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DERIVACIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS
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DERIVACIÓN NUMÉRICA DE ECUACIONES DIFERENCIALES ORDINARIAS

  1. 1. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kutta RUNGE KUTTA. Jaime Martínez Verdú Página 1
  2. 2. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kutta Resumen La convergencia lenta del método de Euler y lo restringido de su región deestabilidad absoluta nos lleva a considerar métodos de orden de convergenciamayor. En clase mencionamos que en cada paso el método de Euler se mueve a lolargo de la tangente de una cierta curva que esta "cerca" a la curva desconocida obuscada. Los métodos Runge-Kutta extienden esta idea geométrica al utilizarvarias derivadas o tangentes intermedias, en lugar de solo una, para aproximar lafunción desconocida. Los métodos Runge-Kutta más simples se obtienen usandodos de estas derivadas intermedias. Código empleado A continuación, se describirá el código empleado para la obtención desoluciones para ecuaciones diferenciales ordinarias a partir del método de Runge-Kutta. Para la realización de este ejercicio se programaron dos códigos. El primero,edosrungekutta.m, se empleó para facilitar la obtención de gráficas, mientras quemirungekutta.m se utilizó para la obtención de los resultados de la EDO. En el primero de los dos, al principio del código, se incluye entrecomentarios una posible ejecución. Posteriormente se solicita al usuario queintroduzca los datos necesarios para le ejecución y se procede a calcular el paso. Alcódigo se le ha añadido la peculiaridad de poder obtener gráficas para distintascondiciones iniciales. El código lo podemos dividir en cuatro bloques. El primero esla introducción de parámetros, el segundo se emplea para obtener gráficas enfunción de distintas anti-imágenes de condiciones iniciales, el tercero tiene lamisma finalidad que el anterior pero en este caso para las imágenes y el cuartopara combinar los dos últimos. Para representar los resultados para distintas condiciones iniciales a senecesita hacer una comprobación primero para saber si se desea una únicacondición inicial o más. Posteriormente se representa empleando para ellomirungekutta y plot. De igual modo se actúa para las imágenes de las condicionesiniciales. Finalmente, en el último bloque se procede a combinar los resultados. Enéste se realizan tres comprobaciones para representar correctamente. La función mirungekutta permite calcular las soluciones a la ecuacióndiferencial. El detalle más interesante está dentro del bucle donde se emplea elsiguiente código: k(i,1)=h*feval(f,tj+h*M(i-1,1),yj+M(i-1,:)*k). Una vez mostrado el código se mostrarán unos resultados obtenidos para lafunción f.m Jaime Martínez Verdú Página 2
  3. 3. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kuttaedosrungekutta.m%Ejemplo de datos%M=[0 0 0 0 0;1/2 1/2 0 0 0;1/2 0 1/2 0 0;1 0 0 1 0;0 1/6 2/6 2/6 1/6];%a=0;%ya=0;%b=10;%m=10;%k=20;%l=1;%u=20;%v=40;M=input(Introduzca la matriz del método:);a=input(Introduzca el punto inicial:);b=input(Introduzca el punto final:);ya=input(Introduzca la primera condición inicial:);m=input(Introduzca el número de pasos:);k=input(Introduzca el número de condiciones iniciales anti-imágenes:);l=input(Introduzca el paso entre cada condición inicial:);u=input(Introduzca el número de diferentes imágenes:);v=input(Introduzca el paso entre