Derivatives

2,302 views

Published on

1 Comment
2 Likes
Statistics
Notes
No Downloads
Views
Total views
2,302
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
6
Actions
Shares
0
Downloads
99
Comments
1
Likes
2
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

Derivatives

  1. 1. Ζουρνά Άννας Εισαγωγή στις Παραγώγους
  2. 2. Στιγμιαία ταχύτητα <ul><li>Ας θεωρήσουμε ένα σώμα που κινείται κατά μήκος ενός άξονα και ας υποθέσουμε ότι S(t) είναι η τετμημένη του σώματος αυτού τη χρονική στιγμή t. </li></ul><ul><li>H συνάρτηση S καθορίζει τη θέση του σώματος τη χρονική στιγμή t και ονομάζεται συνάρτηση θέσης του κινητού. </li></ul>
  3. 3. Στιγμιαία ταχύτητα <ul><li>Κάποια χρονική στιγμή το κινητό βρίσκεται στη θέση Μ 0 και ότι μετά από παρέλευση χρόνου h, δηλαδή τη χρονική στιγμή t = t 0 + h , βρίσκεται στη θέση Μ. </li></ul>
  4. 4. Στιγμιαία ταχύτητα <ul><li>Στο χρονικό διάστημα από t έως t 0 η μετατόπιση του κινητού είναι ίση με S(t) – S(t 0 ). </li></ul><ul><li>H μέση ταχύτητα του κινητού σ’ αυτό το χρονικό διάστημα είναι </li></ul>S(t) – S(t 0 ) t – t 0
  5. 5. Στιγμιαία ταχύτητα <ul><li>Όσο το t είναι πλησιέστερα στο t 0 , τόσο η μέση ταχύτητα του κινητού δίνει με καλύτερη προσέγγιση το ρ υ θ μ ό α λ λ α γ ή ς της θέσης του κινητού κοντά στο t 0 . Για το λόγο αυτό το όριο της μέσης ταχύτητας, καθώς το t τείνει στο t 0 , το ονομάζουμε στιγμιαία ταχύτητα του κινητού τη χρονική στιγμή t 0 και τη συμβολίζουμε με: </li></ul>S(t) – S(t 0 ) t – t 0 υ (t 0 ) = lim t  t 0
  6. 6. Σχόλιο <ul><li>Όταν ένα κινητό κινείται προς τα δεξιά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει : </li></ul>Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 > 0 ≥ 0 υ (t 0 )
  7. 7. Σχόλιο <ul><li>Όταν ένα κινητό κινείται προς τα αριστερά, τότε κοντά στο t 0 ισχύει: </li></ul>Άρα και S(t) – S(t 0 ) t – t 0 < 0 ≤ 0 υ (t 0 )
  8. 8. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης <ul><li>Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. </li></ul>Α O
  9. 9. Εφαπτομένη γραφικής παράστασης <ul><li>Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. </li></ul>εφαπτομένη στο Α Α Μ 2 Μ 1 O Μ 3
  10. 10. <ul><li>Γνωρίζουμε ότι όταν μία ευθεία εφάπτεται μιας καμπύλης, τότε έχει με την καμπύλη ένα κοινό διπλό σημείο. </li></ul>Εφαπτομένη γραφικής παράστασης O Α (ε)
  11. 11. x O y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f (x 0 ) A C f x 0
  12. 12. x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης
  13. 13. (ε) x O C f x 0 A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης M(x, f(x))
  14. 14. (ε) x O C f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)
  15. 15. (ε) x O C f x x 0 M (x, f(x)) A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x)
  16. 16. (ε) x O C f x x 0 M A ( x 0 , f ( x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f
  17. 17. x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –
  18. 18. x O C f x 0 A (x 0 , f(x 0 )) y Εφαπτομένη γραφικής παράστασης 0 M x f(x) (ε) To Α συμπίπτει με το Μ Η (ε) εφάπτεται της C f Αντίστοιχα εργαζόμαστε όταν το x -> x 0 –
  19. 19. <ul><li>Έστω f μια συνάρτηση και ένα σημείο της A (x 0 , f(x 0 )). </li></ul><ul><li>Αν υπάρχει το </li></ul><ul><li>και είναι ένας πραγματικός αριθμός λ, </li></ul><ul><li>τότε ορίζουμε ως εφαπτομένη της C f στο σημείο της Α, την ευθεία ( ε ) : </li></ul><ul><li>που διέρχεται από το Α και </li></ul><ul><li>έχει συντελεστή διεύθυνσης λ. </li></ul>Εφαπτομένη γραφικής παράστασης f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0
  20. 20. Εξίσωση εφαπτομένης <ul><li>Η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) είναι: </li></ul>λ = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0
  21. 21. Παράδειγμα <ul><li>Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). </li></ul><ul><li>Υπολογίζουμε το όριο: </li></ul>= = = = = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1 (x + 1 ) = lim x  1
  22. 22. Παράδειγμα <ul><li>Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). </li></ul><ul><li>Υπολογίζουμε το όριο: </li></ul>= = = = (x + 1 ) = 2 lim x  1 = f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1 x 2 – 1 x – 1 lim x  1 (x – 1 )(x + 1) x – 1 lim x  1
