DERIVACIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

1,560 views

Published on

0 Comments
0 Likes
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

No Downloads
Views
Total views
1,560
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
3
Actions
Shares
0
Downloads
46
Comments
0
Likes
0
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

DERIVACIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES PARCIALES

  1. 1. Pr 3 – Resolución de EDPs Motivación En matemática, una derivada parcial de una función de diversas variableses su derivada respecto a una de esas variables manteniendo las otras constantes.En efecto, las derivadas parciales son útiles en cálculo vectorial y geometríadiferencial. La derivada parcial de una función f respecto a la dirección x se representacon cualquiera de las siguientes notaciones equivalentes: Ecuación 1 (donde es la letra d redondeada, conocida como la d de Jacobi). Alrealizar esta derivada obtenemos la pendiente de dicha función paralela al eje de laincógnita respecto a la cual se ha hecho la derivada. Analíticamente, el gradientede una función es la máxima pendiente de dicha función en la dirección que se elija.Mientras visto desde el álgebra lineal, la dirección del gradiente nos indica haciadonde hay mayor variación en la función. Ejemplos Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u con respecto a x en un punto cualquiera (x,y) está definido como Ecuación 2 Dada una función u que depende de x y de y, la derivada parcial de u con respecto a y en un punto cualquiera (x,y) está definido como Ecuación 3 Una función que involucra derivadas parciales de una función desconocidacon dos o más variables independientes, se denomina Ecuación Diferencial Parcial,o EDP. A continuación, se mostrarán algunos ejemplos de ecuaciones diferencialesparciales: Ecuación 4 Ecuación 5 Ecuación 6 Ecuación 7 Jaime Martínez Verdú Página 2
  2. 2. Pr 3 – Resolución de EDPs Por su amplia aplicación en ingeniería, en esta asignatura nos concentramosen la solución de ecuaciones diferenciales parciales lineales de segundo orden: Ecuación 8 donde A, B, y C son funciones de x y y, y D es una función de x, y, u, u/ x y u/ y. Dependiendo de los valores de los coeficientes de los términos de la segundaderivada (A, B y C) esta ecuación se puede clasificar en elíptica, parabólica ohiperbólica. B2-4AC Categoría Ejemplo Ecuación de Laplace (en estado estable con dos dimensiones espaciales) <0 Elíptica Ecuación 9 Ecuación de conducción de calor (variable en el tiempo con una dimensión espacial) =0 Parabólica Ecuación 10 Ecuación de onda (variable en el tiempo con una dimensión espacial) >0 Hiperbólica Ecuación 11 Comentario. El orden de una EDP es el de la derivada más alta Se dice que una ecuación diferencial parcial es lineal, si es lineal en lafunción desconocida y en todas sus derivadas, con coeficientes que dependen sólo delas variables independientes Métodos empleados antes da la computación Antes de la llegada de las computadoras se utilizaban soluciones analíticas oexactas de ecuaciones diferenciales parciales. Aparte de los casos más simples,estas soluciones a menudo requieren gran esfuerzo y complicación matemática. Muchos sistemas físicos no pueden resolverse analíticamente, por lo quetienen que simplificarse usando linearización, representaciones geométricassimples, y otras idealizaciones. Estas soluciones aportan algún conocimiento del sistema que se estáestudiando, sin embargo, están limitadas por la fidelidad con que representan larealidad. Jaime Martínez Verdú Página 3
  3. 3. Pr 3 – Resolución de EDPs EDP y aplicación en la ingeniería Cada una de las categorías de ecuaciones diferenciales parciales conformaclases específicas de problemas de ingeniería: • Las ecuaciones elípticas se usan para caracterizar sistemas de estado- estable (ausencia de una derivada con respecto al tiempo, o término transitorio). Por lo general se emplean para determinar la distribución en estado estable de una incógnita en dos dimensiones: Tw 1 1 0.9 0.8 0.7 Tw S 0.6 1 Y(m) 0.5 k Tw 0.4 0.3 0.2 0.1 0 0 0.5 1 Tw X(m) Ilustración 1. Conducción estable con generación de calor. • Las ecuaciones parabólicas determinan cómo varía una incógnita tanto en espacio como en tiempo (presencia de derivadas especial y temporal). Tales casos se conocen como problemas de propagación. Ilustración 2. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. • Las ecuaciones hiperbólicas, también representan problemas de propagación, sin embargo, se diferencia de las ecuaciones parabólicas en que la incógnita se caracteriza por una segunda derivada con respecto al tiempo. En consecuencia, la solución oscila. Ilustración 3. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. Jaime Martínez Verdú Página 4
