam aprender a notação matemática. Nanotação matemática, um símbolo comum para a derivada da função é um sinal deapóstrofo chamado "linha". Então a derivada de f é f (f linha). Isso em notaçãomatemática seria escrito assim: .Se a função de entrada é o tempo, então a derivada dessa função é a taxa em que afunção é alterada.Se a função é linear, ou seja, o gráfico da função é uma linha reta, então a função pode 5 Páginaser escrita como y = m x + b, onde:
  7. 7. .Isto da o valor exato para a variação da linha reta. Se a função não é uma linha reta,então a variação em y é dividida pela variação em x, e nós precisamos do cálculo paraencontrar o valor exato em cada ponto da função. (Note que y e f(x) são duas notaçõesdiferentes para a mesma coisa: a saída da função. Uma linha entre dois pontos em umacurva é chamado de reta secante. A variação da reta secante pode ser expressada como:onde as coordenadas do primeiro ponto é (x, f(x)) e h é a distância horizontal entre osdois pontos.Para determinar o deslocamento da curva, nós usamos os limites:Em um caso particular, nós encontramos o deslocamento da função quadrática no pontoem que a entrada é 3 e a saída é 9 (Ex.: f(x) = x2, então f(3) = 9).O deslocamento da função quadrática no ponto (3, 9) é 6, isto é, ele cresce seis vezesmais rapido e está indo para a direita.Integrais Ver anexo 3 6O Cálculo Integral é o estudo das definições, propriedades, e aplicações de dois Páginaconceitos relacionados, as integrais indefinidas e as integrais definidas. O processo de
  8. 8. encontrar o valor de uma integral é chamado integração. Em linguagem técnica, o .calculo integral estuda dois operadores lineares relacionados.A integral indefinida é a antiderivada, o processo inverso da derivada. F é uma ,integral indefinida de f quando f é uma derivada de F. (O uso de letras maiúsculas eminúsculas para uma função e sua integral indefinida é comum em cálculo.)A integral definida insere uma função e extrai um número, o qual fornece a área entreo gráfico da função e o eixo do x. A definição técnica da integral definida é o limite da definiçãosoma das áreas dos retângulos, chamada Soma de Riemann.Um exemplo motivacional é a distância ( ) viajada em um determinado tempo ( (D) (t).Se a velocidade (V) é constante, somente multiplicação é necessária, mas se a )velocidade varia, então precisamos de um método mais poderoso para encontrar adistância. Um método é a aproximação da distância viajada pela divisão do tempo emmuito mais intervalos de tempo, e então multiplicando o tempo em cada intervalo poruma das velocidades naquele intervalo, e então fazer uma Soma de Riemann das asdistâncias aproximadas viajadas em cada intervalo. A idéia básica é que se somente umpequeno tempo passar, então a velocidade vai permanecer praticamente a mesma.Entretanto, uma Soma de Riemann somente da uma aproximação da distância viajada.Nós precisamos pegar o limite de todas as Somas de Riemann para encontrar a distânciaviajada exata. Integração pode ser explicada como a medida da área entre uma curva, definida por f(x), entre dois pontos (aqui a e b).Se f(x) no diagrama da esquerda representa a velocidade variando de acordo com otempo, a distância viajada entre os tempos representados por a e b é a área da regiãoescura s.Para aproximar a área, um método intuitivo seria dividir em distâncias entre a e b em intuitivo 7um número de segmentos iguais, a distância de cada segmento representado pelo Páginasímbolo ?x. Para cada segmento menor, nós podemos escolher um valor da função f(x). .Chame o valor h. Então a área do retângulo com a base ?x e altura h dá a distância .
  9. 9. (tempo ?x multiplicado pela velocidade h) viajado naquele segmento. Associado comcada segmento é o valor médio da função sobre ela,f(x)=h. A soma de todos osretângulos dados é uma aproximação da área entre o eixo e a curva, o qual é umaaproximação da distância total viajada. Um valor menor para ?x nos dará maisretângulos e, na maioria dos casos uma melhor aproximação, mas para uma respostaexata nós precisamos fazer o limite em ?x tender a zero.O símbolo da integração é , um S alongado (que significa "soma"). A integraldefinida é escrita da forma:e lida como "a integral de a até b de f-de-x em relação a x."A integral indefinida, ou antiderivada, é escrita da forma: .Desde que a derivada da função y = x2 + C é y = 2x (onde C é qualquer constante),então: .Teorema Fundamental do Cálculo Ver anexo 4O teorema fundamental do cálculo afirma que a diferenciação e a integração sãooperações inversas. Mais precisamente, o teorema conecta os valores de antiderivadasao valor de integrais definidas. Por ser usualmente mais fácil computar umaantiderivada do que aplicar a definição de uma integral definida, o teorema fundamentaldo cálculo provê uma forma prática de computar integrais definidas. Pode também serinterpretado como uma afirmação precisa do fato que a diferenciação é o inverso daintegração.É afirmado pelo teorema fundamental do cálculo que: Se uma função f é contínua nointervalo [a, b] e se F é uma função cuja derivada é f no intervalo (a, b), entãoAlém disso, para cada x no intervalo (a, b) temos que 8 Página
  10. 10. E, seu Corolário pode ser transcrito da seguinte forma:Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ [a,b]. Se F é uma função tal que para todo x em [a, b]entãoe .Essa descoberta, realizada por Newton e Leibniz, que basearam-se nos resultados de um setrabalho anterior de Isaac Barrow, exerceu um papel chave na massiva proliferação de Barrow,resultados analíticos que se seguiram após seus trabalhos ficarem conhecidos. O trabalhosTeorema fundamental do cálculo provê um método algébrico de computar muitasintegrais definidas—sem executar processos limite simplesmente por encontrar sem limite—simplesmentefórmula para antiderivadas.Aplicações A espiral logarítmica da concha do Nautilus é uma imagem clássica usada para representar o crescimento e a mudança relacionados ao cálculoO cálculo é usado em todos os ramos das ciências físicas, na ciência da computação computação,estatística, engenharia, economia medicina e em outras áreas sempre que um problema economia,possa ser modelado matematicamente e uma solução ótima é desejada.A Física faz uso intensivo do cálculo. Todos os conceitos na mecânica clássica sãointerrelacionados pelo cálculo. A massa de um objeto de densidade conhecida, omomento de inércia dos objetos, assim como a energia total de um objeto dentro de umsistema fechado podem ser encontrados usando o cálculo. Nos sub sub-campos daeletricidade e magnetismo, o cálculo pode ser usado para encontrar o fluxo total de magnetismo,campos eletromagnéticos. Um exemplo mais histórico do uso do cálculo na física é asegunda lei de Newton que usa a expressão "taxa de variação" que se refere à derivada: 9A taxa de variação do momento de um corpo é igual à força resultante que age sobre o Páginacorpo e na mesma direção. Até a expressão comum da segunda lei de Newton como
