1. 論論⽂文紹介
Semi-‐‑‒supervised Learning
with Deep Generative Models
NIPS2014読み会 @ 東⼤大, 2015/01/20
Preferred Networks, 得居 誠也
@beam2d

2. l ラベルありデータが少なくて，それだけでは分離離曲⾯面を決めづらい
l ラベルなしデータを使って空間を補間して，いい感じに分離離曲⾯面を決めよう
→ 半教師あり学習
半教師あり学習 (semi-‐‑‒supervised learning)
2
猫
⽝犬
ラベルありデータ（少ない） ラベルなしデータ（多い）

3. 従来⼿手法：⼤大きく 4 種類
3
⾃自⼰己教⽰示による学習
• 学習した予測器を使ってラベルなし
データをラベル付けする
• ⼤大マージンの仮説を⼊入れることもあ
る（Transductive SVM）
グラフベースの⼿手法
• データの類似度度グラフを作り，ラベ
ルを伝播させる
• ⼤大概、グラフラプラシアンの固有値
問題に落落ちる
多様体学習による⼿手法
• 予測がデータ多様体に沿ってゆっ
くり変化する制約や正則化を使う
• データ多様体の推定にラベルなし
データが使える
• 例例：Manifold Tangent Classifier
(MTC), AtlasRBF
⽣生成モデルを⽤用いた⼿手法
• ⽣生成モデルを学習する
• 単に特徴学習に使うか，ラベルなし
データを不不完全データとして扱う
今⽇日はこれ

4. この論論⽂文の⼿手法を使うと
MNIST をラベルありデータ 100 件で誤識識別率率率 3.33% まで出せる
（ほかにも SVHN や NORB での実験あり）
4

5. 単純な⽣生成モデル
5
x
z
p(x, z) = p(z)p(x|z)
これをニューラルネットで定義する

6. 深い⽣生成モデル M1（データが実ベクトルの場合）
6
Neural Net
（パラメータ ）
z N(z; 0, I)
(µ, )
ここは決定的
x N(x|µ, diag 2
)

7. 深い⽣生成モデル M1（データが⼆二値ベクトルの場合）
7
Neural Net
（パラメータ ）
z N(z; 0, I)
ここは決定的
x Bernoulli(x|µ)
µ
以降降は Gaussian の場合のみを考える（Bernoulli でも同様）

8. ラベルを⼊入れた⽣生成モデル M2（Gaussian の場合）
8
Neural Net
（パラメータ ）
z N(z; 0, I)
(µ, )
y Cat(y| )
x N(x|µ, diag 2
)

9. 推論論モデル：確率率率的な AutoEncoder
l 有向モデル は から を推論論しづらい
l そこでこの推論論を別の NN で表す（この論論⽂文オリジナルではな
い）
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p(z)p(x|z) x z
p(z)p(x|z) q(x)q(z|x)
z
x
NN( ) NN( )
⽣生成モデル 推論論モデル（認識識モデル）
（ は経験分布）q(x)

10. 推論論モデルも NN で書く
10
l M1（⼊入⼒力力データの⽣生成モデル）の場合，
l M2（ラベルを⽤用いた⽣生成モデル）の場合，
q (z|x) = N(z|µ (x), diag 2
(x)).
NN
NN
q (z|y, x) = N(z|µ (y, x), diag 2
(y, x)),
q (y|x) = Cat(y| (x)).

11. M1 の⽬目的関数：変分下界（変分 AutoEncoder）
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log p(x) Eq(z|x)[log p(x|z)] KL[q(z|x) p(z)]
これを最⼤大化する
（ のとき左辺と⼀一致）q(x, z) = p(x, z)
半教師あり学習に使う場合， を特徴ベクトル
としてこれを使って識識別器を（半）教師あり学習する（例例えば
TSVM や M2）
z q(z|x)
AutoEncoder に関する正則化項z

