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Libro matlabweb

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Libro matlabweb

  1. 1. Matlab en cinco lecciones de Num´rico e V´ ıctor Dom´ ınguez B´guena a Ma Luisa Rap´n Banzo u Febrero de 2006 Disponible en http://www.unavarra.es/personal/victor dominguez/
  2. 2. r do rra Bo Prefacio El origen de este libro es una asignatura de libre elecci´n que uno de los autores imo parti´ durante los cursos 2004–2005 y 2005–2006 en la Universidad P´blica de Navarra. o u Nuestra intenci´n original era tratar temas algo avanzados de C´lculo Cient´ o a ıfico y utilizar Matlab como v´ para su aprendizaje. Los alumnos, obviamente, estaban m´s interesados ıa a en aprender Matlab y ve´ el Num´rico como forma de probar y ensayar las diferentes ıan e herramientas de Matlab que se iban exponiendo en clase. Desafortunadamente, la formaci´n en Num´rico de nuestros alumnos nos oblig´ a relajar considerablemente el contenido o e o matem´tico del curso y a ser m´s modestos, desde el punto de vista te´rico, en nuestros a a o objetivos. El resultado final en su vertiente matem´tica se podr´ enmarcar sin problemas a ıa en un curso introductorio de C´lculo Num´rico. En cuanto a Matlab, creemos que hemos a e tratado todos sus aspectos fundamentales aunque en ocasiones sea de forma superficial. Nuestro objetivo era conseguir no tanto un conocimiento muy profundo de Matlab como el de colocar al alumno en una buena posici´n de arranque para un autoaprendizaje. o El enfoque y los temas tratados son consecuencia de diversos factores entre los que conviene citar nuestro propio bagaje matem´tico1 , el uso que hemos tenido que hacer de a Matlab en nuestra carrera investigadora y, como ya hemos mencionado, los conocimientos de partida que ten´ nuestros propios alumnos. Hemos insistido bastante en la manipıan ´ ulaci´n de vectores y matrices y a la programaci´n en forma vectorizada. Esta es una o o de las diferencias m´s acusadas con los lenguajes de programaci´n tradicionales y una a o implementaci´n eficiente en Matlab pasa necesariamente por la vectorizaci´n. o o Los apuntes est´n organizados en torno a temas o lecciones, cada cual dividido en dos a partes, la primera de Matlab y la segunda con un tema espec´ ıfico de C´lculo Num´rico. a e En la primera parte se presentan los aspectos instrumentales de Matlab que utilizaremos en la implementaci´n de los algoritmos de la parte de Num´rico. La longitud de cada o e parte es variable, y dependiente de la dificultad tratada ya sea en la parte instrumental (Matlab) o en la parte matem´tica. De tanto en tanto nos hemos permitido hacer algo de a Matem´ticas tratando de presentarlas en la forma m´s simple posible. a a A lo largo de estas p´ginas el lector podr´ encontrar ejercicios, algunos de ellos resuela a tos, que tratan de ahondar en puntos espec´ ıficos, matem´ticos e inform´ticos. Finalmente a a se han introducido algunas notas hist´ricas que describen brevemente la evoluci´n que han o o tenido las ideas a lo largo del tiempo. Con ello tratamos de combatir la idea gaussiana, demasiado extendida, de las Matem´ticas como un mundo est´tico, monol´ a a ıtico y perfecto donde la teor´ se presenta cerrada y completa. Las Matem´ticas en general y el C´lculo ıa a a Cient´ ıfico en particular recorren un largo trecho antes de llegar a este estado, durante el cual brotan ideas constantemente, siempre prometedoras en un primer momento, que 1 modelado por nuestra formaci´n cient´ o ıfica, com´n en muchos aspectos. u i
  3. 3. r do rra Bo evolucionan con los a˜os, con muchas de ellas desechadas finalmente e incluso algunas n rescatadas a˜os despu´s de considerarse como v´ muertas. n e ıas Hemos adjuntado al final una bibliograf´ utilizada en este texto. Nos gustar´ resaltar ıa ıa tres textos sobre los dem´s. En primer lugar, Numerical Computing with Matlab, de Cleve a Moler, que descubrimos cuando and´bamos en la redacci´n de la Lecci´n II. Su sencillez a o o y la buena elecci´n de ejemplos ha ejercido una influencia considerable en estas notas. o El segundo libro es ya un cl´sico entre los que aprendimos Matlab hace algunos a˜os. a n And´bamos entonces en la b´squeda de recursos en la web cuando nos encontramos con a u unos apuntes muy completos de libre divulgaci´n. Nos referimos al libro de Garc´ de o ıa Jal´n y sus colaboradores, Aprenda Matlab ?.? como si estuviera en primero. Diferentes o versiones de estos apuntes llevan cubriendo de forma incansable la evoluci´n de Matlab o desde la versi´n 4.0. o Por ultimo, aunque no es un texto propiamente, la enciclopedia libre on line Wikipedia2 ´ ha sido utilizada profusamente para obtener datos y fuentes utilizadas en la redacci´n de o este texto. Debemos se˜alar que estas informaciones han sido debidamente contrastadas. n A pesar de algunos problemas iniciales, es seguro que la influencia de esta enciclopedia libre crecer´ exponencialmente en el futuro. a Finalmente, queremos dejar patente nuestro agradecimiento al Profesor Javier Sayas que se ofreci´ muy generosamente a revisar este libro. Sus numerosas y acertadas indicao ciones y sugerencias han contribuido, y mucho, en la redacci´n final de este texto. o Pamplona, Febrero de 2006 2 V´ ıctor Dom´ ınguez B´guena a a u M Luisa Rap´n Banzo http://www.wikipedia.org ii
  4. 4. r do rra Bo A Javier Amigo y maestro.
  5. 5. r do rra Bo
  6. 6. r do rra Bo Cap´ ıtulo 1 Introducci´n o ... and the first lesson of all was the basic trust that he could learn. It is shocking to find how many people do not believe they can learn, and how many more believe learning to be difficult. Dune Frank Herbert 1.1. ¿Qu´ es? e Matlab es un entorno de trabajo para el c´lculo cient´ a ıfico. Programado originalmente por Cleve Moler a finales de los a˜os 70, su finalidad original era proporcionar una forma n sencilla de acceder a las librer´ LINPACK y EISPACK donde est´n implementadas de una ıas a forma altamente eficiente los algoritmos clave del an´lisis matricial1 . De hecho, Matlab es a una abreviatura de Matrix Laboratory Su primera implementaci´n se hizo en Fortran que era, y en buena medida a´n sigue o u si´ndolo, el lenguaje est´ndar en la implementaci´n de m´todos num´ricos2 . Posteriore a o e e mente se reimplement´ en C, que es como se encuentra en la actualidad. o Las aplicaciones de Matlab se fueron extendiendo a otras ramas del c´lculo cient´ a ıfico y de las ciencias aplicadas en general, dot´ndole de una gran popularidad en ambientes a cient´ ıficos (especialmente en Ingenier´ Dichas extensiones se consiguieron en gran parte ıa). mediante la implementaci´n de toolboxes, librer´ escritas en el lenguaje de programaci´n o ıas o propio de Matlab y que ampliaban el rango de problemas que pod´ resolverse. ıan Sin miedo a equivocarse, se pueden enunciar las siguientes ´reas donde Matlab muestra a un gran potencial: a ´lgebra lineal num´rica; e procesamiento de se˜ales (an´lisis, compresi´n de datos,..); n a o 1 por ejemplo, el m´todo de Gauss, el c´lculo de las descomposiciones m´s habituales del ´lgebra e a a a matricial num´rica (LU , LL , QR), m´todos iterativos,... e e 2 Fortran significa Formula translation. Desarrollado por IBM en 1954, es considerado como el primer lenguaje de alto nivel. Las ultimas actualizaciones (Fortran 95 y Fortran 2003) han dado nuevo vigor a ´ este veterano lenguaje de programaci´n. o 1
  7. 7. dise˜o de sistemas de control; n salidas gr´ficas; a estad´ ıstica; r do rra Bo simulaci´n de sistemas din´micos. o a La extensa gama de problemas que cubre hace de Matlab un lenguaje dif´ de entender ıcil y manejar en su completitud. Esto no quiere decir que sea inarbodable: el conocimiento base que permite empezar a trabajar es muy sencillo. No obstante el elevado n´mero de u 3 comandos que se encuentra a disposici´n del usuario provoca que en ocasiones existan o problemas no s´lo para encontrar los comandos adecuados sino tambi´n para tener una o e idea de qu´ posibilidades exactamente ofrece Matlab en un problema o tarea en particular. e 1.2. ¿C´mo trabaja? o El lenguaje de programaci´n de Matlab es bastante m´s flexible que el de los lenguajes o a tradicionales. No es preciso la declaraci´n inicial de variables, ´stas se pueden introducir o e en el momento que se necesiten, y por ejemplo, vectores y matrices pueden declararse sin especificar sus dimensiones e incluso cambiar sus tama˜os sobre la marcha. Ello pern mite una programaci´n algo m´s desordenada, aunque debe tenerse bien claro que una o a programaci´n cl´sica, m´s al uso, suele generar c´digo m´s eficiente. o a a o a Por otro lado, una gran cantidad de m´todos num´ricos se encuentran implementados e e de una forma muy eficiente y son accesibles como simples comandos. De esta forma, Matlab se puede utilizar como una caja negra: el usuario pregunta y el ordenador responde sin que ´ste tenga que preocuparse de qu´ tipo de operaciones se han efectuado por el camino. e e De todas formas es conveniente tener una idea de qu´ m´todos se est´n utilizando para e e a as´ ser conscientes de en qu´ condiciones van a funcionar, cu´l es en cada caso el m´toı e a e do adecuado, y especialmente el significado de los, posiblemente, numerosos argumentos opcionales que controlan el funcionamiento del algoritmo. A priori se pueden distinguir dos tipos de funciones en Matlab: funciones compiladas (Built in functions) y funciones no compiladas. Las primeras est´n optimizadas, son proa gramas ya compilados y con el c´digo no accesible para el usuario. Como ejemplos se o pueden citar operaciones fundamentales +, *,. . . . las funciones matem´ticas b´sicas (sin, cos, exp, log,. . . ) a a ´ algoritmos b´sicos del Algebra Lineal (inv, det, lu, chol, qr,...) a s´lidas gr´ficas (plot, surf,...) a a 3 A modo de ejemplo, estos comandos cubren salidas gr´ficas: plot, line, ezplot, ezsurf, surf, a surfc, line, patch, plot3, contour, contourf, ezcontour, pcolor, trimesh, trisurf,... 2
  8. 8. r do rra Bo Las funciones no compiladas est´n escritas siguiendo el lenguaje de programaci´n a o propio de Matlab. Estos comandos se guardan en ficheros *.m que es la extensi´n est´ndar o a de los ficheros de Matlab4 . Originalmente, Matlab funcionaba como un interprete. Es decir, cada l´ ınea de c´digo o era traducido antes de su ejecuci´n. Ello hac´ que una programaci´n similar a lenguajes o ıa o cl´sicos de programaci´n diera lugar a c´digo poco eficiente. a o o Este problema se puede subsanar en gran medida recurriendo a la programaci´n veco torizada. El siguiente ejemplo muestra las diferencias con una programaci´n est´ndar o a No vectorizada Vectorizada y=zeros(1,1000); h=2*pi/999; for i=0:999 y(i+1)=sin(h*i); end y=sin(linspace(0,2*pi,1000)); En la primera parte del c´digo, encontramos una estructura t´ o ıpica en los lenguajes de programaci´n: el comando for. Su significado es claro: las l´ o ıneas comprendidas entre el for y end se repiten 1000 veces con la variable i tomando valores de 0 a 999. El resultado final es el vector fila y que recoge el valor del seno en 1000 puntos uniformemente espaciados en [0, 2π]. Por otro lado, el comando linspace devuelve un array que contiene 1000 puntos equidistantes entre 0 y 2π. La funci´n seno es aplicada sobre todo el array devolviendo o un vector con estos valores que se guarda en y. La diferencia entre ambas formas de programar es ahora patente. Mientras que en la primera realizamos 1000 llamadas a la funci´n seno con un argumento por llamada, en la segunda hay una unica llamada donde o ´ se requiere el c´lculo del seno en 1000 puntos, y el resultado se devuelve en un vector con a estos valores (y por tanto tambi´n de longitud 1000). e Desde el punto de vista de Matlab el segundo c´digo es m´s eficiente. Habitualmente, o a la vectorizaci´n lleva consigo una reducci´n del c´digo a la vez que se incrementan las o o o necesidades de memoria. Con Matlab 6.5 se inici´ un proyecto a m´s largo plazo consistente en la aceleraci´n o a o (Performance Acceleration) de las versiones no vectorizadas dirigida a estrechar las diferencias con los lenguajes cl´sicos de alto nivel como Fortran, C o Pascal5 . En cualquier caso, a la posibilidad de ejecutar instrucciones en bloque sobre vectores o matrices, en contraste con operaciones elemento a elemento como en los lenguajes tradicionales, es algo que conviene explotar por las importantes ventajas que proporciona. 4 Tambi´n est´ la extensi´n *.mat, propia de ficheros de datos. e a o De hecho en la version 6.5 apenas hay diferencias en tiempo de ejecuci´n entre los dos c´digos o o expuestos. 5 3