  11. 11. Força = Massa × Aceleração envolve o cálculo diferencial porque a aceleração pode serexpressada como a derivada da velocidade. A teoria do eletromagnetismo de Maxwell ea teoria da relatividade geral de Einstein também são expressas na linguagem do cálculodiferencial. A química também usa o cálculo para determinar as variações na velocidadedas reações e no decaimento radioativo.O cálculo pode ser usado em conjunto com outras disciplinas matemáticas. Porexemplo, ele pode ser usado com a álgebra linear para encontrar a reta que melhorrepresenta um conjunto de pontos em um domínio.Na esfera da medicina, o cálculo pode ser usado para encontrar o ângulo ótimo naramificação dos vasos sanguíneos para maximizar a circulação.Na geometria analítica, o estudo dos gráficos de funções, o cálculo é usado paraencontrar pontos máximos e mínimos, a inclinação, concavidade e pontos de inflexão.Na economia o cálculo permite a determinação do lucro máximo fornecendo umafórmula para calcular facilmente tanto o custo marginal quanto a renda marginal.O cálculo pode ser usado para encontrar soluções aproximadas de equações, emmétodos como o método de Newton, iteração de ponto fixo e aproximação linear. Porexemplo, naves espaciais usam uma variação do método de Euler para aproximartrajetórias curvas em ambientes de gravidade zero.Ver tambémListas • Lista de tópicos básicos em cálculo • Tabela de derivadas • Tábua de integrais • Lista de tópicos em cálculo • Publicações sobre cálculoTópicos relacionados • Régua de cálculos • Série • Cálculo polinomial • Geometria diferencial • Cálculo com múltiplas variáveis • Análise non-standard • Pré-cálculo (Educação matemática) • Integral-produto • Cálculo estocásticoReferências bibliográficas 10Cálculo Básico Página • Medeiros, Valeria Zuma (2005). Thomsom Pioneira, 1ª edição. Pré-Cálculo ISBN 8522104506 • Coelho, Flavio Ulhoa (2005). Saraiva, 1ª edição. Curso Básico de Cálculo ISBN 8502051202
  12. 12. • Mendelson, Elliot (2007). Bookman Companhia Editora, 2ª edição. Introdução ao Cálculo ISBN 8560031537 • Guidorizzi, Hamilton; LTC; 5ª edição, 2001; 4 vols. ISBN 8521612591 • Piskounov, Nikolai Semenovich; Edições Lopes da Silva; 12ª edição, 2002; 2 vols. • Goldstein, Larry J./Schneider, David I. (2007); Hemus; 1ª edição, volume único. Cálculo e suas Aplicações ISBN 9781891389245 • Stewart, James (2002). Thomsom Pioneira, 5ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8522104794 • Thomas, George B. (2002). Addison Wesley Brasil, 10ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8588639114 • Anton, Howard A. (2007). Bookman Companhia Editora, 8ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8560031804 • Barboni, Ayrton/Paulette, Walter (2007). LTC, 1ª edição. Fundamentos da Matemática: Cálculo e Análise ISBN 8521615469 • Ayres Jr., Frank/Mendelson, Elliot (2006), Bookman Companhia Editora, 4ª edição. Cálculo, col. Schaum ISBN 856003109X • Bradley, Gerald L./Hoffman, Laurence D. (2008). LTC, 9ª edição. Cálculo:Um Curso Moderno e suas Aplicações ISBN 8521616023 • Lopes, Hélio/Malta, Iaci/Pesco, Sinesio (2002). Loyola, 1ª edição, 2 vols. Cálculo a uma Variável ISBN 8515024403 • Hughes-Hallett, Deborah (2005). LTC, 2ª edição. Cálculo Aplicado ISBN 8521613970 • Larson, Ron/Edwards, Brruce (2005). LTC, 6ª edição Cálculo com Aplicações ISBN 8521614330 • Avila, Geraldo (2003). LTC, 7ª edição, 3 vols. Cálculo das Funções de uma Variável ISBN 8521613709 • Hallett, Hughes (2004). LTC, 7ª edição. Cálculo de uma Variável ISBN 8521613903 • Salas/Hille/Etgen (2005). LTC, 9ª edição, 2 vols. Cálculo ISBN 8521614594Cálculo Avançado • Wrede, Robert C./Spiegel, Murray R. (2003). Bookman Companhia Editora, 2ª edição Cálculo Avançado ISBN 8536303476 • Hellmeister, Ana Catarina Pontone, organizadora. EDUSP, 2ª edição (2006) Cálculo Integral Avançado ISBN 8531403707 • Bortolossi, Humberto Jose (2002). Loyola, 1ª edição Cálculo a Várias Variáveis: Uma Introdução à Teoria da Otimização ISBN 851502442X • Spivak, Michael (2003). Ciência Moderna, 1ª edição Cálculo em Variedades ISBN 8573932252Livros on-line • MATHEMATICA NO ENSINO DE CÁLCULO: Uma Abordagem Computacional pelo prof. Inder Jeet Taneja da UFSC • Cálculo Diferencial a Várias Variáveis:Uma Introdução à Teoria de Otimização • CÁLCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL NA RETA - Notas de Aula pelo prof. Plácido Z. Táboas do ICMC-USP de São Carlos • Exercícios de Cálculo Diferencial e Integral de Funções Definidas em RnPáginas na Internet • Curso de cálculo on-line da USP • "Kit de sobrevivência em Cálculo" do departamento de Matemática da UEM • Materiais de aula do IMECC-UNICAMP • [http://www.mtm.ufsc.br/~taneja/MATREDE/Math4/Math4.html Cálculo com o Mathematica • Cálculo Infinitesimal: o que é isso? 11 • Material para Cálculo I pelos professores Fernando Guerra e Inder Jeet Taneja da UFSC Página
  13. 13. ANEXO 1Limite(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite)Em matemática, o conceito de limite é usado para descrever o comportamento de umafunção à medida que o seu argumento se aproxima de um determinado valor, assimcomo o comportamento de uma sequência de números reais, à medida que o índice (dasequência) vai crescendo, i.e. tende para infinito. Os limites são usados no cálculodiferencial e em outros ramos da análise matemática para definir derivadas e acontinuidade de funções. Índice • 1 Limite de uma sequência • 2 Limite de uma função o 2.1 Definição formal • 3 Aproximação intuitiva • 4 Limites em funções de duas ou mais variáveisLimite de uma sequência Ver anexo 1.1Seja uma sequência de números reais. A expressão:significa que, quanto maior o valor i, mais próximo de L serão os termos da sequência.Neste caso, dizemos que o limite da sequência é L.A forma usual de escrever isso, em termos matemáticos, deve ser interpretada como umdesafio. O desafiante propõe quão perto de L os termos da sequência devem chegar, e odesafiado deve mostrar que, a partir de um certo valor de i, os termos realmente estãoperto de L.Ou seja, qualquer que seja o intervalo em torno de L (dado, pelo desafiante, porexemplo, pelo intervalo aberto , o desafiado deveexibir um número natural N tal que .Formalmente, o que foi dito acima se expressa assim: 12 Página
  14. 14. Limite de uma funçãoSuponhamos que f(x) é uma função real e que c é um número real. A expressão: )significa que f(x) se aproxima tanto de L quanto quisermos, quando se toma x )suficientemente próximo de c. Quando tal acontece dizemos que "o limite de f(x), à .medida que x se aproxima de c, é L". Note-se que esta afirmação pode ser verdadeira semesmo quando , ou quando a função f(x) nem sequer está definida em c. )Vejamos dois exemplos que ajudam a ilustrar estes dois pontos importantíssimos.Consideremos à medida que x se aproxima de 2. Neste caso, f(x) estádefinido em 2 e é igual ao seu limite: 0.4, vejamos:f(1.9) f(1.99) f(1.999) f(2) f(2.001) f(2.01) f(2.1)0.4121 0.4012 0.4001 0.4 0.3998 0.3988 0.3882À medida que x aproxima-se de 2, f(x) aproxima-se de 0.4 e consequentemente temos a se seigualdade . Sempre que se verifique a igualdade, diz-se que f é contínua em x = c. A igualdade não é válida para todas as funções. raVejamos uma função onde tal não aconteceO limite de g(x) à medida que x se aproxima de 2 é 0.4 (tal como em f(x)), mas ) e consequentemente g não é contínua em x = 2.Consideremos agora o caso onde f(x) não está definida em x = c.Apesar de f(x) não estar definida em x = 1, o limite de f(x), quando x se aproxima de 1, )existe e é igual a 2: 13f(0.9) f(0.99) f(0.999) f(1.0) f(1.001) f(1.01) f(1.1) Página1.95 1.99 1.999 não está definido 2.001 2.010 2.10