  4. 4. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas en ecuaciones parabólicas (ME) Las ecuaciones parabólicas se emplean para caracterizar problemasdependientes del tiempo y el espacio. Se emplean generalmente para caracterizarproblemas dependientes del tiempo donde se describen problemas de propagación(difusión y evolución suave). Para la solución de la ecuación se necesitancondiciones iniciales y condiciones de borde. Las EDP parabólicas pueden ser resueltas sustituyendo las derivadasparciales por las diferencias divididas finitas. Sin embargo, ahora hay queconsiderar cambios en el tiempo así como en el espacio. Mientras las ecuacioneselípticas están acotadas en todas las dimensiones, las parabólicas estántemporalmente abiertas en los extremos. Existen dos aproximacionesfundamentales para la solución de EDP parabólicas: o Esquema explícito o Esquema implícito ¾ Discretización: EDP Æ EDF ¾ Métodos explícitos u Sencillos u Inestables ¾ Métodos implícitos u Más complejos u Estables Ecuación de conducción del calor El ejemplo clásico de una ecuación parabólica sencilla y con mayor campo deaplicación en una dimensión es la ecuación del calor o ecuación de difusión. Esteejercicio se ha modelado para buscar significado físico a los resultados y, de estemodo, buscarle un sentido práctico aplicado a un caso de ingeniería. La esencia delejercicio no cambia puesto que el sentido matemático se conserva. Ilustración 4. Representación esquemática de una barra con extremos a dos Tas. Jaime Martínez Verdú Página 5
  5. 5. Pr 3 – Resolución de EDPs Se puede usar la conservación de calor para desarrollar un balance deenergía en un elemento diferencial de una barra larga ΔxΔyΔz y delgada aislada,considerando la cantidad de calor que se almacena en un periodo de tiempo Δt. Laecuación a desarrollar, aplicando balances másicos y de energía, sería la siguiente: Ecuación 12 Dividiendo entre el volumen y el elemento diferencial de tiempo: Ecuación 13 Tomando el límite: Ecuación 14 Sustituyendo la Ley de Fourier: Ecuación 15 Se obtiene la siguiente ecuación: Ecuación 16 donde k es la constante de conductividad térmica y T(0) =α(0) y T(L) = β(0).La ecuación del calor aparece en los modelos matemáticos relacionados conproblemas de difusión y Mecánica de Fluidos, y muchas de las propiedades ycomentarios que estudiaremos para ella son de gran importancia para la resoluciónde numerosos problemas en ingeniería. Esta ecuación modeliza la conducción del calor en una barra cilíndrica delongitud L cuya sección transversal es uniforme, pequeña y de un materialhomogéneo. La función T(x,t) mide la temperatura de la barra en cada momento deltiempo t > 0 y en cada punto del espacio x Є [0,L]. k > 0 es una constante quedepende de las características físicas de la barra. La solución de esta EDPs se expresa en forma de serie para ciertos tipos decondiciones iniciales f(x). Nuestro objetivo en este ejercicio es desarrollar métodosnuméricos que permitan obtener la solución del problema de forma aproximada. Jaime Martínez Verdú Página 6
  6. 6. Pr 3 – Resolución de EDPs Desarrollo matemático del Método explicito El problema es encontrar la función T(x,t) que satisface las siguientespremisas: Ecuación 17 Aplicaremos las formulas de las diferencias finitas sobre los puntos de unamalla uniforme rectangular (xi,tl) con Ecuación 18 Ecuación 19 donde es el tamaño del salto en la variable de desplazamiento x y hacereferencia al paso temporal. Emplearemos la notación ypara el valor exacto y la aproximación numérica en el punto nodal ,respectivamente. Puesto que la ecuación del calor es una ecuación de evolución y, en esteejercicio, se necesita obtener una aproximación empleando un esquema explícito deforma progresiva en el tiempo, calcularemos, para todo valor i, los valores apartir de los valores en el instante de tiempo anterior . Calculemos las fórmulasen diferencias que emplearemos para aproximar las dos derivadas buscadas. Paraello, emplearemos el método del desarrollo de Taylor tal y como se muestra acontinuación: Ecuación 20 donde Por tanto, de la Ecuación 20 Ecuación 20 podemos despejar el valor de la derivada parcial conrespecto al tiempo: Ecuación 21 Jaime Martínez Verdú Página 7
  7. 7. Pr 3 – Resolución de EDPs Por otra parte, si derivamos la expresión con respecto a la variable espacial,tenemos que: Ecuación 22 Ecuación 23 Sumando las dos identidades de la Ecuación 22 y la Ecuación 23 Ecuación 22 Ecuación 23 para obtener lo siguiente: donde . Reajustando la expresión puede obtenerse el valor dela segunda derivada con respecto a la variable temporal: Ecuación 24 En virtud de las ecuaciones 21 y 24 y de la definición del sistema físico(Ecuación 17) se obtiene la siguiente identidad: Ecuación 25 donde, Ecuación 26 Jaime Martínez Verdú Página 8
