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Si representamos el diagrama isolux de la superficie podemos observar que las curvasson circunferencias, debido a que la i...
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•   Leer I( ) relativo del gráfico   •   Calcular la iluminanciaIluminancia en a:Iluminancia en b:Iluminancia en c:       ...
Iluminancia en d:5. Un tramo de calle está iluminado por una farola de 10 m de altura y 10000 lmde flujo luminoso cuyo dia...
SoluciónResolver este problema es muy sencillo, pues sólo hay que trasladar los puntos de lacalle al diagrama isolux divid...
Como se puede ver el proceso a seguir es siempre igual y los                   resultados finales son:                    ...
Ver resultados                                     Punto          E (lux)                                       a         ...
Ambos                                       Diagramas polares disponibles:Ver resultados                    Punto         ...
Ver resultados                 Punto    a     b      c     d                 E(lux)   28   13.44   13   4.78Ver solución  ...
Física de la visión (Teoría y Prácticas)
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Este documento representa los apuntes de la asignatura de Física de la Visión de 3º de Ing. Industrial de la UMH. En esta asignatura inicia al alumno en los fundamentos teóricos y los aspectos prácticos de la visión artificial aplicada al ámbito industrial. La asignatura se centra en dar a conocer al alumno las primeras etapas de los procesos de visión artificial para ampliar éstos en posteriores asignaturas.

Primeramente se estudia los aspectos físicos de la luz y posteriormente la anatomía del ojo humano. Posteriormente se divide el bloque en dos grandes grupos: la iluminación y la visión artificial. Los temas tratados son:

- Óptica geométrica
- Anatomía del ojo humano
- iluminación
- Colorimetría
- Sistemas de adquisición de imágenes
- Tratamiento de imágenes
- Procesado básico de imágenes
- Transformación de imágenes
- Detección de bordes

De manera adicional, este documento también incluye las prácticas de la asignatura (la práctica 1 de iluminación fue un trabajo conjunto mío y de M. Nieves Robles Botella).

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Física de la visión (Teoría y Prácticas)

  1. 1. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica1.1. Principios y leyes fundamentales de la óptica geométrica.1.1.1. Introducción. Óptica, rama de la física que se ocupa de la propagación y el comportamiento dela luz. En un sentido amplio, la luz es la zona del espectro de radiación electromagnéticaque se extiende desde los rayos X hasta las microondas, e incluye la energía radianteque produce la sensación de visión. El estudio de la óptica se divide en dos ramas, laóptica geométrica y la óptica física. Puesto que existen dos formas de explicar la procedencia de la naturaleza de laluz, nosotros emplearemos la definición de luz como onda electromagnética paraconceptos que aparecerán durante este tema que se centra en la franja de ondas visiblescomprendidas entre las ondas de rayos Ultravioletas hasta las de Infrarrojos. Amarillo-verdoso Azul-verdoso Longitudes de onda corta Longitudes de onda larga Anaranjado Amarillo Violeta Verde Rojo Azul UV IR 400 500 600 700 2 3 4 5 6 1 10 10 10 10 10 10 Luz visible Rayos X Ultravioleta UV Infrarrojos (IR) Figura 1.1. Diagrama del espectro electromagnético en escala logarítmica. ¿Por qué la franja visible únicamente? Nosotros estudiaremos esta parte de laóptica puesto que en la mayoría de eventos y fenómenos que ocurren en la naturaleza sedesprende luz en forma de onda cuya longitud está incluida dentro de esta franja.Además, nuestros propios ojos solamente perciben los sucesos que desprenden luzvisible (¿te imaginas que nuestros ojos fueran sensibles sólo a los Rayos X o a las ondasde radio?, no veríamos absolutamente nada pues los rayos X escasean en la naturaleza onuestra vida sería como una discoteca con luces de colores). También estudiamos estafranja de ondas por su importancia práctica.¿Qué condiciones han de verificarse para poder aplicar la teoría de la ÓpticaGeométrica? El requisito principal que han de cumplir los objetos que estudiamos esque todos ellos emitan luminosidad de longitud de onda mayor a la de la ondaelectromagnética que empleemos para analizar el objeto. Utilizando la Óptica Geométrica podremos explicar muchos conceptos talescomo el de reflexión pero, existirán conceptos que no podrán ser explicados medianteesa teoría. Para explicar estos otros, como por ejemplo el de difracción, tendremos querecurrir a la teoría de la Óptica Ondulatoria. 1Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  2. 2. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica Tal y como se puede apreciar en la figura, con la Óptica Ondulatoria se puede explicar cualquier concepto de la Óptica Geométrica pero al revés no siempre se cumple. Análogamente, con la Óptica Electromagnética explica cualquier concepto y la Óptica Ondulatoria no puede explicarlos todos.Figura 1.2. Partes de la óptica.1.1.2. Postulados. 1. La luz se propaga en forma de rayo. Las características principales del rayo va a ser su dirección y sentido. 2. Un medio óptico se caracteriza por una cantidad n ≥ 1, denominada índice de refracción definido como el conciente entre la velocidad c de la luz en el vacío y la velocidad v de la luz en el medio, es decir: c n= v 3. Principio de Fermat, Fermat asigna a la luz un comportamiento reflexivo − como el de los sereshumanos − que le permite trazar un camino entre dos puntos siempre que lo va aemprender. Este principio afirma lo siguiente: “El camino que, entre todos los posibles, sigue unrayo de luz para ir de un punto a otro, es aquel en que la luz δL = σ ∫ n(r )ds = 0 (1) B r Aemplea un tiempo mínimo.“Feynman explica así el Principio de Fermat. "Imagina que nos encontramos en la costa, Blejos de la orilla, en un punto A y en el mar,alejado de la orilla, una persona cae de una barcaen un punto B. Nosotros vemos el accidente ypodemos acudir corriendo y luego nadando. ¿Qué Ahacemos? ¿Vamos en línea recta? ¡Sí, sin Figura 1.3. Explicación de Feynman del Principio de Fermatduda!.....Sin embargo, si usáramos un poco más la inteligencia nos daríamos cuenta quees ventajoso correr una distancia un poco mayor por tierra para disminuir la distanciaque debemos nadar, porque nos movemos más lentamente por el mar que por la tierra.Es preferible recorrer un mayor camino para tardar el menor tiempo ya que ésta es lamagnitud que interesa para salvar a la persona de morir ahogada. Pues bien, esto es loque hace la luz para ir de A hacia B cuando cambia de medio de propagación". Como hemos dicho en repetidas ocasiones, la velocidad de propagación de lasondas electromagnéticas y por lo tanto de la luz es c = 3·108 m/s en el vacío;observaciones experimentales realizadas a partir de los inicios del siglo XIX (Fizean,Foucault,...) y medidas posteriores han demostrado que en diferentes medios depropagación (agua, vidrio, plástico,...) la luz tiene diferentes velocidades menores que c. 2Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  3. 3. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica Podemos entonces definir un número n que llamaremos índice de refracción delmedio de propagación de manera que si v es la velocidad de propagación de la luz en elmedio, sea: c n= (2) v Así, si tenemos diferentes medios en los cuales la luz se propaga convelocidades v1, v2,…, vi podremos asociar a esos medios diferentes índices de refracciónde modo que: n1v1 = n2 v 2 = L = nn v n = c (3) Consideremos ahora un haz de luz que se propaga en un medio de índice derefracción n con velocidad v = c n ; después de un tiempo t habrá recorrido unadistancia S dada por: AB = S = v·t (4) En el mismo tiempo t un haz de luz, en el vacío, recorrería una distanciaA0 B0 = S 0 > S dada por: A0 B0 = S 0 = c·t (5) Teniendo en cuenta la relación (2): A0 B0 = S 0 = n·v·t = n·S (6) A la distancia n·S = ∆ la denominamos camino óptico. El concepto de caminoóptico es obviamente útil para comparar trayectorias luminosas recorridas en distintosmedios que, de otra manera, no serían comparables dado que en cada medio la luz sepropaga con diferente velocidad; en cambio, los diferentes tramos de trayectoria puedencompararse a través de los caminos ópticos asociados, dado que éstos corresponden atrayectorias todas recorridas en el vacío. Así por ejemplo, si un haz de luz recorretramos de trayectoria de longitudes S1, S2, S3,… Si e en medios de índices de refracciónn1, n2, n3,…, ni respectivamente.Figura 1.4. Trayectoria de un haz de luz de tramos S1, S2, S3,…, Si en medios de índices de refracción n1, n2, n3,…, ni. La longitud total de la trayectoria será: L = S 1 + S 2 + L + S i = ∑i S i (7) 3Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  4. 4. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica Pero el camino óptico total estará dado por: ∆ = n1S1 + n2 S 2 + L + ni S i = ∑ i ni S i (8) El camino óptico ∆ corresponde a la longitud de la trayectoria que la luzrecorrería, en el vacío, en el mismo tiempo que emplea para recorrer la trayectoria delongitud L en los medios de índices de refracción n1, n2, n3,…, ni. Volvamos ahora a considerar un haz de luz que se propaga desde A hasta Batravesando varios medios de diferentes índices de refracción; es evidente que esposible imaginar muchas o más bien infinitas trayectorias que unen los puntos A y B; elprincipio de Fermat nos permite establecer cuál de todas las trayectorias imaginables esla que efectivamente recorre el haz de luz. El principio de Fermat afirma que: La trayectoria real de un haz de luz es la que se asocia al camino ópticomáximo, mínimo o estacionario. Con relación al caso ilustrado en la figura anterior este principio nos dice que detodas las trayectorias que pueden trazarse entre los puntos A y B la que realmenterecorre la perturbación luminosa es la que cumple con la relación: D∆ = D ∑i ni Si = 0 (9)1.1.3. Tipos de materiales. Existen tres grandes grupos de tipos de materiales según su índice de refracción: Medios Homogéneos e Isótropos: En éstos, el índice de refracción permaneceuniforme en la totalidad de su extensión. Medios Heterogéneos: En los cuales el índice de refracción puede variar encada punto (no es constante en la totalidad del medio). Medios Anisótropos: En este tipo de medios, el índice de refracción dependerádel ángulo de incidencia del rayo.1.1.4. Leyes de la Óptica Geométrica. 1. Las trayectorias de los rayos son reversibles. Si un rayo que va de A a B sigue el camino óptico ∆, entonces para ir de B a A seguirá el mismo camino pero en sentido contrario. B A Figura 1.5. Caminos reversibles. 4Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  5. 5. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica 2. Reflexión. Consideremos un haz de luz que viaja desde el punto A hasta el B reflejándosesobre un espejo plano tal y como se muestra en la figura: A B θ1 h1 θ1 θ2 θ2 h2 M P N x l Figura 1.6. APB es una posible trayectoria para el haz de luz que de A a B. Si n es el índice de refracción asociado al medio, el camino que recorre el haz deluz y el camino óptico asociado tienen un valor de: L = AP + PB = h12 + x 2 + h2 + (l − x ) 2 2 ∆ = n·L = n· AP + n·PB = n· h12 + x 2 + n· h2 + (l − x ) 2 2 Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea delvalor de x, podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, esdecir imponiendo la condición (9): D∆ = D ∑i ni Si = 0 d∆ d  − 2(l − x ) =  n· h12 + x 2 + n· h2 + (l − x )  = n· 2x + n· =0 2 2  dx dx   2 h12 + x 2 2 h2 + (l − x ) 2 2 x = (l − x ) ⇒ sen(θ1 ) = sen(θ 2 ) ⇒ θ1 = θ 2 h +x h2 + (l − x ) 2 2 2 2 1 Lo anterior implica entonces que la trayectoria real del haz de luz es la que seasocia a la condición d∆ dx = 0 (principio de Fermat) y que ésta se satisface paraθ1 = θ 2 en valor absoluto (ley de reflexión). Existen dos tipos de reflexión: Reflexión Especular. Tiene lugar cuando los rayos de luz inciden sobre unasuperficie lisa. Algunos metales como la plata y el aluminio absorben poco la luz blancay si construimos con ellos láminas metálicas muy pulimentadas podemos lograr quereflejen la luz de tal manera que los rayos reflejados se vean con una intensidadcomparable a la de los rayos incidentes. 5Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  6. 6. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica Reflexión difusa. Todos los cuerpos reflejan partede la luz que incide sobre ellos pero la mayoría producenuna reflexión difusa. La reflexión difusa se origina en loscuerpos que tienen superficies rugosas, no pulidas: esto eslo que nos permite ver los objetos que nos rodean sindeslumbrarnos aunque que estén iluminados por una luz Figura 1.7. Reflexión difusa.intensa. 3. Refracción. Consideremos, por ejemplo, el caso de un haz de luz que se propaga desde elpunto A situado en un medio de índice de refracción n1 hacia un punto B situado en unmedio de índice de refracción n2; en este caso también podemos imaginar infinitastrayectorias las cuales difieren por la posición del punto P sobre la interfase dondeincide la luz (Figura 8). A θ1 h1 θ1 N M P θ2 θ2 h2 x B l Figura 1.8. APB es una posible trayectoria para el haz de luz que de A a B. Si n1 y n2 son los índices de refracción de cada medio, el camino que recorre elhaz de luz y el camino óptico asociado tienen un valor de: L = AP + PB = h12 + x 2 + (l − x )2 + h22 ∆ = n·L = n1 · AP + n 2 ·PB = n1 · h12 + x 2 + n 2 · (l − x ) + h2 2 2 Dado que la trayectoria de la luz depende de la posición del punto P o sea delvalor de x, podemos encontrar la trayectoria real aplicando el principio de Fermat, esdecir imponiendo la condición (9): D∆ = D ∑i ni S i = 0 d∆ d  − 2(l − x ) =  n 1· h12 + x 2 + n 2 · (l − x ) + h2  = n 1 · 2x + n2 · =0 2 2  dx dx   2 h12 + x 2 2 (l − x ) + h2 2 2 n 1· x = n2 · (l − x ) ⇒ n 1·sen(θ1 ) = n 2 ·sen(θ 2 ) Ley de Snell h12 + x 2 h2 + (l − x ) 2 2 6Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  7. 7. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica - Refracción EXTERNA n1 < n2 y θ1 > θ 2 . Refracción enSuperficies planas - Refracción INTERNA n1 > n2 y θ1 < θ 2 . Reflexión total. Consideremos dos medios de índices de refracción n1 y n2 (conn2 > n1), y supongamos que una fuente de luz esté localizada en el medio de mayoríndice de refracción; nos proponemos analizar qué ocurre cuando la luz incide sobre lainterfase entre los dos medios. De acuerdo con la ley de Snell, n 1·sen(θ1 ) = n2 ·sen(θ 2 ) ydada la condición n2 > n1, el ángulo de refracción θ1 resulta siempre mayor que elángulo de incidencia θ 2 ; esto implica que existe un θ 2,lim para el ángulo de incidenciapara el cual θ1 = π 2 o sea para el cual el rayo refractado es paralelo a la interfase. Figura 1.9. Reflexión total. Los rayos que inciden en la interfase con los ángulos mayores que θ se reflejan en el medio. 2 ,lim Es obvio que el valor del ángulo límite para la reflexión interna total puedecalcularse fácilmente con la condición que si θ 2 = θ 2,lim entonces θ1 = π 2 ; estacondición reemplazada en la ley de Snell para la interfase considerada nos da: π π  Si θ1 = ⇒ sen(θ1 ) = sen  = 1 2 2 n 1·sen(θ1 ) = n 2 ·sen(θ 2 ) ⇒ n 1·1 = n 2 ·sen(θ 2,lim ) ⇒ 1 = sen(θ 2,lim ) n n2  n1  θ 2,lim = Arcsen     n2  Puesto que los rayos se alejan de la normal cuando entran en un medio menosdenso, y la desviación de la normal aumenta a medida que aumenta el ángulo deincidencia hasta que se llega al ángulo crítico, para el que el rayo refractado forma unángulo de 90º con la normal, por lo que avanza justo a lo largo de la superficie deseparación entre ambos medios. Si el ángulo de incidencia se hace mayor que el ángulocrítico, los rayos de luz serán totalmente reflejados. La reflexión total no puedeproducirse cuando la luz pasa de un medio menos denso a otro más denso. 7Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  8. 8. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica1.1.5. Convenio de signos. I. Para el cálculo de distancias a lo largo del eje z se tomará como sentido positivo lo que quede a la derecha, a no ser que se diga lo contrario. II. El radio de curvatura del espejo que tengamos es positivo si el centro de curvatura está a su derecha. Obviamente, si el radio de curvatura esta a la izquierda del espejo. C F A F C A R R Figura 5. R < 0 Figura 6. R > 0III. Los segmentos normales al eje z serán positivos hacia arriba y negativos si son dirigidos hacia abajo. y C F A C F A y Figura 7. y < 0 Figura 8. y > 0IV. Los ángulos que se tomen respecto a una normal serán positivos si (uniendo de rayo a la normal) tienen sentido horario o, por lo contrario, negativos si tiene sentido antihorario. V. Los ángulos que se tomen respecto al eje z serán positivos si (uniendo de rayo a la normal) tienen sentido antihorario o, por lo contrario, negativos si tiene sentido horario. NORMAL N θ 0 > 0 Respecto a Z y sentido AH θ1 > 0 Respecto a N y sentido H θ1 θ2 θ 2 < 0 Respecto a N y sentido AH θ 3 < 0 Respecto a Z y sentido H θ0 θ3 EJE Z Figura 1.10. Criterio de signos angular. 8Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  9. 9. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica 1.2. Espejos. Siempre que se observa un objeto por medio de un aparato de óptica, sencillo como un espejo plano, o complicado como un telescopio, lo que se ve no es el objeto sino su imagen con respecto a dicho aparato de óptica, imagen que puede ser del mismo tamaño que el objeto, más grande, pequeña, derecha, invertida y real o virtual. Las imágenes se forman porque, cuando los rayos de luz que provienen de un objeto luminoso o iluminado llegan a un aparato de óptica, lo único que les sucede es que cambian de dirección. 1.2.1. Espejo plano. Por convenio, una imagen será real cuando los rayos reflejados tocan la imagen producida por el objeto y será una imagen virtual cuando no lo toque. Por ejemplo, cuando un individuo se coloca frente a un espejo plano, de todos sus puntos salen rayos de luz que llegan al espejo, cambian de dirección y se reflejan en direcciones divergentes por lo que no se cruzan, pero sus prolongaciones sí lo hacen precisamente donde se forma su imagen, la cual se encuentra detrás del espejo, y no se puede recibir en una pantalla, característica que distingue, como ya indicamos, a las imágenes virtuales. E Espejo A pesar de usar la palabra “virtual”, se sabe, por la experiencia cotidiana, qué tan “real” puede parecer una imagen D virtual y qué tan definida es su localización C en el espacio que se encuentra por detrás del espejo, aunque este espacio pueda, de hecho, estar ocupado por una pared de B ladrillos. Las imágenes en un espejo plano defieren de los objetos en el hecho de que la izquierda se intercambia por la derecha. Así por ejemplo, si se hace girar un trompo en el mismo sentido de rotación de las A F manecillas de un reloj, su imagen vista a Fuente de luz Imagen través de un espejo vertical plano, girará enFigura 1.11. Imagen de un objeto en un espejo plano. contra de las manecillas del reloj. Las leyes de la reflexión afirman que el ángulo de incidencia es igual al ángulo de reflexión, y que el rayo incidente, el rayo reflejado y la normal en el punto de incidencia se encuentran en un mismo plano. Si la superficie del segundo medio es lisa, puede actuar como un espejo y producir una imagen reflejada como se observa en la figura anterior. Un punto de A emite rayos en todas las direcciones. Los dos rayos que inciden sobre el espejo en B y C, por ejemplo, se reflejan como rayos BD y CE. Para un observador situado delante del espejo, esos rayos parecen venir del punto F que está detrás del espejo. De las leyes de reflexión se deduce que CF y BF forman el mismo ángulo con la superficie del espejo que AC y AB. En este caso, en el que el espejo es plano, la imagen del objeto parece situada detrás del espejo y separada de él por la misma distancia que hay entre éste y el objeto que está delante. 9 Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  10. 10. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica1.2.2. Espejo parabólico. En este espejo, todas las proyecciones de los rayos reflejados van a ir a parar aun mismo punto, conocido como foco. Generalmente, este tipo de espejos son muyempleados en telescopios ya que poseen la ventaja de eliminar la aberración esférica(defecto que se produce en la imagen formada por un espejo esférico por el cual losrayos de luz no convergen a un punto único, sino a una serie de puntos, cuyas distanciasal espejo son menores para los rayos de luz más próximos a la periferia del espejo). Generalmente suele utilizarse la aproximación paraxial en un espejo esféricopara conseguir que el comportamiento del mismo sea lo más cercano al que posee unespejo parabólico. Figura 1.12. Imagen de un haz de luces en un espejo parabólico. Otro uso muy común para los espejos con forma parabólica es el de componentebásico para las antenas parabólicas. De este modo, los rayos de ondas electromagnéticasprovenientes del infinito, por así decirlo, pueden concentrarse en el foco de la parábola.1.12.1. Espejo elíptico. Este tipo de espejos se caracteriza principalmente porque los rayos de luz no sefocalizan en el foco de donde proviene sino que los rayos provenientes de un foco seconcentran en el otro foco restante. Figura 1.13. Imagen de un haz de luz en un espejo elíptico.1.12.2. Espejo esférico. Entre los espejos que no son planos, los más importantes son los esféricos, esdecir, aquellos cuya forma corresponde a un casquete esférico. Los espejos esféricospueden ser de dos clases: cóncavos, que reflejan la luz por dentro, y los convexos, queson los que lo hacen por fuera. Para poder estudiar los fenómenos ópticos que sepresentan en los espejos esféricos, se necesita considerar las características que seindicarán en seguida. 10Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  11. 11. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica En un espejo esférico podemos definir las siguientes partes:Vértice: Es el centro A del espejo.Centro de curvatura: Es el centro de la esfera de la que es parte el espejo considerado.La distancia entre el vértice A y el centro de curvatura es R.Eje principal o eje del espejo: Es la recta CA que pasa por el centro de curvatura y elvértice.Foco F: Es el punto que se encuentra a la mitad de la distancia entre el centro decurvatura y el vértice. Se define como el punto imagen cuando sobre un espejo incideluz paralela a su eje (objeto muy distante). La distancia entre el punto focal F y elvértice A se denomina distancia focal f.Aumento lateral: La relación entre la altura de la imagen y la altura del objeto sedenomina aumento lateral. C F A f R Figura 1.14. Partes de un espejo esférico. Podemos encontrar gráficamente la imagen de cualquier punto fuera del eje,utilizando los siguientes procedimientos: • Un rayo que incide en el espejo después de haber pasado (o su prolongación) a través del centro de curvatura C , regresa a través de su mismo camino. Esto se debe a que tal rayo es perpendicular al espejo y por la ley de la reflexión si el ángulo de incidencia es 90º, el de reflexión también será 90º. • Un rayo que incide en el espejo paralelo a su eje, pasa (o su prolongación) a través del punto focal F. • Un rayo que incide en el espejo después de pasar (el rayo o su prolongación) a través del punto focal, emerge paralelo al eje. Antes de poder analizar los fenómenos que se producen cuando se coloca un objetodelante de un espejo, hemos de conocer las siguientes fórmulas básicas: 11Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  12. 12. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica  n σ = f − σ  y f Altura del objeto   y f Altura de la imagen 1 1 1    + = ⇒ s f Distancia del objeto al vértice  s s f s f Distancia de la imagen al vértice  y s  β = = − β f Aumento lateral   y sTrazado de rayos. y y C F A C F A y y s s s s Figura 19. Imagen real Figura 20. Imagen real y y C F y A C F A y s s s s Figura 21. Imagen virtual Figura 22. Imagen virtual Si observamos con detenimiento la primera y última figura podemos observarque a medida que nos alejamos del espejo, la imagen disminuye su tamaño. 12Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  13. 13. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica 13Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  14. 14. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica1.3. Superficies Refractoras Esféricas. 14Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  15. 15. Tema 1 – Óptica Geométrica BLOQUE I: Introducción a la Óptica1.4. Lentes. 15Física de la Visión Jaime Martínez Verdú
  16. 16. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 1DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN OPTICA GEOMÉTRICA SUPERFICIES REFRACTORAS Y LENTES1 SUPERFICIES REFRACTORAS ESFERICASEs sabido que prácticamente todos los instrumentos ópticos utilizan lentes y que las lentes tienensuperficies esféricas o planas que pueden fabricarse, por métodos mecánicos, a un costorazonable; es importante entonces analizar que ocurre a un haz de luz que atraviesa una superficierefractora esférica que normalmente es una de las superficies de las lentes.Se llama superficie refractora esférica (S.R.E.) a una porción de superficie esférica que separados medios de diferentes índices de refracción.Si suponemos que la luz viaja de izquierda a derecha las superficies refractoras puedenclasificarse de acuerdo con la concavidad con respecto a la luz incidente en cóncavas y convexastal como se muestra en la Figura 1. n1 n2 n1 n2 Luz Luz V C C V a) b) Figura 1. Superficies refractoras esféricas: a) convexa, b) cóncava.La Figura también nos muestra que el centro de curvatura de la superficie se encuentra a laderecha o a la izquierda según la superficie sea convexa o cóncava..