  15. 15. Ora x pode ser tomado tão próximo de 1 quanto quisermos, sem no entanto ser 1, peloque o limite de f(x) é 2.Definição formal A definição ε-δ de limiteO conceito de limite é formalmente definido da seguinte forma: Seja f uma funçãodefinida num intervalo aberto contendo a (excepto possivelmente a e seja A um a)número real. A expressãosignifica que qualquer que seja existe um tal que para todo x,satisfazendo , vale . OU, usando a notaçãosimbólica:Dito de maneira mais formal, um limite A é dado da seguinte maneira, segunda a idéiaoriginalmente formulada por Cauchy:um limite A dado pela fórmula:onde A é o valor do qual difere o valor de f(x) a menos de um valor ε (epsilon) maiorque zero se o valor de x diferir de a por um valor menor que o valor δ (delta) maior quezero e função de ε (δ = f(ε)) ε))Aproximação intuitiva 14A noção de limite é fundamental no início do estudo de cálculo diferencial. O conceitode limite pode ser apreendido de forma intuitiva, pelo menos parcialmente. Página
  16. 16. Quando falamos do processo limite, falamos de uma incógnita que "tende" a ser umdeterminado número, ou seja, no limite, esta incógnita nunca vai ser o número, mas vaise aproximar muito, de tal maneira que não se consiga estabelecer uma distância que vaiseparar o número da incógnita. Em poucas palavras, um limite é um número para o qualy = f(x) difere arbitrariamente muito pouco quando o valor de x difere de x0arbitrariamente muito pouco também.Por exemplo, imaginemos a função: f(x) = 2x + 1 e imaginando f:R - > R (Definida nosreais). Sabemos, lógico, que esta função nos dá o gráfico de uma reta, que não passapela origem, pois se substituirmos: f(0) = 2.0 + 1 que nos dá: f(0) = 0 + 1 = 1, ou seja,no ponto onde x=0 (origem), o y (f(x)) é diferente de zero. Mas usando valores que seaproximem de 1, por exemplo:Se x=0,98 então: y=f(x)=2,96Se x=0,998 então: y=f(x)=2,996Se x=0,9998 então: y=f(x)=2,9996Se x=0,99999 então: y=f(x)=2,99998Ou seja, à medida que x "tende" a ser 1, o y "tende" a ser 3. Então no processo limite,quando tende a ser um número, esta variável aproxima-se tanto do número, de tal formaque podemos escrever como no seguinte exemplo:Exemplo 1.1: Sendo uma função f definida por: f(x) = 2x + 1 nos Reais, calcular olimite da função f quando x - > 1. Temos então, neste caso, a função descrita noenunciado e queremos saber o limite desta função quando o "x" tende a ser 1: Ou seja,para a resolução fazemos:Então, no limite é como se pudéssemos substituir o valor de x para resolvermos oproblema. Na verdade, não estamos substituindo o valor, porque para o cálculo nãoimporta o que acontece no ponto x, mas sim o que acontece em torno deste ponto. Porisso, quando falamos que um número "tende" a ser n, por exemplo, o número nunca vaiser n, mas se aproxima muito do número n. Enfim, como foi dito anteriormente, adefinição de limite é tão e somente intuitiva. Vai de analisar a função que estáocorrendo apenas. Agora, o exercício do Exemplo 1.1 mostra que x se aproxima de 1pela esquerda, ou seja:Porém, temos também uma outra forma de se aproximar do número 3, na função f(x)descrita nos exemplo acima, por exemplo: Se x=2, y=f(x)=5 ; Se x=1,8 então:y=f(x)=4,6 ; Se x=1,2 temos que: y=f(x)=3,4 ; Se x=1,111 então: y=f(x)=3,222Podemos perceber então, que x está tendendo a 1 pela direita agora, e não mais pelaesquerda como foi mostrado no exemplo anterior. Então para resolvermos problemasque envolvem cálculo, devemos saber como a função que está em jogo se comporta. 15 Página
  17. 17. Limites em funções de duas ou mais variáveisA noção de limite, conquanto seja a mesma para todos os tipos de funções numéricas,nem sempre é fácil de se calcular. Muitas vezes é mesmo difícil de se afirmar que olimite exista ou não.Esse é o caso de funções de duas ou mais variáveis. Uma função do tipo:pode ter evidentemente um limite, mas aqui há uma diferença fundamental.Sobre a reta real, só existe verdadeiramente um grau de liberdade, ou seja, só se pode ir eja,para a direita (no sentido de maiores números reais) ou para a esquerda (no sentido demenores números reais).Com uma função de duas variáveis (só para ficar no caso mais simples) tem tem-se doisgraus de liberdade. Consequentemente, pode ter infinitos caminhos entre dois pontos, pode-seo que na verdade influencia no valor do limite.Ora, para que exista um valor de limite, é necessário que ele independa do caminhotomado para que o(s) valor(es) da(s) variável(eis) independentes sejam alcançados Isso alcançados.é verdade no caso unidimensional, quando os dois limites laterais coincidem. Em casocontrário, o limite não existe.De forma semelhante, quando se tem uma função bidimensional como:o limite pode ser testado através de vários caminhos.Suponha que se queira verificar o seguinte limite L desta funçao:Pode-se aproximar-se do valor (0,0) através das seguintes possibilidades: se • o limite se fazendo através da abcissa, da direita para a esquerda, ou seja, 16 Página
  18. 18. Nesse caso o limite L é zero • o limite se fazendo através da ordenada, de cima para baixo, ou seja, eNesse caso, o limite L é também zeroPoder-se-ia ficar enumerando todas as possibilidades, mas seria ocioso. No caso dessa iafunção, o limite nesse ponto é sempre zero.Um exemplo de uma função que não apresenta valor de limite em (0,0) é a função:que pode ser provado fazendo se a aproximação do ponto (0,0) através das fazendo-separametrizações dadas pelas equações paramétricas:a função toma a formaVê-se, então, que o valor do limite depende do angulo α pelo qual a reta de se,parametrização permite que se aproxime do ponto (0,0). Dessa forma, o limite nãoexiste nesse ponto para essa função. 17 Página
  19. 19. ANEXO 1.1Limite de uma seqüência(http://pt.wikipedia.org/wiki/Limite_de_uma_sequ%C3%AAncia)O limite de uma seqüência é um dos conceitos mais antigos de análise matemática. Amesma dá uma definição rigorosa à idéia de uma seqüência que converge até um pontochamado limite.De forma intuitiva, supondo que tem-se uma seqüência de pontos (por exemplo, umconjunto infinito de pontos numerados utilizando os números naturais) em algum tipode objeto matemático (por exemplo, os números reais ou um espaço vetorial) queadmite o conceito de vizinhança (no sentido de "todos os pontos dentro de uma certadistância de um dado ponto fixo"). Um ponto L é o limite da seqüência se para toda avizinhança que se defina, todos os pontos da seqüência (com a possível exceção de umnúmero finito de pontos) estão próximos a L. Isto pode ser interpretado como sehouvesse um conjunto de esferas de tamanhos decrescentes até zero, todas centradas emL, e para qualquer destas esferas, só existiria um número finito de números fora dela. Índice • 1 Definição formal o 1.1 Comentários • 2 Exemplos • 3 Ligações externasDefinição formal • Para uma seqüência de pontos em um espaço métrico M com função de distância d (como por exemplo, uma seqüência de números racionais, números reais, números complexos, pontos em um espaço normado, etc.): Se diz-se que L é o limite da seqüência e escreve-se i.e.:se e somente se para todo (hodap) número real , existe um número natural 18 N tal que para cada , satisfaz-se que Página • Uma generalização desta relação, para uma seqüência de pontos em um espaço topológico T:
