logique des données

1. Licence 1ère année Math-Informatique 1
Chapitre IV
Représentation logique des
données

2. Définition
Un système de numération est une représentation de
variables.
Ces variables codées sont basées sur un ensemble de
symboles appelés «chiffres», (digits), et de règles de
composition représentant les opérations entre ces
variables.
Les opérations de base sont l’addition, la multiplication
et les autres opérations arithmétiques.

3. Base d’un système (1/2)
La base d’un système numérique est le nombre de
chiffre de l’ensemble.

4. Base d’un système (2/2)
( N ) r = [ (partie entière) , (fraction) ] r
r  base
N  nombre
Ex. = [ 124 , 659 ]10

5. Représentation des nombres
 Notation juxtaposé :
( N )r = ( an-1 an-2 … a1 a0 , a-1 a-2 … a-m )r
0  ai ou a-f  r - 1
Ex. : ( 741,10)8

6.  Notation polynomiale et poids de chiffres :
 
N a r
r j
j
j m
n 1




[N]r= an-1• rn-1+an-2 • rn-2+…+
a0 • r0 +
a-m+1 • r-m+1+a-m • r-m
 
N a r
r j
j
j m
n 1





7. Polynomiale
Ex.: [191.27]10
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.:[ 4021.2]5
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1

8. Quelques bases
Type Base Chiffres Exemple
Décimal 10 0-9 121.9
Hexadécimal 16 0-9,A,B,C,D,E,F 1A7.F2
Octal 8 0-7 121,6
Binaire 2 0-1 1011.1101

9. Polynomiale
Ex.: 191.27
1X102 + 9X101 + 1X100 + 2X10-1 + 7X10-2
Ex.: 4021.25
4X53 + 0X52 + 2X51 + 1X50 + 2x5-1

10. Le système binaire

11. Le système binaire
Toute l’information en électronique digital est binaire.

12. Alors…
Equivalent décimal:
1x8 + 0x4 +1x2 + 1x1 +
1x0.5 + 1x0.25 + 0x0.125 +1x0.0625
1011.1101 = 11.8125

13. Décimal - Binaire
0 0000
1 0001
2 0010
3 0011
4 0100
5 0101
6 0110
7 0111
8 1000

14. Licence 1ère année Math-Informatique 14
Opérations arithmétiques

15. Opérations
On se souvient que:
0 + 0 = 0
1 + 0 = 0 + 1 = 1
1 + 1 = 0 [ 1]
0 * 0 = 0
1 * 0 = 0 * 1 = 0
1 * 1 = 1

16. Addition
Opération sur les nombres, en
base 2

17. Multiplication

18. Compléments
 Fonction :
Utilisées pour simplifier les opérations de
soustraction en base r

19. Complément à r
rn – N Si N  0
0 Si N = 0
 n = Nombre de chiffres

20. Exemples r
Complément à 10 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105 – 52520 = 47480
Complément à 10 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 1 – 0,3267 = 0,6733

21. Complément à r-1
rn – 1 - N Si N  0
0 Si N = 0

22. Exemples r-1
Complément à 9 de [ 52520 ]10
n =5
Alors = 105 - 1 - 52520 = 99999- 5250
= 47479
Complément à 9 de [ 0,3267 ]10
n =0
Alors = 100 - 10-4 – 0,3267
= 0,9999 – 0,3267 = 0,6732

23. Complément à 2 en binaire
Changer les 0  1
Additionner 1

24. Exemple
N = 1 0 1 1 0 0
0 1 0 0 1 1
+ 1
Cà2(N) = 0 1 0 1 0 0

25. Complément à 1 en binaire
Changer les 0  1
N = 1 0 1 1 0 0
Cà1 (N) = 0 1 0 0 1 1

26. Codes décimal / octal / hexadécimal :
Décimal Octal Hexadécimal
0 0 0
1 1 1
… … …
6 6 6
7 7 7
8 10 8
9 11 9
10 12 A
11 13 B
12 14 C
13 15 D
14 16 E
15 17 F
16 20 10

27. A quoi ça sert?…

28. Soient: M = 72532 Trouver M - N
N = 03250
Cà9(N) = 105 – 1 - 3250 = 96749
M + 96749 = 72532
+ 96749
--------------
1 69281
Soustractions
69281 +1 = 69282

29. Soient: M = 03250 Trouver M - N
N = 72532
Cà9(N) = 99999 - 72532 = 27467
03250
+ 27467
--------------
0 30717
Soustractions

30. Autre exemple
Complément à 9 de 30717:
99999 – 30717 = 69282
- 69282
M – N =

31. Complément à 2 ex.1
Soient: M = 1010100 Trouver M - N
N = 1000100
Cà2(N) = 0111011 + 1 = 0 1 1 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1010100
+ 0111100
--------------
1 0010000

32. Complément à 2 ex.2
Soient: M = 1000100 Trouver M - N
N = 1010100
Cà2(N) = 0101011 + 1 = 0 1 0 1 1 0 0
M + Cà2(N) = 1000100
+ 0101100
--------------
0 1110000

33. Ex.2 cont…
Complement à 2 du résultat anterieur :
X = 1110000
Cà2(X) = 0001111 + 1 = 0 0 1 0 0 0 0
M – N = - 10000

34. Changement de base

35. Base N en base 10 :
Méthode de substitution
Ex. : (101.11)2  ( ?)10
1X22 + 0X21 + 1X20 + 1X2-1 + 1X2-2
4 + 0 + 1 + ½ + ¼ = 5.75

36. Base 10 en base M :
Méthode par division et multiplication
Ex. : (19.75)10 ( ?)2
Partie entière Partie fractionnaire
19  2 = 9 + 1 .75 X 2 = 1.50
9  2 = 4 + 1 .50 X 2 = 1.00
4  2 = 2 + 0 .00 X 2 = 0.00
2  2 = 1 + 0
1  2 = 0 + 1
= 1 0 0 1 1 . 1 1 0

37. Base N en base M :
N en 10 : Substitution
10 en M : Multiplication