  17. 17. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 2DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNA la recta que pasa por el centro de curvatura de la S.R.E. y por su centro geométrico o vértice sele llama eje óptico; las propiedades de convergencia de las S.R.E. dependen de su concavidad conrespecto a la luz incidente y de los índices de refracción de los dos medios. Si n2 > n1 (de aquíen adelante consideraremos únicamente este caso) las superficies refractoras convexas sonconvergentes, en el sentido que los rayos refractados convergen en algún punto produciendo unaimagen real del objeto fuente, mientras las superficies cóncavas son divergentes, en el sentidoque los rayos refractados no se cruzan dando así lugar a una imagen virtual del objeto fuente ( 1 ) . P θ1 θ2 O V I C n1 n2 N(a) (a) θ 2 θ1 O V I C n1 n2 (b) (b) Nota: La línea roja es la prolongación del rayo Figura 2 Propiedades de convergencia de las S.R.E. Si n2 > n1 , la S.R.E. convexa es convergente (a), mientras la S.R.E. cóncava es divergente, (b).( 1) Las propiedades de convergencia se invierten si n2 < n1 como puede inmediatamente comprobarse mediante la aplicación de la Ley de Snell.
  18. 18. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 3DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN2. Propiedades focales.Las S.R.E. tienen dos focos que pueden ser reales o virtuales según la superficie sea convexa ocóncava (para el caso n2 > n1 ).Para el caso de una superficie convexa, y por lo tanto convergente, los focos pueden definirse así:Primer foco: Punto desde el cual divergen los rayos que, refractados por la superficie esférica, sevuelven paralelos al eje óptico. F1 V C n1 n2 Figura 3. Primer foco de una S.R.E. convexa .o también: punto en el cual debe situarse el objeto fuente para que la imagen producida por laS.R.E. esté localizada en el infinito.Segundo foco: Punto en el cual convergen los rayos refractados por la S.R.E. cuando incidenparalelos al eje óptico o también punto en el cual la S.R.E. forma la imagen de un objeto fuentelocalizado en el infinito.
  19. 19. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 4DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN V C F2 n1 n2 Figura 4. Segundo foco de una S.R.E. convexa .Para una superficie cóncava:Primer foco: punto en el cual convergerían (si no hubiera S.R.E.) los rayos incidentes quedesviados por la S.R.E. se vuelven paralelos al eje óptico. C V F1 n2 n1 Nota: Las líneas naranja son prolongaciones de rayos Figura 5. Primer foco de una S.R.E. cóncava.Como puede deducirse de la figura se trata de un foco virtual dado que en el punto F1 no hayconcentración de energía; en este caso el primer foco se encuentra a la derecha de la S.R.E..Segundo foco: punto desde el cual aparentemente divergen los rayos refractados que incidenparalelos al eje óptico.
  20. 20. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 5DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN F2 C V N1 n2 Nota: Lsa líneas naranja son prolongaciones de rayos Figura 6. Segundo foco de una S.R.E. cóncava.F2 también es un foco virtual y está localizado a la izquierda de la superficie.También se definen, para la S.R.E., los planos focales que son los planos perpendiculares al ejeóptico del sistema y que pasan por los focos.Para las superficies convexas:Primer plano focal (REAL)Lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayos que cuando inciden sobre lasuperficie esférica se refractan paralelos entre síSegundo plano focal (REAL)Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayos refractados por la S.R.E.cuando inciden paralelos entre sí.Para las superficies cóncavas:Primer plano focal (VIRTUAL)Lugar geométrico de los puntos en los cuales convergerían los rayos incidentes (si no hubieraS.R.E.) que refractados por la superficie esférica se vuelven paralelos entre sí.
  21. 21. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 6DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNSegundo plano focal (VIRTUAL)Lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergen los rayos refractadosproducidos por rayos incidentes paralelos entre sí.La siguiente figura ilustra gráficamente las anteriores definiciones. Pf1 F1 V C n1 n2 n1 n2 Pf2 V C F2 n1 n2 Pf1 C V F1 Nota: Lsa líneas naranja son prolongaciones de rayos
  22. 22. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 7DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN Pf F C V n1 n2 Nota: Lsa líneas naranja son prolongaciones de rayos Figura 7. Planos focales de S.R.E. convexa y cóncava.3. Fórmula de Gauss para S.R.E.Vamos ahora a obtener una relación matemática que nos permita encontrar la posición de laimagen producida por una S.R.E. cuando se conozcan sus características ( n1 , n2 , R ) y laposición del objeto fuente. Como hicimos para los espejos esféricos establecemos antes unasconvenciones de signo que nos garanticen la validez de la fórmula cualquiera que sea lasuperficie considerada.- La luz viaja de izquierda derecha.- Son positivas las distancias que se miden de izquierda a derecha y negativas aquellas que se miden de derecha a izquierda.- La distancia p del objeto a la S.R.E. se mide desde el objeto hacia el vértice.- La distancia q entre la S.R.E. y la imagen se mide desde el vértice hacia la imagen.- La primera distancia focal f1 se mide desde el primer foco F1 hacia el vértice; por lo tanto f1 > 0 si el foco F1 es real, f1 < 0 si el foco F1 es virtual.- La segunda distancia focal f 2 se mide desde el vértice hacia el segundo foco F2 ; por lo tanto f 2 es positiva o negativa según sea real o virtual el segundo foco.