  20. 20. Se diz-se que L é um limite desta seqüência e escreve-se se e somente se para toda a vizinhança S de L existe um número natural N tal que para todoSe uma seqüência tem limite, diz-se que a seqüência é convergente, e que a seqüênciaconverge ao limite. Caso contrário, a seqüência é divergente.ComentáriosA definição significa que eventualmente todos os elementos da seqüência aproximam-setanto como queiramos ao valor limite. (A condição que impõe que os elementosencontrem-se arbitrariamente próximos aos elementos subseqüentes não, implica emgeral, que a seqüência tenha um limite. Veja sucessão de Cauchy).É possível também que uma seqüência em um espaço topológico geral, possa ter várioslimites diferentes, mas uma seqüência convergente possui um único limite se T é umespaço de Hausdorff, por exemplo, a reta real (estendida), o plano complexo, seussubconjuntos (R, Q, Z...) e produtos cartesianos (Rn...).Exemplos • A seqüência 1/1, 1/2, 1/3, 1/4, ... de números reais converge ao limite 0. • A seqüência 1, -1, 1, -1, 1, ... é divergente. • A seqüência 1/2, 1/2 + 1/4, 1/2 + 1/4 + 1/8, 1/2 + 1/4 + 1/8 + 1/16, ... converge ao limite 1. Este é um exemplo de uma série infinita. • Se a é um número real com valor absoluto |a| < 1, então a seqüência an possui limite 0. Se 0 < a ≤ 1, então a seqüência a1/n possui limite 1. • Também: 19 Página
  21. 21. ANEXO 2Derivada(http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada http://pt.wikipedia.org/wiki/Derivada)Em Matemática, diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável se, próximo de se diferenciável)cada ponto a do seu domínio a função f(x) − f(a) se comportar aproximadamente como domínio, )uma função linear, ou seja, se o seu gráfico for aproximadamente uma recta. O declive ,de uma tal recta é a derivada da função f no ponto a e representa-se por se ou por .Assim, por exemplo, se se considerar a função f de R em R definida porf(x) = x2 + x − 1, esta é difere diferenciável em 0. Podem-se ver na imagem abaixo os gráficos sedas restrições daquela função aos intervalos [−1,1] e [−1/10,1/10] e é claro que, [−1,1]enquanto que o primeiro é bastante curvo (e, portanto, f(x) − f(0) está aí longe de ser (0)linear), o segundo é praticamente indistinguível de um segmento de recta (de declive 1). praticamenteDe facto, quanto mais se for ampliando o gráfico próximo de (0, (0)) mais perto estará (0,f(0))este de ser linear. Gráfico de uma função derivável.Em contrapartida, a função módulo de R em R não é derivável em 0, pois, por mais quese amplie o gráfico perto de (0,0), este tem sempre o aspecto da figura ao lado. Gráfico da função módulo, que não é derivável em 0. 20 Página
  22. 22. Índice • 1 Definições formais • 2 Exemplos • 3 Propriedades das funções deriváveis o 3.1 Derivabilidade num ponto o 3.2 Derivabilidade em todo o domínio • 4 Funções continuamente deriváveis • 5 Derivadas de ordem superior • 6 Pontos críticos ou estacionários • 7 Derivadas notáveis o 7.1 Exponencial e logaritmo o 7.2 Funções trigonométricas o 7.3 Funções trigonométricas inversas • 8 Funções com valores em Rn • 9 Funções de uma variável complexa • 10 Física • 11 Usando derivadas para desenhar gráficos de funções • 12 Derivadas parciais • 13 Referências • 14 Ligações externasDefinições formaisSeja I um intervalo com mais do que um ponto do conjunto R dos números reais e seja fuma função de I em R. Se a ∈ I, diz-se que f é derivável em a se existir o limite .Se for esse o caso, aquele limite designa designa-se por derivada da função f no ponto a erepresenta-se por f′(a). Note ). Note-se que a derivada de f em a, se existir, é única. Isto ,continuaria a ser verdade se I fosse um conjunto qualquer de números reais e se a fosseum ponto não isolado de I. Inclinação da secante ao gráfico de f 21 Página
  23. 23. Segundo esta definição, a derivada de uma função de uma variável é definida como umprocesso de limite. Considera . Considera-se a inclinação da secante, quando os dois pontos de ,intersecção com o gráfico de f convergem para um mesmo ponto. No limite, ainclinação da secante é igual à da tangente. Inclinação da tangente à curva como a derivada de f(x)O declive da secante ao gráfico de f que passa pelos pontos (x,f(x)) e ( + h,f(x + h)) é )) (xdado pelo quociente de Newton Newton: .Uma definição alternativa é: a função f é derivável em a se existir uma função φa de Iem R contínua em a tal que .Então define-se a derivada de f em a como sendo φa(a). seDiz-se que f é derivável se for derivável em todos os pontos do domínio.ExemplosSe c ∈ R, a função f de R em R definida por f(x) = c é derivável em todos os pontos deR e a sua derivada é igual a 0 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R R: .Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = 0,então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se ; 22além disso, f(a) = φa(a) = 0 ) 0. Página
  24. 24. A função f de R em R definida por f(x) = x é derivável em todos os pontos de R e a suaderivada é igual a 1 em todos os pontos, pois, para cada a ∈ R: .Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = 1, ãoentão φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se ;além disso, f(a) = φa(a) = 1 ) 1.A função f de R em R definida por f(x) = x2 é derivável em todos os pontos de R e a suaderivada no ponto a ∈ R é igual a 2a, pois: .Usando a definição alternativa, basta ver que se se definir φa de R em R por φa(x) = x +a, então φa é contínua e, para cada x e cada a reais, tem-se ;além disso, f(a) = φa(a) = 2 ) 2a.A função módulo de R em R não é derivável em 0 poisNo entanto, é derivável em todos os outros pontos de R: a derivada em a é igual a 1 :quando a > 0 e é igual a − 1 quando a < 0.Propriedades das funções deriváveis adesDerivabilidade num ponto • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função de I em R derivável em a. Então f é contínua em a. O recíproco não é verdadeiro, como se . . pode ver pela função módulo. • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e sejam f e g funções de 23 I em R deriváveis em a. Então as funções f ± g, f.g e (caso g(a) ≠ 0) f / g também são ) deriváveis em a e Página o