cada imagen:);h=(b-a)/m;figure;if k==0 [TVEC1,YVEC1]=mirungekutta(f,M,a,ya,h,m); plot(YVEC1,TVEC1); title(Solución) xlabel(t);ylabel(y(t));else TVEC1=zeros(k,m+1); YVEC1=zeros(k,m+1); for i=0:1:k [TVEC1(i+1,:),YVEC1(i+1,:)]=mirungekutta(f,M,a+i*l,ya,h,m); end for i=0:1:k plot(YVEC1(i+1,:),TVEC1(i+1,:)); hold on; end title(Solución para distintos y(a)) xlabel(t);ylabel(y(t));endfigure;if u==0 [TVEC2,YVEC2]=mirungekutta(f,M,a,ya,h,m); plot(YVEC2,TVEC2); title(Solución) xlabel(t);ylabel(y(t));else TVEC2=zeros(u,m+1); YVEC2=zeros(u,m+1); for i=0:1:u [TVEC2(i+1,:),YVEC2(i+1,:)]=mirungekutta(f,M,a,ya+i*v,h,m); end for i=0:1:u plot(YVEC2(i+1,:),TVEC2(i+1,:)); hold on; end title(Solución para distintos a) xlabel(t);ylabel(y(t));end Jaime Martínez Verdú Página 3
  4. 4. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kuttaif (k==0&&u~=0) figure; plot(YVEC1,TVEC1); for i=0:1:u plot(YVEC2(i+1,:),TVEC2(i+1,:)); hold on; end title(Solución para distintos a); xlabel(t);ylabel(y(t)); returnelseif (k~=0&&u==0) figure; for i=0:1:k plot(YVEC1(i+1,:),TVEC1(i+1,:)); hold on; end plot(YVEC2,TVEC2); title(Solución para distintos y(a)) xlabel(t);ylabel(y(t));else figure; for i=0:1:k plot(YVEC1(i+1,:),TVEC1(i+1,:)); hold on; end for i=0:1:u plot(YVEC2(i+1,:),TVEC2(i+1,:)); hold on; end title(Solución para distintos a e y(a)) xlabel(t);ylabel(y(t));endreturnf.mfunction z = f(t,y)z=t^2-y;end Jaime Martínez Verdú Página 4
  5. 5. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kuttafunction [T,Y] = mirungekutta(f,M,a,ya,h,m)%---------------------------------------------------------------------%RK4 Runge-Kutta solution for y = f(t,y) with y(a) = ya.% Sample call% [T,Y] = rk4(f,a,b,ya,m)% Inputs% f name of the function% a left endpoint of [a,b]% b right endpoint of [a,b]% ya initial value% m number of steps% Return% T solution: vector of abscissas% Y solution: vector of ordinates%% NUMERICAL METHODS: MATLAB Programs, (c) John H. Mathews 1995% To accompany the text:% NUMERICAL METHODS for Mathematics, Science and Engineering, 2nd Ed,1992% Prentice Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 07632, U.S.A.% Prentice Hall, Inc.; USA, Canada, Mexico ISBN 0-13-624990-6% Prentice Hall, International Editions: ISBN 0-13-625047-5% This free software is compliments of the author.% E-mail address: in%"mathews@fullerton.edu"%% Algorithm 9.4 (Runge-Kutta Method of Order 4).% Section 9.5, Runge-Kutta Methods, Page 460%---------------------------------------------------------------------b = h*m + a;T = zeros(1,m+1);Y = zeros(1,m+1);[fil,col]=size(M);T(1) = a;Y(1) = ya;k=zeros(fil,1)for j=1:m tj = T(j) yj = Y(j) i=3 while i<=fil k(2,1)=h*feval(f,T(j),Y(j)) k(i,1)=h*feval(f,tj+h*M(i-1,1),yj+M(i-1,:)*k) i=i+1; end T(j+1) = a + h*j Y(j+1) = yj + M(fil,:)*k;endfigure;plot(Y,T);return; Jaime Martínez Verdú Página 5
  6. 6. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kutta Solución para distintos y(a) 30 25 20 15y(t) 10 5 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t Ilustración A. Resultados para varios valores de y(a). Jaime Martínez Verdú Página 6
  7. 7. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kutta Solución para distintos a 10 9 8 7 6 5y(t) 4 3 2 1 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 t Ilustración B. Resultados para varios valores de a. Jaime Martínez Verdú Página 7