  9. 9. 1.3. ¿C´mo aprenderemos? o r do rra Bo Como ya hemos se˜alado anteriormente, aprender a manejar Matlab en su totalidad n est´ fuera de los contenidos de un curso introductorio como ´ste. No as´ aprender los a e ı fundamentos y preparar el terreno para un autoaprendizaje de las partes en las que cada uno est´ interesado. Encontramos en este punto dos dificultades que salvar: saber de la e existencia del comando adecuado y aprender a utilizarlo. En no pocas ocasiones, la primera es la mayor dificultad. No obstante los comandos llevan siempre nombres nemot´cnicos e para facilitar su memorizaci´n. Las funciones de ayuda tambi´n echan una mano. o e Como a programar se aprende programando, comenzaremos escribiendo c´digo desde o los primeros pasos. Los esquemas num´ricos que implementaremos se encuentran pr´ctie a camente en cualquier curso introductorio de An´lisis Num´rico. En cada lecci´n implea e o mentaremos dichos algoritmos, introduciendo ´rdenes, estructuras de decisi´n, datos,... o o seg´n sea necesario. u En los apuntes se incluyen m´ltiples ejercicios cuya realizaci´n ayudar´ al aprendizaje u o a de la asignatura. Estos apuntes no deben tomarse como un manual en el estilo usual, sino como una forma de aprender Matlab y repasar o aprender el An´lisis Num´rico b´sico. a e a Ya existen manuales extensos y concienzudos, en la bibliograf´ citamos algunos de ellos, ıa que pueden servir para ese fin. 4
  10. 10. r do rra Bo Lecci´n I o Primeros pasos en Matlab. M´todos directos para sistemas de ecuaciones e lineales 5
  11. 11. r do rra Bo
  12. 12. r do rra Bo Introducci´n o When asked whether a programming language supports matrices, many people will think of two-dimensional arrays and respond, “Yes.” Yet matrices are more than two-dimensional arrays -they are arrays with operations. It is the operations that cause matrices to feature so prominently in science and engineering G.W. Stewart, Matrix Algorithms Comenzaremos en la primera parte de esta lecci´n tratando nociones b´sicas de Matlab, o a introduciendo el entorno de trabajo y las estructuras b´sicas de programaci´n. En segundo a o lugar entraremos en uno de los detalles fuertes de Matlab, la manipulaci´n de vectores y o matrices. En la parte matem´tica estudiaremos m´todos directos para la resoluci´n de sisa e o temas de ecuaciones lineales. En la implementaci´n de estos algoritmos repasaremos los o conocimientos de Matlab expuestos en la primera parte. 7
  13. 13. r do rra Bo
  14. 14. r do rra Bo Cap´ ıtulo 2 Matlab: Primeros pasos 2.1. Entorno de trabajo En las primeras secciones comenzaremos explorando Matlab de la forma m´s simple, en a modo comando: el usuario pregunta y Matlab responde. El interfaz de Matlab es bastante pobre, con un aspecto est´tico que en modo alguno es comparable al de programas como e Maple o Mathematica. El modo interactivo de trabajar es sencillo aunque algo inc´modo. A o modo de ejemplo, requiere algo de esfuerzo editar instrucciones ejecutadas con anterioridad ´ y manejarse con bloques de comandos es muy engorroso. Este y otros problemas del modo interactivo se subsanan en gran medida empaquetando instrucciones con ficheros script y/o programando en funciones (subrutinas) que es la forma natural de trabajar en Matlab. En un segundo paso, se puede implementar un interfaz gr´fica, las guides de Matlab, que a hacen m´s amigable la comunicaci´n con el usuario. a o En la Figura 2.1 podemos ver el aspecto inicial de Matlab. Distinguimos las siguientes ventanas Command window: ventana donde podemos ejecutar los comandos; Ventanas auxiliares: command history, workspace, current directory que informan sobre (y permiten editar) los comandos insertados, las variables declaradas y el directorio en el que estamos trabajando. Ventana de ayuda: en una ventana independiente proporciona un acceso completo a las funciones de ayuda de Matlab, incluyendo b´squedas, demostraciones, etc. u ´ Estas son las caracter´ ısticas b´sicas que debemos considerar: a El prompt de Matlab es >>. El usuario escribe a continuaci´n. o Para ejecutar se pulsa la tecla Enter. Se pueden recuperar comandos anteriores navegando con las flechas ↑ y ↓. Cuando se trabaje en Matlab, debemos tener muy en cuenta que: Se distinguen may´sculas y min´sculas. u u 9
  15. 15. ´ LECCION I 2.1 Entorno de trabajo r do rra Bo Figura 2.1: Pantalla Principal. Todos los comandos de Matlab se escriben en min´sculas y los argumentos se env´ u ıan entre par´ntesis separados por comas. e El car´cter % se utiliza para insertar comentarios. Todo lo que sigue (en la misma a l´ ınea) es ignorado por Matlab. Si se teclea al final de una instrucci´n ’;’ ´sta se ejecuta pero el resultado no se o e visualiza por pantalla. Dos comandos se pueden insertar en la misma l´ ınea separados por “,” o por “;”. La diferencia entre los dos es que con “,” se muestran los resultados de las operaciones mientras que con “;” la operaci´n se ejecuta pero no se visualiza. o Ejercicio 2.1 Ejecuta las instrucciones >> >> >> >> >> 4+4 % mi primera operacion 3^4, 4/9 3^4; 4/9 3^4, 4/9; 3^4; 4/9; 10
  16. 16. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos y observa la salida. Haremos algunos comentarios sobre el ejercicio anterior. El circunflejo ^ es la potenciaci´n: o >> 3^5 r do rra Bo ans= 243 El t´rmino ans es la primera variable que vemos de Matlab. Concretamente, guarda la e ultima salida dada por Matlab (answer): ´ >> 4+6 ans = 10 >> ans*2 ans = 20 >> ans*2 ans = 40 La ra´ cuadrada se puede calcular bien elevando a 1/2 (^(1/2)) o bien utilizando sqrt. ız Ejercicio 2.2 Comprueba la diferencia entre 4/4+6 4/(4+6) 3^5*2 3^(5*2) Nota. La prioridad de ejecuci´n entre operaciones matem´ticas es la habitual: primero o a se calcula la potenciaci´n ^, posteriormente los productos y divisiones *, / y en ultimo o ´ lugar, las sumas y restas + y -. Este orden se puede cambiar utilizando los par´ntesis. e La regla es sencilla: dada una expresi´n, lo primero que se calcula es lo que est´ dentro o a de cada par´ntesis. Esta regla es recursiva, es decir, si dentro de un par´ntesis hay otros e e par´ntesis, para evaluar el primero se empezar´ con los par´ntesis interiores. e a e Los n´meros reales se pueden insertar tambi´n en notaci´n cient´ u e o ıfica, muy adecuada si se trata de n´meros grandes o muy peque˜os (en valor absoluto). As´ se tiene la siguiente u n ı, regla de construcci´n: o m · 10r m er 11
  17. 17. ´ LECCION I 2.1 Entorno de trabajo Por ejemplo 0.005 −1201200000 115 · 1012 0.00031415 5e − 3 −1.2012e009 115e12 3.1415e − 004 r do rra Bo Existen adem´s dos n´meros especiales: inf y NaN. El primer signo representa la cana u tidad infinita (∞). El segundo es una abreviatura de “no es un n´mero” (Not a Number) u y es el resultado que se devuelve ante una operaci´n indefinida como 0/0. Este s´ o ımbolo se puede utilizar en ´mbitos, en principio tan extra˜os, como en el dibujo de superficies a n (v´r la Lecci´n V). e o En general los resultados num´ricos se presentan con cuatro cifras decimales correctas, e aunque todas las operaciones se ejecutan en doble precisi´n1 . Si se desean las salidas con o toda la precisi´n disponible se debe insertar la instrucci´n o o >> format long A partir de este punto, el resultado de cualquier operaci´n se mostrar´ con 16 cifras o a significativas. La instrucci´n o >> format short devuelve a la forma est´ndar con cuatro cifras decimales. Existen m´s opciones con format. a a Las siguiente l´ ıneas muestran algunas de ellas: >> pi % el numero pi ans = 3.1416 >> format long >> pi % mayor precision ans = 3.14159265358979 >> format compact % compacto >> pi ans = 3.14159265358979 >> format bank %No fijo de cifras decimales >> pi ans = 3.14 1 Aproximadamente 16 cifras decimales correctas. En el momento de redactar estas l´ ıneas, los procesadores de 32 bits dominan todav´ el parqu´ de ordenadores. Las nuevas generaciones, con procesadores ıa e con 64 bits, duplican la precisi´n de trabajo. o 12
  18. 18. ´ LECCION I %salidas en forma fraccionaria % mas espaciada r do rra Bo >> format rat >> pi ans = 355/113 >> format loose >> pi Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos ans = 355/113 Observa la diferencia de espaciamiento que se obtiene con las opciones compact y loose. N´ meros complejos u La √ aritm´tica compleja se encuentra tambi´n integrada en Matlab. La unidad imagie e o naria ( −1) se representa en Matlab con i ´ j: >> clear i j % borramos posibles valores de i y j >> i^2 ans= -1 >> j^2 ans= -1 El signo i suele ser habitual en Matem´ticas mientras que en diversas ramas de la F´ a ısica y en Ingenier´ de Telecomunicaciones o El´ctrica se prefiere el s´ ıa e ımbolo j (en este caso para no confundir con la intensidad de corriente el´ctrica). De ah´ que Matlab permita e ı ambas representaciones. Todas las operaciones matem´ticas incluyen la aritm´tica compleja en el sentido usual a e >> 1+i +5-6i % suma de dos numeros complejos ans = 6.0000 - 5.0000i >> (5+3i)*(5-3i), (1+2i)/(3-4i) ans = 13
  19. 19. ´ LECCION I 2.2 Comandos de ayuda 34.00 ans = r do rra Bo -0.20 + >> conj(3e-3+2e-4i) % conjugado ans = 0.0030 - 0.0002i >> abs(3+4i), angle(2i) % modulo y argumento ans = 5 ans = 1.5708 2.2. Comandos de ayuda La ayuda de Matlab es ciertamente muy clara y completa. Los comandos siempre dispuestos a echarnos una mano son: help: muestra una ayuda por pantalla, en la ventana de comandos, con la informaci´n esencial sobre un comando concreto. o helpwin: similar a help pero despliega la ayuda en una ventana auxiliar, permitiendo as´ una navegaci´n, estilo web, muy c´moda. ı o o lookfor: permite buscar una cadena en la primera l´ ınea de todos los ficheros de ayuda. Por ejemplo, si deseamos ayuda sobre la funci´n sin, podemos ejecutar o >> help sin SIN Sine. SIN(X) is the sine of the elements of X. Overloaded methods help sym/sin.m 14
  20. 20. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos r do rra Bo Figura 2.2: Pantalla de ayuda. o bien >> helpwin sin y obtener la pantalla que se muestra en la Figura 2.3. Adem´s, si aparece el enlace “Go to a online doc for ...”, ´ste nos permite navegar entre una ayuda mucho m´s completa e a donde se muestran ejemplos y detalles sobre la implementaci´n del comando (ver la Figura o 2 2.4 ). Ejercicio 2.3 Utilizando las funciones de ayuda, obtener informaci´n de alguna de estas o funciones elementales de Matem´ticas a sin sec sinh exp cos csc cosh log tan cot tanh log10 asin asec asinh log2 acos acsc acosh sign atan acot atanh Mediante la instrucci´n o 2 Para que esta opci´n est´ disponible es necesario que se haya instalado la ayuda completa de Matlab. o e A partir de la versi´n 6.0 la instalaci´n consta de (al menos) dos CDs, el primero con el programa y las o o librer´ habituales y el segundo con la documentaci´n de la ayuda. ıas o 15
  21. 21. ´ LECCION I 2.3 Variables r do rra Bo Figura 2.3: Ayuda con helpwin. Comprueba si aparece la opci´n Go to online doc... o >> help + se pueden adem´s visualizar las operaciones “elementales” seg´n Matlab. a u 2.3. Variables Matlab no necesita la declaraci´n de variables como en un lenguaje tradicional. En prino cipio todas las variables son reales, y basta hacer uso de ellas para que queden declaradas: >> a=1; b=2; c=3; >> a-b ans = -1 >> a*b*c ans = 16