  25. 25. o oEm particular, se c ∈ R, então (c.f) = c.f. Resulta daqui e de se ter (f + g = f + g que a , g)derivação é uma aplicação linear linear. • Sejam I e J intervalos de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I, seja f uma função de , I em J derivável em a e seja seja g uma função de J em R derivável em f(a). Então g o f é derivável em a e .Esta propriedade é conhecida por regra da cadeia. • Seja I um intervalo de R com mais do que um ponto, seja a ∈ I e seja f uma função contínua de I em R derivável em a com derivada não nula. Então a função inversa f − 1 é derivável em f(a) eOutra maneira de formular este resultado é: s a está na imagem de f e se f for derivável seem f − 1(a) com derivada não nula, entãoDerivabilidade em todo o domínio • Uma função derivável f de I em R é constante se e só se a derivada for igual a 0 em todos os pontos. Isto é uma consequência do teorema da média. • Uma função derivável f de I em R é crescente se e só se a derivada for maior ou igual a e 0 em todos os pontos. Isto também é uma consequência do teorema da médiamédia.Uma função cuja derivada seja sempre maio que 0 é estritamente crescente. Uma maiorobservação importante é que existem funções estritamente crescentes em que a derivadaassume o valor 0 em alguns pontos. É o que acontece, por exemplo com a função de Rem R definida por f(x) = x3. Naturalmente, existem enunciados análogos para funções mdecrescentes. • Se f for uma função derivável de I em R, sendo I um intervalo de R com mais do que um ponto, então f(I) também é um intervalo de R. Outra maneira de formular este ) . resultado é: se f for uma função derivável de [a,b] em R e se y for um número real 24 situado entre f(a) e f f(b) (isto é, f(a) ≤ y ≤ f(b) ou f(a) ≥ y ≥ f(b)), então existe algum ), c ∈ [a,b] tal que f(c) = y. Este resultado é conhecido por teorema de Darboux ) Darboux. Página
  26. 26. Funções continuamente deriváveisSeja I um intervalo de R com mais do que um ponto e seja f uma função de I em R. Diz-se que f é continuamente derivável ou de classe C1 se f for derivável e, além disso, a suaderivada for contínua. Todas as funções deriváveis que foram vistas acima sãocontinuamente deriváveis. Um exemplo de uma função derivável que não écontinuamente derivável épois o limite não existe; em particular, f não é contínua em 0.Derivadas de ordem superiorQuando obtemos a derivada de uma função o resultado é também uma função de x ecomo tal também pode ser diferenciada. Calculando se a derivada novamente obtemos Calculando-seentão a segunda derivada da função f. De forma semelhante, a derivada da segunda .derivada é chamada de terceira derivada e assim por diante. Podemos Podemos-nos referir àsderivadas subsequentes de f por:e assim sucessivamente. No entanto, a notação mais empregue é:ou alternativamente,ou aindaSe, para algum k ∈ N, f for k vezes derivável e, além disso, f(k) for uma função contínua,diz-se que f é de classe Ck. 25Se a função f tiver derivadas de todas as ordens, diz que f é infinitamente derivável diz-se Páginaou indefinidamente derivável ou ainda de classe C∞.
  27. 27. Pontos críticos ou estacionáriosPontos onde a derivada da função é igual a 0 chamam-se normalmente de pontoscríticos. Existem cinco tipos de pontos onde isto pode acontecer em uma função. Comoa derivada é igual ao declive da tangente em um dado ponto, estes pontos acontecemonde a inclinação da reta tangente é paralela ao eixo dos x. Estes pontos podemacontecer: 1. onde a função atinge um valor máximo e depois começa a diminuir, chamados máximos locais da função 2. onde ela atinge um valor mínimo e começa a aumentar, chamados de mínimos locais da função 3. em pontos de inflexão da função, que ocorrem onde a concavidade da função muda. Um exemplo típico é a função f(x) = x3: no ponto x = 0 a função tem um ponto de inflexão. 4. em pontos onde a função oscila indefinidamente entre valores acima ou abaixo, um exemplo típico é a função 5. em pontos onde a função é localmente constante, ou seja, existe um intervalo contendo o ponto para o qual a restrição da função ao intervalo é a função constante. Um exemplo típico é a função f(x) = |x + 1| + |x - 1| no ponto x=0.Obviamente, a função pode ter um comportamento para valores menores que o pontocrítico e outro comportamento para valores maiores que o ponto crítico.Para identificar o tipo de ponto estacionário, torna-se necessário analisar também asegunda derivada de f(x): • Se a segunda derivada de f é positiva no ponto onde a primeira derivada é nula, então o ponto é um mínimo local. • Se a segunda derivada for negativa, o ponto em questão é um máximo local.Se a derivada segunda também for nula, nada se pode concluir. No entanto, se a for oponto em questão e se existir algum número n ∈ N tal que 1. f(k)(a) = 0 se k ∈ {1,2,…n − 1}; 2. f(n)(a) ≠ 0,então: 1. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) < 0; 2. f tem um máximo local em a se n for par e f(n)(a) > 0; 3. f tem um ponto de inflexão em a se n for ímpar.Derivadas notáveisExponencial e logaritmo 26 Página • A derivada da função exponencial é ela própria, ou seja, exp = exp. • Para cada x > 0, log(x) = 1 / x, onde log é o logaritmo natural.
  28. 28. Estes dois factos não são independentes. De facto, como o logaritmo natural é a inversada função exponencial, resulta da igualdade exp = exp e da fórmula para a derivada da al,inversa queReciprocamente, se se suposer que, para cada x > 0, log(x) = 1 / x, então ,Funções trigonométricas • ; • ; • ; • .Mais uma vez, estas igualdades não são independentes. A fórmula para a derivada datangente, por exemplo, resulta das fórmulas para as derivadas do seno e do co co-seno e dafórmula para a derivada do quociente quociente:Funções trigonométricas inversas • ; • ; • ; •Todas estas igualdades resultam das fórmulas para as derivadas das funções resultamtrigonométricas juntamente com a fórmula para a derivada da inversa e a fórmulafundamental da trigonometria trigonometria. 27 Página
  29. 29. Funções com valores em RnSe I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f for uma função de I em Rn,para algum número natural n, as definições anteriores continuam a fazer sentido. Assim,por exemplo exemplo a funçãoé derivável eDe facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas, excepto,naturalmente, as que dizem respeito à monotonia de funções.Funções de uma variável complexaSe A for um conjunto de números complexos, se f for uma função de A em C e se a forum ponto não isolado de A (isto é, se tão perto quanto se queira de a houver outroselementos de A), então as duas definições da derivada de f no ponto a continuam a fazersentido. De facto, as propriedades acima descritas para o caso real continuam válidas,excepto, mais uma vez, as que dizem respeito à monotonia de funções.FísicaUma das mais importantes aplicações da Análise à Física (senão a mais importante), é oconceito de derivada temporal — a taxa de mudança ao longo do tempo — que énecessária para a definição precisa de vários importantes conceitos. Em particular, asderivadas temporais da posição s de um objecto são importantes na física newtoniana: • Velocidade (velocidade instantânea; o conceito de velocidade média é anterior à Análise) v é a derivada (com respeito ao tempo) da posição do objeto. • Aceleração a é a derivada (com respeito ao tempo) da velocidade de um objecto.Posto de outro modo:Por exemplo, se a posição de um objecto é s(t) = −16t2 + 16t + 32, então a velocidade 28do objecto é s′(t) = −32t + 16 e a aceleração do objecto é s′′(t) = −32. PáginaUma forma de enunciar a segunda lei de Newton é F = dp/dt , sendo p o momento lineardo objecto.