  8. 8. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Runge-Kutta Solución para distintos a e y(a) 30 25 20 15y(t) 10 5 0 0 100 200 300 400 500 600 700 800 900 t Ilustración C. Resultados para varios valores de a e y(a). Jaime Martínez Verdú Página 8
  9. 9. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua CIRCUITO DE CHUA. Jaime Martínez Verdú Página 9
  10. 10. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Resumen El circuito de Chua es el sistema físico más simple que puede ser utilizadopara estudiar la dinámica no lineal en circuitos eléctricos. Este circuito tienetambién una ventaja desde el punto de vista didáctico, ya que manifiesta una ricavariedad de las características comunes a otros sistemas no lineales, tales como labifurcación y el caos. En este trabajo se presenta un estudio básico de la dinámicano lineal de sistemas físicos tomando como prototipo el circuito de Chua. Semuestran resultados experimentales y se comparan con simulaciones numéricas delas ecuaciones que describen el circuito. En particular se discute el régimenhiperbólico y la existencia de órbitas periódicas. Introducción. ¿Qué es el Caos? Cuando un ingenier@ se tropieza con un caso relacionadocon el Mundo del Caos, generalmente este hecho implica que un sistema decarácter dinámico, aparentemente viable y predecible, pueda dar lugar a resultadosimpredecibles y que carecen de sentido. El modo más sencillo de observar uncomportamiento caótico es fijarse en la ciencia que estudia los circuitoselectrónicos. Esto es debido a la simplicidad con la cual se lleva a cabo el estudio deun circuito electrónico, lo económico que supone su análisis y por los grandesconocimientos adquiridos en la rama de la electrónica analógica y digital a día dehoy. El circuito de Chua es un ejemplo muy conocido de circuito caótico. Noobstante, este circuito va más allá de un mero ejemplo para el estudio del caosdebido a su simplicidad y universalidad. De hecho, este circuito puede aportarinteresantes resultados que pueden contestar numerosas cuestiones físicas. En concreto, en este informe se estudiarán diferentes situaciones para elcircuito de Chua, incluyendo experimentos para diversos valores iniciales y,también, para diferentes valores de los componentes electrónicos que lo integran. Primeramente, se procederá a realizar una breve inspección en la historiade la teoría del Caos. Posteriormente, se realizará una descripción física del circuitode Chua donde se describirán las ecuaciones diferencias del sistema físico demanera que se consiga entender perfectamente el comportamiento yfuncionamiento del circuito electrónico. Posteriormente, se procederá a llevar acabo las consiguientes pruebas experimentales para testear la dinámica delsistema. En efecto, lo que se pretende es estudiar numéricamente distintassoluciones al sistema de ecuaciones diferenciales, variando tanto los parámetros delsistema físico como las condiciones iniciales. Jaime Martínez Verdú Página 10
  11. 11. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Historia del Caos. La primera vez que se encontraron indicios de la existencia del caos fue en elaño 1885 en Suecia. El Rey Oscar II estaba profundamente interesado por elproblema de los tres cuerpos: El problema de los tres cuerpos consiste en determinar en cualquier instante las posiciones y velocidades de tres cuerpos, de cualquier masa, sometidos a su atracción mutua y partiendo de unas posiciones y velocidades dadas (sus condiciones iniciales son 18 valores). (wikipedia.es) Ilustración 1. Esquema tridimensional del problema