  23. 23. Παράδειγμα <ul><li>Έστω η συνάρτηση f(x) = x 2 και το σημείο Α(1, 1). </li></ul><ul><li>Υπολογίσαμε το όριο: </li></ul>= 2 Επειδή το όριο είναι ένας πραγματικός αριθμός τότε ορίζεται η εφαπτομένη στο Α (1, 1) και έχει εξίσωση την: y – f(1) = λ (x – 1)  y – 1 = 2 (x – 1)   y – 1 = 2 x – 2  y = 2 x – 1 f(x) – f( 1 ) x – 1 lim x  1
  24. 24. Ορισμός <ul><li>Μια συνάρτηση f λέμε ότι είναι παραγωγίσιμη σ’ ένα σημείο x 0 του πεδίου ορισμού της, αν υπάρχει το </li></ul>και είναι πραγματικός αριθμός. f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0
  25. 25. Ορισμός <ul><li>Το όριο αυτό ονομάζεται παράγωγος της f στο x 0 και συμβολίζεται με f ΄( x 0 ). </li></ul>f ΄( x 0 ) = f(x) – f(x 0 ) x – x 0 lim x  x 0
  26. 26. Σχόλιο <ul><li>Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 + h τότε: </li></ul><ul><li>h = x – x 0 </li></ul><ul><li>για x -> x 0 το h -> x 0 – x 0 = 0 </li></ul><ul><li>και το όριο γράφεται: </li></ul>f ΄( x 0 ) = f(x 0 + h) – f(x 0 ) h lim h  0
  27. 27. Σχόλιο <ul><li>Αν στο όριο αυτό όπου x , θέσουμε x 0 h τότε: </li></ul><ul><li>h = </li></ul><ul><li>για x -> x 0 το h -> </li></ul><ul><li>και το όριο γράφεται: </li></ul>f ΄( x 0 ) = = 1 f(x 0 h) – f(x 0 ) x 0 (h – 1) lim h  1 x x 0 x 0 x 0
  28. 28. Στιγμιαία ταχύτητα <ul><li>Η στιγμιαία ταχύτητα ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης θέσης x = S(t) τη χρονική στιγμή t 0 . </li></ul>υ (t 0 ) = S ΄ (t 0 )
  29. 29. Στιγμιαία επιτάχυνση <ul><li>Η στιγμιαία επιτάχυνση ενός κινητού τη χρονική στιγμή t 0 είναι η παράγωγος της συνάρτησης ταχύτητα υ( t) τη χρονική στιγμή t 0 . </li></ul>α (t 0 ) = υ΄ (t 0 )
  30. 30. Εξίσωση εφαπτομένης <ul><li>Άρα η εξίσωση της εφαπτομένης της C f στο σημείο Α (x 0 , f(x 0 )) γράφεται: </li></ul>Ο συντελεστής διεύθυνσης f ΄ (x 0 ) λέγεται και κλίση της f στο x 0 .
  31. 31. Ορισμός <ul><li>Μία συνάρτηση f είναι συνεχής σε ένα x o του πεδίου ορισμού της αν: </li></ul>
  32. 32. Θεώρημα <ul><li>Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. </li></ul>Για έχουμε:
  33. 33. Θεώρημα <ul><li>Αν μία συνάρτηση είναι παραγωγίσιμη σε ένα x 0 είναι και συνεχής στο σημείο αυτό. </li></ul>Άρα: Δηλαδή η f είναι συνεχής στο x 0 .
  34. 34. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Σταθερή συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  35. 35. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Σταθερή συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  36. 36. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Σταθερή συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  37. 37. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Απόδειξη Συνάρτηση
  38. 38. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  39. 39. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  40. 40. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  41. 41. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  42. 42. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  43. 43. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη ν – στο πλήθος
  44. 44. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  45. 45. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων <ul><li>Συνάρτηση </li></ul>Παράγωγος Απόδειξη
  46. 46. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση
  47. 47. Παράγωγοι βασικών συναρτήσεων Παράγωγος Συνάρτηση Παράγωγος Συνάρτηση
  48. 48. Κανόνες Παραγώγισης <ul><li>Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f + g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: </li></ul>
  49. 49. Κανόνες Παραγώγισης <ul><li>Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , τότε η συνάρτηση f • g είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: </li></ul>
  50. 50. Κανόνες Παραγώγισης <ul><li>Αν οι συναρτήσεις f, g είναι παραγωγίσιμες στο x 0 , </li></ul><ul><li>τότε η συνάρτηση </li></ul><ul><li>είναι παραγωγίσιμη στο x 0 και ισχύει: </li></ul>
  51. 51. Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων
  52. 52. Παράγωγος Σύνθεσης συναρτήσεων κανόνας της αλυσίδας.
  53. 53. Παράγωγοι Βασικών Συναρτήσεων
  54. 54. Ασκήσεις <ul><li>Να βρεθούν οι παράγωγοι των συναρτήσεων </li></ul>
  55. 55. Άσκηση <ul><li>Να βρεθεί η εξίσωση της εφαπτομένης της C f με f(x) = x 3 – 5x 2 –2x +3 για x 0 = – 2 . </li></ul>

×