  30. 30. Usando derivadas para desenhar gráficos de funçõesAs derivadas são ferramentas úteis para examinar gráficos de funções. Em particular, ospontos no interior de um domínio de uma função de valores reais que sejam um extremolocal terão a primeira derivada igual a zero ou a derivada não existirá no ponto: taispontos são chamados de pontos críticos. No entanto, nem todos os "pontos críticos" sãoextremos locais. Alguns são pontos de inflexão. A segunda derivada é a forma deavaliar esses pontos críticos: se a segunda derivada do ponto crítico é positiva o ponto éum mínimo local, se negativa, é máximo. Se é nula, o ponto é de inflexão ou parte deuma zona constante (possivelmente ainda um extremo local, mas não necessariamente).Uma vez que os extremos locais tenham sido encontrados, torna-se geralmente fácil teruma ideia do gráfico da função, uma vez que (no caso de domínio de uma só dimensão)ela será crescente ou decrescente de forma uniforme excepto nos pontos críticos, e logo(assumindo que é contínua), terá valores entre os valores nos pontos críticos em cadalado.Derivadas parciaisQuando uma função depende de mais do que uma variável, podemos usar o conceito dederivada parcial. Podemos entender as derivadas parciais como a derivada de umafunção quando todas menos uma variável são mantidas constantes temporariamente.Derivadas parciais relativamente à variável x são representadas como ∂/∂x.Referências • Agudo, F. R. Dias, Análise Real (3 volumes), Lisboa: Escolar Editora, 1994 • Ostrowski, A., Lições de Cálculo Diferencial e Integral (3 volumes), Lisboa: Fundação Calouste Gulbenkian, 1981 29 Página
  31. 31. ANEXO 3Integral(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral ) ATENÇÃO: Este artigo ou secção não cita as suas fontes ou referências, em desacordo com a política de verificabilidade. Ajude a melhorar este artigo providenciando fontes fiáveis e independentes, inserindo-as no corpo do texto ou em notas de rodapé.No cálculo, a integral de uma função foi criada originalmente para determinar a áreasob uma curva no plano cartesiano e também surge naturalmente em dezenas deproblemas de Física, como por exemplo na determinação da posição em todos osinstantes de um objeto, se for conhecida a sua velocidade instantânea em todos osinstantes.O processo de se calcular a integral de uma função é chamado de integração.Diferentemente da noção associada de derivação, existem várias definições para aintegração, todas elas visando a resolver alguns problemas conceituais relacionados alimites, continuidade e existência de certos processos utilizados na definição. Noentanto todas estas definições dão a mesma resposta para o resultado final de umaintegração.A integral também é conhecida como antiderivada. Uma definição também conhecidapara integral indefinida é: se e somente se Índice • 1 Definição conceitual • 2 Teorema fundamental do Cálculo • 3 Passo-a-Passo • 4 Teorema fundamental do Cálculo • 5 Exemplos de integração 30 • 6 Definições de integral • Página 7 Ver também
  32. 32. Definição conceitual Integrando a área de uma função abaixo de uma curvaPara se descrever a integral de uma função f de uma variável x entre o intervalo [a, b]utiliza-se a notação:A idéia desta notação utilizando um S comprido é generalizar a noção de somatório. Istoporque intuitivamente a integral de f(x) pode ser entendida como a soma de pequenosretângulos de base dx e altura f(x), onde o produto f(x) dx é a área deste retângulo. A produtosoma de todas estas pequenas áreas, ou áreas infinitesimais, fornece a área total abaixoda curva. Mais precisamente, pode se dizer que a integral acima é o valor limite da pode-sesoma:onde:é o comprimento dos pequenos intervalos nos quais se divide o intervalo (b (b-a), f(xi) é ovalor da função em algum ponto deste intervalo. O que se espera é que quando N formuito grande o valor da soma acima se aproxime do valor da área abaixo da curva e,portanto, da integral de f(x) no intervalo. Ou seja, que o limite 31 Página
  33. 33. esteja definido. O problema é que este raciocínio intuitivo é difícil de colocar emlinguagem matemática precisa. Por isto existem várias formas de se definir a integraçãode maneira formal. O resultado entretanto é coerente entre elas.O símbolo da integral, ou o "s espichado" é utilizado dessa maneira para denotar uma espichado"soma.Teorema fundamental do CálculoCaso se resolva a integral acima entre os limites a e b, o resultado final pode ser escrito ,como:onde a função F(x) é a função resultante da integração da função f(x). O problema da .integração, isto é, de se encontrar a solução para uma integral, se resume portanto aencontrar a função F(x).O resultado acima é extremamente importante pois ele oferece uma indicação de comoobter a integral. Para ver isto, supõe que o limite superior da integral, isto é, b, seja supõe-semuito próximo de a, tal que se possa escrever: , b = a + ΔxComo os pontos limites da integral estão muito próximos, pode se escrever: pode-seOlhando na definição da integração como um limite, dada acima, pode pode-se dizer que aintegral, neste caso, se resume a apenas um dos termos na soma, e portanto pode pode-seafirmar, sem causar um erro muito grande, que:Comparando com a definição da derivada de uma função:vê-se que a função procurada F(x) é uma função tal que, quando tomada a sua derivada, seobtém-se a função f(x). Em outras palavras, ao se calcular a derivada de uma função . 32pode-se também calcular a integral da função resultante. Esta propriedade mostra que a se Páginaintegração na verdade é a operação inversa da derivação, pois se uma função for
  34. 34. derivada e em seguida o resultado integrado, obtém se a função original. Esta obtém-sepropriedade é chamada de Teorema fundamental do Cálculo Cálculo.Passo-a-PassoIntegral Definida - Uma integral definida consta basicamente em integrar uma funçãoconstante nos intervalos, através das primitivas, que nada mais são do que a funçãointegrada a cada membro.Fórmula das PrimitivasExemplo:Cada membro da função é tratado como uma função em separado, para em seguida serefetuada a soma entre eles e gerar outra função, a função na qual se substitui o valor deX pelos valores do intervalo. Feito isso, usa se o teorema do cálculo para chegar ao usa-sevalor da integral. No intervalo (0,3): f = x2 + 2x + 4 f(x)Aqui usa-se a Fórmula da Primitiva em cada integral. seGera-se a outra função, que será usada para substituir os valores do intervalo. se Para x = 0 f(a) = 0Para x = 3 f(b) = 30Teorema fundamental do Cálculo 33 Página
  35. 35. Exemplos de integraçãoEstas são as integrais de algumas das funções mais comuns: (Integral da função constante) (Integral da função f(x) = x )Por definição a barra é utilizada com o significado da diferença f(b) - f(a)Definições de integralPara definições do processo de integração mais rigorosas veja os links abaixo • Integral de Riemann • Integral de Lebesgue • Integral de Riemann-Stieltjes Stieltjes • Integral de GaugeVer também • Tábua de integrais • Primitiva • Integração numérica • Métodos de Integração • Integral Múltipla 34 Página