de los tres cuerpos. En concreto el problema planteado por el Rey era el de, considerando tresplanetas en el espacio, obtener la ley de comportamiento de los planetas cuyomovimiento venía determinado por el efecto gravitatorio generado de forma mutuapor cada planeta. Era tal el deseo por el Rey sueco por encontrar la solución alproblema que tomó la decisión de otorgar un premio a aquella persona queresolviera este dilema físico. Dicha cuestión fue resuelta años después por Sir Isaac newton pero, eso sí,para el caso que contemplaba en el sistema únicamente dos planetas. Mientras queel problema de los dos cuerpos tiene solución mediante el método de lascuadraturas integrales, el problema de tres cuerpos no tiene solución general pordicho método y en algunos casos su solución puede ser caótica en el sentido físicodel término, que significa que pequeñas variaciones en las condiciones inicialespueden llevar a destinos totalmente diferentes. Un matemático llamado Henri Poincaré envió un manuscrito en el cual sedeja entrever que había dado con la respuesta al problema. Inmediatamentedespués a su publicación rectifica y asegura haber cometido un error dando comoexplicación que el problema, de alguna manera, era irresoluble. La razón de elloera ante pequeñas diferencias en la posición o velocidad inicial podían traducirseen enormes diferencias en el resultado final. Con esta conclusión, Poincaré concibióel Principio del Caos. Si tiene curiosidad por observar el problema para n cuerpos utilice elsiguiente enlace: http://solar.cranf.net/. Jaime Martínez Verdú Página 11
  12. 12. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Edward Lorenz también ha tenido un lugar importante dentro de la historiadel Caos. Durante los años sesenta Lorenz dedicó gran parte de su tiempo aldesarrollo de modelos computarizados, uno de los cuales, trataba de representar laatmósfera terrestre en el hemisferio norte. Al principio de su trabajo llevaba a cabotodas las operaciones de cálculo con seis decimales hasta que decidió eliminar lostres decimales menos significativos. Cuando Lorenz llevo a cabo este redondeo elresultado obtenido fue asombroso. Al principio de las comprobaciones, tanto los resultados nuevos como losantiguos coincidían pero a partir de cierto tiempo, los resultados comenzaron adivergir unos de otros dando resultados finales completamente distintos. Comoconclusión, Lorenz dedujo que los resultados finales de los cálculos estabanfuertemente ligados a las condiciones iniciales del problema. De hecho, un pequeñocambio en la posición inicial puede llevar a grandes diferencias en el resultadofinal. Al repetir el proceso en varias ocasiones, empleando para ello diferentesestados iniciales, se obtuvieron como resultado gráficas tridimensionales con lacuriosa forma de una mariposa (también conocido como atractor de Lorenz). Ilustración 2. Resultados finales del atractor de Lorenz. Con respeto a la electrónica, las primeras observaciones de caos en circuitoselectrónicos empezaron a ser notificadas en el año 1927 por Van der Pol y Van derMark que pudieron percibirlas al analizar osciladores no lineales. En 1980, Ueda yAkamatsu encontraron situaciones de caos en osciladores de resistencia negativa.El circuito de Chua, datado en el año 1993, por su simplicidad y universalidad, vaun poco más allá que el resto siendo empleado en experimentos para el control delCaos. Jaime Martínez Verdú Página 12