  22. 22. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos r do rra Bo Figura 2.4: Ayuda on line. 6 El comando who sirve para conocer los nombres de las variables declaradas, mientras que con whos obtenemos una informaci´n m´s precisa: o a >> who Your variables are: a b c >> whos a Name Size a Bytes 1x1 8 Class double array Grand total is 1 element using 8 bytes Para borrar una variable se utiliza la instrucci´n clear, por ejemplo, o 17
  23. 23. ´ LECCION I 2.3 Variables >> a=4; >> whos a Size a Bytes 1x1 Class 8 double array r do rra Bo Name Grand total is 1 element using 8 bytes >> clear a >> whos a >> borra la variable (es decir, whos no devuelve nada). Con la orden >> clear all se borran todas las variables declaradas hasta el momento. Nota. En Matlab es correcto declaraciones de este tipo >> sin=1; >> sin+1 ans= 2 De esta forma sin pasa a ser una variable que sobrescribe el valor original que ten´ como ıa funci´n seno. Para recuperar el valor original basta ejecutar o >> clear sin Almacenamiento de variables en ficheros Matlab ofrece la posibilidad de grabar las variables que deseemos en un fichero. De esta forma, podemos recuperarlas m´s adelante, ya sea en la misma sesi´n o en otra diferente3 . a o Por ejemplo >> >> >> >> a=4+i;% numero complejo b1=cos(2); b2=sin(2); save datos a b1 b2 graba dentro del directorio de trabajo, en un fichero de nombre datos.mat, las variables indicadas. Para recuperar, basta ejecutar >> load datos 3 Se entiende por sesi´n el tiempo que transcurre entre que se abre y se cierra Matlab. Al cerrar el o programa, todas las variables locales se pierden. 18
  24. 24. ´ LECCION I 2.4. Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos Ficheros script y funciones La forma m´s eficiente de empaquetar series de instrucciones simples y mec´nicas es a a utilizando ficheros script. Tareas m´s elaboradas, con, por ejemplo, variables de entrada a y salida, requieren del uso de funciones. r do rra Bo 2.4.1. Ficheros script Un fichero script es un simple documento de texto que contiene una sucesi´n de coo mandos de Matlab. Esencialmente es equivalente a teclear estas instrucciones directamente en la ventana de comandos. Describiremos el manejo de este tipo de ficheros mediante un sencillo ejemplo. Comenzamos creando un fichero tecleando en modo comando la orden4 >> edit prueba Se despliega as´ en una ventana aparte el editor de Matlab con el fichero prueba.m (“.m”es ı la extensi´n est´ndar de Matlab). Es importante saber cu´l es el directorio de trabajo5 , o a a pues es donde se guardar´ por defecto el fichero. a Tecleamos ahora en el editor a=1+i; b=1-i; disp(’a*b=’) disp(a*b) disp(’a/b=’) disp(a/b) disp(’sqrt(a)=’) disp(sqrt(a)) El comando disp (de display) muestra vectores por pantalla de forma compacta. Dado que para Matlab un cadena de caracteres es simplemente un vector de car´cteres, se consigue a con ello mostrar por pantalla mensajes de forma concisa. Una vez que el documento est´ grabado, para ejecutar las ´rdenes que contiene basta a o teclear el nombre del fichero en la ventana de comandos: >> prueba Se puede modificar las veces que se precise las variables a y b en el fichero script sin tener que teclear de nuevo todas las instrucciones. 2.4.2. Funciones En principio existen dos tipos de funciones: las funciones inline, que se insertan en la l´ ınea de comandos y las que se escriben en un documento de texto externo. Esta ultima ´ forma, que es la evoluci´n natural de los ficheros script, es m´s flexible y es en la que nos o a centraremos a continuaci´n. Dejaremos pendiente para la Lecci´n III la descripci´n de las o o o funciones inline. Como antes, para crear un fichero que contenga a una funci´n se puede teclear: o 4 5 Tambi´n es posible crear este fichero a golpe de rat´n. e o Por defecto es C:MATLAB6p5work. 19
  25. 25. ´ LECCION I 2.4 Ficheros script y funciones >> edit mifuncion En el editor puedes insertar este simple ejemplo: % MIFUNCION % % Y=MIFUNCION(X) devuelve % % Y=X^2-COS(X) % function y=mifuncion(x) r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 y=x^2-cos(x); return La funci´n se declara con function, la variable de entrada es x y se declara como variable o de salida y. Se termina la ejecuci´n de la funci´n cuando se ejecuta un return o bien se o o llega al final de la funci´n6 . o Ahora, para calcular el valor de π 2 − cos(π) podemos ejecutar la orden: >> mifuncion(pi) ans = 10.8696 Nota. Los n´meros correlativos situados a la izquierda no forman parte del c´digo u o de la funci´n. Han sido insertados con el fin de numerar las l´ o ıneas y as´ facilitar los ı comentarios que podamos hacer sobre el programa. Una funci´n puede no tener salidas, por ejemplo, o 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 % INFORMACION % % INFORMACION devuelve informacion sobre % la precision de la maquina % function informacion disp(’precision de la maquina’) disp(eps) disp (’mayor numero real’) disp(realmax) disp (’menor numero real’) disp(realmin) return 6 En este sentido, el return del ejemplo anterior es superfluo. 20
  26. 26. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos o bien devolver m´ltiples salidas: u % MIFUNCION2 % % [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve % % Y1=X1+X2+X3; % Y2=X1-X2+X3; % function [y1,y2]= mifuncion2(x1,x2,x3) r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 y1=x1+x2+x3; y2=x1-x2+x3; return Observa c´mo se recogen los resultados o >> [z1,z2]=mifuncion2(1,2,3); >> z1 ans= 6 >> z2 ans= 2 >> z=mifuncion2(1,2,3); % Ahora solo devuelve el primero ans= 6 La cabecera que hemos introducido en el pre´mbulo de las funciones, es decir las l´ a ıneas anteriores a la declaraci´n de la funci´n y precedidas con “%”, constituyen la ayuda de la o o funci´n: o >> help mifuncion2 MIFUNCION2 [Y1,Y2]=MIFUNCION2(X1,X2,X3) devuelve Y1=X1+X2+X3; Y2=X1-X2+X3; 21
  27. 27. ´ LECCION I 2.5 Vectores y matrices Aunque muy recomendables7 , su inclusi´n en una funci´n es opcional. La ayuda puede o o estar antes o despu´s de la declaraci´n de la funci´n. En cualquiera de los dos casos, e o o Matlab despliega como ayuda todas las l´ ıneas que esten precedidas con % hasta que se encuentra con la primera l´ ınea no comentada. r do rra Bo Nota. Para ser consecuentes, lo correcto es denominar de igual modo a la funci´n y o al archivo que la contiene. Sin embargo esto no es obligatorio, es decir, se pueden dar nombres distintos, pero en este caso Matlab da preferencia al nombre del archivo. Aunque Matlab distingue entre may´sculas y min´sculas en sus comandos, esto no es u u extensible para funciones programadas en m-files, al menos en Windows. Es decir, para ejecutar una funci´n en un archivo, digamos, operaciones, se puede utilizar OPERACIONES, o Operaciones y cualquier combinaci´n con may´sculas y min´sculas. Esto es debido a que o u u a el sistema de archivos de Windows tampoco hace esa distinci´n8 . Versiones m´s avanzadas o de Matlab, 7.0 en adelante, muestran sin embargo un aviso si no existe una concordancia exacta min´sculas-may´sculas entre el nombre del fichero y el comando utilizado para u u llamarlo. Todas las variables se env´ por valor, no por referencia. Es decir, si una funci´n ıan o modifica una variable de entrada, esta modificaci´n se pierde cuando finalice su ejecuci´n, o o recuperando el valor original. Por ultimo, en un fichero se pueden incluir varias funciones. En este caso s´lo la primera ´ o funci´n es accesible desde el exterior (l´ o ınea de comandos, otras funciones,...) mientras que el resto de funciones presentes en ese fichero son internas, es decir, utilizables unicamente ´ por las funciones presentes en el archivo. Esto es importante a la hora de realizar una programaci´n modular. Si un conjunto de funciones son s´lo utilizadas por una funci´n o o o principal, se pueden insertar en el mismo fichero que ´sta. Evitamos as´ llenar la carpeta e ı de trabajo, o de nuestro proyecto, con ficheros y m´s ficheros. a 2.5. Vectores y matrices Dado que principalmente trabajaremos s´lo con arrays de una y dos dimensiones o hablaremos en lo que sigue de los objetos matem´ticos correspondientes: vectores y maa trices. Todo lo que sigue se puede adaptar a arrays con m´s dimensiones, aunque por a simplificar, nos centraremos ahora en el manejo de vectores y matrices y dejaremos pendiente para la Lecci´n IV el uso de arrays multidimensionales (tensores). o 2.5.1. Definici´n de matrices y vectores o Un vector o una matriz se puede definir dando sus elementos entre corchetes y separando filas mediante “;”. Por ejemplo, las instrucciones 7 No hay que subestimar nunca la capacidad de olvido de uno mismo: el c´digo claro y legible de hoy o es ilegible semanas despu´s. Las ayudas facilitan la edici´n de los programas no s´lo para un usuario e o o externo sino para el propio programador. 8 Es decir, si existe un fichero llamado operaciones.m no es posible crear otro con nombre Operaciones.m 22
  28. 28. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos >> a=[1 3 -1; 2 3 4; 4 5 1]; >> a2=[1 2 4; -1 0 1; 2 1 5]; >> b=[1; 3; 1]; b2=[-1 1 -2 2]; matrices y vectores    3 −1 1 2 4 3 4  , a2 =  −1 0 1  , 5 1 2 1 5   1 b =  3 , 1 r do rra Bo definen las  1  2 a= 4 b2 = −1 1 −2 2 . Matlab distingue entre vectores fila y columna por lo que habr´ que tenerlo en cuenta por a ejemplo cuando se desee hacer operaciones como sumas o productos. Desde una vertiente pr´ctica, si se va a trabajar con una matriz grande, por ejemplo a de tama˜o 20 × 10, y sus valores se van a introducir m´s adelante, se puede empezar con n a >> a=zeros(20,10); A partir de este instante se pueden insertar los elementos, accediendo a cada posici´n o mediante par´ntesis e >> a(4,5)=9; a(2,1)=6; a(1,1)=-3.4; >> a(4,5) ans= 9 En cualquier caso, si tratamos de introducir un valor en una posici´n no definida de la o a u matriz, Matlab ir´ adaptando el tama˜o seg´n juzgue apropiado9 , y no dar´ ning´ n a n u error. El siguiente ejemplo ilustra esta caracter´ ıstica >> clear c % c esta borrado >> c(1,2)=4 % c es ahora 1 x 2 c = 0 >> c(3,3)=2 4 % c pasa a ser 3 x 3 c = 0 0 0 4 0 0 0 0 2 Esta habilidad, aunque permite una programaci´n muy flexible y descuidada, debe utio lizarse con mesura dado que puede provocar errores de ejecuci´n muy dif´ o ıciles de detectar. 9 Ello obliga a que haya que redimensionar constantemente la memoria otorgada a la variable a. Esto supone un costo adicional, inapreciable con ejemplos peque˜os, pero importante para grandes cantidades n de memoria. Por tanto es mejor declarar primero las dimensiones de la matriz e informar as´ a Matlab de ı cu´nta memoria tiene que reservar. a 23
  29. 29. ´ LECCION I 2.5 Vectores y matrices 2.5.2. Operaciones Todas las operaciones habituales entre matrices, tales como la suma, producto, potenciaci´n, c´lculo de determinantes, inversas..., est´n ya implementadas en Matlab. No hay o a a por tanto necesidad de programarse estas tareas. Por ejemplo, si a y a2 son matrices de tama˜os compatibles, las instrucciones n r do rra Bo a*a2 a^2 a+a2 devuelven el producto matricial de a y a2, el cuadrado de a (es decir, a*a) y la suma de a y a2. Es importante observar la diferencia con estas l´ ıneas a.*a2 a.^2 En el primer caso, se devuelve la matriz resultado de multiplicar elemento a elemento a y a2 (por tanto deben tener el mismo tama˜o) y en el segundo, una matriz cuyas n entradas son el cuadrado de las de a. Esto es una constante en Matlab: el signo “.” indica que la operaci´n (un producto, una potencia o una divisi´n) se hace elemento a o o elemento, mientras que en caso contrario se calcula la operaci´n matem´tica, en este o a caso el producto matricial. Ejercicio 2.4 Introduce en a y a2 dos matrices de igual tama˜o. Observa el resultado de n ejecutar a+a2 a*a2 a.*a2 Define un vector b fila o columna y ejecuta b.^3 b’ Comprueba si estas operaciones est´n bien definidas a a*2 a+1 ¿Qu´ hacen exactamente? ¿Por qu´ crees que no es necesario “.” en la primera instrucci´n?. e e o Otros comandos importantes son det inv / /. . Los dos primeros son el determinante y la inversa de una matriz cuadrada. Los operadores “/” y “” (slash y backslash) son ciertamente especiales: a/a2 es equivalente a a*inv(a2), aa2 es equivalente a inv(a)*a2 En cuanto a su relaci´n con ./ y . es la misma que ha surgido antes, esto es, aplicado o sobre matrices procede a realizar los cocientes elemento a elemento. Requiere por tanto que ambas matrices tengan el mismo tama˜o. n Ejercicio 2.5 Ejecuta las instrucciones >> 3/5 >> 35 y observa el resultado. ¿Tiene sentido desde el punto de vista anterior?. Ejercicio 2.6 Dado b una matriz, ¿qu´ hace 1/b?. e 24
