FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Esta presentación no pretende sustituir las explicaciones del profesor, sino que está pensada ...
<ul><li>IDEAS BÁSICAS: </li></ul><ul><li>¿Qué es raíz de un polinomio? </li></ul><ul><li>¿Qué es un factor irreducible? </...
<ul><li>Raíz de un polinomio P(x) </li></ul><ul><li>Decimos que un número “a” es raíz del polinomio P(x) cuando el valor n...
<ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Comprueba que a = 2  y b = 1, son ambas raíces del polinomio P(x) </li></ul><ul><li>mie...
<ul><li>Factor irreducible </li></ul><ul><li>El polinomio  </li></ul><ul><li>P(x) = x 2  - 3x + 2 </li></ul><ul><li>puede ...
<ul><li>Relación entre raíces y factores </li></ul><ul><li>Si nos fijamos en el ejemplo anterior, podemos ver que los fact...
<ul><li>Búsqueda de raíces </li></ul><ul><li>Si conocemos una raíz, conocemos inmediatamente su factor asociado. </li></ul...
<ul><li>Búsqueda de raíces </li></ul><ul><li>Tenemos que encontrar todos aquellos números “a” que hagan  </li></ul><ul><li...
<ul><li>Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán el problema de hallar las raíces: </li></ul><ul><li>TEORE...
<ul><li>¿Pero hay algún método que nos permita hacer la división  P(x) : (x-a) de modo rápido y sencillo? </li></ul>
La regla de Ruffini
La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: (x 2  – 3x + 2) : (x – 2)
La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: ¿Cómo? (x 2  – 3x + 2) : (x ...
¿Cómo? (x 2  – 3x + 2) : (x – 2) escribimos aquí este número 2 1 -3 2
¿Cómo? (x 2  – 3x + 2) : (x – 2) 2 1 -3 2 y luego escribimos los coeficientes del polinomio
<ul><li>Al hacer la división, vemos que el resto es cero. </li></ul>Como el resto de la división P(x) : (x-2)  es cero, “2...
<ul><li>¿Pero tenemos algún criterio para escoger las “presuntas” raíces antes de lanzarnos a hacer divisiones por el méto...
Sí  lo hay  (al menos para las raíces que sean números enteros)
“ Las raíces enteras de un polinomio P(x), son siempre divisores de su término independiente” Por tanto, buscaremos las ra...
<ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuáles pueden ser las raíces enteras del polinomio  P(x) = - 3x 5  + 4x 2  – 5x -3  ? ...
<ul><li>Para factorizar un polinomio P(x) necesitamos conocer sus raíces </li></ul>Raíces 2,  -1 y 3 1º Factor: (x-2) 2º F...
<ul><li>Ejercicio:  Factorizar el polinomio </li></ul>Sus posibles raíces son :  +1, -1, +2,  -2, +3, -3, +6, -6 P(x) = x ...
No -6 No +6 No -3 (x-3) Sí +3 No -2 (x-2) Sí +2 (x+1) Sí -1 No +1 Factor asociado ¿Es raíz? Sí/NO Posible raíz
<ul><li>Ahora ya podemos escribir la expresión factorial de  </li></ul>P(x) = x 3  -4x 2  + x + 6 P(x) = x 3  -4x 2  + x +...
<ul><li>En resumen: ¿qué procedimientos podemos utilizar para encontrar raíces? </li></ul><ul><ul><li>Si sospechamos que e...
Esquemáticamente, podemos escribir: P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente:  a, b, c… a es raíz b no es...
P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente:  a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a)  es factor Si el resto...
P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente:  a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a)  es factor Si el valor...
P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente:  a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a)  es factor Si “a” es u...
Los factores serán: (x-a), (x-b), (x-c), etc… Así que, cuando conozcamos todas las raíces del polinomio P(x),  digamos   a...
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Factorizacion de polinomios

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Presentación para repaso y complemento de las explicaciones en el aula. No pretende sustituir al profesor, sino que se plantea simplemente como ayuda al estudio.

