Algorithms Dtime Dspace

468 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
468
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
4
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Algorithms Dtime Dspace

  1. 1. Временная и пространственная сложность алгоритмов Н.Н. Кузюрин С.А. Фомин 10 октября 2008 г. 1 / 16
  2. 2. Теорема об ускорении: упрощение Теорема Существует разрешимая алгоритмическая задача, для которой выполнено следующее. Для произвольного алгоритма, решающего эту задачу и имеющего сложность в наихудшем случае t(n), найдется другой алгоритм (для этой же задачи) со сложностью t (n) такой, что t (n) ≤ log2 t(n) выполнено для почти всех n (т.е. для всех n, начиная с некоторого). Теорема об ускорении не позволяет нам определить общее математическое понятие «оптимального» алгоритма, пригодное для всех задач, поэтому развитие теории алгоритмов пошло другим путем. Именно, одним из центральных понятий этой теории стало понятие класса сложности. 2 / 16
  3. 3. Классы временной сложности Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и ∀n : timeT (n) ≤ t(n). Определение P ≡ ∪c>0 DT IME(nc ). Определение k EX PT IME ≡ ∪∞ DT IME(2n ). k=0 3 / 16
  4. 4. Классы временной сложности Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и ∀n : timeT (n) ≤ t(n). Определение P ≡ ∪c>0 DT IME(nc ). Определение k EX PT IME ≡ ∪∞ DT IME(2n ). k=0 4 / 16
  5. 5. Классы временной сложности Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DT IME(t(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и ∀n : timeT (n) ≤ t(n). Определение P ≡ ∪c>0 DT IME(nc ). Определение k EX PT IME ≡ ∪∞ DT IME(2n ). k=0 5 / 16
  6. 6. Теорема об иерархии (с упрощением) В теории сложности «полиномиальный алгоритм»=«эффективный алгоритм», а P представляет собой класс эффективно решаемых задач. Теорема Пусть g (n) log g (n) = o(t(n)). Тогда существует язык в DTIME [t(n)], который не принадлежит классу DTIME [g (n)]. В частности, существуют сколь угодно сложные разрешимые задачи. 6 / 16
  7. 7. Классы пространственной сложности Определение k-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеет пространственную сложность s(n), если для любого входного слова длины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах (исключая входную ленту). Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственная сложность T не превосходит s(n). Определение PSPACE ≡ ∪c>0 DSPACE(nc ). 7 / 16
  8. 8. Классы пространственной сложности Определение k-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеет пространственную сложность s(n), если для любого входного слова длины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах (исключая входную ленту). Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственная сложность T не превосходит s(n). Определение PSPACE ≡ ∪c>0 DSPACE(nc ). 8 / 16
  9. 9. Классы пространственной сложности Определение k-ленточная машина Тьюринга (произвольное k > 0) T имеет пространственную сложность s(n), если для любого входного слова длины n T просматривает не более s(n) ячеек на всех рабочих лентах (исключая входную ленту). Определение Язык L ⊂ Σ∗ принадлежит классу DSPACE(s(n)), если существует машина Тьюринга T, разрешающая данный язык, и пространственная сложность T не превосходит s(n). Определение PSPACE ≡ ∪c>0 DSPACE(nc ). 9 / 16
  10. 10. Упражнение Покажите, что PSPACE ⊆ EX PT IME. Упражнение Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованием O(log n) памяти. Покажите, что LOGSPACE ⊆ P. Упражнение Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованием O(log n) памяти. Рассмотрим язык «правильно вложенных скобок» L: ∈ L (), ()()((())()), (()()(())), . . . ∈ L )(, . . . / Докажите, что L ∈ LOGSPACE . 10 / 16
  11. 11. Упражнение Покажите, что PSPACE ⊆ EX PT IME. Упражнение Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованием O(log n) памяти. Покажите, что LOGSPACE ⊆ P. Упражнение Класс LOGSPACE состоит из задач, разрешимых с использованием O(log n) памяти. Рассмотрим язык «правильно вложенных скобок» L: ∈ L (), ()()((())()), (()()(())), . . . ∈ L )(, . . . / Докажите, что L ∈ LOGSPACE . 11 / 16
  12. 12. Упражнение Покажите, что одно из вложений строгое P ⊆ PSPACE ⊆ EX PT IME. Указание: использовать теорему об иерархии. k t(n) = 2n , g (n) = nc , где c и k — некоторые константы. Следствие: P = EX PT IME. 12 / 16
  13. 13. Упражнение Покажите, что одно из вложений строгое P ⊆ PSPACE ⊆ EX PT IME. Указание: использовать теорему об иерархии. k t(n) = 2n , g (n) = nc , где c и k — некоторые константы. Следствие: P = EX PT IME. 13 / 16
  14. 14. Упражнение Покажите, что одно из вложений строгое P ⊆ PSPACE ⊆ EX PT IME. Указание: использовать теорему об иерархии. k t(n) = 2n , g (n) = nc , где c и k — некоторые константы. Следствие: P = EX PT IME. 14 / 16
  15. 15. Карта памяти лекции 15 / 16
  16. 16. Интернет поддержка курса http://discopal.ispras.ru/ Вопросы? 16 / 16

×