12. M2 の⽬目的関数：変分下界＋識識別学習
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ラベルありデータに対しては
ラベルなしデータに対しては
これらとラベルありデータに対する損失を合わせて次の関数を最⼩小化する
log p(x, y) L(x, y) :=
Eq(z|x,y)[log p(x|y, z) + log p(y) + log p(z) log q(z|x, y)]
log p(x) U(x) :=
Eq(y,z|x)[log p(x|y, z) + log p(y) + log p(z) log q(y, z|x)]
(x,y):labeled
L(x, y) +
x:unlabaled
U(x)
(x,y):labeled
log q(y|x)
q(y|x)ここに の項が
⼊入ってない

13. 勾配の計算法：SGVB (SBP)
l ⽬目的関数を略略記：
l 勾配を計算する上で が厄介
l これは Gaussian に関する期待値なので
と書き直せて、勾配をサンプリングで近似できる：
⽣生成・推論論モデルの変分下界の勾配を求めるこの⽅方法は Stochastic
Gradient Variational Bayes や Stochastic BackProp と呼ばれる
（それぞれ ICLRʼ’14, ICMLʼ’14 で独⽴立立に提案されたが，基本的には同じ⼿手
法をさす）
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Eq(z|x,y)
Eq(z|x,y)[f(x, y, z)]
Eq(z|x,y)[f(x, y, z)] = EN ( |0,I)[f(x, y, µ(x) + (x) )]
Eq(z|x,y)[f(x, y, z)] = EN ( |0,I)[ f(x, y, µ(x) + (x) )]

14. 学習⽅方法：SGVB(SBP) + 勾配法
l 勾配が計算できたので，あとは確率率率的勾配法に投げれば OK
l 論論⽂文では AdaGrad やモーメンタムつきの RMSprop を
使っている，とある
– 3.2 には前者を，4.4 には後者を使ったよと書いてありよくわ
からないが，4.4 の⽅方が詳しく書かれているのでおそらく後
者を使っているのではないかと思う
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15. 実験：2 種類、⽚片⽅方はその中でさらに 2 種類
l 半教師あり学習 (MNIST, SVHN, NORB)
l 条件つきデータ⽣生成：2 通りの実験
– 2 次元の を使って学習し，ラベル を固定して様々な
から を⽣生成する (MNIST)
– テストデータ から を推論論し，それを使って様々なラ
ベル で を再⽣生成する (MNIST, SVHN)
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z zy
x|y, z
y x|y, z
x z|x

16. 実験：半教師あり学習（値はすべて誤識識別率率率 %）
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ラベルありデータ数

17. 条件つきデータ⽣生成（ラベル固定）
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2 次元の にそって描画している．
は筆跡・書き⽅方の癖 (style) みたいなものをとらえている
z
z

18. 条件つきデータ⽣生成（ラベルを取り替えて再⽣生成）
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左端の列列が⼊入⼒力力データ，右の 10 列列が推論論された と各ラベ
ルから再⽣生成された
z
x|y, z

19. まとめ・考察
l ⽣生成・推論論モデルを使って深い⽣生成モデルを学習できる
（これ⾃自体は既存の結果）
l これが半教師あり学習に素直に応⽤用できて，性能も⾼高い
l ⽣生成モデルなのでアナロジーのような⾯面⽩白実験ができる
l DBM とくらべて推論論が簡単で，半教師ありへの応⽤用もわか
りやすい（分類器が普通の NN として得られる）
l DBM と違い，尤度度や勾配も不不偏推定できる
l ⼤大規模データでうまく動くかは気になるところ
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20. 参考⽂文献
紹介した論論⽂文
Kingma, D. P., Mohamed, S., Jimenez Rezende, D., & Welling, M. (2014).
Semi-supervised Learning with Deep Generative Models. In Advances in Neural Information
Processing Systems 27 (pp. 3581–3589).
Stochastic Gradient VB（変分 AutoEncoder） の論論⽂文
Kingma, D. P., & Welling, M. (2014). Auto-Encoding Variational Bayes.International
Conference on Learning Representations.
Stochastic BackProp の論論⽂文
Rezende, D. J., Mohamed, S., & Wierstra, D. (2014).
Stochastic Backpropagation and Approximate Inference in Deep Generative Models. In
Proceedings of the 31st International Conference on Machine Learning (pp. 1278–1286).
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