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Volumen Esfera

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Volumen Esfera

  1. 1. Medici ón del volumen de la esfera Prof. Iv án Pérez
  2. 2. <ul><li>Arquímedes ide ó una fórmula para determinar el volumen de una esfera. </li></ul><ul><li>Imagin ó una esfera, un cono y un cilindro. </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Supuso que la esfera ten ía radio R y tanto el cono como el cilindro con el mismo radio basal R . También supuso que las alturas del cono y el cilindro medían R . </li></ul>
  4. 4. Son conocidos los vol úmenes: Radio R y altura R Radio R y altura R Cono Cilindro
  5. 5. <ul><li>Luego cort ó las figuras con un plano paralelo a la base del cilindro y del cono y a una distancia d de la parte superior de las figuras. </li></ul><ul><li>Se preguntó cómo serían las secciones determinadas por este plano en la semiesfera, el cono y el cilindro: </li></ul>
  6. 6. La secci ón del cilindro <ul><li>En el cilindro la secci ón que determina el plano es un círculo de radio R y su área es: </li></ul>
  7. 7. La secci ón de la semiesfera <ul><li>La secci ón circular que determina el plano que corta a la semiesfera, tiene un radio r (menor a R ) que depende de la distancia d. </li></ul><ul><li>El área del círculo de radio r es: </li></ul><ul><li>Usando Teorema de Pit ágoras, el triángulo rectángulo de lados R, d y r se cumple que: </li></ul>
  8. 8. La secci ón en el cono <ul><li>El cono de altura y radio basal R , por lo tanto el tri ángulo formado por dicho radio basal, la altura y la pared del cono es rectángulo e isósceles. Por semejanza de triángulos, el círculo que determina el plano que corta al cono tiene radio d . </li></ul>
  9. 9. Juntando f órmulas <ul><li>Sabemos que: </li></ul><ul><li>pero de la semiesfera obtuvimos que: </li></ul><ul><li>si en el área del cilindro reemplazamos R 2 por r 2 + d 2 </li></ul>
  10. 10. <ul><li>Esto ocurre para cualquier valor de d , por lo tanto, si consideramos las secciones como rebanadas finas, para cada tr ío de rebanadas tendríamos que: </li></ul><ul><li>De la relación anterior podríamos suponer que: </li></ul>Reb cilindro = Reb semiesfera + Reb cono Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
  11. 11. Reemplazamos Despejando, Por lo tanto, el volumen de la esfera es el doble de la semiesfera Vol semiesfera <ul><li>Vol semiesfera </li></ul>Vol cilindro = Vol semiesfera + Vol cono
  12. 12. <ul><li>El m étodo de Arquímedes para encontrar el volumen de la esfera es simple e ingenioso. Quedó tan maravillado con él, que dispuso grabar en su tumba esta figura en recuerdo de su idea. </li></ul>

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