  8. 8. Pr 3 – Resolución de EDPs Deshaciendo la notación empleada para contemplar la expresión con toda lainformación disponible: Ecuación 27 Teniendo en cuenta que T satisface la Ecuación 17 y despreciando lostérminos y , la formula anterior propone el esquema en diferenciasfinitas siguiente: Ecuación 28 Podemos despejar el valor de explícitamente en términos de los valoresen el paso temporal anterior: Ecuación 29 donde , y con valor siempre mayor quecero. A continuación, aplicaremos las condiciones de frontera tipo Neumann: Frontera izquierda (i = 0). Aplicando la primera condición de frontera y la propuesta realizada en elenunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste: Si aplicamos la notación y acomodamos la expresión, ésta setraduce en la siguiente identidad: Ecuación 30 Frontera izquierda (i = I + 1). Aplicando la segunda condición de frontera y la propuesta realizada en elenunciado del problema se lleva a cabo el siguiente ajuste: Si aplicamos la notación y acomodamos la expresión, ésta setraduce en la siguiente identidad: Ecuación 31 Jaime Martínez Verdú Página 9
  9. 9. Pr 3 – Resolución de EDPs Finalmente, imponiendo las condiciones iniciales y las condiciones defrontera se obtiene la siguiente ecuación en diferencias finitas: Ecuación 32 Los términos primero y último son casos especiales por lo que loscalcularemos los primeros: donde . A continuación se obtendrán el resto de términos: Por lo tanto, matricialmente podemos escribir el sistema recurrente anteriorcomo: Ec. 33 que en forma compacta lo podemos expresar mediante: Ecuación 34 donde , y y . Obsérvese que la matriz A decoeficientes del sistema recursivo es tridiagonal. Jaime Martínez Verdú Página 10
  10. 10. Pr 3 – Resolución de EDPs Desarrollo matemático de la estabilidad Sea los valores nodales en el instante tl quese obtienen al ejecutar un cierto esquema numérico paraobtener una aproximación numérica de una ecuación diferencial parcial.Consideremos los valores nodales en el instantetl de la solución exacta y denotemos por el error cometido en laaproximación numérica. Es posible afirmar que el método numérico es establecuando esté uniformemente acotada para todo . Dicho de otro modo,cuando la diferencia entre los valores aproximados y los reales permanezcanacotados en todo nivel de tiempo. Las potencias de A estarán uniformemente acotadas si, y sólo si, su normaestá acotada: Ecuación 35 Para todo y donde es una constante arbitraria. Puesto que conocersi la matriz A es uniformemente acotada es una complicada tarea, se procederá aanalizar la estabilidad de una matriz D, semejante a la matriz A, que sea mássencilla de estudiar. Para obtener la expresión matemática que nos permita conocerla forma de la matriz utilizaremos la diagonalización de la matriz A: Ecuación 36 Las matrices simétricas son siempre diagonalizables como consecuencia delteorema de Schur. Se ha decidido emplear esta transformación porque las matricessemejantes A y D comparten varias propiedades tales como: poseen el mismo rango, el mismo determinante, la misma traza, los mismos valores propios (en general, distintos vectores propios), el mismo polinomio característico y el mismo polinomio mínimo. De este modo, la potencia n-ésima de la matriz A puede desarrollarse delsiguiente modo: Por tanto, tenemos que la potencia n-ésima de la matriz A es semejante a lamatriz n-ésima de la matriz D: Ecuación 37 Jaime Martínez Verdú Página 11
  11. 11. Pr 3 – Resolución de EDPs Comentario. El efecto de la transformación de semejanza en los vectores y vectorespropios viene determinado a continuación:1. Los valores propios no cambia al realizar una transformación de semejanza.1. Los vectores propios son proporcionales realizar una transformación desemejanza. Esto implica que la matriz obtenida por semejanza tiene comovectores propios siendo v un vector propio de la matriz A. Aplicando la norma a la expresión de transformación de semejanza se tieneuna ecuación que relaciona la estabilidad de las dos matrices semejantes: Ecuación 38 Aplicando la proposición 2.3a de los apuntes, podemos modificar la ecuaciónanterior del siguiente modo: Ecuación 39 Si empleamos la norma (de los apuntes de clase), la ecuación anteriorquedaría del siguiente modo: Ecuación 40 A continuación, sabiendo que los valores propios de las matrices P y PTcoinciden y que los de las matrices P y P-1 son inversos, procederemos a calcular lasnormas de la matriz invertible P y P-1: A partir de la norma de la matriz de paso se tiene: Ecuación 41 donde . Jaime Martínez Verdú Página 12