  23. 23. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 8DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN- El radio de curvatura R se mide desde el centro de curvatura C hacia el vértice; por lo tanto R es positivo o negativo según la superficie sea convexa o cóncava.Construyamos entonces la imagen I de un objeto puntual localizado sobre el eje óptico mediantela simple aplicación de la ley de Snell a un rayo cualquiera (pero paraxial) que incide sobre laS.R.E. n1 n2 θ1 P β θ2 o α v γ K c p r q Figura 8. Construcción de la imagen producida por una S.R.E.Con relación a la Figura 8 aplicamos el teorema de los senos a los triángulos OPC y CPI yobtenemos: p+R R q− R R = ; = sen (π − θ1 ) sen α sen θ 2 sen γde donde: p+ R q−R sen θ 1 = .sen α ; sen θ 2 = .sen γ R REs evidente que de acuerdo con la ley de Snell: n1 sen θ1 = n2 sen θ 2 , lo que implica: p+R q−R n1 .sen α = n2 .sen γ (1) R R
  24. 24. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 9DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNEn la aproximación de rayos paraxiales los ángulos α, γ son pequeños de manera quesen α ≅ tan α y sen γ ≅ tan γ ; igualmente K , que es el pie de la perpendicular trazadadesde P hacia el eje óptico, coincide aproximadamente con V , de manera que OK ≅ OV = p ;KI ≅ VI = q . hTeniendo en cuenta estas aproximaciones podemos remplazar en la ( sen α ≅ tan α ≅ 1) , p hsen γ ≅ tan γ ≅ y obtenemos: q p+ R h q− R h n1 . . = n2 . . R p R qde donde se obtiene fácilmente: n1 n2 n2 − n1 + = (2) p q Rque es la llamada fórmula de Gauss para superficies refractoras esféricas.A través de la (2) podemos facilmente obtener la localización de los focos teniendo en cuenta quesi p = f1 entonces q = ∞ y viceversa si q = f 2 entonces p = ∞ , lo cual implica: n1 . R f1 = (3) n2 − n1 n2 . R f2 = (4) n2 − n1de donde: f1 n1 f2 = (5) n2es decir que las distancias focales son p roporcionales a los índices de refracción de los dosmedios separados por la S.R.E..
  25. 25. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 10DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN4. Construcción gráfica de imágenes.Sin recurrir a la fórmula de Gauss puede determinarse, con buena aproximación, la posición de laimagen producida por una S.R.E. realizando construcciones gráficas de acuerdo con las siguientesreglas:a) Un rayo que para por el centro de curvatura no se desvía.b) Un rayo que pase por (o se dirija hacia) el primer foco F1 (según éste sea real o virtual), se refracta paralelamente al eje óptico.c) Un rayo que incide paralelamente al eje óptico se refracta pasando por el segundo foco si éste es real, o de manera que su prolongación pase por el segundo foco F2 si éste es virtual.La Figura siguiente muestra algunos casos de interés. n1 n2 O C V I n1 n2 I O C F1 V F2 Nota : Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos
  26. 26. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 11DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN n1 n2 O I V F2 C F1 Nota : Las líneas naranja son prolongaciones de los rayos Figura 9. Tres diversos casos de construcción gráfica de imágenes.Como puede verse en la Figura 9 una S.R.E. convexa (cuando n2 > n1 ) produce siempre imagenreal e invertida excepto cuando p < f 1 , caso en el cual se produce una imagen virtual y derecha;una S.R.E. cóncava (para n2 > n1 ) siempre produce imágenes virtuales y derechas.5 Aumento de una S.R.E.Habiendo definido el aumento a través de la relación A = − I 0 podemos encontrar el aumentode una S.R.E. haciendo referencia a la Figura 10. n1 n2 B L O V C D A I G E Figura 10. Identificación de triángulos semejantes para la determinación del aumento de una S.R.E.
  27. 27. FÍSICA INTERACTIVA PARA INGENIEROS 12DEPARTAMENTO DE FÍSICA DE LA UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNHay varios pares de triángulos semeja ntes:a) La semejanza de los triángulos ABC y CDE nos da : I q−R A=− =− (6) 0 p+Rb) La semejanza de los triángulos ABF1 y F1CV : I f1 A=− =− (7) 0 p − f1c) La semejanza de los triángulos LVF2 y F2 DE : I q − f2 A=− =− (8) 0 f2
  28. 28. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN OPTICA GEOMETRICA LENTES DELGADASUna lente es un sistema óptico limitado por dos superficies refractoras que tienen un eje encomún; por lo general las dos superficies son porciones de esfera o de plano y encierran un mediocuyo índice de refracción es diferente con respecto a los índices de refracción que están a amboslados de la lente.Cuando el espesor, medido en la dirección del eje de la lente, es lo suficientemente pequeño paraque pueda suponerse que la desviación de un rayo luminoso tenga lugar únicamente en el planoque pasa por el centro de la lente, ésta se denomina lente delgada. Las lentes delgadas seclasifican según la forma y según las propiedades de convergencia así: Lentes Convergentes Lentes Divergentes a) b) c) a1 ) 1 b) c) 1 Figura 1. Propiedades de convergencia de lentes en aire. a) Biconvexa b) plano-convexa c) menisco-convergente. a) Biconvexa b) plano-cóncava c) menisco-divergente.Es importante anotar que las propiedades de convergencia de una lente dependen de los mediossituados a los lados de ésta y que cuando estos medios no se especifican se entiende que la lenteestá sumergida en aire.Para estudiar los efectos de una lente delgada sobre los rayos luminosos, así como hicimos en elanálisis de los anteriores sistemas ópticos, utilizaremos la aproximación de rayos paraxiales ysupondremos que la lente sea lo suficientemente delgada para que las distancias con respecto a la 1
  29. 29. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNlente puedan medirse con respecto a un plano perpendicular al eje óptico del sistema y que pasepor el centro de la lente. A V1 C V2 C2 C1 B Figura 2. Lente delgada. V1 ,V2 vértices de las dos S.R.E. que conforman la lente, C1 ,C2 centros de curvatura de las S.R.E.; C centro de la lente; AB plano con respecto al cual se miden las distancias a la lente.1 Propiedades focales.Para las lentes convergentes se denomina primer foco F1 el punto desde el cual divergen losrayos incidentes que cuando pasan por la lente se refractan paralelos al eje óptico. F1 f1 2
  30. 30. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN F2 f2 Figura 3. Focos reales de una lente convergente.Por otra parte se define segundo foco F2 el punto en el cual convergen los rayos refractadosque inciden, sobre la lente, paralelos al eje óptico.Si por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente se obtienen losplanos focales que gozan de las siguientes propiedades:Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales divergen los rayosincidentes que se refractan paralelos entre sí.Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos en los cuales convergen los rayosrefractados cuando inciden, sobre la lente, paralelos entre sí. Pf1 F1 C 3
  31. 31. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN Pf2 F2 C Figura 4. Planos focales de una lente convergente.Para las lentes divergentes se denomina primer foco F1 el punto hacia el cual aparentementeconvergen los rayos incidentes que se refractan paralelos al eje óptico. F1 f1 F2 f2 Figura 5. Focos virtuales de una lente divergente.Por otra parte se define segundo foco F2 el punto desde el cual aparentemente divergen losrayos refractados que inciden paralelos al eje óptico. 4
  32. 32. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNSi por los dos focos trazamos planos perpendiculares al eje óptico de la lente, se obtienen losplanos focales que gozan de las siguientes propiedades:Primer plano focal: lugar geométrico de los puntos hacia los cuales convergerían (en ausenciade la lente) los rayos incidentes que se refractan paralelos entre sí.Segundo plano focal: lugar geométrico de los puntos desde los cuales aparentemente divergenlos rayos refractados que inciden paralelos entre sí. Pf1 F1 Pf2 F2 Figura 6. Planos focales de una lente divergente. 5