  30. 30. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos Nota. El operador backslash “” se utiliza profusamente para resolver sistemas de ecuaciones lineales, bajo la idea de que Ax = b ⇔ x = A−1 b. As´ si b es n × 1 y a es n × n, ı, r do rra Bo >> x=ab; devuelve en x la soluci´n del sistema correspondiente. o El funcionamiento real de dista mucho de ser tan simple. Esto es, no calcula la inversa de a para multiplicarla por b, sino que resuelve el sistema de ecuaciones por alguna variante del m´todo de Gauss. Se puede utilizar helpwin mldivide (o helpwin e mrdivide para /) para leer en detalle c´mo procede este comando. o Las funciones propias de Matlab trabajan de forma natural sobre vectores y matrices. El resultado final es equivalente a aplicar el comando elemento a elemento. Por ejemplo, >> a=[0 pi/3; -pi/3 0]; >> cos(a) ans = 1.0000 0.5000 0.5000 1.0000 es equivalente a >> [cos(0) cos(pi/3); cos(-pi/3) cos(0)] ans = 1.0000 0.5000 2.5.3. 0.5000 1.0000 Detalles adicionales C´mo obtener las dimensiones de vectores y matrices o Los comandos de Matlab size y length nos proporcionan esta informaci´n: o >> a3=[1 2; 3 6; 5 -1]; >> size(a3) ans = 3 2 >> length(a3) 25
  31. 31. ´ LECCION I 2.5 Vectores y matrices ans = 3 r do rra Bo >> a3=a3’; % cambiamos la forma de a3 >> size(a3) ans = 2 3 >> [m,n]=size(a3); % m son las filas y n las columnas >> m ans = 2 >> n ans = 3 >> length(a3) ans = 3 El comando size devuelve un vector de tama˜o 2×1 con el n´mero de filas y columnas n u del vector/matriz. El resultado es diferente seg´n se aplique a vectores fila o columna. La u orden length devuelve la longitud de una matriz o vector. Su significado en el caso de un vector est´ clara mientras que para matrices devuelve el m´ximo entre el n´mero de filas a a u y el n´mero de columnas. u Matrices especiales Matlab dispone de una serie de comandos que permiten construir matrices con una estructura particular. Cabe se˜alar las siguientes ´rdenes: n o eye(n) es la matriz identidad de orden n; ones(m,n) es una matriz m x n de 1s; zeros(m,n) es una matriz m x n de 0s, esto es, igual que ones pero con ceros; y algunas m´s ex´ticas como hilb, invhilb, pascal, magic. a o 26
  32. 32. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos Existen dos formas de introducir vectores cuyos valores siguen una distribuci´n regular o a:b:c construye el vector de valores [a a+b a+2*b .... a+k*b] donde a+k*b es el mayor n´mero natural que cumple a+k*b≤ c. La instrucci´n a:c toma b = 1. u o linspace(a,b,n) devuelve una partici´n uniforme de [a, b] en n puntos. o r do rra Bo Por ejemplo, >> 0:10 ans= 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 >> 10:-1:0 ans= 10 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 >> 0.1:0.3:1.5 ans = 0.1000 0.4000 0.7000 1.0000 1.3000 >> linspace(0,2,4) ans = 0 0.6667 1.3333 2.0000 >> linspace(2,0,4) ans = 2.0000 1.3333 0.6667 0 Nota. Cuando Matlab tiene que devolver un vector y no se le especifica el formato, devuelve una fila. 2.5.4. Acceso a partes de matrices El manejo de partes de vectores y matrices, as´ como la eliminaci´n de filas o columnas, ı o cambios de tama˜o, etc, se hace v´ instrucciones muy simples en Matlab. Aunque pueda n ıa resultar algo extra˜o al principio, un poco de pr´ctica es suficiente para que el usuario se n a 27
  33. 33. ´ LECCION I 2.5 Vectores y matrices adapte a la nueva sintaxis, tan diferentes a la de un lenguaje tradicional, y pueda utilizarlo en sus c´digos. o Comencemos viendo un ejemplo: r do rra Bo >> a=[1 2 3; 4 5 6; 7 8 9; 10 11 12]; >> a(2,3) % elemento (2,3) de a ans = 6 >>a(2,:) % fila 2 de a ans = 4 5 6 >>a(:,1) % columna 1 ans = 1 4 7 10 >>a(:,2)=0 % columna 2 es ahora 0 a = 1 4 7 10 0 0 0 0 3 6 9 12 Podemos acceder a partes de una fila o columna: >> a(1,2:3) % vector [a(1,2) a(1,3)] ans = 0 3 >> a(2:4,3) % vector columna [a(2,3); a(3,3); a(4,3)] ans = 28
  34. 34. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos 6 9 12 >> a(1:2,2:3) % matriz [a(1,2) a(1,3); a(2,2) a(2,3)] r do rra Bo ans = 0 0 3 6 En general, si p es un vector de n´meros enteros, v(p) devuelve [v(p(1)), v(p(2)), u ..., v(p(n))]. Por ejemplo, >> v=[0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6]; >> v(4:-1:2) ans= 0.4000 0.300 >> p=[5 1 2 3 3 3]; >> v(p) 0.2000 % no importa que esten repetidos ans= 0.5000 0.1000 0.2000 0.3000 0.3000 Ejercicio 2.7 Ejecuta las siguientes l´ ıneas >> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8; 9 10 11 12]; >> p=[1 3 2]; q=[1 2 1]; >> a(p,q) ¿Qu´ hacen exactamente?. e Igualmente es f´cil a˜adir filas y columnas a una matriz: a n >> a=[1 2 3 4; 5 6 7 8] a = 1 5 2 6 3 7 >> a=[a; [1 -1 2 4]] 4 8 % adosamos una fila nueva a = 29 0.3000
  35. 35. ´ LECCION I 2.6 Bucles y estructuras de decisi´n o 1 5 1 2 6 -1 3 7 2 % una nueva columna r do rra Bo >> a=[a [0; 2; 4] ] 4 8 4 a = 1 5 1 2 6 -1 3 7 2 4 8 4 0 2 4 Si se desea eliminar una fila o columna se puede utilizar el s´ ımbolo vac´ []. Por ıo ejemplo, >> a(:,2)=[] % suprime la segunda columna a = 1 5 1 3 7 2 4 8 4 0 2 4 Ejercicio 2.8 Programa una funci´n cuyas entradas sean una matriz cuadrada y un t´rmino o e independiente compatible y que devuelva la matriz ampliada del sistema de ecuaciones lineales. Esto es, una matriz con la matriz original y una ultima columna con el t´rmino independiente. ´ e 2.6. Bucles y estructuras de decisi´n o Claves en cualquier lenguaje de programaci´n, Matlab dispone de varias de ellas entre o las que sobresalen for e if, un est´ndar en el mundo de la inform´tica. a a 2.6.1. Bucles: el comando for En Matlab, la estructura for j=inicio:paso:final ..... end implementa un bucle donde las l´ ıneas de c´digo entre for y end son ejecutadas repetidao mente con j tomando los valores del vector inicio:paso:final (v´ase la Secci´n 2.5.3) e o Por ejemplo, >> for j=1:3; 1 disp(j); end 30
  36. 36. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos 2 3 disp(j-2); end r do rra Bo >> for j=6:-2:2; 4 2 0 En general, si v es un vector, for j=v ..... end procede a ejecutar las l´ ıneas internas con j tomando los valores del vector v. Por ejemplo, >> v=[2 5 3 1];for j=v; 2 disp(j); end 5 3 1 Asociados a for, y en general a cualquier bucle, encontramos los comandos break y continue. El primero fuerza la salida inmediata del bucle mientras que el segundo reinicializa la iteraci´n con el siguiente valor del ´ o ındice. Ejercicio 2.9 La matriz de Hilbert de orden n es  1 1 ··· ··· 2  1 1 ··· ···  2 3 A= . .  . .. ... ...  . 1 2n−2 1 n 1 n 1 n+1 . . . 1 2n−1       Construye la matriz anterior mediante un fichero script y el uso de dos “for” anidados. 2.6.2. Operadores l´gicos y estructuras de decisi´n o o Los operadores l´gicos m´s b´sicos en Matlab son o a a == igualdad, ~= desigualdad, >= mayor o igual, <= menor o igual, 31 > & mayor, “y” l´gico, o < | menor, “o” l´gico o
  37. 37. ´ LECCION I 2.6 Bucles y estructuras de decisi´n o El resultado de una comparaci´n es 1 si es verdadero, 0 si es falso: o >> a=1; b=2; c=3; >> a>0 ans = r do rra Bo 1 >> a>0 & b<3 ans = 1 >> a<0 | b<1 ans = 0 >> test= (a~=0) ans = 1 >> whos test Name Size test Bytes 1x1 1 Class logical array Grand total is 1 element using 1 bytes Estos “0” y “1” no son valores num´ricos sino l´gicos como se comprueba con la ultima e o ´ instrucci´n10 . Cuando se aplica a un vector, devuelve un vector de verdadero/falso de la o misma longitud que el vector original: >> b=[1 2 -3 -1 2 -4]; p=(b>=1) % entradas de b>=1 p= 1 1 0 0 1 0 En el ejemplo anterior, p(i)==1 si b(i)≥1 y cero en caso contrario. Ahora, podemos aislar los elementos mayores o iguales que 1 simplemente con 10 Ocupan un unico byte mientras que un n´mero real utiliza ocho bytes. ´ u 32
  38. 38. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos >> b(p) 1 2 2 Desde este punto de vista es correcta y recomendable utilizar la instrucci´n o % elementos de b mayores o iguales que 1 r do rra Bo >> b(b>=1) 1 2 2 que adem´s resulta muy natural (y f´cil de entender). a a Nota. El comando logical puede utilizarse para construir vectores y estructuras l´gicas o a partir de vectores de n´meros enteros: u >> b=[2 4 6 8 10]; p=[1 0 0 1 >> b(p) % Dara error 1]; ??? Subscript indices must either be real positive integers or logicals. >> p=logical(p); >> b(p) ans = 2 8 10 La estructura de decisi´n, como en muchos otros lenguajes, es if. Su sintaxis es la o siguiente: if simple: si la operaci´n l´gica efectuada es verdadera, se ejecutan las l´ o o ıneas de c´digo comprendidas entre if y end o if (x<-1 | x>1) disp(’valor absoluto de x mayor que 1’) end if compuesto: como el anterior, pero un nuevo conjunto de l´ ıneas, comprendidas entre else y end son ejecutadas en caso de que la operaci´n l´gica efectuada en el o o if sea falsa: if (x<0 & x>-10) f=x^2; % x entre -10 y 0 else f=sin(x^2); % x menor que -10 o mayor que 0 end 33
  39. 39. ´ LECCION I 2.6 Bucles y estructuras de decisi´n o if de decisi´n m´ltiple: o u r do rra Bo if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) elseif (x<sqrt(pi)) f=sin(x^2); disp(’x en [0,sqrt(pi))’) elseif (x<2*sqrt(pi)) f=(x-sqrt(pi))^2; disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’) else f=pi*cos(x^2); disp(’x en [2*pi,infinito)’) end Esta ultima instrucci´n es equivalente a anidar diferentes estructuras if, de la sigu´ o iente forma if (x<0) f=x.^2; disp(’x menor que cero’) else if (x<sqrt(pi)) f=sin(x^2); disp(’x en [0,sqrt(pi))’) else if (x<2*sqrt(pi)) f=(x-sqrt(pi))^2; disp(’x en [sqrt(pi),2*sqrt(pi))’) else f=pi*cos(x.^2); disp(’x en [2*pi,infinito)’) end end end Obviamente, la primera forma es m´s clara y concisa. a Nota. Con la instrucci´n switch se puede implementar una estructura de decisi´n que o o es esencialmente equivalente a un if anidado. Est´ disponible tambi´n el bucle while que procede a ejecutar un bucle (que se cierra a e tambi´n con un end) mientras una condici´n sea verdadera. Por tanto, es algo m´s flexible e o a que un for. En general todos los bucles y estructuras que requieran cerrarse, lo hacen con end. El uso de break y continue es exactamente el mismo. 34
  40. 40. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 2. Matlab: Primeros pasos Por ultimo, y volviendo a end, este comando tiene una curiosa funcionalidad extra: ´ sirve para referenciar el ultimo elemento de una fila o columna de una matriz. Por ejemplo ´ b(4:end) selecciona todos los elementos de b desde la posici´n cuarta en adelante. o Ejercicio 2.10 ¿Qu´ hace el siguiente fragmento de c´digo? e o r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 r=[]; aux=0; while aux<0.8 aux=rand(1); r=[r aux]; end r(end)=[]; Ejercicio 2.11 Con la ayuda de Matlab, programa un par de ejemplos donde utilices switch y while. Ejercicio 2.12 (Un poco de todo) Implementa una funci´n de nombre findnonzeros o que dado un vector de entrada devuelva el n´mero de elementos no nulos y un vector que u contenga dichos elementos. Soluci´n. Una implementaci´n posible es la siguiente o o 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 % FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=[]; % p es vacio for i=1:length(x) if (x(i)~=0) % si x(i) no es cero p=[p x(i)]; % apuntamos i al vector p end end n=length(p); return Observa como se recogen los resultados de la funci´n, n y p, o >> a=[0.1 0. 0.3 0.1 0.6 0 0.1 0.2 0.4]; % vector!! >> [n,p]=findnonzeros(a) n = 7 35