  12. 12. Pr 3 – Resolución de EDPs Comentario. Los valores propios de una matriz y su matriz traspuesta coinciden. Comouna matriz y su traspuesta tienen el mismo determinante entonces resulta que debido a que tanto A como I son tridiagonal ydiagonal, respectivamente. Para que la norma de la n-ésima potencia de la matriz A esté acotada, esbien sabido que debe acotarse la potencia n-ésima de la matriz D. Por tanto, acontinuación, calcularemos la norma : Por tanto, la Ecuación 41 puede expresarse como: Ecuación 42 donde . Puesto que es una constante fija, tan sólo ha deacotarse el valor . Para acotarlo ha de satisfacerse que el valor máximo de todoslos valores propios sea menor o igual que uno, de modo que la exponencial nodiverja a valores infinitos. Por tanto, ha de cumplirse la siguiente desigualdad: Ecuación 43 Para el cálculo de los valores propios se empleará una fórmula planteadapor Wen-Chyuan Yueh [5]. Los parámetros , , , y se obtienen comparando lamatriz original del desarrollo de [5] con la original del problema: Ecuación 44 A partir de la comparación entre ambas matrices (ecuaciones 33 y 44), setiene que los parámetros tiene el valor de , , , y .Por tanto, aplicando el teorema 5 [5] donde se suponen , entonceslos valores propios de la matriz vienen dados por: Ecuación 45 donde . Jaime Martínez Verdú Página 13
  13. 13. Pr 3 – Resolución de EDPs Modificando la nomenclatura para ajustar la expresión anterior a nuestranotación, los valores propios resultan del siguiente modo: Ecuación 46 donde . basándose en el tipo de matriz siguiente: Para obtener los máximos y/o mínimos relativos de la expresión, se iguala laprimera derivada a cero: Tal y como se observa, para se obtiene un valor propio unitario, que nodepende de mientras que el otro caso no es posible puesto que el valor máximo de es . Tal y como puede observarse en la gráfica, el valor a estudiar debería ser elanterior más cercano a . El resto estarán contenidos dentro de los dosextremos. Por ello, si acotamos los dos extremos, tendremos acotados los valoresintermedios. Ilustración 5. Representación gráfica de la función 1 – cos(x) con x entre 0 y . Jaime Martínez Verdú Página 14
  14. 14. Pr 3 – Resolución de EDPs Cuando van dándose valores a I, se tiene: Arreglando las expresiones, se tiene: Se puede observar que a medida que aumentamos la cantidad de los nodosexiste una tendencia a que . Esto resulta evidente observando lasiguiente expresión: donde se comprueba la tendencia a -1 de la función coseno cuando I tomavalores grandes. Jaime Martínez Verdú Página 15
  15. 15. Pr 3 – Resolución de EDPs Una vez deducido el comportamiento de los valores propios, es posiblecomprobar la veracidad de . Por supuesto, si observamos el caso límite podemos observar que para unvalor de entre 0 y 0.5 tendríamos asegurada la estabilidad del sistema. Además de la estabilidad existen un grupo de conceptos dignos de serestudiados: Convergencia: Este parámetro significa que conforme Δx y Δt tienden a cero, los resultados de la técnica por diferencias finitas se aproximan a la solución verdadera. Estabilidad: Este parámetro significa que los errores en cualquier etapa del cálculo no son amplificados, sino que son atenuados conforme el cálculo avanza. Consistencia: Un esquema numérico consistente es convergente si, y solo si, es estable. Se ha demostrado que el método explícito es convergente y estable si < 1/2,o, por otro lado, • Si 1/2 Æ la solución oscila • Si 1/4 Æ la solución no oscila • Si 1/6 Æ los errores por truncamiento se minimizan La restricción de convergencia y estabilidad impone fuertes limitaciones, porejemplo, si se reduce a la mitad ∆x (para mejorar la aproximación de la segundaderivada espacial), el tamaño de ∆t debe reducirse en un cuarto para mantener laconvergencia y la estabilidad. O sea, reducir ∆x a la mitad aumenta en ocho vecesel número de cálculos. Jaime Martínez Verdú Página 16
  16. 16. Pr 3 – Resolución de EDPs Desarrollo de software en MatLab A continuación, mostramos el código de programación en MatLab: Midiffin_explicito.mfunction T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m)%---------------------------------------------------------------------%midiffin_explicito Solución en diferencias finitas para ec. delcalor.% Llamada simple% T = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,t,k,n,m)% Inputs% f Nombre de la función condición inicial% g1 Nombre de la función condición frontera 1% g2 Nombre de la función condición frontera 2% L Ancho del intervalo [0 L]: 0<=x<=L% t Ancho del intervalo [0 tf]: 0<=t<=tf% k Constante de difusión de la ecuación del calor% n Número de puntos del mallado sobre [0 L]% m Número de puntos del mallado sobre [0 t]% Resultados% T Solución: Matriz de salidat.%---------------------------------------------------------------------dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);sigma = k*dt/dx^2;T = zeros(n,m);for i = 2:(n-1), T(i,1) = feval(f,dx*(i-2));endfor j = 2:m, T(1,j-1) = T(2,j-1)-dx*feval(g1,dt*(j-2)); T(n,j-1) = T(n-1,j-1)+dx*feval(g2,dt*(j-2)); for i = 2:(n-1), T(i,j) = (1 - 2*sigma)*T(i,j-1) + sigma*(T(i-1,j-1) + T(i+1,j-1)); endendT(1,j) = T(2,j)-dx*feval(g1,dt*(j-1));T(n,j) = T(n-1,j)+dx*feval(g2,dt*(j-1)); f.mfunction z = f(x)z = cos(pi*x); g1.mfunction z = g1(t)z = 1; g2.mfunction z = g2(t)z = 0; Jaime Martínez Verdú Página 17