  33. 33. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNComo puede d educirse de las definiciones y de las Figuras 3, 4, 5, 6, los focos y los planosfocales son reales para lentes convergentes y virtuales para lentes divergentes.2 Fórmula de Gauss para lentes delgadas.Utilizando la aproximación de rayos paraxiales y las convenciones de signo que ya hemosestablecido para las S.R.E. vamos ahora a obtener una relación matemática mediante la cual esposible calcular la posición de la imagen producida por una lente delgada cuando se conozca laposición de objeto fuente y las características del sistema óptico. Para lograr el objetivodeterminaremos la posición de la imagen producida por la primera S.R.E. y utilizaremos esaimagen como objeto fuente para la segunda S.R.E. Con relación a la Figura 7 , en la cual se haexagerado el espesor de la lente, calculamos a través de la fórmula para superficies refractoras , laposición de la imagen I producida por la primera S.R.E. así: n1 n2 n − n1 + = 2 (1) p q R1 n1 n2 n3 θ2 θ3 θ4 θ1 O C2 V1 C V2 C1 I I´ OV 1 = p ; V1C 1 = R1 ; V2C 2 = R2 ; V1 I = q ; V2 I = q V1V2 = x ; V2 I = p , C = centro de la lente. Figura 7. Imagen producida por una lente. 6
  34. 34. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNDe acuerdo con lo que hemos dicho la imagen I funciona ahora como objeto fuente de lasegunda superficie de la cual dista V2 I = p . Dado que, en este caso, esta distancia se recorrede derecha a izquierda, I es una fuente virtual para la segunda superficie y por lo tanto p esnegativa, de manera, que para la segunda S.R.E. podemos escribir: n2 n3 n − n2 − + = 3 (2) p q R2Con relación a la Figura 7, es evidente que q = x + p , pero si la lente es delgada x ≅ 0 y porlo tanto podemos decir que V1 ≡ C ≡ V2 y q ≅ p . Combinando las ecuaciones (1), (2) seobtiene: n1 n3 n − n1 n3 − n2 + = 2 + (3) p q R1 R2Esta última ecuación es la que generalmente se denomina fórmula de Gauss para lentes delgadasen su forma más general.Si la lente está sumergida en aire n1 ≅ n3 ≅ 1 y está hecha con un material de índice derefracción n la relación (3) se simplifica así:1  1 1  + = ( n − 1)  1 1 −  (4) p q  R1 R2 Es fácil ver que en este caso( 1 ) las dos distancias focales f1 y f 2 son iguales, de manera quepuede hablarse de la distancia focal f de la lente, la cual está dada por cualquiera de las doscondiciones p = f y q = ∞ ó p = ∞ y q = f , en ambos casos se obtiene, según la (4):  1 1 = ( n − 1)  1 −  (5) f  R1 R2 Esta última relación se denomina fórmula del constructor de lentes porque evidentementepermite construir una lente con una distancia focal predeterminada escogiendo el material con un( 1 ) y en todos los casos en los cuales la lente está rodeada por un solo medio. 7
  35. 35. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNoportuno índice de refracción n y moldeándolo mediante superficies esféricas con los radios decurvatura necesarios.A la magnitud P = 1 f se le denomina poder de la lente; esta magnitud es obviamente positivapara las lentes convergentes (que tienen distancia focal positiva dado que los focos son reales) ynegativa para las lentes divergentes (dado que éstas tienen focos virtuales y por lo tanto distanciafocal negativa); su unidad de medida es la dioptría equivalente naturalmente a m −1 ; por ejemplouna lente cuyo poder sea P = +2 dioptrías es una lente convergente cuya distancia focal es 0.5metros.Combinando las ecuaciones (4) y (5) se obtiene: 1 1 1 + = (6) p q fecuación formalmente idéntica a la ecuación para los espejos esféricos.3 Construcción gráfica de imágenes.Sin recurrir a la fórmula de Gauss es posible determinar, con buena aproximación, la posición dela imagen producida por una lente delgada teniendo en cuenta que los rayos que pasan por (o sedirigen hacia) el primer foco se desvían paralelos al eje óptico, los que inciden paralelos al ejeóptico se refractan de manera que pasan por (o divergen como si se generaran en) el segundo focoy que los rayos que pasan por el centro de la lente no sufren desvia ción. O F1 F2 I (a) 8
  36. 36. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN Figura 8. a) Imagen real producida por una lente convergente. b) Unico caso ( p < f ) en el cual una lente convergente forma una imagen virtual. c) Una lente divergente siempre produce imagen virtual.Con estas simples reglas podemos visualizar la imagen de cualquier objeto-fuente y determinar sidicha imagen es real o virtual mediante construcciones gráficas, algunas de las cuales sepresentan en la Figura 8.Tal como se muestra en la Figura 8 una lente convergente forma una imagen real e invertidasiempre que p > f , pero forma una imagen virtual y derecha cuando p < f (éste es el casoque se presenta cuando se utiliza una lente convergente como lupa).Por otra parte una lente divergente produce siempre imágenes virtuales y derechas cualquiera quesea la posición del objeto-fuente.4 Aumento de una lente - Fórmula de Newton.Si definimos, como en los casos anteriores, el aumento de una lente a través de la relación 9
  37. 37. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍN I A=− 0donde el signo negativo da cuenta de la inversión de la imagen real con respecto al objeto-fuente,es posible calcular el aumento estableciendo relaciones de proporcionalidad entre ladoshomólogos en varias parejas de triángulos semejantes que pueden determinarse analizando laFigura 9. AC = p ; CD = q ; F1C = f ; CF 2 = f ; RF 1 = x1 ; F2 D = x 2 AB = GC = 0 ; CH = DE = I Figura 9. Determinación del aumento de una lente.a) A partir de los triángulos semejantes ABF1 y F1CH se obtiene: I f A=− = − (7) 0 x1b) Si consideramos los triángulos semejantes GCF2 y F2 DE se obtiene: I x A= − = − 2 (8) 0 fc) A través de los triángulos semejantes ABC y CHE obtenemos: I q A=− = − (9) 0 p 10
  38. 38. FÍSICA GENERAL PARA INGENIERÍADEPARTAMENTO DE FÍSICA. .UNIVERSIDAD NACIONAL DE COLOMBIA SEDE MEDELLÍNLas tres relaciones que hemos encontrado para el aumento son obviamente equivalentes; sinembargo combinando las ecuaciones (7), (8) se obtiene: x1 . x2 = f 2 (10)esta relación denominada fórmula de Newton es particularmente interesante porque permitelocalizar la imagen producida por la lente (en este caso su distancia con respecto al segundo foco)conociendo la distancia focal de la lente y la distancia del objeto-fuente al primer foco; esto nospermite decir que la fórmula de Newton es equivalente a la fórmula de Gauss. 11
  39. 39. Utilizando la aproximación de rayos paraxiales y las convenciones de signo queya hemos establecido para las S.R.E. vamos ahora a obtener una relación matemáticamediante la cual es posible calcular la posición de la imagen producida por una lentedelgada cuando se conozca la posición de objeto fuente y las características del sistemaóptico. Para lograr el objetivo determinaremos la posición de la imagen producida por laprimera S.R.E. y utilizaremos esa imagen como objeto fuente para la segunda S.R.E.Con relación a la Figura , en la cual se ha exagerado el espesor de la lente, calculamos através de la fórmula para superficies refractoras , la posición de la imagen I producidapor la primera S.R.E. así: n1 n2 n2 − n1 − + = (1) s s R1 De acuerdo con lo que hemos dicho la imagen I funciona ahora como objetofuente de la segunda superficie de la cual dista V2I’ = p’. Dado que, en este caso, estadistancia se recorre de derecha a izquierda, I’ es una fuente virtual para la segundasuperficie y por lo tanto p’ es negativa, de manera, que para la segunda S.R.E. podemosescribir: n2 n n − n2 − + 3 = 3 (2) s + x s R2Con relación a la Figura 7, es evidente que q = x + p, pero si la lente es delgada x ≅ 0 ypor lo tanto podemos decir que V1 ≡ C ≡ V2 y q’ ≅ p’. Combinando las ecuaciones (1),(2) se obtiene: n1 n 2 n 2 − n1  n1 n 2 n 2 − n1 − + =  − s + s = R s s R1  ⇒ 1 n n n − n2  n n n − n2 − 2 + 3 = 3 − 2 + 3 = 3 + s + x s R2   s + x s R2 n1 n 2  n 2 n  n − n 2 n2 − n1 − + + − + 3= 3 + s s  s + x s  R2 R1
  40. 40. Sustituyendo los valores correspondientes tenemos lo siguiente: n1 n2  n2 n  n − n2 n2 − n1 n n n n n − n2 n2 − n1− + + − + 3= 3 + ⇒− 1 + 2 − 2 + 3 = 3 + s s  s + x s  R2 R1 s s s +0 s R2 R1 n1 n3 n3 − n2 n 2 − n1 + = − + s s R2 R1 Como nosotros sabemos que el valor del índice de refracción n1 y el n3 es elmismo ya que es el del agua, pues podemos simplificar la ecuación anterior: nag − n2 n2 − nag  1 1  ⇒ nag · − +  = (nag − n2 )· nag nag  1 1 − + = + R − R  s s R2 R1  s s   2 1  Para obtener el valor del foco basta conocer que cualquier rayo proveniente delinfinito (s = + ∞) irá a parar al foco (s’’ = f ) o viceversa:  1 1  1 nag − nlente  1 1 nag · 0 +  = (nag − nlente )·  1 nag R1 R2  − ⇒ =  − ⇒ f =  f      R2 R1  f nag R   2 R1  nag − nlente R1 + R2 Por tanto, queda demostrado que la distancia focal de un sistema de lentesdepende de el media donde esté sumergido.