  13. 13. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Fundamentos físicos del circuito de Chua. En los últimos años se ha intensificado el estudio de los sistemas dinámicosdebido a su interés intrínseco y a sus potenciales aplicaciones en la ciencia ytécnica [1]. Algunas características de los sistemas dinámicos pueden seranalizadas con circuitos eléctricos y uno de los más estudiados (tal y como ya semencionó anteriormente), debido a su simplicidad, es el circuito de Chua [2,3]. Este circuito consta de un inductor, una resistencia, dos capacitares y unelemento no lineal como se muestra en la Ilustración 3. El elemento no lineal tieneuna función de respuesta como se muestra en la Ilustración 4. Ilustración 3. Esquema eléctrico del circuito de Chua. Ilustración 4. Función de respuesta del elemento no lineal. Al aplicar las leyes de Kirchoff al circuito de Chua se obtienen las siguientesecuaciones que describen su comportamiento: Ecuación 1 Ecuación 2 Ecuación 3 Ecuación 4 Donde es la función de respuesta del elemento no lineal. Jaime Martínez Verdú Página 13
  14. 14. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Las variables que surgen en las ecuaciones son la tensión V1 que aparece enbornes del condensador de la derecha, la tensión V2 que aparece en bornes delcondensador izquierdo e iL que se trata de la intensidad que circula por la bobina.Las constantes que aparecen en el sistema de ecuaciones diferenciales son lascapacitancias C1 y C2 de los dos condensadores, la inductancia L de la bobina, laresistencia interna r0 de la bobina y la resistencia variable R del potenciómetro.Además, el valor de la resistencia negativa NR depende de la función que a suvez depende de las variables , que vienen explicados en la Ilustración 4. Un análisis de las ecuaciones muestra que el sistema tiene tres puntos fijos[3] que definen tres regiones en el espacio que permiten clasificar las soluciones dela dinámica del circuito. El comportamiento de las soluciones en la vecindad de lospuntos fijos muestra que las soluciones pueden ser tipo foco, sumideros y fuentes.En las simulaciones numéricas se procederá a trabajar con la forma adimensionaldel sistema de ecuaciones; se obtiene con los cambios de variables: Para la Ecuación 1 se realizan los siguientes pasos: Jaime Martínez Verdú Página 14
  15. 15. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua Para la Ecuación 2 se realizan los siguientes pasos: Para la Ecuación 3 se realizan los siguientes pasos: Jaime Martínez Verdú Página 15
  16. 16. Pr 2 - Derivación numérica de EDO’s: Circuito de Chua En definitiva, se simulará el siguiente sistema de ecuaciones: Ecuación 5 Ecuación 6 Ecuación 7 Cuyos valores vienen determinados por las siguientes expresiones: Resultados Experimentales Existen dos tipos de bifurcaciones que se pueden estudiar con el circuito de Chua, las cuales se presentan si se mantienen fijos todos los elementos del circuito excepto uno de ellos que se varía. En un esquema de bifurcación el elemento variable es el resistor R (Fig.1), y en el otro esquema el elemento variable es el condensador C 2. En esta sección se presenta una secuencia de los resultados experimentales y numéricos del esquema de bifurcación cuando se varía el resistor R. Experimentalmente se utilizaron los valores que aparecen en la tabla 1. Los valores de las pendientes del resistor no lineal fueron m 0=- 0.4167 mS (mili-Siemens) y m1=-0.8 mS. En las simulaciones numéricas se trabajó con