  41. 41. ´ LECCION I 2.6 Bucles y estructuras de decisi´n o p = Columns 1 through 5 0.3000 0.1000 0.6000 0.1000 r do rra Bo 0.1000 Columns 6 through 7 0.2000 0.4000 Otra posible implementaci´n (mucho m´s elaborada y m´s propia de Matlab) es la siguo a a iente 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 % FINDNONZEROS % % [N,P]=FINDNONZEROS(X) devuelve % % N el numero de elementos no nulos en el vector X % P un vector con los elementos no nulos de X % function [n,p]=findnonzeros(x) p=x(x~=0); n=length(p); return Haz un esfuerzo en entender bien los comandos anteriores. Tras la suficiente pr´ctica, a esta versi´n se ve m´s clara y natural que la anterior. Observa c´mo se toman los elementos o a o no nulos del vector x (l´ ınea 10). 36
  42. 42. r do rra Bo Cap´ ıtulo 3 M´todos directos para sistemas de e ecuaciones lineales 3.1. M´todo de Gauss e El m´todo de Gauss, tambi´n conocido como eliminaci´n gaussiana, es el algoritmo e e o m´s sencillo para la resoluci´n de sistemas de ecuaciones lineales. Consta de dos partes a o bien diferenciadas: i) Transformaci´n del sistema lineal en otro equivalente, es decir, con la misma soluo ci´n, donde la matriz es triangular superior. o ii) Resoluci´n del sistema triangular por sustituci´n regresiva. o o El paso i) se acomete v´ dos operaciones elementales: ıa (a) Sumar a una ecuaci´n otra multiplicada por un n´mero. o u (b) Intercambiar dos ecuaciones. Si s´lo utilizamos la operaci´n (a) hablaremos del m´todo de Gauss sin pivotaje, y o o e con pivotaje parcial si tambi´n realizamos las operaciones (b)1 cuando la elecci´n de e o las filas que se conmutan sea una muy particular. Representando el sistema de ecuaciones en la forma matricial, todo lo anterior se reescribe en t´rminos de operaciones matriciales (sumar a una fila otra fila e intercambiar e 2 filas ). En lo que sigue expresaremos el sistema en la forma Ax = b, A ∈ Rn×n , x, b ∈ Rn , donde A es la matriz de coeficientes, b el t´rmino independiente y x el vector de soluciones. e Los elementos de A se denotar´n por aij , y con bi los de b. a 1 Existe una tercera operaci´n (c), que consiste simplemente en multiplicar filas por constantes no o nulas. Esta operaci´n recibe el nombre de reescalado (de filas) y en problemas pr´cticos se suele utilizar o a con el fin de mejorar la estabilidad del sistema frente a errores de redondeo. 2 Otra posibilidad es intercambiar columnas, que se corresponde con reordenar las inc´gnitas). En este o caso se habla de pivotaje total. 37
  43. 43. ´ LECCION I 3.1 M´todo de Gauss e 3.1.1. M´todo de Gauss sin pivotaje e El pseudoc´digo se expone a continuaci´n o o M´todo de Gauss e r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 for i = 1 : n − 1 for k = i + 1 : n ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj − ki aij end bk = bk − ki bi end end xn = bn /ann for i = n − 1 : −1 : 1 n x i = bi − 13 aij xj /aii j=i+1 15 end Las l´ ıneas 01--09 se corresponden con la reducci´n a la forma triangular de la matriz o y las l´ ıneas 11--15 con la resoluci´n del sistema triangular resultante. El elemento aii se o denomina pivote y debe ser distinto de cero para que el algoritmo funcione, dado que en caso contrario la operaci´n en 03 est´ mal definida. o a 3 o El algoritmo efect´a O(n /3) productos3 y otras tantas sumas para la reducci´n a la u forma triangular y O(n2 /2) sumas y productos para la resoluci´n del sistema triangular. o Por tanto el costo se concentra en la primera fase del algoritmo y duplicar la dimensi´n o del sistema exige multiplicar por ocho el tiempo de c´lculo (y por cuatro el costo en a memoria). Ejercicio 3.1 Implementa una funci´n cuyas entradas sean la matriz de coeficientes y el o t´rmino independiente y devuelva la soluci´n del sistema por el m´todo de Gauss. e o e Soluci´n. El siguiente programa es una soluci´n del ejercicio o o 01 02 03 04 05 % GAUSS % % % X=GAUSS(A,B) % Solucion del sistema Ax=b con el metodo de Gauss sin pivotaje 3 es decir, el n´mero de multiplicaciones es n3 /3 + αn2 + βn + γ, donde α, β y γ son constantes u adecuadas. Con n creciente, el primer t´rmino es el dominante. e 38
  44. 44. ´ LECCION I 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e function x = gauss(a,b) n=length(a); r do rra Bo % transformacion del sistema en uno triangular for i=1:n-1 for k=i+1:n l=a(k,i)/a(i,i); for j=i+1:n a(k,j)=a(k,j)-l*a(i,j); end b(k)=b(k)-l*b(i); end end % resolucion del sistema triangular x=zeros(n,1); % tambien vale x=b*0; x(n)=b(n)/a(n,n); for i=n-1:-1:1 s=0; for j=i+1:n s=s+a(i,j)*x(j); % sumatorio end x(i)=(b(i)-s)/a(i,i); end return El c´digo anterior es correcto y ciertamente recuerda a la sintaxis que usar´ o ıamos en una programaci´n en un lenguaje tradicional como C o Pascal. Sin embargo desde el punto de o vista de Matlab es claramente redundante y muy mejorable. Los siguientes ejercicios ahondan en estos aspectos por lo que resolverlos es muy recomendable. Ejercicio 3.2 Reescribe el programa utilizando instrucciones y sintaxis propia de Matlab. Soluci´n. Las filas 14-16 del programa (04--06 del algoritmo) se pueden implementar o como una diferencia de dos vectores, a(k,i+1:n) y a(i,i+1:n), con cualquiera de estas dos instrucciones a(k,i+1:n) =a(k,i+1:n) - l*a(i,i+1:n) a(k,:) =a(k,:) - m*a(i,:) La segunda es m´s c´moda de utilizar pero multiplica por dos el n´mero de operaciones a o u 4 en la ejecuci´n del m´todo . o e 4 ¿Por qu´?. e 39
  45. 45. ´ LECCION I 3.1 M´todo de Gauss e De forma an´loga, el sumatorio de las l´ a ıneas 25-29 del c´digo (13 del algoritmo del o m´todo de Gauss) es simplemente el producto escalar, y de hecho tambi´n matricial, de e e dos vectores, el vector fila a(i,i+1:n) y el vector columna x(i+1:n). Esto es el c´digo o de las l´ ıneas 25--29 se puede sustituir por x(i)=(b(i)- a(i,i+1:n)*x(i+1:n))/a(i,i); r do rra Bo Ejercicio 3.3 (Avanzado) Podemos avanzar a´n m´s hacia la consecuci´n de algoritmos u a o matriciales. Consideremos la partici´n de A o a11 c1 d1 A11 A= , b= b1 b1 donde c1 , d1 son vectores (n − 1) × 1 y A11 una matriz (n − 1) × (n − 1). Entonces, el primer paso del m´todo de Gauss se puede escribir e a11 c1 0 A11 − (a11 )−1 c1 d1 , A(1) b= b1 b1 − a−1 b1 d1 . 11 b(1) El segundo paso del m´todo de Gauss se aplica ahora sobre la matriz A(1) (de tama˜o (n−1)× e n (n − 1)) y el vector b(1) (de tama˜o (n − 1) × 1) y as´ se procede sucesivamente. Implementa n ı esta resoluci´n alternativa del m´todo de Gauss. o e (Ayuda. Observa estas tres instrucciones l=a(i+1:n,i)/a(i,i) a(i+1:n,i+1:n)-l*a(i,i+1:n) b(i+1:n)-l*b(i) ¿Qu´ hacen?) e Nota sobre la vectorizaci´n o La noci´n de vectorizaci´n, trabajar con vectores y matrices en lugar de elemento a eleo o mento, no es nueva ni en el An´lisis Num´rico ni en la computaci´n a alto nivel. El objetivo a e o que se persigue es que las todas las operaciones se reduzcan a operaciones matem´ticas a sencillas, como productos escalares, productos matriciales, b´squeda de m´ximos y m´ u a ınimos en un vector/matriz, suma de vectores y matrices... cuya implementaci´n se optio miza tomando en consideraci´n el entorno en el que se trabaja, tanto en software como o en hardware. Este conjunto de instrucciones se conocen como BLAS (basic linear algebra subprograms). Se distinguen tres niveles. El nivel uno est´ formada por operaciones entre a vectores, tales como la suma o el producto escalar de dos vectores, de O(n) operaciones, el nivel dos se ocupa de operaciones matriz-vector con O(n2 ) operaciones y el nivel tres son operaciones entre matrices, O(n3 ) operaciones. En m´quinas con m´ltiples procesadores a u estos subprogramas deben adaptarse a dividir la tarea entre los procesadores disponibles de forma ´ptima y a buscar algoritmos que soporten este tipo de trabajo5 . o 5 Se deben buscar en primer lugar algoritmos que permitan dividir la tarea principal en subtareas equiparables, y de forma que finalicen en tiempos similares puesto que basta con que una de las subtareas se retrase respecto a las dem´s para que el conjunto de procesadores deba parar a esperar al rezagado a con la consiguiente p´rdida de tiempo (y dinero). e 40
  46. 46. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e Uno de los detalles m´s sencillos que hay que plantear es la estrategia de almacea namiento de las matrices en memoria. Se puede optar por un almacenamiento por filas, como hace C, a11 a12 a13 a21 a22 a23 ⇒ a11 → a12 → a13 → a21 → a22 → a23 r do rra Bo A= donde con la notaci´n anterior queremos decir que aij y aij+1 ocupan posiciones conseco utivas en memoria. Sin embargo Fortran o Matlab proceden por columnas A= a11 a12 a13 a21 a22 a23 ⇒ a11 → a21 → a12 → a22 → a13 → a23 . Seg´n sea el caso se trata de primar algoritmos que accedan a la matriz por filas o por u columnas para que el procesador trabaje con posiciones consecutivas de memoria6 . En esta din´mica, la resoluci´n del sistema triangular seg´n el algoritmo expuesto en el Ejercicio a o u 3.3 est´ mejor adaptado a la arquitectura de Matlab puesto que todas las operaciones se a hacen sobre columnas de la matriz a. 3.1.2. M´todo de Gauss con pivotaje parcial e Para evitar que el m´todo de Gauss se colapse, es decir, que encuentre en un paso i e que el elemento aii es nulo (l´ ınea 03 del algoritmo), se introduce la noci´n de pivotaje. La o idea es muy sencilla: en el caso de que en el i–´simo paso el pivote sea nulo, se procede a e intercambiar la fila i por una fila k tal que aki = 0 para cierto k > i. Si esto no es posible, el sistema no es compatible determinado, es decir, o no tiene soluci´n o tiene infinitas o soluciones. Desde un punto de vista pr´ctico, el m´todo de Gauss con pivotaje procede a intera e cambiar siempre filas de forma que en cada paso |aki | = m´x |a i |, a =i,...,n esto es, el pivote es el mayor posible. Ello dota al sistema de una mayor estabilidad frente a los errores de redondeo. El algoritmo resultante es el siguiente (denotamos por a ↔ b el intercambio de valores de a y b). 6 Cuando un procesador moderno lee algo en memoria, suele cargar a su memoria internar, la memoria cach´, posiciones adicionales y consecutivas de memoria bajo la convicci´n de que es probable que las e o requiera en el siguiente paso. 41
  47. 47. ´ LECCION I 3.1 M´todo de Gauss e M´todo de Gauss con pivotaje parcial e 01 02 03 Encontrar k ∈ {i, . . . , n} tal que |aki | = m´x |a i | a j= ,...,n for j = i : n aij ↔ akj end bi ↔ bk r do rra Bo 04 05 08 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 for i = 1 : n − 1 %intercambio filas y termino independiente for k = i + 1 : n ki = aki /aii for j = i + 1 : n akj = akj − ki aij end bk = bk − ki bi end end Ejercicio 3.4 Implementa una funci´n con el m´todo de Gauss con pivotaje a partir de la o e funci´n definida en el Ejercicio 3.2. o Para este fin la instrucci´n max te puede resultar util. Espec´ o ´ ıficamente, >> [m,i]=max(v) devuelve en m el mayor valor del vector v y en i su posici´n, esto es, m = v(i). A˜ade tambi´n o n e un control sobre el tama˜o de a(i, i) de forma que si ´ste es pr´ximo a cero7 se termine la n e o ejecuci´n y se devuelva un mensaje de error. o (Ayuda. La instrucci´n [m,r]=max(abs(a(i:n,i))) te devolver´ en r la posici´n del m´ximo o a o a en el vector columna abs(a(i:n,i)). Por tanto, la fila en la matriz a con el mayor valor en la columna i es i+r-1.) El intercambio de filas de las l´ ıneas 04--08 se puede implementar de varias formas. La primera es simplemente con un bucle que recorra las filas y proceda a intercambiar los valores elemento a elemento. En la segunda forma se hace de forma global mediante aux=a(i,i:n); a(i,i:n)=a(k,i:n); a(k,i:n)=aux; La tercera forma probablemente ser´ la que resulte m´s extra˜a pero vuelve a ser natural a a n en Matlab. Basta hacer a([i,k],i:n)=a([k,i],i:n) F´ ıjate que tiene perfecto sentido sint´ctico de acuerdo a las reglas de manipulaci´n de a o vectores y matrices expuestas en la primera parte de esta lecci´n. o 7 ¿Cu´ndo se decide que un n´mero es cero? En la pr´ctica depende de los tama˜os del resto de a u a n elementos de la matriz. 42