  41. 41. Gráficas y diagramas.Cuando se habla en fotometría de magnitudes y unidades de media se definen unaserie de términos y leyes que describen el comportamiento de la luz y sirven comoherramientas de cálculo. Pero no hemos de olvidar que las hipótesis utilizadas paradefinirlos son muy restrictivas (fuente puntual, distribución del flujo esférica yhomogénea, etc.). Aunque esto no invalida los resultados y conclusiones obtenidas,nos obliga a buscar nuevas herramientas de trabajo, que describan mejor la realidad,como son las tablas, gráficos o programas informáticos. De todos los inconvenientesplanteados, el más grave se encuentra en la forma de la distribución del flujo luminosoque depende de las características de las lámparas y luminarias empleadas. Influencia de la luminaria en la forma del haz de luz.A menudo no le daremos mucha importancia a este tema, como pasa en la iluminaciónde interiores, pero será fundamental si queremos optimizar la instalación o en temascomo la iluminación de calles, decorativa, de industrias o de instalaciones deportivas.A continuación veremos los gráficos más habituales en luminotecnia: • Diagrama polar o curva de distribución luminosa. • Diagramas isocandela. o Alumbrado por proyección. o Alumbrado público. Proyección azimutal de Lambert. • Curvas isolux.Diagrama polar o curvas de distribución luminosaEn estos gráficos la intensidad luminosa se representa mediante un sistema de trescoordenadas (I,C, ). La primera de ellas I representa el valor numérico de laintensidad luminosa en candelas e indica la longitud del vector mientras las otrasseñalan la dirección. El ángulo C nos dice en qué plano vertical estamos y mide lainclinación respecto al eje vertical de la luminaria. En este último, 0º señala la verticalhacia abajo, 90º la horizontal y 180º la vertical hacia arriba. Los valores de C utilizadosen las gráficas no se suelen indicar salvo para el alumbrado público. En este caso, losángulos entre 0º y 180º quedan en el lado de la calzada y los comprendidos entre 180ºy 360º en la acera; 90º y 270º son perpendiculares al bordillo y caen respectivamenteen la calzada y en la acera. 1
  42. 42. Con un sistema de tres coordenadas es fácil pensar que más que una representaciónplana tendríamos una tridimensional. De hecho, esto es así y si representamos en elespacio todos los vectores de la intensidad luminosa en sus respectivas direcciones yuniéramos después sus extremos, obtendríamos un cuerpo llamado sólidofotométrico. Pero como trabajar en tres dimensiones es muy incómodo, se corta elsólido con planos verticales para diferentes valores de C (suelen ser uno, dos, tres omás dependiendo de las simetrías de la figura) y se reduce a la representación planade las curvas más características.En la curva de distribución luminosa, los radios representan el ángulo y lascircunferencias concéntricas el valor de la intensidad en candelas. De todos los planosverticales posibles identificados por el ángulo C, solo se suelen representar los planosverticales correspondientes a los planos de simetría y los transversales a estos (C = 0ºy C = 90º) y aquel en que la lámpara tiene su máximo de intensidad. Para evitar tenerque hacer un gráfico para cada lámpara cuando solo varía la potencia de esta, losgráficos se normalizan para una lámpara de referencia de 1000 lm. Para conocer losvalores reales de las intensidades bastará con multiplicar el flujo luminoso real de lalámpara por la lectura en el gráfico y dividirlo por 1000 lm.Matriz de intensidades luminosasTambién es posible encontrar estos datos en unas tablas llamadas matriz deintensidades luminosas donde para cada pareja de valores de C y obtenemos unvalor de I normalizado para una lámpara de flujo de 1000 lm. 2
  43. 43. Diagramas isocandelaA pesar de que las curvas de distribución luminosa son herramientas muy útiles yprácticas, presentan el gran inconveniente de que sólo nos dan información de lo queocurre en unos pocos planos meridionales (para algunos valores de C) y no sabemosa ciencia cierta qué pasa en el resto. Para evitar estos inconvenientes y conjugar unarepresentación plana con información sobre la intensidad en cualquier dirección sedefinen las curvas isocandela.En los diagramas isocandelas se representan en un plano, mediante curvas de nivel,los puntos de igual valor de la intensidad luminosa. Cada punto indica una direccióndel espacio definida por dos coordenadas angulares. Según cómo se escojan estosángulos, distinguiremos dos casos: • Proyectores para alumbrado por proyección. • Luminarias para alumbrado público. Proyección azimutal de Lambert.En los proyectores se utiliza un sistema de coordenadas rectangulares con ángulosen lugar de las típicas x e y. Para situar una dirección se utiliza un sistema demeridianos y paralelos similar al que se usa con la Tierra. El paralelo 0º se hacecoincidir con el plano horizontal que contiene la dirección del haz de luz y el meridiano0º con el plano perpendicular a este. Cualquier dirección, queda pues, definida por susdos coordenadas angulares. Conocidas estas, se sitúan los puntos sobre el gráfico yse unen aquellos con igual valor de intensidad luminosa formando las líneasisocandelas.En las luminarias para alumbrado público, para definir una dirección, se utilizan losángulos C y usados en los diagramas polares. Se supone la luminaria situada dentrode una esfera y sobre ella se dibujan las líneas isocandelas. Los puntos de las curvasse obtienen por intersección de los vectores de intensidad luminosa con la superficiede esta. Para la representación plana de la superficie se recurre a la proyecciónazimutal de Lambert. 3
  44. 44. En estos gráficos, los meridianos representan el ángulo C, los paralelos y lasintensidades, líneas rojas, se reflejan en tanto por ciento de la intensidad máxima.Como en este tipo de proyecciones las superficies son proporcionales a las originales,el flujo luminoso se calcula como el producto del área en el diagrama (enestereorradianes) por la intensidad luminosa en este área.Además de intensidades y flujos, este diagrama informa sobre el alcance y ladispersión de la luminaria. El alcance da una idea de la distancia longitudinal máximaque alcanza el haz de luz en la calzada mientras que la dispersión se refiere a ladistancia transversal.Curvas isoluxLas curvas vistas en los apartados anteriores (diagramas polares e isocandelas) seobtienen a partir de características de la fuente luminosa, flujo o intensidad luminosa, ydan información sobre la forma y magnitud de la emisión luminosa de esta. Por contra,las curvas isolux hacen referencia a las iluminancias, flujo luminoso recibido por unasuperficie, datos que se obtienen experimentalmente o por calculo a partir de la matrizde intensidades usando la fórmula:Estos gráficos son muy útiles porque dan información sobre la cantidad de luz recibidaen cada punto de la superficie de trabajo y son utilizadas especialmente en el alumbrado público donde de un vistazo nos podemos hacer una idea de como iluminan las farolas la calle. Lo más habitual es expresar las curvas isolux en valores absolutos definidas para una lámpara de 1000 lm y una altura de montaje de 1 m.Los valores reales se obtienen a partir de las curvas usando la expresión:También puede expresarse en valores relativos a la iluminancia máxima (100%)para cada altura de montaje. Los valores reales de la iluminancia se calculanentonces como:Ereal = Ecurva · E máx consiendo a un parámetro suministrado con las gráficas. 4