la forma adimensional del sistema de ecuaciones (1); esta se obtiene haciendo los cambios de variables: x = VC1/Bv, y = VC2/Bv, z = i/(Bv G), t = t/(G/C2). Los valores utilizados en las simulaciones numéricas fueron m0=-0.4167, m1=-0.8, C1=10, C2=100, L=18, los cuales se mantuvieron fijos y el valor de la resistencia R que se utilizó para cada región se citan en cada figura.Parámetros f01 f02 f03 f1 f2 f3 f4 R( ) 0 2.500 2.200 2.200 2.200 C1 (nF) 10,0 10,0 9,0 11,0 C2 (nF) 100,0 100,0 90,0 110,0 L (mH) 22,0 16,7 14,4 19,1 r0 ( ) 10,0 10,0 9,9 10,1 Ga (mS) -0,757 -0,474 -0,460 -0,489 Gb (mS) -0,410 -0,255 -0,247 -0,264 BP (V) 1.70 1.80 1.63 1.98Parámetros f01 f02 f03 f1 f2 f3 f4 9 3 9 10 10 10 10 100/7 100/7 100/7 0 28,409 28,982 30,250 27,874 0 0 0 0 0,114 0,132 0,136 0,128 a 8/7 8/7 8/7 0 -1,892 -1,042 -1,012 -1,076 b 57 57 57 0 -1,025 -0,561 -0,543 -0,581 Jaime Martínez Verdú Página 16
  17. 17. - 4 4 3 3 2 2 1 1Z Z 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 -0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0 0.1 0.2 0.3 0.4 X Y 0.4 0.3 0.4 0.2 0.2 0.1 0 ZY 0 -0.2 -0.1 -0.2 -0.4 4 2 4 -0.3 2 0 0 -2 -2 -0.4 -3 -2 -1 0 1 2 3 Y -4 -4 X X Ilustración 5. Resultados I obtenidos para la combinación de parámetros f01. Jaime Martínez Verdú Página 17
  18. 18. - 2.5 0.4 2 0.3 1.5 0.2 1 0.1 0.5X Y 0 0 -0.5 -0.1 -1 -0.2 -1.5 -0.3 -2 -2.5 -0.4 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T 4 4 X 3 3 Y Z 2 2 1 1Z 0 0 XYZ -1 -1 -2 -2 -3 -3 -4 -4 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T Ilustración 6. Resultados II obtenidos para la combinación de parámetros f01. Jaime Martínez Verdú Página 18
  19. 19. - 1 1 0.5 0.5 0 0Z Z -0.5 -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 -0.1 -0.05 0 0.05 0.1 0.15 X Y 0.15 0.1 0.15 0.1 0.05 0.05 ZY 0 0 -0.05 -0.1 1 -0.05 2 0 1.5 -1 1 -0.1 0.5 0 0.2 0.4 0.6 0.8 1 1.2 1.4 1.6 Y -2 0 X X Ilustración 7. Resultados I obtenidos para la combinación de parámetros f02. Jaime Martínez Verdú Página 19
  20. 20. - 1.6 0.15 1.4 0.1 1.2 1 0.05X Y 0.8 0 0.6 0.4 -0.05 0.2 0 -0.1 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T 1 2 X 1.5 Y 0.5 Z 1 0 0.5Z -0.5 0 XYZ -0.5 -1 -1 -1.5 -1.5 -2 -2 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T Ilustración 8. Resultados II obtenidos para la combinación de parámetros f02. Jaime Martínez Verdú Página 20
  21. 21. - 10 10 x 10 x 10 4 4 3 3 2 2 1 1Z Z 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 -8 -6 -4 -2 0 2 4 6 X 10 Y 9 x 10 x 10 9 x 10 6 10 x 10 4 1 2 0.5 0 Z 0Y -2 -0.5 -4 -1 4 -6 2 2 10 0 1 x 10 0 10 -2 -1 x 10 -8 -2 -1.5 -1 -0.5 0 0.5 1 1.5 Y -4 -2 10 X X x 10 Ilustración 9. Resultados I obtenidos para la combinación de parámetros f03. Jaime Martínez Verdú Página 21
  22. 22. - 10 9 x 10 x 10 1.5 6 1 4 0.5 2 0 0X Y -0.5 -2 -1 -4 -1.5 -6 -2 -8 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T 10 10 x 10 x 10 4 4 X Y 3 3 Z 2 2 1 1Z XYZ 0 0 -1 -1 -2 -2 -3 -3 0 20 40 60 80 100 0 20 40 60 80 100 T T Ilustración 10. Resultados II obtenidos para la combinación de parámetros f03. Jaime Martínez Verdú Página 22
  23. 23. - 0.1 0.35 0.60.4 0.5 0.50.2 0 0 0-0.2-0.4 -0.5 -0.5 5 5 5 4 4 4 0 2 0 2 0 2 0 0 0 -2 -2 -2 -5 -4 -5 -4 -5 -4 0.85 1.1 1.350.5 0.5 0.5 0 0 0 -0.5-0.5 -0.5 -1 5 5 5 4 4 4 0 2 0 2 0 2 0 0 0 -2 -2 -2 -5 -4 -5 -4 -5 -4 1.6 1.85 2.1 7 x 10 1 1 40.5 0.5 2 0 0 0-0.5 -0.5 -2 -1 -1 -4 5 5 2 4 4 1 0 2 0 2 8 0 0.5 0 0 x 10 0 8 -2 -2 -0.5 x 10 -5 -4 -5 -4 -2 -1 Ilustración 11. Resultados I obtenidos para la combinación de parámetros f04. Jaime Martínez Verdú Página 23