  17. 17. Pr 3 – Resolución de EDPs practica3.mk = 0.6;L = 3.0;tf = 1;n = 41;m = 251;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg.;title(Mx1);figure;tf = 5;n = 21;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1); [X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 5 seg.;title(Mx1);figure;tf = 20;n = 11;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1); [X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg.;title(Mx1);figure;tf = 40;n = 9;m = 351;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1); [X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg.;title(Mx1);k = 0.6;L = 1.0;tf = 1;n = 11;m = 115;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1); [X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor coninestabilidad;title(Mx1); Jaime Martínez Verdú Página 18
  18. 18. Pr 3 – Resolución de EDPs Resultados experimentales Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.5 0.2 1 0.3 0.4 1.5 0.5 0.6 2 0.7 2.5 0.8 0.9 3 1 t x Ilustración 6. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y . Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.4 1.5 0.5 0.6 2 0.7 2.5 0.8 0.9 3 1 t x Ilustración 7. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y . Jaime Martínez Verdú Página 19
  19. 19. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg. 1 0.5 0T -0.5 -1 -1.5 0 0 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.4 1.5 0.5 0.6 2 0.7 2.5 0.8 0.9 3 1 t x Ilustración 8. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y . Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.5 0.2 0.3 1 0.4 1.5 0.5 0.6 2 0.7 2.5 0.8 0.9 3 1 t x Ilustración 9. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y . Jaime Martínez Verdú Página 20
  20. 20. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas para la ecuación del calor para 5 seg. 1.5 1 0.5 0T -0.5 -1 -1.5 0 0 0.5 0.5 1 1.5 1 2 1.5 2.5 3 2 3.5 2.5 4 4.5 3 5 t x Ilustración 10. Representación gráfica para t = 5 s. L = 3. y . Conclusiones En las gráficas expuestas anteriormente se ha evaluado la ecuación del calorpara diferentes condiciones fronteras para, así, estudiar el comportamiento térmicode la barra. Ilustración 6: En esta figura se muestra el comportamiento del sistema paraunos parámetros de partida con L = 3. Ilustración 7: Si amabas condiciones fronteras son de aislamiento, se llegaráa un régimen estable donde la temperatura en la barra se anulará y será la mismaen todos los puntos de la misma. Ilustración 8: Si ambos extremos emiten calor, porque el flujo es unitario, setiene, en régimen estacionario, una distribución de temperaturas simétrica, dondeel punto más caliente está en el centro de la barra. Los extremos son los puntosmás fríos puesto que están constantemente emitiendo calor a un ratio de 1. Ilustración 9 y Ilustración 10: En este caso, se tiene una emisión de calor enel extremo con x = 0 (condición frontera +1) y una absorción de calor en x = L(condición frontera -1). En este caso, el régimen permanente no se alcanza para 1 spor lo que se ha graficado el resutlado para 5 s. Se observa que en régimenpermanente se obtiene una recta de pendiente 1. Jaime Martínez Verdú Página 21
  21. 21. Pr 3 – Resolución de EDPs Soluciones a los problemas a) Obtener un esquema matricial del método obtenido. De la Ecuación 33, matricialmente podemos escribir el sistema recurrenteanterior como: que en forma compacta lo podemos expresar mediante la Ecuación 34: donde , y y . Obsérvese que la matriz A decoeficientes del sistema recursivo es tridiagonal. La ecuación proporciona un medio explicito para calcular los valores en cadanodo interior del dominio para un tiempo posterior con A matriz tridiagonal ( , 1-2 , ): si se conoce la variable en un tiempo inicial (en cada posición), se puedecalcular para un tiempo posterior. Ilustración 11. Representación de una barra con los nodos de cálculo. Jaime Martínez Verdú Página 22
  22. 22. Pr 3 – Resolución de EDPs b) Programar el esquema en MatLab y representar gráficamente lassoluciones en los tiempos t = 1 s, t = 5 s y t = 20 s si unlited.mk = 0.01;L = 1.0;tf = 1;n = 111;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg.;title(Mx1);figure;tf = 5;n = 51;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 5 seg.;title(Mx1);figure;tf = 20;n = 26;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg.;title(Mx1);figure;tf = 40;n = 21;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg.;title(Mx1);figure;tf = 80;n = 11;m = 301;U = midiffin_explicito(f,g1,g2,L,tf,k,n,m);D=k*(tf/(m-1))/(L/(n-1))^2dx = L/(n-1);dt = tf/(m-1);[X,T] = meshgrid(0:dx:L,0:dt:tf);whitebg(w);meshz(T,X,U);xlabel(t);ylabel(x);zlabel(T);view([1 1 1]);Mx1 = Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg.;title(Mx1); Jaime Martínez Verdú Página 23