  48. 48. ´ LECCION I 3.1.3. Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e M´todo de Gauss con pivotaje parcial ficticio e Desde un punto de vista pr´ctico no hace falta intercambiar f´ a ısicamente las filas de la matriz. En lugar de ello se puede utilizar un vector de ´ ındices p de forma que p(i) sea la posici´n f´ o ısica en memoria de la fila i. Inicialmente, las filas est´n sin reordenar, es decir, se empieza declarando a r do rra Bo p=1:n; Intercambiar las filas i y k es equivalente a intercambiar los valores de p en las posiciones iyk p([i k])=p([k i]) y se procede a hacer ceros en las filas p(i+1),. . . , p(n). El acceso la fila i se consigue con a(p(i),:) y la b´squeda del m´ximo valor para el intercambio de filas con u a [m,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1; La fila con el m´ximo elemento en valor absoluto es la p(r). a Para la resoluci´n del sistema triangular despejamos igual que en el m´todo de Gauss, o e desde la n-´sima inc´gnita a la primera, con e o 22 23 24 25 x(p(n))=b(p(n))/a(p(n),n); for i=n-1:-1:1 x(p(i))=(b(p(i))-a(p(i),i+1:n)*x(i+1:n))/a(p(i),i); end Desde un punto de vista estrictamente matem´tico se trata de llevar la matriz a una a forma que, si bien no es triangular, una reordenaci´n adecuada de las filas la transforma o en triangular. El vector p recoge en qu´ orden se deben despejar las inc´gnitas a la hora e o de resolver el sistema reducido. En concreto el orden viene dado por p(n), p(n-1),. . . , p(1). En cualquier caso, a(p,:) es una matriz triangular8 . Ejercicio 3.5 Implementa el m´todo de Gauss con pivotaje parcial ficticio. e Ejercicio 3.6 Las l´ ıneas 22–25 proceden a resolver el sistema triangular accediendo a los elementos por filas. Adapta el algoritmo para la resoluci´n de este sistema por columnas, tal o como se hizo en el Ejercicio 3.3. Ejercicio 3.7 Sea A una matriz inversible de tama˜o n × n y A−1 su inversa. Si ai es la n columna i−´sima de A−1 , esto es, e A−1 = [a1 |a2 | · · · |an ], 8 La importancia de estas t´cnicas ha decrecido con las ultimas generaciones de ordenadores, donde la e ´ manipulaci´n de enormes cantidades de memoria est´ muy optimizada. o a 43
  49. 49. ´ LECCION I 3.2 Descomposiciones matriciales entonces  r do rra Bo  0  .  .  .    Aai = ei =  1  → i.  .   .  . 0 Utilizando alguna de las diferentes versiones del m´todo de Gauss, implementa el c´lculo de la e a inversa mediante la resoluci´n de los n sistemas de ecuaciones. Observa que los n comparten o la misma matriz de coeficientes. 3.2. Descomposiciones matriciales Uno de los aspectos que mejores resultados dio a lo largo del siglo XX, en los albores del ´ An´lisis Num´rica, fue la constataci´n de que numerosos algoritmos del Algebra Lineal, a e o pod´ reescribirse como factorizaciones de matrices en producto de otras matrices con ıan ´ caracter´ ısticas muy particulares. Este es el caso del algoritmo de Gram-Schmidt, la matriz original escrita como el producto de una ortogonal por una triangular, o el caso que nos ocupa, el m´todo de Gauss, visto como la b´squeda de la factorizaci´n de A como el e u o producto de una matriz triangular inferior por una superior. La utilidad que se concedi´ a este tipo de factorizaciones fue en un primer momeno to m´s bien te´rica pero r´pidamente se encontr´ aplicaciones pr´cticas y su uso en la a o a o a actualidad es profuso. Estudiaremos en lo que sigue la factorizaci´n LU y variantes y dejaremos para m´s o a adelante (Lecci´n IV) otro tipo de factorizaciones. o 3.2.1. Descomposici´n LU o Supongamos que se dispone de una descomposici´n o A = LU donde L y U son matrices triangulares inferior y superior respectivamente. En este caso, la resoluci´n del sistema lineal Ax = b es equivalente a resolver dos sistemas de ecuaciones o triangulares Ly = b, U x = y. el primero triangular superior y el segundo triangular inferior. Puesto que el costo de resoluci´n de cada sistema es O(n2 ) operaciones (total de sumas y productos) obtenemos o una ventaja decisiva en la resoluci´n del sistema. o Ejercicio 3.8 Implementa la resoluci´n de un sistema de ecuaciones Lx = b donde L es o triangular inferior con 1s en la diagonal. Si abordamos directamente la resoluci´n de la ecuaci´n A = LU , nos encontramos o o 2 con un sistema no lineal con n + n inc´gnitas (las entradas de L y U ) y n2 ecuaciones o (una por cada elemento de a). Por tanto, el sistema resultante no deber´ admitir soluci´n ıa o 44
  50. 50. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e r do rra Bo unica. Si exigimos que L tenga 1s sobre la diagonal, el n´mero de inc´gnitas pasa a ser ´ u o 2 de n y por tanto tenemos ya un sistema cuadrado (aunque no lineal). Se trata entonces de estudiar el siguiente problema: dada una matriz A de tama˜o n × n, encontrar L y U n de la forma     1 u11 u12 · · · u1n  21 1   u22 · · · u2n      L= . U = , . .. ... .  , . . .   .   . . . unn n1 n2 · · · 1 y tales que A = LU. El c´lculo de esta descomposici´n se puede llevar a cabo sin m´s que exigir que el a o a producto LU sea igual al de A. As´ empezamos despejando la primera fila de U (que es ı igual que la de A por ser 11 = 1). Una vez conocida esa fila, se puede despejar la primera columna de L, utilizando que el producto de L por la primera columna de U (que consta de un unico elemento no nulo y ya es conocido del paso anterior) da la primera columna de ´ A. Procedemos sucesivamente de esta forma, construyendo U por filas y L por columnas. Descomposici´n LU (M´todo de Doolittle) o e 01 02 for k = 1 : n for j = k : n k−1 03 ukj = akj − 04 05 06 end kk = 1 for i = k + 1:n kp upj p=1 k−1 07 ik = aik − ip upk /ukk p=1 08 09 end end El n´mero de operaciones del algoritmo resulta ser igual al del m´todo de Gauss, u e con lo cual no hemos conseguido una ventaja significativa. Sin embargo, disponer de esta descomposici´n es especialmente util si se requiere resolver varios sistemas de ecuaciones o ´ lineales con la misma matriz pero con t´rminos independientes diferentes. Las operaciones e que conllevan un mayor coste son las correspondientes al c´lculo de las matrices L y a U , pero unicamente hay que realizar esta descomposici´n una vez para posteriormente ´ o resolver en cada caso dos sistemas triangulares. Ejercicio 3.9 Implementar la descomposici´n LU en Matlab mediante una funci´n cuya o o entrada sea una matriz cuadrada y su salida sean las matrices L y U correspondientes. (Ayuda: la funci´n por tanto devuelve dos valores.) o 45
  51. 51. ´ LECCION I 3.2 Descomposiciones matriciales Al observar el algoritmo del m´todo, las operaciones recuerdan a las efectuadas por el e m´todo de Gauss. Esto no es tan sorprendente cuando se analizan con detenimiento los e calculados realizados. Se puede ver entonces que en el c´lculo de la descomposici´n LU se a o est´n haciendo exactamente las mismas operaciones que al aplicar el m´todo de Gauss. a e En efecto, definamos r do rra Bo (1) aij = aij (k+1) i, j = 1, . . . , n (k) = aij − aij (k) ik akj , k ≥ 1, 1 ≤ i, j ≤ n − k donde ki viene dada por el algoritmo de Doolitle (l´ ınea 07). Entonces, de acuerdo con el algoritmo de la factorizaci´n LU , los elementos de la o primera fila de U y de la primera columna de L vienen dados por (1) (1) u1j = a1j , i1 = ai1 (1) . a11 En el siguiente paso, se observa que i2 = 21 u1j (1) (1) 21 a1j (1) u2j = a2j − (1) = a2j − (2) = a2j (2) a − i1 a ai2 − i1 u12 a = i2 (2) 12 = i2 . (2) u22 a22 a22 Reiterando el mismo razonamiento concluimos que (j) uij = (i) aij , i ≤ j, ij = aij (j) , i > j. ajj Por tanto U es de hecho la matriz triangular que queda al aplicar el m´todo de Gauss e mientras que L est´ formada por los elementos que se han utilizado para hacer ceros en a el proceso. Esto es, el elemento i, j de L, denotado por ij , coincide con la constante ij calculado en la l´ ınea 03 del m´todo de Gauss y por tanto no hay una contradicci´n de e o notaciones. En particular, la propiedad anterior propone una forma alternativa de calcular la descomposici´n LU de una matriz es la siguiente modificaci´n del programa del Ejercicio 3.1: o o 11 12 13 14 15 16 17 for i=1:n-1} a(i,i+1:n)=0; %hacemos cero la columna i for k=i+1:n} l(k,i)=a(k,i)/a(i,i); a(k,i+1:n)=a(k,i+1:n)-l(k,i)*a(i,i+1:n); end end La matriz U estar´ entonces almacenada en a. ıa Ejercicio 3.10 Una forma compacta de devolver la descomposici´n LU es insertar L en la o parte triangular inferior de a. De esta forma, tras aplicar el m´todo, a tiene en la parte superior e la matriz U , mientras que por debajo de la diagonal encontramos L (exceptuando su diagonal de 1s). Implementa esta modificaci´n. o 46
  52. 52. ´ LECCION I 3.2.2. Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e Casos particulares M´todo de Cholesky e En una gran variedad de problemas pr´cticos aparecen matrices sim´tricas definidas a e positivas. Este tipo de matrices puede descomponerse en la forma r do rra Bo A = LL donde   11  21  L= .  . . 22 n1 n2 . . .   .  .. . ··· nn Gracias a la simetr´ de la matriz, tanto el n´mero de operaciones como de posiciones ıa u de memoria requeridos pueden reducirse a la mitad. El algoritmo resultante es conocido como el m´todo de Cholesky. e M´todo de Cholesky e 01 for k = 1:n k−1 02 kk 2 kr akk − = r=1 for j = k + 1:n 03 k−1 04 jk = ajk − jr kr / kk r=1 05 06 end end Ejercicio 3.11 Implementa una funci´n que tenga como entrada una matriz A y devuelva o la matriz L correspondiente. Debe avisar si la descomposici´n no ha podido llevarse a cabo. o Implementa tambi´n una segunda funci´n que tenga como entradas la matriz L triangular e o y un t´rmino independiente b y que devuelva la soluci´n del sistema e o (LL )x = b. Para ello se requiere la resoluci´n de los sistemas triangulares o Ly = b, L x = y. LU con permutaci´n o El m´todo de Gauss con pivotaje parcial es equivalente a la decomposici´n e o P A = LU 47
  53. 53. ´ LECCION I 3.2 Descomposiciones matriciales donde P es el resultado de permutar las filas (o columnas) de la identidad. Alternativamente, equivale a una descomposici´n de la forma o A = LU r do rra Bo donde L = P −1 L, de forma que L es una permutaci´n de la matriz triangular inferior9 . o La siguiente subrutina devuelve esa descomposici´n. o 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 24 25 % % % % % % % LUPERMUTACION [L,U]=LUPERMUTACION(A) devuelve U triangular superior, L permutacion por filas de una matriz triangular inferior con 1s en la diagonal de forma que A=L*U function [l,u]= LUPermutacion(a) n=length(a); p=1:n; for i=1:n-1 [maximo,r]=max(abs(a(p(i:n),i)));r=r+i-1; p([i r])=p([r i]); for k=i+1:n l(p(k),i)=a(p(k),i)/a(p(i),i); a(p(k),i:n)=a(p(k),i:n)-l(p(k),i)*a(p(i),i:n); end end for i=1:n l(p(i),i)=1; end u=a(p,:); return 3.2.3. Comandos correspondientes en Matlab Todas las factorizaciones vistas con anterioridad est´n, por supuesto, implementadas a en Matlab. Algunos de los comandos relacionados son 9 Esto es, es el resultado de reordenar las filas de L. 48