  24. 24. - 2.02732 2.02733 2.02734 1 1 10.5 0.5 0.5 0 0 0-0.5 -0.5 -0.5 -1 -1 -1 5 5 5 4 4 4 0 2 0 2 0 2 0 0 0 -2 -2 -2 -5 -4 -5 -4 -5 -4 2.02735 2.02736 2.02737 5 5 x 10 x 10 1 2 40.5 2 0 0 0 -2-0.5 -2 -1 -4 -4 5 2 2 4 1 5 1 0 2 6 0 6 0 0.5 0 x 10 0 5 x 10 0 6 -2 -5 x 10 -0.5 x 10 -5 -4 -1 -10 -2 -1 2.02738 2.02739 2.0274 5 5 6 x 10 x 10 x 10 10 10 1 0.5 5 5 0 0 0 -0.5 -5 -5 -1 4 4 5 2 1 2 2 2 6 0.5 6 1 6 0 1x 10 0 0 6 x 10 0 0 6 x 10 0 6 -0.5 x 10 -1 x 10 -1 x 10 -2 -1 -2 -2 -5 -2 Ilustración 12. Resultados II obtenidos para la combinación de parámetros f04. Jaime Martínez Verdú Página 24
  25. 25. - [0,0,2.02735] [0,0,2.02735] 5 x 10 1 2 1 0.5 0 0Z Z -1 -0.5 -2 -1 -3 5 1.5 3 1 6 2 0.5 4 0 1 2 6 0 0 x 10 0 -1 -0.5 -2 5 -2 -4 x 10 -5 -3 -1 -6 Y X Y X 6 x 10 5 1.5 X X 4 Y Y Z Z 3 1 2 1 0.5 0 XYZ XYZ -1 0 -2 -3 -0.5 -4 -5 -1 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 T T Ilustración 13. Resultados III obtenidos para la combinación de parámetros f04. Jaime Martínez Verdú Página 25
  26. 26. - 0 0.01 0.02 0.03 0.04100 40 20 20 2050 20 0 0 0 0 0 -20 -20 -20 2 1 1 2 2 100 40 20 20 20 0 50 0 20 0 0 0 0 0 0 -2 0 -1 0 -1 -20 -2 -20 -2 -20 0.05 0.06 0.07 0.08 0.0920 20 20 20 20 0 0 0 0 0-20 -20 -20 -20 -20 2 2 5 5 5 20 20 20 20 20 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -2 -20 -2 -20 -5 -20 -5 -20 -5 -20 0.1 0.11 0.12 0.13 0.1420 20 50 50 50 0 0 0 0 0-20 -20 -50 -50 -50 5 10 10 10 20 20 50 50 50 50 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -5 -20 -10 -50 -10 -50 -10 -50 -20 -50 0.15 0.16 0.17 0.18 0.1950 50 50 100 100 0 0 0 0 0-50 -50 -50 -100 -100 20 20 20 50 50 50 50 50 100 100 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -20 -50 -20 -50 -20 -50 -50 -100 -50 -100 Ilustración 14. Resultados obtenidos para valores de la resistencia del potenciómetro comprendidos entre 0 y 190 . Jaime Martínez Verdú Página 26
  27. 27. - 0.2 0.21 0.22 0.23 0.24 100 100 100 200 200 0 0 0 0 0 -100 -100 -100 -200 -200 50 50 100 100 100 100 100 200 200 200 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -50 -100 -50 -100 -100 -200 -100 -200 -100 -200 0.25 0.26 0.27 0.28 0.29 200 500 500 500 500 0 0 0 0 0 -200 -500 -500 -500 -500 100 200 200 200 500 200 500 500 500 500 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -100 -200 -200 -500 -200 -500 -200 -500 -500 -500 0.3 0.31 0.32 0.33 0.34 500 500 500 1000 1000 0 0 0 0 0 -500 -500 -500 -1000 -1000 500 500 500 1000 1000 500 1000 1000 1000 1000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -500 -500 -500 -1000 -500 -1000 -1000 -1000 -1000 -1000 0.35 0.36 0.37 0.38 0.391000 2000 2000 2000 5000 0 0 0 0 0-1000 -2000 -2000 -2000 -5000 1000 1000 2000 2000 2000 1000 2000 2000 2000 5000 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 -1000 -1000 -1000 -2000 -2000 -2000 -2000 -2000 -2000 -5000 Ilustración 15. Resultados obtenidos para valores de la resistencia del potenciómetro comprendidos entre 200 y 390 . Jaime Martínez Verdú Página 27