  23. 23. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas para la ecuación del calor para 1 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 1 t x Ilustración 12. Representación gráfica de la solución para t = 1 seg. = 0.4267. Diferencias finitas para la ecuación del calor para 5 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.5 0.2 1 0.3 1.5 0.4 2 0.5 2.5 0.6 3 0.7 3.5 0.8 4 0.9 4.5 1 5 t x Ilustración 13. Representación gráfica de la solución para t = 5 seg. = 0.4444. Jaime Martínez Verdú Página 24
  24. 24. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 2 0.2 4 0.3 6 0.4 8 0.5 10 0.6 12 0.7 14 0.8 16 0.9 18 1 20 t x Ilustración 14. Representación gráfica de la solución para t = 20 seg. = 0.4444. Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg. 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 5 0.2 10 0.3 0.4 15 0.5 20 0.6 25 0.7 30 0.8 0.9 35 1 40 t x Ilustración 15. Representación gráfica de la solución para t = 40 seg. = 0.4876. Jaime Martínez Verdú Página 25
  25. 25. Pr 3 – Resolución de EDPs Diferencias finitas para la ecuación del calor para 20 seg. 1 0.5 0T -0.5 -1 -1.5 0 0 0.1 10 0.2 20 0.3 0.4 30 0.5 40 0.6 50 0.7 60 0.8 0.9 70 1 80 t x Ilustración 16. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 0.4732. Conclusiones. Tal y como puede observarse, a medida que aumenta el tiempo elcomportamiento de la barra se estabiliza con una tendencia a enfriarse el extremoque presenta el flujo de calor ( ). Evidentemente, en el extremo donde noexiste flujo de calor, es decir, está aislado ( ), la tendencia es a estabilizarse.Si ambos extremos estuvieran aislados la tendencia sería a obtener una formageométrica de plano horizontal. Se ha podido comprobar que el elemento determinante para obtenerresultados buenos es puesto que, al estar elevado al cuadrado, supone unavariable dominante para tomar mejores o peores resultados sin llegar a obtenerinestabilidades. Jaime Martínez Verdú Página 26
  26. 26. Pr 3 – Resolución de EDPs c) Realizar un análisis de la estabilidad mediante simulacionesnuméricas y comentar los resultados obtenidos. Diferencias finitas para la ecuación del calor con inestabilidad 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0T -0.2 -0.4 -0.6 -0.8 -1 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 1 t x Ilustración 17. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 0.5263. Diferencias finitas para la ecuación del calor con inestabilidad 16 x 10 6 4 2 0 T -2 -4 -6 0 0 0.1 0.1 0.2 0.2 0.3 0.3 0.4 0.4 0.5 0.5 0.6 0.6 0.7 0.7 0.8 0.8 0.9 0.9 1 1 t x Ilustración 18. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 1.1842. Jaime Martínez Verdú Página 27
  27. 27. Pr 3 – Resolución de EDPs Bibliografía1. S. S. Cheng, "Partial Difference Equations", Taylor and Francis, London and New York, 2003.2. S. S. Cheng,M. Gil’ and C. J. Tian, "Synchronization in a discrete circular network", Proceedings of the 6-th International Conference on Difference Equations, in press.3. R. T. Gregory and D. Karney, "A collection of matrices for testing computational algorithm", Wiley-Interscience, 1969.4. J. F. Elliott, "The characteristic roots of certain real symmetric matrices", Mater thesis, Univ. of Tennessee, 1953.5. Wen-Chyuan Yueh, "Eigenvalues of several tridiagonal matrices", 4 September 20046. Burden, Richard L., "Análisis numérico", México International Thomson Editores op.19987. Mathews, John H., "Métodos numéricos con MATLAB", Madrid [etc.] Prentice Hall 19998. Chapra, Steven C., "Métodos numéricos para ingenieros", México [etc.] McGraw-Hill cop. 19999. Kincaid, David, "Análisis numérico las matemáticas del cálculo científico", Buenos Aires [etc.] Addison-Wesley Iberoamericana cop.199410. Amigó García, José María, "Métodos numéricos"; [Alicante] Universidad Miguel Hernández D.L. 200211. Nakamura, Shoichiro, "Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB"; Naucalpan de Juárez (México) Prentice-Hall Hispanoamericana cop. 199712. MATHEWS, John - FINK, Kurtis (2005) "Métodos numéricos con MATLAB"; España, Prentice Hall.13. NAKAMURA, Soichiro, (1997) "Análisis numérico y visualización gráfica con MATLAB"; México, Prentice Hall. Jaime Martínez Verdú Página 28
