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PROGRESIONES
3 LIC. EDILBERTO ATENCIO GRIJALVA
TERCER GRADO
MÓDULO
AUTOINSTRUCTIVO
ÁREA
MATEMÁTICA
Decimos que una sucesión de números están en
Progresión Aritmética (P.A.) cuando cada uno de ellos es
igual al anterior más una cantidad constante llamada
razón (r) de la progresión.
Ejemplo:
3; 7; 11; 15; ..........
8; 2; –4; –10; ..........
a; a+r; a+2r; a+3r; ..........
Representación:
t1; t2; t3; ......; tn P.A. de “n” términos
+r
Donde: r = tn – tn–1
La razón (r) se encuentra restando cualquier término
menos su inmediato anterior.
 Si: r  0  La progresión es Creciente
 Si: r  0  La progresión es Decreciente
Propiedades:
 Término “n – enésimo”
 Término central:
 Suma de los “n” términos:
Si se sabe que a, a2
y 3a son los tres primeros términos de
una progresión aritmética, entonces la suma de los 10
primeros términos es:
A) 4a2
– 3 C) 8a2
+ 4 E) N.A.
B) 84 D) 110
1. En una progresión aritmética:
t54 = –61 y t4 = 64. Hallar el término t23.
A) 111,5 C) 16,5 E) N.A.
B) –16,5 D) –111,5
2. Sea la P.A.: 3 .................. 30 .................. p
El número de términos comprendidos entre 3 y 30 es
igual a los comprendidos entre 30 y “p”; si además, la
suma de todos los términos es 570, hallar la razón de
la progresión.
A) 2 B) 3 C) 5 D) 6 E) 8
3. El término de lugar “p” en una P.A. es “q” y el término
de lugar “q” es “p”. Hallar el término de lugar “k”.
A) p + q C) p + q + k E) pqk
B) p + q + 2k D) p + q – k
4. La suma de los tres primeros términos de una P.A. es
42, la suma de los 3 últimos es 312 y la suma de
todos los términos es 1062. ¿Cuántos términos tiene
dicha P.A.?
A) 11 B) 15 C) 18 D) 19 E) N.A.
5. En una P.A. se conoce:
t1 = x2
– 3x – 110 y tx = x2
+ 11x – 124
Hallar: E =
)1x()2x(
t9

A) 1 C) 3 E) 3x – 2
B) 2 D) 2x + 1
6. La suma de los tres términos de una P.A. es 33 y su
producto 1232. ¿Cuál es la razón de la progresión?
A) 8 B) 4 C) 3 D) 11 E) 7
7. La suma de los 6 términos centrales de una P.A.
creciente de 16 términos es 141 y el producto de sus
extremos es 46; encontrar la progresión indicando uno
de sus términos centrales.
A) 22 B) 23 C) 24 D) 26 E) 27
8. La suma de los “n” primeros términos de una P.A. es:
4n2
+ 2n, para todos los valores de “n”. Determinar el
quinto término.
A) 28 B) 32 C) 38 D) 40 E) 41
Decimos que una sucesión de números están en
Progresión Geométrica (P.G.) cuando cada uno de ellos
es igual al anterior multiplicado por una cantidad constante
llamada razón (q) de la progresión.
Ejemplo:
1 ; 2 ; 4 ; 8 ; .........
–1 ; –3 ; –9 ; –27 ; .........
t ; tq ; tq2
; tq3
; .........
Representación:
t1 ; t2 ; t3; ......; tn P.G. de “n” términos
xq
tn = t1 + (n – 1).r
tc =
2
tt n1 
Sn = Sn =

2. Pag. 2
Donde: q =
1n
n
t
t

La razón (q) se encuentra dividiendo cualquier término
entre su inmediato anterior.
 Si: q  1  La progresión es creciente
 Si: 0  q  1  La progresión es decreciente
 Si: q  0  La progresión es oscilantes
Propiedades:
 Término “n” – ésimo
tn = t1 . qn–1
 Suma de los “n” términos:
 Suma Limite
1. Hallar el número de términos en:
512;;1;
2
1
;
4
1