  54. 54. ´ LECCION I Cap´ ıtulo 3. M´todos directos para sistemas de ecuaciones lineales e [l,u]=lu(a) devuelve u triangular superior, l permutaci´n de una triangular inferior o con 1s en la diagonal de forma que a=l*u. [l,u,p]=lu(a) devuelve u triangular superior, l triangular inferior con 1s en la diagonal y p matriz de permutaci´n de forma que p*a=l*u. o r do rra Bo r=chol(a) devuelve r triangular superior de forma que a=r’*r. Observa que con las notaciones introducidas r es precisamente la traspuesta de la matriz L, expuesta en nuestro algoritmo. El comando asume que la matriz es sim´trica por lo que s´lo trabaja con la parte superior de la matriz. e o Otra descomposici´n habitual10 es la denominada QR que devuelve Q ortogonal (es decir, o Q Q = In ) y R triangular superior de forma que A = QR. El comando encargado de esta tarea es qr. Con estas instrucciones la soluci´n de un sistema utilizando la descomposici´n LU se o o ejecuta con las siguientes l´ ıneas [l,u]=lu(a); x=u(lb); La colocaci´n de los par´ntesis es esencial. Con ulb se calcula (u−1 l)−1 b que obviao e mente no tiene nada que ver con la soluci´n del sistema. No hay que preocuparse por el o hecho de que las matrices sean triangulares (o permutaci´n de una triangular). Matlab, y o en concreto la instrucci´n detecta esto y resolver´ el sistema por sustituci´n progresiva o a o (o regresiva), sin intentar realizar la eliminaci´n gaussiana. o Nota hist´rica11 o Ideas similares a la eliminaci´n gaussiana pueden encontrarse muchos siglos atr´s, con o a referencias que se remontan a las matem´ticas babil´nicas y chinas. Carl Friedreich Gauss a o introdujo el m´todo que lleva su nombre entorno a 1800 cuando trataba de resolver un e problema de ajuste por m´ ınimos cuadrados relacionado con el c´lculo de la ´rbita del a o asteroide Palas. Parece ser que Joseph Louis Lagrange hab´ utilizado ideas similares 50 ıa a˜os antes para dilucidar si una forma cuadr´tica (hoy dir´ n a ıamos matriz) era definida positiva. El matem´tico alem´n Carl Gustav Jacob Jacobi extendi´ la idea de la eliminaci´n a a o o gaussiana a matrices arbitrarias. Es rese˜able que la noci´n de matriz tal como la conocemos ahora era desconocida n o para Gauss y Lagrange. El concepto de matriz, y el ´lgebra asociada (esto es, las operaa ciones) habr´ de esperar a los trabajos de James J. Sylvester (que en 1848 introdujo el ıan t´rmino matriz) y de Arthur Cayley (que siete a˜os despu´s defini´ el producto matricial e n e o identific´ndolo con el c´lculo de la composici´n de aplicaciones lineales y defini´ la ina a o o versa de una matriz). Importantes fueron tambi´n las contribuciones del f´ e ısico Hermann 10 Veremos dos algoritmos para obtener esta descomposici´n en la Lecci´n IV. Aunque para la resoluci´n o o o de sistemas de ecuaciones lineales la descomposici´n QR es m´s estable num´ricamente que la LU, se o a e suele optar por esta ultima por tener un menor coste computacional (aproximadamente la mitad). ´ 11 Las principales referencias utilizadas para esta nota han sido “Very Early Days of Matrix Computations”, Beresford Parlett en SIAM News, 3, no 9; “Matrix Algorithms”, G.W. Stewart; “Computer solutions of large system of equations”, G. Merant y “An introduction to Numerical Analysis”, E. S¨li y u D. Mayers. Estas referencias est´n completamente detalladas en la bibliograf´ a ıa. 49
  55. 55. ´ LECCION I 3.2 Descomposiciones matriciales r do rra Bo Grassmann (introdujo la primera ´lgebra vectorial no conmutativa, basada en el producto a vectorial de dos vectores; consider´ tambi´n el producto de un vector fila por un vector o e columna que daba lugar a una matriz de rango uno), Willard Gibbs y Paul A. Dirac. La equivalencia entre la descomposici´n LU y la eliminaci´n gaussiana parece que fue o o probada por primera vez por Paul S. Dwyer en 1944. Curiosamente, la descomposici´n o de Cholesky es anterior. Publicado p´stumamente en 1924 en una revista de Geodesia o (Andr´-Louis Cholesky muri´ en 1918). El trabajo original trataba sobre la resoluci´n e o o de un problema de ajuste por m´ ınimos cuadrados y pas´ desapercibido hasta que fue o rescatado por John Todd a finales de los a˜os 1940. n Los primeros an´lisis sobre la estabilidad num´rica de la eliminaci´n gaussiana, es a e o decir la viabilidad de su programaci´n, se remontan a los trabajos de Harold Hotelling, o Alan Turing12 , John von Neumann y Herman Heine Goldstine. Los resultados iniciales eran descorazonadores. Harold Hotelling prob´ en torno a 1940 que el error de redondeo o n podr´ crecer como 4 donde n era el orden de la matriz. Este resultado colocaba al m´todo ıa e de Gauss como un m´todo inviable para la resoluci´n de grandes sistemas lineales. Turing e o lleg´ a resultados similares de manera informal. El an´lisis de Neumann y Goldstine ya o a probaba que el m´todo era estable para matrices definidas positivas13 . James H. Wilkinson, e reconocido universalmente como el padre del an´lisis moderno de estabilidad (frente a los a errores de redondeo), extendi´ el an´lisis a matrices generales y mostr´ que el pivotaje o a o mejoraba enormemente la estabilidad del m´todo. Lo m´s curioso es que el an´lisis inicial e a a estaba enfocado m´s hacia el c´lculo de la inversa de la matriz que al m´todo de Gauss. a a e Como curiosidad final, Cleve Moler, programador original de Matlab, cita14 a Wilkinson y Todd entre las personas que tuvieron una gran influencia en su formaci´n y por ende o en los or´ ıgenes de Matlab. 12 La vida de Alan Turing es una de las m´s tr´gicas en historia de las matem´ticas. Dotado de una ina a a teligencia precoz, realiz´ contribuciones importantes en l´gica y computaci´n. Trabaj´ durante la segunda o o o o guerra mundial en Bletchley Park en el descifrado de los c´digos alemanes encriptados con la m´quina o a Enigma mediante la utilizaci´n del primer ordenador electr´nico en el mundo (Colossus). El papel que o o este trabajo an´nimo tuvo en la victoria aliada, los alemanes siempre estuvieron seguros de que su c´digo o o era indescifrable, s´lo ha empezado a reconocerse en fechas recientes. La presi´n y aislamiento a la que o o Turing fue sometido por su homosexualidad, llegando incluso a ser detenido por ello, le llev´ al suicidio o en 1954 despu´s de haberse sometido a un tratamiento con bromuro para curarle de su enfermedad. e 13 En los primeros a˜os se sugiri´ incluso resoluci´n de un sistema Ax = b mediante las ecuaciones n o o normales A Ax = A b (A A es sim´trica y definida positiva). e 14 http://www.mathworks.com/company/newsletters/news notes/clevescorner/dec04.html 50
  56. 56. r do rra Bo Lecci´n II o Programaci´n avanzada en Matlab. o M´todos iterativos para sistemas de e ecuaciones lineales 51
  57. 57. r do rra Bo
  58. 58. r do rra Bo Introducci´n o Homer: Marge? Since I’m not talking to Lisa, would you please ask her to pass me the syrup? Marge: Dear, please pass your father the syrup, Lisa. Lisa: Bart, tell Dad I will only pass the syrup if it won’t be used on any meat product. Bart: You dunkin’ your sausages in that syrup homeboy? Homer: Marge, tell Bart I just want to drink a nice glass of syrup like I do every morning. Marge: Tell him yourself, you’re ignoring Lisa, not Bart. Homer: Bart, thank your mother for pointing that out. Marge: Homer, you’re not not-talking to me and secondly I heard what you said. Homer: Lisa, tell your mother to get off my case. Bart: Uhhh, dad, Lisa’s the one you’re not talking to. Homer: Bart, go to your room. The Simpsons, Episodio 5, temporada 5, Lisa the Vegetarian En el primer apartado entraremos en aspectos m´s avanzados en el tratamiento de a vectores y matrices en Matlab, haciendo hincapi´ especial en la manipulaci´n de matrices e o sparse. Veremos tambi´n c´mo se pueden implementar funciones donde el n´mero de e o u argumentos de entrada y salida son variables. En la parte matem´tica, tocaremos la teor´ b´sica de m´todos iterativos para sistemas a ıa a e de ecuaciones lineales. Empezaremos con los m´todos cl´sicos: Jacobi, Gauss–Seidel y e a relajaci´n de Young, para pasar luego a m´todos m´s modernos y elaborados: el m´todo o e a e del Gradiente y especialmente, el m´todo del Gradiente Conjugado. e En esta lecci´n nos permitiremos hacer algo de Matem´ticas. Animamos a que el lector o a no se asuste por ello y a que trate de entender los enunciados y las demostraciones que se ´ ofrecen. Para ello se asumen unos conocimientos m´ ınimos en Algebra Lineal. 53
  59. 59. r do rra Bo
  60. 60. r do rra Bo Cap´ ıtulo 4 Matlab: programaci´n avanzada o 4.1. Retorno a las matrices A estas alturas el lector ya deber´ estar convencido sobre las capacidades de Matlab ıa en lo que se refiere al manejo de enormes cantidades de memoria. En esta secci´n expono dremos algunos comandos adicionales y entraremos con cierto detalle en la manipulaci´n o 1 de matrices sparse . 4.1.1. Acceso a partes estructuradas de una matriz En ocasiones es importante tomar partes precisas de una matriz que no son necesariamente partes de filas, columnas o simplemente submatrices (estas acciones ya se trataron en la primera lecci´n). Para este fin nos pueden servir las siguientes instrucciones o diag triu tril La primera toma la diagonal de una matriz mientras que la segunda y tercera toman la parte triangular superior (upper) e inferior (lower) respectivamente. Adem´s estos coa mandos son algo m´s flexibles de lo que pueda parecer a simple vista como veremos a a continuaci´n. o Empecemos introduciendo una matriz >> a=[11 12 13; 21 22 23; 31 32 33]; El resultado de los siguientes comandos es, a la luz de lo anterior, esperable >> diag(a) ans = 11 22 33 1 Aceptaremos este anglicismo en lo que sigue. En ocasiones este vocablo se traduce por matrices huecas o matrices dispersas. 55
  61. 61. ´ LECCION II 4.1 Retorno a las matrices >> triu(a) ans = 12 22 0 13 23 33 r do rra Bo 11 0 0 >> tril(a) ans = 11 21 31 0 22 32 0 0 33 El usuario puede especificar qu´ diagonal se escoge, o a partir de qu´ diagonal se toma e e la matriz triangular. La diagonal principal es la cero y las subdiagonales inferiores (respectivamente superiores) est´n numeradas consecutivamente con n´meros enteros negativos a u (respectivamente positivos). El siguiente ejemplo ilustra estas caracter´ ısticas. >> diag(a,-1) ans = 21 32 >> tril(a,-1) ans = 0 21 31 0 0 32 0 0 0 >> triu(a,0) ans = 11 0 0 12 22 0 13 23 33 Ejercicio 4.1 Programa una funci´n que dada una matriz a devuelva un vector d con los o elementos de la diagonal, una matriz triangular superior u con todos los elementos de a situados 56
  62. 62. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o encima de la diagonal superior y l una matriz triangular inferior con todas las entradas de debajo de la diagonal principal. Ejercicio 4.2 ¿Qu´ sucede si aplicamos los comandos anteriores a matrices rectangulares?. e r do rra Bo Con diag podemos tambi´n construir a partir de un vector una matriz diagonal e >> diag([1 2]) % es lo mismo que diag([1 2],0) ans = 1 0 0 2 >> diag([1 2],1) ans = 0 0 0 1 0 0 0 2 0 Ejercicio 4.3 ¿C´mo utilizar´ el comando diag para generar una matriz con la diagonal o ıas de una dada?. Nota. El comando blkdiag permite construir matrices diagonales por bloques: >> blkdiag(1,[1 2; 3 4], 5) ans= 1 0 0 0 0 1 3 0 0 2 4 0 0 0 0 5 Trasposici´n de matrices o Dada una matriz A, la matriz traspuesta A es la matriz resultante de intercambiar las filas con las columnas de A. Esto es, las filas de A pasan a ser las columnas de A . Esta operaci´n se denota en Matlab con “ ’ ” : o >> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a’ ans = 57
  63. 63. ´ LECCION II 4.1 Retorno a las matrices 1 2 3 0 2 4 r do rra Bo Obviamente, tambi´n se aplica sobre vectores: e >> b=[1;2;3]; % vector COLUMNA con tres elementos >> b’ % vemos ahora un vector FILA ans = 1 2 3 De nuevo nos encontramos con esta propiedad sobre la que ya hemos incidido: Matlab distingue entre vectores filas y columnas, y esta diferencia se hace especialmente palpable (y en ocasiones molesta) a la hora de realizar operaciones como productos matriz-vector. Nota. En Matlab existe tambi´n el operador “.’”. Sobre matrices reales funciona exace tamente igual que el comando anterior, pero no as´ sobre n´meros complejos. Adem´s de ı u a trasponer, “’”, conjuga todas las entradas. Es decir, cambia el signo a la parte imaginaria de cada elemento. Matem´ticamente hablando, ´ste es el operador de trasposici´n o cona e o jugaci´n, denotado habitualmente en matem´ticas con “A∗ ”. Por contra, “.’” se limita a o a intercambiar filas por columnas en la matriz: >> clear i % i es ahora la unidad imaginaria >> a=[i 1-2i; 1 0.3+4i]; >> a.’ ans = 0 + 1.0000i 1.0000 - 2.0000i 1.0000 0.3000 + 4.0000i >> a’ ans = 0 - 1.0000i 1.0000 + 2.0000i 1.0000 0.3000 - 4.0000i Dada una matriz a, si ejecutamos a(:), obtenemos el vector columna que se construye concatenando las columnas de a. T´cnicamente hablando, nos est´ mostrando la e a matriz tal como se guarda en memoria. Por ejemplo, 58