  36. 36. ANEXO 4Teorema fundamental do Cálculo(http://pt.wikipedia.org/wiki/Teorema_Fundamental_do_C%C3%A1lculo)O Teorema fundamental do Cálculo é a base das duas operações centrais do cálculo,diferenciação e integração, que são considerados como inversos um do outro. Istosignifica que se uma função contínua é primeiramente integrada e depois diferenciada,volta-se na função original. Este teorema é de importância central no cálculo tanto querecebe o nome teorema fundamental para todo o campo de estudo. Uma consequenciaimportante disto, às vezes chamada de segundo teorema fundamental do cálculo,permite computar integrais utilizando a antiderivada da função a ser integrada. Em seulivro de 2003 (pág.394), James Stewart credita a idéia que conduziu ao teoremafundamental ao matemático inglês Isaac Barrow apesar da primeira prova conhecidadeste teorema ser reconhecida ao matemático escocês James Gregory.O teorema fundamental do cálculo estabelece a importante conexão entre o CálculoDiferencial e o Cálculo Integral. O primeiro surgiu a partir do problema de sedeterminar a reta tangente a uma curva em um ponto, enquanto o segundo surgiu a partirdo problema de se encontrar a área de uma figura plana. Aparentemente, mas apenasaparentemente, entre os dois problemas parece não existir nenhuma relação.Barrow, professor de Newton em Cambridge, descobriu que os dois problemas estãointimamente relacionados, percebendo que os processos de diferenciação e integraçãosão processos inversos. Entretanto, foram Newton e Leibniz, independentemente, queexploraram essa conexão e desenvolveram o Cálculo.Em particular, eles perceberam que o Teorema Fundamental permitia encontrar a áreade uma figura plana de uma forma muito fácil, sem a necessidade de se calcular a somade áreas de um número indefinidamente grande de retângulos, mas sim usando aprimitiva da função envolvida.O teorema afirma que se I for um intervalo de R com mais do que um ponto e se f foruma função contínua de I em R, então, para cada a ∈ I a função F de I em R definidaporé derivável e a sua derivada é precisamente a função f. Por outras palavras, F é umaprimitiva de f. 35 Página
  37. 37. Índice • 1 Intuição • 2 Formalização o 2.1 Corolário • 3 Prova o 3.1 Parte I o 3.2 Parte II • 4 Exemplos • 5 Generalizações • 6 ReferênciasIntuiçãoIntuitivamente, o teorema simplesmente diz que a soma de variações infinitesimais emuma quantidade ao longo do tempo (ou ao longo de outra quantidade) adiciona avariação líquida naquela quantidade. riaçãoPara explicar esta afirmação, começaremos com um exemplo. Suponha que umapartícula viaja em uma linha reta com sua posição dada por x(t) onde t é o tempo. A )derivada desta função é igual a variação infinitesimal em x pela variação infinitesimal ado tempo (é claro, a própria derivada é dependente do tempo). Vamos definir estavariação na distância com o tempo como a velocidade v da partícula. Na Notação deLeibnitz:Rearranjando a equação, fica claro que:Pela lógica acima, uma variação em x, chamada ∆x, é a soma das variações ,infinitesimais dx. Que também se iguala à soma dos infinitesimais produtos da derivada .e do tempo. Esta soma infinita é a integração; a operação de integração permiterecuperar a função original a partir de sua derivada. Claramente, este operação funcionacomo inversa já que podemos diferenciar o resultado de nossa integral para recuperar afunção velocidade.FormalizaçãoFormalmente, o teorema diz o seguinte:Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ [a,b]. Se F for a função definida para x em [a, b] por 36 Página então para todo x em [a, b].
  38. 38. Considere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ [a,b]. Se F é uma função tal que para todo x em [a, b]então .CorolárioConsidere f uma função contínua de valores reais definida em um intervalo fechado [ definida [a,b]. Se F é uma função tal que para todo x em [a, b]entãoe .ProvaParte IÉ dado queConsidere dois números x1 e x1 + ∆x em [a, b]. Então temos e .Subtraindo as duas equações 37 . Página
  39. 39. Pode ser mostrado que . (A soma das áreas de duas regiões adjacentes é igual a área das duas regiões combinadas.)Manipulando esta equação obtemos .Substituindo a equação acima em (1) resulta em .De acordo com o teorema do valor médio para a integração, existe um c em [x1, x1 + ∆x]tal que .Substituindo a equação acima em (2) temos que .Dividindo ambos os lados por ∆x temos . Note que a expressão do lado esquerdo da equação é o coeficiente diferencial de Newton para F em x1.Considere o limite com ∆x → 0 em ambos lados da equação. 38A expressão do lado esquerdo da equação é a definição da derivada de F em x1. Página .
  40. 40. Para encontrar o outro limite, usaremos o teorema do sanduíche. O número c está no .intervalo [x1, x1 + ∆x], então x1 ≤ c ≤ x1 + ∆x. ],Também, e .Assim, de acordo com o teorema do sanduíche sanduíche, .Substituindo em (3), temos .A função f é contínua em c, então o limite pode ser inserido na função. Assim, temos , ; que completa a prova. (Leithold et al, 1996)Parte IIEsta é uma prova limite por Soma de Riemann.Considere f contínua no intervalo [ b], e F a antiderivada de f. Comece com a [a, .quantidade .Considere os números x1 a xn tal que .Que leva a .Agora, somamos cada F( i) juntamente com sua inversa aditiva, de forma que a (xquantidade resultante é igual:A quantidade acima pode ser escriva como a seguinte soma: 39 Página
  41. 41. Aqui, aplicamos o teorema do valor médio. Como anteriormente, é o seguinte: médio.Considere f contínua no intervalo fechado [ b] e diferenciável no intervalo aberto ( [a, ] (a,b). Então existe um c em (a b) tal que a, .Segue que .A função F é diferenciável no intervalo [ b]; logo, ela é também diferenciável em cada [a, ];intervalo xi-1. Logo, de acordo com o teorema do valor médio (acima), .Substituindo a equação acima em (1), temos .Esta consideração implica que F(ci) = f(ci). Também, xi − xi o − 1 pode ser expressadocomo ∆x de partição i. Uma sequência convergente de somas de Riemann. Os números na parte superior direita são as áreas dos retângulos cinzentos. Convergem para o integral da funçãoNote que estamos descrevendo a área de um retângulo, como o produto de sua largura 40pelo comprimento, e somando as áreas obtidas. Cada retângulo, por virtude do Teoremado Valor Médio, descreve uma aproximação da seção da curva traçada. Note também , Páginaque ∆xi não precisa ser o mesmo para qualquer valor de i, ou em outras palavras que as ,larguras dos retângulos podem diferir. O que temos de fazer é aproximar a largura da los
  42. 42. curva com n retângulos. Agora, com o tamanho das divisões cada vez menor e naumentando, resultando em maior número de partições para cobrir o espaço,chegaremos mais e mais perto da real áre da curva. áreaTomando-se o limite da expressão com a norma das partições tentendo a zero, sechegamos na Integral de Riemann. Que quando, tomamos o limite quando a mais larg Riemann. largadas partições aproxima-se de zero em tamanho , então temos que todas as outras separtições são menores e o número de partições se aproxima do infinito.Então, tomamos o limite em ambos lados de (3). Que resultaNem F(b) nem F(a) são dependentes de || ) ||∆||, então o limite do lado esquerdo fica F(b) - ãoF(a).A expressão do lado direito da equação define a integral ao longo de f de a até b. Logo,obtemosque completa a prova.ExemplosComo um exemplo, suponha que precisamos calcul calcularAqui, f(x) = x2 e podemos usar F(x) = (1 / 3)x3 como a antiderivada. Logo:Generalizações 41Não precisamos assumir a continuidade de f em toda a extensão do intervalo. A Parte Ido teorema diz que: se f é uma função integral de Lebesgue qualquer em [a,b] e x0 é um Páginanúmero em [a,b] tal que f é contínuo em x0, então