  45. 45. Problemas resueltos1. Una superficie está iluminada por una fuente luminosa puntual de 80 cd deintensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura. Calcular lailuminancia horizontal y vertical para los siguientes valores del ángulo alfa: 0,30º, 45º, 60º, 75º y 80º.SoluciónComo vimos al hablar de magnitudes fotométricas, las componentes de la iluminancia,se pueden calcular empleando las fórmulas:Y dado que conocemos todos los datos (h = 2 m, I = 80 cd y los diferentes valores dealfa) solo queda sustituir y calcular:Como podemos ver, la mecánica de cálculo es siempre la misma. Así pues, losresultados finales son: R (m) EH (lux) EV (lux) E (lux) 0º 0 20 0 20 30º 1.15 12.99 7.5 15 45º 2 7.07 7.07 10 60º 3.46 2.5 4.33 5 75º 7.45 0.35 1.29 1.34 80º 11 0.10 0.59 0.60 5
  46. 46. Si representamos el diagrama isolux de la superficie podemos observar que las curvasson circunferencias, debido a que la intensidad es constante en todas direcciones, quela iluminancia disminuye a medida que los puntos se alejan del foco y que la máximailuminancia se encuentra en la proyección de la fuente sobre la superficie (0º).2. Una superficie circular de 3 m de radio está iluminada por una bombilla de 50cd de intensidad constante en todas direcciones situada a 2 m de altura sobre elcentro de la plataforma. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre lasuperficie.SoluciónEn este caso nos piden la iluminancia sobre la superficie, es decir, la iluminanciahorizontal. Como la intensidad es constante en todas direcciones y la altura también elvalor de la iluminancia dependerá únicamente de la distancia de los puntos al foco. Ennuestro caso el punto más próximo es la proyección de la bombilla sobre la superficie( = 0º) y los más alejados son aquellos que están en los bordes (R = 3 m).Iluminancia máxima:Iluminancia mínima (R = 3 m):3. Tenemos un proyector situado en el techo de 0.04 m2 de superficie queilumina con una intensidad de 100 cd en cualquier dirección una mesa de 0.5 m2de superficie. La mesa se puede considerar una superficie especular de factorde reflexión de 0.8. Calcular la luminancia de la fuente y la luminancia de la mesapara el observador de la figura. 6
  47. 47. SoluciónLuminancia de la fuente:Luminancia de la mesa:Como la mesa no es una superficie reflectante perfecta una parte de la intensidadluminosa que le llega es absorvida por esta. Esto quiere decir que en la fórmula de laluminancia el valor de I estará afectado por el factor de reflexión.4. Tenemos una luminaria simétrica situada en el centro de una habitación de 5 x2 m a 3 m de altura del suelo. Calcular la iluminancia sobre los puntos marcadosen el dibujo a partir del diagrama polar de la luminaria. El flujo luminoso de lalámpara es de 500 lm.SoluciónEn este caso la intensidad no es uniforme ni constante en cualquier dirección y por ellotenemos que trabajar con gráficos. Esto no supone ninguna complicación adicionalrespecto a lo visto anteriormente y la mecánica y las fórmulas empleadas siguensiendo las mismas. La única diferencia estriba en que los valores de la intensidad lostomaremos de un gráfico polar, que en este caso depende sólo del ángulo alfa debidoa que la luminaria es simétrica.Los pasos a seguir son: • Calcular 7
  48. 48. • Leer I( ) relativo del gráfico • Calcular la iluminanciaIluminancia en a:Iluminancia en b:Iluminancia en c: 8
  49. 49. Iluminancia en d:5. Un tramo de calle está iluminado por una farola de 10 m de altura y 10000 lmde flujo luminoso cuyo diagrama isolux se adjunta.Calcular la iluminancia en los siguientes puntos de la calzada: 9
  50. 50. SoluciónResolver este problema es muy sencillo, pues sólo hay que trasladar los puntos de lacalle al diagrama isolux dividiendo sus coordenadas por la altura de la luminaria, leerlos valores del gráfico y calcular la iluminancia con la fórmula.Iluminancia en c:Las coordenadas absolutas de c son: x = 15 m e y =12.5 mAhora las dividimos por la altura (10 m) para convertirlas en valores relativos quesituaremos sobre el gráfico: xr = 1.5 ; yr = 1.25A continuación leemos los valores relativos de la iluminancia del diagrama: Coordenadas Er (lx/1000 relativas lm) (1.5,1.25) 5 lxFinalmente aplicamos la fómula y ya está. 10
  51. 51. Como se puede ver el proceso a seguir es siempre igual y los resultados finales son: Coordenadas Coordenadas Punto Er (lx/1000 lm) E (lx) absolutas relativas a (20,0) (2,0) 100 10 b (0,5) (0,0.5) 25 2.5 c (15,12.5) (1.5,1.25) 5 0.5 d (0,10) (0,1) 25 2.5 e (25,5) (2.5,0.5) 1 0.1 f (30,15) (3,1.5) 1 0.1Problemas propuestos1. Tenemos una fuente luminosa puntual de 100 cd de intensidad constante entodas direcciones situada sobre una plataforma rectangular de 20x10 m como lade la figura. Calcular la iluminación máxima y mínima sobre la superficie y lailuminancia en los puntos (3, 10), (0, 15), (7, 20) y (10, 15).Ver resultados Coordenadas (15,4) (10,0) (3,10) (0,15) (7,20) (10,15) E (lux) 11.10 0.0676 1.45 2.40 1.06 0.99Ver solución Coordenadas d (m) E (lux) (15,4) 0 0º 11.10 (10,0) 16.16 79.48º 0.0676 (3,10) 5.1 59.53º 1.45 (0,15) 4 53.13º 2.40 (7,20) 5.83 62.77º 1.06 (10,15) 6 63.43º 0.992. Para la disposición de luminarias de la figura, calcular la iluminancia en elcentro de la placa (a) y en el punto b. 11
  52. 52. Ver resultados Punto E (lux) a 2.84 b 1.19Ver solución con Como a está situada en el centro de simetrías de la placa d1, d2 y d3 son iguales. Conocidos d y h, sabemos el ángulo alfa. Punto a 1 2 3 Ea d 5.59 5.59 5.59 48.19º 61.78º 40.31º E (lux) 1.19 1.17 0.48 Ea = 2.84 Punto b 1 2 3 Eb d 10 11.18 5 63.43º 74.98º 68.20º E (lux) 0.36 0.19 0.64 Eb = 1.193. Para el tramo de calle de la figura, calcular la iluminancia en los puntos a, b, c,d, e y f. La farola mide 8 m de altura y la lámpara tiene un flujo de 15000 lm.Asimismo, se suministran los diagramas polares de las luminarias referenciadasa 1000 lm. 12
  53. 53. Ambos Diagramas polares disponibles:Ver resultados Punto a b c d e f E(lux) 21.09 19.06 15.08 15.72 6.15 11.17Ver solución Punto d (m) tan C Ir (cd/1000 lm) I (lm) E (lx) a 0 0 0º 0º 90 1350 21.09 b 8 1 45º 90º 230 3450 19.06 c 4 0.5 26.6º 270º 90 1350 15.08 d 5 0.625 32º 180º 110 1650 15.72 e 14 1.75 60.3º 0º 210 3150 6.15 f 10 1.25 51.3º 45º 195 2925 11.174. Para el tramo de calle de la figura calcular las iluminancias de los puntos a, b,c y d a partir de la matriz de intensidades luminosas de la luminaria. 90º 120º 150º 180º 210º 240º 270º 0º 140 140 140 140 140 140 140 10º 120 130 130 135 160 200 230 20º 110 120 120 125 210 290 310 30º 100 110 115 160 300 320 330 40º 90 100 110 180 400 330 260 50º 70 80 100 200 450 190 110 60º 60 70 120 280 470 90 60 70º 30 20 60 230 300 60 20 Otros datos: 80º 5 8 10 15 35 40 15 90º 0 0 0 0 0 0 0 h = 10 m cd / 1000 lm = 20000 lm 13
  54. 54. Ver resultados Punto a b c d E(lux) 28 13.44 13 4.78Ver solución 14

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