A) 10 B) 12 C) 11 D) 13 E) 14
2. El producto de 3 términos de una P.G. es 216. Hallar
el segundo.
A) 6 6 B) 36 C) 12 D) 6 E) N.A.
3. En una P.G. se conoce: a1 = 1/2 ; a3 = 1; an = 256.
Hallar el número de términos.
A) 14 B) 18 C) 16 D) 19 E) N.A.
4. Hallar “x” en la P.G. creciente:
(x + 1) ; 3x ; (5x + 2)
A) 2 B) 4 C) 16 D) 32 E) N.A.
5. En una P.G. de cuatro términos, la suma de los 2
primeros es 1 y la suma de los 2 últimos es 16. Hallar
el primer término.
A) 0,1 B) 0,2 C) 0,3 D) 0,4 E) 0,5
6. Hallar la siguiente suma si tiene infinitos términos:
A = 
12
1
8
1
6
1
4
1
3
1
2
1
A) 2 B) 2/3 C) 1/3 D) 8/3 E) 4/3
7. Sumándole un número constante a 20; 50 y 100,
resulta una P.G. Hallar la razón.
A) 3/5 B) 5/2 C) 2/5 D) 5/3 E) N.A.
8. En una P.G. decreciente infinita, la suma de los
términos es 12, y la suma de los cuadrados de sus
términos es 72. Hallar la razón.
A) 1/5 B) 1/3 C) 2/3 D) 2/5 E) 1/2
1. En una P.A. de 5 términos que suman 25, hallar el
término central.
A) 3,6 B) 3 C) 4 D) 5 E) F.D.
2. El producto del primero y el cuarto términos de una
P.A. es 136 y la razón es 3. Hallar el primer término.
A) 8 B) 10 C) 5 D) 17 E) 18
3. La suma de los 9 términos de una P.A. es 27 y la
diferencia entre el último y el primero es 16. Hallar el
último término.
A) –5 B) 5 C) –11 D) 11 E) –16
4. Dada la siguiente progresión aritmética:
P.A. : a7, a8, a9, ................, an–6
Calcular el cociente de dividir la suma de sus términos
entre su término medio.
A) n – 6 C) 2n – 6 E) N.A.
B) n – 3 D) n – 12
5. Si el primer término de una P.A. creciente de números
enteros consecutivos es (k + 1), hallar la suma de los
(2k + 1) primeros términos de dicha progresión.
A) (k + 1)2
C) (k – 1)2
E) N.A.
B) (2k + 1)2
D) 2(k + 1)(2k + 1)
6. Calcular la suma de todos los números mayores que
la unidad en la P.A. siguiente: (8,04), (7,92), (7,8) ......
A) 264,48 C) 269,04 E) n.a.
B) 284,06 D) 324,01
7. Un coronel que manda 3003 hombres quiere formar a
sus soldados en triángulo de manera que la primera
fila tenga un soldado, la segunda dos, la tercera tres y
así sucesivamente. Hallar el número de filas.
A) 155 B) 33 C) 91 D) 77 E) N.A.
8. Se tienen 3 números consecutivos. Si al menor se le
multiplica por 3, al intermedio por 7 y al mayor por 10,
se obtienen 3 números en P.A. ¿Cuál es la razón?
A) 22 B) 43 C) 31 D) 17 E) 28
9. La suma de términos de una P.A. es 425 y su término
central es 17; determinar su número de términos.
A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 28
10. En una P.A. el primer término es 12 y la suma de los
nueve primeros términos es 252; en otra P.A. el primer
término y la razón son iguales a 6. Determinar cuál es
el término que en ambas progresiones es igual y
ocupa el mismo lugar.
A) 16 B) 18 C) 20 D) 24 E) N.A.
Sn = t1