  28. 28. Pr 3 – Resolución de EDPs Tabla de contenidosMotivación ................................................................................................................... 2 Ejemplos ....................................................................................................... 2 Métodos empleados antes da la computación .............................................. 3EDP y aplicación en la ingeniería ............................................................................... 4Diferencias finitas en ecuaciones parabólicas (ME) ................................................... 5 Ecuación de conducción del calor ................................................................. 5 Desarrollo matemático del Método explicito ................................................ 7 Desarrollo matemático de la estabilidad ................................................... 11 Desarrollo de software en MatLab ............................................................. 17 Resultados experimentales ........................................................................ 19 Conclusiones ............................................................................................... 21Soluciones a los problemas ........................................................................................ 22Bibliografía ................................................................................................................ 28Tabla de contenidos ................................................................................................... 29Tabla de software ...................................................................................................... 29Tabla de ilustraciones ............................................................................................... 30Tabla de ecuaciones ................................................................................................... 31 Tabla de softwaremidiffin_explicito ....................................................................................................... 17f .................................................................................................................................. 17g1 ............................................................................................................................... 17g2 ............................................................................................................................... 17practica3 .................................................................................................................... 18¡Error! No se encuentra el origen de la referencia. ....... ¡Error! Marcador nodefinido. Jaime Martínez Verdú Página 29
  29. 29. Pr 3 – Resolución de EDPs Tabla de ilustracionesIlustración 1. Conducción estable con generación de calor. ....................................... 4Ilustración 2. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. 4Ilustración 3. Mediante la ecuación parabólica se obtiene la propagación de ondas. 4Ilustración 4. Representación esquemática de una barra con extremos a dos Tas. .... 5Ilustración 5. Representación gráfica de la función 1 – cos(x) con x entre 0 y . .... 14Ilustración 6. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y ........... 19Ilustración 7. Representación gráfica para t = 1 seg. L = 3. y ........... 19Ilustración 8. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y . ............. 20Ilustración 9. Representación gráfica para t = 1 s. L = 3. y ............ 20Ilustración 10. Representación gráfica para t = 5 s. L = 3. y .......... 21Ilustración 11. Representación de una barra con los nodos de cálculo. ................... 22Ilustración 7. Representación gráfica de la solución para t = 1 seg. = 0.4267. ..... 24Ilustración 8. Representación gráfica de la solución para t = 5 seg. = 0.4444. ..... 24Ilustración 9. Representación gráfica de la solución para t = 20 seg. = 0.4444. ... 25Ilustración 10. Representación gráfica de la solución para t = 40 seg. = 0.4876. . 25Ilustración 11. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 0.4732. . 26Ilustración 12. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 0.5263. . 27Ilustración 13. Representación gráfica de la solución para t = 80 seg. = 1.1842. . 27 Jaime Martínez Verdú Página 30
  30. 30. Pr 3 – Resolución de EDPsTabla de ecuacionesEcuación 1 ................................................................................................................... 2Ecuación 2 ................................................................................................................... 2Ecuación 3 ................................................................................................................... 2Ecuación 4 ................................................................................................................... 2Ecuación 5 ................................................................................................................... 2Ecuación 6 ................................................................................................................... 2Ecuación 7 ................................................................................................................... 2Ecuación 8 ................................................................................................................... 