  64. 64. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o >> a=[1 2 3; 0 2 4]; >> a(:) ans = r do rra Bo 1 0 2 2 3 4 >> a=a’; %trasponemos a >> a(:) ans = 1 2 3 0 2 4 Esto puede utilizarse para hacer un par de trucos: En ocasiones la entrada de una funci´n es un vector, sin importar si ´ste es fila o o e columna. La instrucci´n o >> b=b(:); har´ de b un vector columna, sea cual sea su formato inicial. Si lo que se desea es a un vector fila, basta con trasponer >> b=b(:)’; % b=b(:).’ mejor por si b es complejo Se puede utilizar para introducir las entradas de una matriz por columnas. A modo de ejemplo, >> a=zeros(4,3); >> a(:)=[1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12] a = 59
  65. 65. ´ LECCION II 4.1 Retorno a las matrices 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 r do rra Bo >> a2=zeros(2,6); >> a2(:)=a(:) a2= 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 Nota. El comando reshape permite modificar las dimensiones de una matriz (o array en general). Es m´s flexible que el comando “:”. a 4.1.2. M´s operaciones sobre matrices a Hasta ahora las operaciones matriciales que han centrado nuestra atenci´n son las funo damentales: suma y producto. En Matlab est´n tambi´n implementadas otras operaciones a e ´ comunes en el Algebra Lineal. Entre todas ellas destacamos dot: Calcula el producto escalar de dos vectores: >> dot([1 2 3],[4 5 6]) ans = 32 Devuelve el produto 1 · 4 + 2 · 5 + 3 · 6 = 32. Este comando no distingue entre vectores filas y columnas, y es aplicable siempre que tengan la misma longitud. La funci´n se puede aplicar a matrices bien por columnas, ´sta es la forma est´ndar2 , o e a o por filas. >> a=[1 2 3; 4 5 6]; a2=[1 1 1; 1 1 1]; >> dot(a,a2) % producto por columnas ans = 5 2 7 9 Recuerda la predilecci´n de Matlab por las columnas. o 60
  66. 66. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o >> dot(a,a2,2) % producto por filas ans = r do rra Bo 6 15 sum: calcula la suma de las entradas un vector. Es aplicable tambi´n a matrices, en el e sentido del comando anterior >> v=[1 2 3]; a=[1 2 3; 4 5 6]; >> sum(v) ans = 6 >> sum(a) % suma por columnas ans = 5 7 >> sum(a,2) 9 % suma por filas ans = 6 15 prod: Como sum pero con el producto. max: Calcula el m´ximo en un vector. Puede devolver su posici´n en el vector. Aplicado a o sobre matrices funciona de la misma forma que dot o sum. Esto es, devuelve el m´ximo de cada columna por defecto, o de cada fila si as´ se le indica a ı >> v=[-2 -5 -3]; a=[2 3 8; -4 2 9]; >> max(v) ans= -2 >> [p,m]=max(abs(v)); [p,m] 61
  67. 67. ´ LECCION II 4.1 Retorno a las matrices ans = 5 2 >> max(a) r do rra Bo ans = 2 3 9 >> max(a,[],2) % busqueda por filas ans = 8 9 >> [m,p]=max(a,[],2); p % posicion del maximo ans= 1 1 La raz´n por la que se utiliza [] en la l´ o ınea anterior es que esta instrucci´n tambi´n o e se puede utilizar para comparar dos arrays del mismo tama˜o n >> a1=[3 1 2; 5 3 2]; a2=[4 2 1; 1 2 3]; >> max(a1,a2) ans = 4 5 2 3 2 3 Al insertar el vac´ indicamos a Matlab que no existe un segundo vector y que debe ıo proceder a buscar el m´ximo de a en su segunda dimensi´n, esto es, el m´ximo por a o a filas. min: Calcula el m´ ınimo procediendo exactamente igual que max. norm: norma de una matriz o vector. Se puede escoger entre varias normas. >> v=[1 2 3];a=[1 2; 3 4]; >> [norm(v) norm(v,1) norm(v,inf)] % norma 2, 1 e infinito de v ans = 62
  68. 68. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o 3.7417 6.0000 3.0000 >> [norm(a) norm(a,1) norm(a,inf)] % normas matriciales ans = r do rra Bo 5.4650 6.0000 7.0000 o En la Secci´n 5.2.3 comentaremos brevemente la definici´n de estas normas. o rank: rango num´rico de una matriz. Esto es, el n´mero m´ximo de filas o columnas e u a 3 linealmente independientes . cond: Calcula norm(a)*norm(inv(a)), el condicionamiento de una matriz4 . El condicionamiento da una medida de la sensibilidad del sistema a perturbaciones en el t´rmino independiente. e rcond: estimador del inverso del condicionamiento de una matriz. Es sensiblemente m´s a econ´mico de calcular que cond. o Nota. Cuando el comando dot se aplica a dos vectores complejos, procede siempre a conjugar el primer vector. Es decir, matem´ticamente a n ui v i . dot(u, v) i=1 As´ ı, >> u=[1+i 2+2i]; v=[2 1]; >> dot(u,v) ans = 4.0000 - 4.0000i >> dot(v,u) ans = 4.0000 + 4.0000i Ejercicio 4.4 ¿C´mo sumar´ los elementos de una matriz?. ¿C´mo encontrar´ el m´ o ıas o ıas ınimo y el m´ximo?. ¿Y su posici´n? a o 3 Una matriz tiene, en general, rango m´ximo por los errores de precisi´n de la m´quina. Este comando a o a hace una estimaci´n del rango, eliminando este factor. o 4 En realidad no construye la inversa de la matriz por ser costoso. 63
  69. 69. ´ LECCION II 4.1 Retorno a las matrices 4.1.3. Matrices sparse r do rra Bo Las matrices sparse son una importante clase de matrices que surge en diferentes a ´mbitos del An´lisis Num´rico y de las Matem´ticas y ciencias en general (elementos a e a finitos, teor´ de grafos,...). ıa e En la Figura 4.1 se puede ver un ejemplo de una matriz sparse sim´trica donde los puntos indican las entradas diferentes de cero. Desde una ´ptica puramente computacional o hace falta desarrollar sistemas de almacenamiento especiales dado que la inmensa mayor´ ıa de las entradas no deben ser almacenadas porque son nulas. Figura 4.1: Diagrama de un matriz sparse 400 × 400 con 2690 elementos no nulos. Matlab provee de forma muy sencilla ese almacenamiento. Con >>a=sparse(100,100); b=sparse(100,1); declaramos a como una matriz sparse 100×100 y un vector columna b de 100 elementos. Todas las entradas son inicialmente ceros, pero se guarda la estructura b´sica para a introducir los elementos no nulos >> a=sparse(100,100) a = All zero sparse: 100-by-100 >> a(4,4)=1; a(8,9)=-4; a(80,45)=-1; a(99,100)=4; >> a a = 64
  70. 70. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o (4,4) (8,9) (80,45) (99,100) 1 -4 -1 4 r do rra Bo Para transformar una matriz llena (convencional) en una matriz sparse podemos utilizar tambi´n este comando e >> a=diag([1 2 3 4 5]); >> a=sparse(a) a = (1,1) (2,2) (3,3) (4,4) (5,5) 1 2 3 4 5 Con full realizamos la operaci´n inversa: transforma una matriz sparse en una matriz o llena, >> a=full(a) a = 1 0 0 0 0 0 2 0 0 0 0 0 3 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 5 La instrucci´n spalloc tiene un funcionamiento muy similar a sparse. Es util si se sabe o ´ el n´mero de elementos no nulos que tendr´ dicha matriz. Concretamente u a >> a=spalloc(8,7,12) declara una matriz 8 × 7 con a lo sumo 12 elementos no nulos. Al informar de cu´ntos a elementos no nulos se esperan Matlab hace una gesti´n m´s eficiente de la memoria. o a El comando nnz (Non zeros) nos informa del n´mero de elementos no nulos de una u matriz, mientras que su esquema (pattern), como el que aparece en la Figura 4.1, se obtiene con spy: >> a=sparse(10,10); >> a(1,4)=1; a(2,8)=-4; a(3,9)=1; a(7,8)=5; >> nnz(a) ans= 65
  71. 71. ´ LECCION II 4.2 Argumentos de funciones 4 >> spy(a) r do rra Bo La gr´fica se despliega en una ventana separada. a Todas las operaciones que hemos visto est´n adaptadas al nuevo entorno. As´ los a ı, operadores : triu tril diag devuelven vectores/matrices sparse. Las operaciones * + .* dot ’ est´n asimismo optimizadas. El problema de generar c´digo eficiente no es tan simple a o como pudiera parecer. Por ejemplo, si se aplica la funci´n dot a dos vectores sparse es o preciso saber antes qu´ entradas hay que multiplicar. De otra forma podr´ e ıamos estar dedicando un alto porcentaje de nuestro esfuerzo en simplemente calcular productos por cero. Afortunadamente, Matlab hace ese trabajo por nosotros. Por otro lado, aparecen una nueva serie de comandos, que devuelven matrices sparse, entre los que merece la pena destacar spdiags maneja las diagonales de una matriz de forma an´loga a diag; a speye devuelve una matriz diagonal con unos, o similar (an´loga a eye); a spones matriz de 1s, similar a ones; sprand, sprandn construyen una matriz sparse con entradas aleatorias (similar a rand); Ejercicio 4.5 Con la ayuda de Matlab averigua la sintaxis concreta de los comandos anteriores y comprueba con alg´n ejemplo c´mo funcionan. u o 4.2. Argumentos de funciones Veremos a continuaci´n c´mo se pueden programar funciones en las que tanto el o o n´mero de argumentos de entrada como de salida sean variables. Esta caracter´ u ıstica dota de una mayor flexibilidad a la programaci´n en Matlab. o Los comandos esenciales que precisamos son varargin nargin varargout nargout La instrucciones nargin y nargout informan respectivamente sobre el n´mero de variables u de entrada y el n´mero de variables de salida (number of input arguments y number of u output arguments). Una funci´n puede aceptar una serie de argumentos fijos, al estilo de las funciones que o programamos en la lecci´n anterior, y un conjunto de argumentos opcionales, que pueden o 66
  72. 72. ´ LECCION II Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o ser o no especificados por el usuario. Para su acceso se utilizan respectivamente varargin (variable input argument) y varargout (variable output argument) mediante llaves ({})5 . Mostramos a continuaci´n un ejemplo de utilizaci´n conjunta de estas nuevas instruco o ciones. En la cabecera se informa de qu´ hace la funci´n, dependiendo de los argumentos e o de entrada y salida. r do rra Bo 01 02 03 04 05 06 07 08 09 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 22 23 % DESCOMPOSICIONLU % % [L,U] = DESCOMPOSICIONLU(A) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU % % [L,U,X] = DESCOMPOSICIONLU(A,B) % Devuelve U triang superior, L permutacion de una % triang. inferior con 1s en la diagonal tal % que A=LU y la solucion del sistema AX=B function varargout=DescomposicionLU(a,varargin) [l,u]=lu(a); % descomposicion LU if nargin==1 & nargout==2 varargout{1}=l; varargout{2}=u; elseif nargin==2 & nargout==3 b=varargin{1}; % leemos el primer argumento opcional... varargout{1}=l; varargout{2}=u; varargout{3}=u(lb); % solucion del sistema end Como puede comprobarse, la funci´n precisa de un argumento obligatorio, la matriz o a, uno opcional, el t´rmino independiente, y devuelve dos o tres argumentos seg´n se e u requiera. Observa los resultados que se han obtenido para varios ejemplos: >> a=[1 3; 2 4]; >> [l,u]=DescomposicionLU(a) l = 0.5000 1.0000 1.0000 0 u = 5 Las variables varargin y varargout son de un tipo especial denominado cell array. En la Lecci´n o IV estudiaremos su funcionamiento con m´s detalle. a 67
  73. 73. ´ LECCION II 4.2 Argumentos de funciones 2 0 4 1 >> [l,u,x]=DescomposicionLU(a,[1 2].’) r do rra Bo l = 0.5000 1.0000 1.0000 0 u = 2 0 4 1 x = 1 0 >> [l,u]=DescomposicionLU(a,[1 2]) %falta un arg. de salida ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments. >> [l,u,x]=DescomposicionLU(a) %faltan arg. de entrada ??? Error using ==> DescomposicionLU Too many output arguments. Ejercicio 4.6 A partir de la funci´n anterior implementa una funci´n que opere seg´n la o o u “siguiente cabecera” % % % % % % % % % % % % % % % DESCOMPOSICIONLU2 R = DESCOMPOSICIONLU2(A) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R [R,X] = DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Si A es simetrica definida positiva devuelve R triang superior tal que A=R’R y la solucion del sistema AX=B [L,U] = DESCOMPOSICIONLU2(A) Devuelve U triang superior, L permutacion de una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU [L,U,X]= DESCOMPOSICIONLU2(A,B) Devuelve U triang superior, L permutacion de 68
  74. 74. ´ LECCION II % % Cap´ ıtulo 4. Matlab: programaci´n avanzada o una triang. inferior con 1s en la diagonal tal que A=LU y la solucion del sistema AX=B Nota: Realizar la comparaci´n A’==A para testar si la matriz es sim´trica. ¿Qu´ devuelve esta o e e comparaci´n? ¿C´mo se puede utilizar para comprobar si efectivamente la matriz es sim´trica? o o e ¿Y para ver que es definida positiva?. r do rra Bo 69
  75. 75. ´ LECCION II 4.2 Argumentos de funciones r do rra Bo 70

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