1q
1q n
Sn =
q1
t1


3. - 3 - Progresiones
11. En la siguiente P.A.: ....... 5, ....... 47 ....... 159, el
número de términos entre 47 y 159 es el triple que el
número de términos entre 5 y 47. Hallar la razón.
A) 2 B) 4 C) 5 D) 6 E) 7
12. La suma del tercer y octavo término de una P.A. es
41, y la relación del quinto al séptimo es como 19 es a
25. Determinar el segundo término.
A) 9 B) 10 C) 11 D) 12 E) 13
13. La suma de 5 términos de una P.A. creciente de
términos enteros, es 40; y el producto de ellos es
12320. El quinto término es:
A) 9 B) 10 C) 12 D) 14 E) 15
14. La suma de 4 números en P.A. es 48 y el producto de
sus extremos es al producto de sus medios como 27
es a 35. ¿Cuál es el mayor de ellos?
A) 11 B) 12 C) 15 D) 18 E) 21
15. En una progresión aritmética de 40 términos se sabe
que la suma de los extremos es 4 y el producto de los
2 términos centrales es 3. Hallar el mayor de estos 2
términos centrales.
A) 3 B) 8 C) 10 D) –1 E) N.A.
16. Un móvil avanza en cada segundo 1 metro más que
en el segundo anterior. Si después de “n” segundo a
recorrido “m” metros y después de “2n” segundos
avanza “3m” metros, ¿cuántos metros habrá recorrido
en “3n” segundos?
A) 3m + 1 C) 4 m E) 6m + 1
B) 3m + 2 D) 6 m
17. Calcular el decimosexto término de una P.G. cuyo
primer término es
1024
1
y su razón 2.
A) 4 B) 8 C) 16 D) 32 E) N.A.
18. Si el segundo término de una P.G. es “m” y el tercero
es “n”, hallar el primer término.
A) 1 C)
n
m2
E)
2
2
m
n
B)
m
n
D)
m
n2
19. El primer término de una P.G. es 2 y el quinto es 512.
Hallar la suma del segundo, tercero y cuarto término.
A) 128 B) 256 C) 168 D) 186 E) N.A.
20. Dos P.G. decrecientes al infinito, tienen la misma
suma de términos. La razón de la primera es 4/5 y su
primer término es igual a la mitad del primer término
de la segunda progresión. Hallar la razón de la
segunda progresión.
A) 5/3 B) 3/5 C) 2/5 D) 1/3 E) 2/3
21. Hallar 2 términos consecutivos de la progresión: 7; 21;
63; ....... cuya suma sea 2268. (Dar como respuesta la
posición que ocupa el mayor de estos 2 términos).
A) 5 B) 6 C) 7 D) 8 E) 10
22. Si: a, a + 2 y 3a + 2 son 3 términos consecutivos de
una P.G. Hallar el quinto término de la siguiente P.G.:
a, 3a, ...............................................
A) 162 B) 81 C) 18 D) 2 E) N.A.
23. En una P.G. cuál es el producto de los términos si el
primero es 2 y el último es 64 y son seis en total.
A) 221
B) 27
C) 29
D) 210
E) 212
24. Se tienen 5 números en P.G. La suma de los 4
primeros es 40 y la de los 4 últimos es 120. Hallar el
mayor de estos 5 números.
A) 81 B) 27 C) 40 D) 80 E) N.A.
25. La suma de los dos primeros términos de una P.G.
decreciente es 4 y la suma de sus infinitos términos es
9/2. Determine la razón.
A) 1/2 B) 1/3 C) 2/3 D) 1/4 E) 1/9
26. La suma de 3 números en P.G. es 70; si los extremos
se multiplican por 4 y el medio por 5, los productos
están en P.A. El mayor de ellos es:
A) 35 B) 36 C) 40 D) 45 E) N.A.
27. Hallar el término central de una P.G. en la que la
diferencia entre el tercer y el primer término es igual a
9, y la diferencia entre el quinto y el tercer término es
igual a 36, si la progresión tiene 7 términos.
A) 20 B) 21 C) 24 D) 25 E) 27
28. En una P.G. de 6 términos en la cual el primero es
igual a la razón y la suma del primer y tercer término
es 30. Calcular la suma de los extremos.
A) 720 B) 725 C) 730 D) 732 E) N.A.
29. En una P.G. de 5 términos la suma de los tres
primeros es 168 y la suma de los tres últimos es 672.
Obtener el término central.
A) 96 B) 336 C) 84 D) 142 E) 420
30. Si a los números: 5, 35 y 125 se les agrega una
misma cantidad, resulta un P.G. Hallar la suma de los
tres términos de dicha progresión.
A) 165 B) 180 C) 195 D) 210 E) N.A.
31. El cociente entre el cuarto y el primer término de una
P.G. es igual a 8 y su suma es 45. Hallar la suma del
segundo y tercer término.
A) 45 B) 40 C) 30 D) 35 E) N.A.
32. Si se sabe que la siguiente es una P.G.: x–4; x ; x+2; y
además que: y+1; 3y; 9y–6 forman también una P.G.
hallar “z” si se tiene que: x; y; z forman una P.A.
A) 10 B) 12 C) 14 D) 8 E) N.A.
33. En una P.G. de 6 términos, la suma de los tres
primeros es la mitad de la suma de los tres restantes.
Hallar la razón.
A) 3 C)
2
2
E)
3
3
B)
4
3 D)
3
2
34. Dada la siguiente P.G.: 2x
; 22x–1
; 44x–2
; ........ Hallar el
séptimo término.
A)
5
2 C) 2
5
8 E) 2
5
2
B) 4
5
4 D)
5
16

4. Pag. 4
35. Dada la P.G.: 0,5 : a2 : 1 : ....... : 256. Hallar el número
de términos.
A) 16 B) 17 C) 18 D) 19 E) 20