3Ecuación 9 ................................................................................................................... 3Ecuación 10.................................................................................................................. 3Ecuación 11.................................................................................................................. 3Ecuación 12.................................................................................................................. 6Ecuación 13.................................................................................................................. 6Ecuación 14.................................................................................................................. 6Ecuación 15.................................................................................................................. 6Ecuación 16.................................................................................................................. 6Ecuación 17.................................................................................................................. 7Ecuación 18.................................................................................................................. 7Ecuación 19.................................................................................................................. 7Ecuación 20.................................................................................................................. 7Ecuación 21.................................................................................................................. 7Ecuación 22.................................................................................................................. 8Ecuación 23.................................................................................................................. 8Ecuación 24.................................................................................................................. 8Ecuación 25.................................................................................................................. 8Ecuación 26.................................................................................................................. 8Ecuación 27.................................................................................................................. 9Ecuación 28.................................................................................................................. 9Ecuación 29.................................................................................................................. 9Ecuación 30.................................................................................................................. 9Ecuación 31.................................................................................................................. 9Ecuación 32................................................................................................................ 10Ecuación 33................................................................................................................ 10Ecuación 34................................................................................................................ 10Ecuación 35................................................................................................................ 11Ecuación 36................................................................................................................ 11Ecuación 37................................................................................................................ 11Ecuación 38................................................................................................................ 12Ecuación 39................................................................................................................ 12Ecuación 40................................................................................................................ 12Ecuación 41................................................................................................................ 12Ecuación 42................................................................................................................ 13Ecuación 43................................................................................................................ 13Ecuación 44................................................................................................................ 13Ecuación 45................................................................................................................ 13Ecuación 46................................................................................................................ 14 Jaime Martínez Verdú Página 31

×