  43. 43. é diferenciável para x = x0 com F(x0) = f(x0). Podemos tirar ainda mais restrições de f e .supor que ela é pelo menos localmente integrável. Neste caso, podemos concluir que afunção F é diferenciável quase em toda sua extensão e F(x)=f(x) em quase toda suaextensão. Isto é geralmente conhecido como Teorema da diferenciação de Lebesgue Lebesgue.A Parte II do teorema é verdadeira para qualquer função integral de Lebesgue f que verdadeirapossui uma antiderivada F (nem todas a funções integrais possuem, entretanto).A versão do teorema de Taylor que expressa o termo erro como uma integral pode ser avisto como uma generalização do teorema fundamental.Há uma versão do teorema para funções de números complexos: suponha que U é um :conjunto aberto em C e f: U -> C é uma função que tem uma antiderivada holomórficaF em U. Então para cada curva γ : [a, b] -> U, a curva integral pode ser computada .comoO teorema fundamental pode ser generalizado para curvas e superfícies integrais emmaiores dimensões e em manifolds manifolds.E a mais poderosa declaração neste direção é o Teorema de Stokes.Referências • Stewart, J. (2003). Fundamental Theorem of Calculus. In Integrals. In Calculus: early transcendentals. Belmont, California: Thomson/Brooks/Cole. • Larson, Ron, Bruce H. Edwards, David E. Heyd. Calculus of a single variable 7th ed. variable. Boston: Houghton Mifflin Company, 2002. • Leithold, L. (1996). The calculus 7 of a single variable 6th ed. New York: HarperCollins variable. College Publishers. • A Malet, Studies on James Gregorie (1638 (1638-1675) (PhD Thesis, Princeton, 1989). • H W Turnbull (ed.), The James Gregory Tercentenary Memorial Volume (London, 1939) 42 Página
  44. 44. ANEXO 5Integral de Riemann(http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann http://pt.wikipedia.org/wiki/Integral_de_Riemann)No ramo da matemática conhecido como análise real, a integral de Riemann criada Riemann,por Bernhard Riemann, foi a primeira definição rigorosa de uma integral de uma função ,em um intervalo. Enquanto a integral de Riemann é inadequada para muitos propósitos .teóricos, ela é uma das definições mais fáceis de integral. Algumas deficiências destas integral.técnicas podem ser remediadas pela integral Riemann-Stieltjes, e a maioria delesdesaparece na integral Lebesgue Lebesgue. Índice • 1 Visão geral • 2 Definição da integral de Riemann o 2.1 Partições de tições um intervalo o 2.2 Soma de Riemann o 2.3 A integral de RiemannVisão geral Figura 2Seja f(x) uma função não negativa valida para os números reais do intervalo [a,b], e sejaS = (x,y) | 0 < y < f(x) uma região plana sobre a função f(x) e acima do intervalo [a,b](veja na figura 2). O nosso interesse é medir a área de S. Uma vez realizada esta .medição, iremos denotá-la por: la 43 Página
  45. 45. A ideia básica de integral Riemann é muito simples de usar e não deixa ambiguidadepara a área de S. Para se ter uma aproximação cada vez melhor, nos podemos dizer que ."no limite" iremos obter exatamente a área de S sob a curva.Note que onde f pode ser positivo e negativo, a integral corresponde a "área com sinal";isto é, a área acima do eixo x é positiva e a área abaixo do eixo x negativa. Uma soma de Riemann. Os números no canto superior direito são as áreas dos retângulos cinza. Eles convergem para a integral da funçãoDefinição da integral de RiemannPartições de um intervaloUma partição de um intervalo [a,b] é uma sequência finita . Cada [xi,xi + 1] é denominado como umsub-intervalo da partição. A malha de uma partição é definida como o comprimento domais longo sub-intervalo [xi,xi + 1], isto é, aquele em que max(xi + 1 − xi) onde intervalo . Isto também é conhecido como norma de partição.Uma partição de um intervalo etiquetado é uma partição de um intervalo juntamente ãocom uma sequência finita de números sujeito a condição que para cada i, . Em outras palavras, isto é uma partição juntamente com um pontodistinto para cada sub intervalo. A malha de uma etiqueta é definida da mesma formaque para uma partição ordinária. eSuponha que juntamente com são uma partição etiquetadade [a,b], e que juntamente com seja uma outra partiçãoetiquetada de [a,b]. Nos poderemos dizer que . e juntassão um refinamento da juntamente com se para cada int inteiroi com , exista um inteiro r(i) tal que xi = yr(i) e tal que ti = sj para algum jcom . Falando de uma maneira mais simples, um refinamentode uma partição de etiqueta pega uma partição inicial e adiciona mais etiquetas, mas istonão chega a lugar algum. 44Nos podemos definir uma ordem parcial um subconjunto de todas as etiquetas departição significando que uma etiqueta de partição é maior do que outra se a maior é um Páginarefinamento da menor.
  46. 46. Soma de RiemannEscolha uma função válida para números reais f a qual se encontra definida no intervalo[a,b]. A Soma de Riemann de f com respeito a partição denominada com é:Cada termo na soma é o produto do valor da função em um ponto dado e ocomprimento do intervalo. Consequentemente, cada termo representa área de umretângulo com a altura f(ti) e o comprimento xi + 1 − xi. A soma de Riemann é a áreasinalizada de todos os retângulos.A integral de RiemannGrosseiramente falando, a integral de Riemann é o limite da soma de Riemann com umafunção de partição que se afine cada vez mais. Contudo, o significado preciso a cerca doque significa "cada vez mais fino" é o mais importante.Um fato importante é que a malha de partição deve ser tornar menor e menor, até queseu limite atinja zero. Se isto não for assim, então não poderemos ter uma boaaproximação para esta função em certos intervalos. De fato, isto é suficientemente bom maçãopara definir uma integral. Para ser especifico, nos dizemos que a integral Riemann de fse igualara a S se as seguintes condições foram consideradas: Para todo ε > 0, onde exi , exista δ > 0 tal que para qualquer partição etiquetada e onde a malha seja menor que δ, nos temos: ,Contudo, existe um problema desagradável com esta definição: ela é muito difícil parase trabalhar. Então faremos uma definição alternativa para a integral de Riemann a qualseja mais fácil para se trabalhar, então se prova que esta é a mesma definição que aoriginal. Nossa nova definição diz que a integral de Riemann de f é igual a s se asseguintes condições foram consideradas: Para todo ε > 0, existe uma p , partição etiquetada e tal que para qualquer refinamento e de e , nos teremos 45 Página
  47. 47. Ambos eventualmente significam, a soma de Riemann de f com respeito para qualquerpartição que seja selecionada que leve a se aproximar de s. Desde que isto seja verdade, .não importa a proximidade que necessitamos que esta soma ira assumir, nos diremos ãoque a soma Riemann convergira para s. Esta definição é sempre um caso especial de um .conceito mais geral, uma rede rede.Como nos estabelecemos antes, estas duas definições são equivalentes. Em outraspalavras, s funciona na sua primeira definição se e somente se s funciona na suasegunda definição. Para mostras que a primeira definição implica na segunda, iniciamos acom um ε, e escolhemos um δ que satisfaça a condição. Escolha qualquer partição ,etiquetada onde a malha é menor que δ. Esta soma Riemann é em dentro ε de s, e .qualquer refinamento desta partição ira também ter uma grade menor que δ, então a entosoma de Riemann dos refinamentos ira também estar em ε de s. Para mostrar que a .segunda definição implica na primeira, isto é facilitado com uso da integral Darboux Darboux.Primeiro mostraremos que a segunda é equivalente a definição da integral Darboux Darboux,para isto veja a integral. Agora nos iremos mostras que a função de integração deDarboux satisfaz a primeira definição. Escolha a partição tal que o limiteinferior e superior da soma de Darboux com respeito a esta partição esteja em dentrodo valor s da integral de Darboux. Seja r igual , onde Mi e mi sãoo supremum e infimum, respectivamente, de f em [xi,xi + 1], e sendo δ menor que , e . Então não é difícil de mostrar que a soma de Riemann de f comrespeito de qualquer partição etiquetada da grade menor que δ ira estar em dentro deda maior ou menor soma de Darboux, então isto estará em dentro de ε de s. 46 Página

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