  28. 28. - 0.4 0.41 0.42 0.43 4 0.44 x 105000 5000 5000 5000 1 0 0 0 0 0-5000 -5000 -5000 -5000 -1 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 5000 1 0 0 0 0 0 4 0 0 0 0 0 x 10 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -5000 -1 4 0.45 4 0.46 4 0.47 4 0.48 4 0.49 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 1 1 1 2 2 4 1 4 1 4 2 4 2 4 2x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 -2 -2 -2 4 0.5 4 0.51 4 0.52 4 0.53 4 0.54 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 2 2 5 5 5 0 0 0 0 0 -2 -2 -5 -5 -5 2 5 5 5 5 4 2 4 5 4 5 4 5 4 5x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 x 10 0 4 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 -2 -2 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 -5 4 0.55 5 0.56 5 0.57 5 0.58 5 0.59 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 5 1 1 1 1 0 0 0 0 0 -5 -1 -1 -1 -1 1 1 1 2 2 5 5 5 1 5 1 5 1 5 2x 10 0 4 x 10 0 5 x 10 0 5 x 10 0 5 x 10 0 5 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 -1 -5 -1 -1 -1 -1 -2 -1 -2 -2 Ilustración 16. Resultados obtenidos para valores de la resistencia del potenciómetro comprendidos entre 400 y 590 . Jaime Martínez Verdú Página 28
  29. 29. - 5 0.6 5 0.61 5 0.62 5 0.63 5 0.64 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 1 2 2 2 5 0 0 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -5 2 5 5 5 5 5 2 5 2 5 5 5 5 5 5x 10 0 0 5 x 10 0 0 5 x 10 0 0 5 x 10 0 0 5 x 10 0 0 5 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 -2 -2 -5 -2 -5 -5 -5 -5 -5 -5 5 0.65 5 0.66 5 0.67 6 0.68 6 0.69 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 5 5 5 1 1 0 0 0 0 0 -5 -5 -5 -1 -1 5 1 1 1 2 5 5 6 1 6 1 6 1 6 2x 10 0 5 0 6 x 10 0 6 0 6 0 6 0 x 10 x 10 0 x 10 0 x 10 x 10 0 x 10 x 10 0 x 10 -5 -5 -1 -1 -1 -1 -1 -1 -2 -2 6 0.7 6 0.71 6 0.72 6 0.73 6 0.74 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 1 2 2 2 5 0 0 0 0 0 -1 -2 -2 -2 -5 2 2 5 5 5 6 2 6 2 6 2 6 5 6 5x 10 0 6 x 10 0 6 x 10 0 6 x 10 0 6 x 10 0 6 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 -2 -2 -2 -2 -5 -2 -5 -5 -5 -5 6 0.75 6 0.76 6 0.77 6 0.78 6 0.79 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 5 5 5 5 5 0 0 0 0 0 -5 -5 -5 -5 -5 5 5 1 1 1 6 5 6 5 7 5 7 1 7 1x 10 0 0 6 x 10 0 0 6 x 10 0 0 6 x 10 0 0 7 x 10 0 0 7 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 -5 -5 -5 -5 -1 -5 -1 -1 -1 -1 Ilustración 17. Resultados obtenidos para valores de la resistencia del potenciómetro comprendidos entre 600 y 790 . Jaime Martínez Verdú Página 29
  30. 30. - 7 0.8 7 0.81 7 0.82 7 0.83 7 0.84 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 1 1 1 2 2 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -2 -2 2 2 5 5 5 7 1 7 2 7 2 7 2 7 5x 10 0 0 7 x 10 0 0 7 x 10 0 0 7 x 10 0 0 7 x 10 0 0 7 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 -2 -1 -2 -2 -5 -2 -5 -2 -5 -5 7 0.85 7 0.86 7 0.87 7 0.88 7 0.89 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 2 2 5 5 5 0 0 0 0 0 -2 -2 -5 -5 -5 5 5 1 1 1 7 5 7 5 8 5 8 5 8 1x 10 0 7 0 7 x 10 0 7 0 7 x 10 0 8 0 x 10 x 10 0 x 10 0 x 10 x 10 0 x 10 0 x 10 -5 -5 -5 -5 -1 -5 -1 -5 -1 -1 8 0.9 8 0.91 8 0.92 8 0.93 8 0.94 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 1 1 1 1 2 0 0 0 0 0 -1 -1 -1 -1 -2 2 2 2 5 5 8 1 8 1 8 2 8 2 8 2x 10 0 8 x 10 0 8 x 10 0 8 x 10 0 8 x 10 0 8 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 0 x 10 -2 -1 -2 -1 -2 -2 -5 -2 -5 -2 8 0.95 8 0.96 8 0.97 8 0.98 8 0.99 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 2 2 2 5 5 0 0 0 0 0 -2 -2 -2 -5 -5 5 5 5 1 1 8 2 8 5 8 5 9 5 9 5x 10 0 0 8 x 10 0 0 8 x 10 0 0 8 x 10 0 0 8 x 10 0 0 8 x 10 x 10 x 10 x 10 x 10 -5 -2 -5 -5 -5 -5 -1 -5 -1 -5 Ilustración 18. Resultados obtenidos para valores de la resistencia del potenciómetro comprendidos entre 800 y 990 . Jaime Martínez Verdú Página 30

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