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Factorizacion de polinomios

  1. 1. FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS Esta presentación no pretende sustituir las explicaciones del profesor, sino que está pensada como complemento de las mismas y ayuda para el estudio.
  2. 2. <ul><li>IDEAS BÁSICAS: </li></ul><ul><li>¿Qué es raíz de un polinomio? </li></ul><ul><li>¿Qué es un factor irreducible? </li></ul><ul><li>¿Qué relación hay entre raíces y factores? </li></ul><ul><li>¿Cómo se buscan las raíces? </li></ul><ul><li>¿Cómo se factoriza un polinomio? </li></ul>
  3. 3. <ul><li>Raíz de un polinomio P(x) </li></ul><ul><li>Decimos que un número “a” es raíz del polinomio P(x) cuando el valor numérico P(a)=0 </li></ul>
  4. 4. <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>Comprueba que a = 2 y b = 1, son ambas raíces del polinomio P(x) </li></ul><ul><li>mientras que c = -1 no lo es. </li></ul>P(x) = x 2 - 3x + 2
  5. 5. <ul><li>Factor irreducible </li></ul><ul><li>El polinomio </li></ul><ul><li>P(x) = x 2 - 3x + 2 </li></ul><ul><li>puede escribirse así: </li></ul><ul><li>P(x) = (x – 2)(x – 1) </li></ul>(x-2) y (x-1) son los factores irreducibles de P(x)
  6. 6. <ul><li>Relación entre raíces y factores </li></ul><ul><li>Si nos fijamos en el ejemplo anterior, podemos ver que los factores se construyen de esta forma: </li></ul>(x-1) x = 1 (x-2) x = 2 Factor asociado Raíz
  7. 7. <ul><li>Búsqueda de raíces </li></ul><ul><li>Si conocemos una raíz, conocemos inmediatamente su factor asociado. </li></ul><ul><li>Por tanto, nuestro objetivo inmediato es encontrar las raíces. </li></ul><ul><li>¿Cómo? </li></ul>
  8. 8. <ul><li>Búsqueda de raíces </li></ul><ul><li>Tenemos que encontrar todos aquellos números “a” que hagan </li></ul><ul><li>P(a)=0 </li></ul><ul><li>Pero, ¿quiénes pueden ser esos números “a” y cómo los encontraremos? </li></ul>
  9. 9. <ul><li>Hay varias ideas que usadas adecuadamente nos resolverán el problema de hallar las raíces: </li></ul><ul><li>TEOREMA DEL RESTO: </li></ul><ul><ul><ul><ul><li>“ El resto de la división de un polinomio P(x) entre el binomio (x-a), coincide con el valor numérico P(a)” </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>En otras palabras, podemos escribir: </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>P(x) x-a </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Resto C(x) </li></ul></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><ul><li>Resto = P(a) </li></ul></ul></ul></ul></ul>Por tanto, si el resto de la división es cero, P(a)=0 “a” es una raíz de P(x).
  10. 10. <ul><li>¿Pero hay algún método que nos permita hacer la división P(x) : (x-a) de modo rápido y sencillo? </li></ul>
  11. 11. La regla de Ruffini
  12. 12. La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)
  13. 13. La regla de Ruffini no es otra cosa que un método muy rápido para hacer divisiones como ésta: ¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2)
  14. 14. ¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2) escribimos aquí este número 2 1 -3 2
  15. 15. ¿Cómo? (x 2 – 3x + 2) : (x – 2) 2 1 -3 2 y luego escribimos los coeficientes del polinomio
  16. 16. <ul><li>Al hacer la división, vemos que el resto es cero. </li></ul>Como el resto de la división P(x) : (x-2) es cero, “2” es una raíz de P(x) y por lo tanto, (x-2) es uno de los factores irreducibles del polinomio P(x) Ahora buscamos otra raíz para conseguir otro factor, y así sucesivamente, hasta que los tengamos todos… (x 2 – 3x + 2) : (x – 2) 2 1 -3 2 resto de la división 1 -1 0 2 -2
  17. 17. <ul><li>¿Pero tenemos algún criterio para escoger las “presuntas” raíces antes de lanzarnos a hacer divisiones por el método de Ruffini? </li></ul>
  18. 18. Sí lo hay (al menos para las raíces que sean números enteros)
  19. 19. “ Las raíces enteras de un polinomio P(x), son siempre divisores de su término independiente” Por tanto, buscaremos las raíces tanteando con esos divisores, como en el ejemplo siguiente:
  20. 20. <ul><li>Ejemplo: </li></ul><ul><li>¿Cuáles pueden ser las raíces enteras del polinomio P(x) = - 3x 5 + 4x 2 – 5x -3 ? </li></ul><ul><li>Respuesta: La posibles raíces enteras sólo pueden ser los números +1, -1, +3 y -3 </li></ul>Ahora es el momento de utilizar la regla de Ruffini para hacer de modo rápido las siguientes divisiones: P(x):(x-1) P(x):(x+1) P(x):(x-3) y P(x):(x+3) º ( x-(-1) ) ( x-(3) )
  21. 21. <ul><li>Para factorizar un polinomio P(x) necesitamos conocer sus raíces </li></ul>Raíces 2, -1 y 3 1º Factor: (x-2) 2º Factor: (x+1) 3º Factor: (x-3)
  22. 22. <ul><li>Ejercicio: Factorizar el polinomio </li></ul>Sus posibles raíces son : +1, -1, +2, -2, +3, -3, +6, -6 P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6
  23. 23. No -6 No +6 No -3 (x-3) Sí +3 No -2 (x-2) Sí +2 (x+1) Sí -1 No +1 Factor asociado ¿Es raíz? Sí/NO Posible raíz
  24. 24. <ul><li>Ahora ya podemos escribir la expresión factorial de </li></ul>P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6 P(x) = x 3 -4x 2 + x + 6 = (x+1)(x-2)(x-3)
  25. 25. <ul><li>En resumen: ¿qué procedimientos podemos utilizar para encontrar raíces? </li></ul><ul><ul><li>Si sospechamos que el número “a” es una raíz de P(x), tenemos tres posibles opciones para comprobarlo: </li></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>1. Dividimos P(x) : (x-a). Si el resto es cero, “a” es raíz. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>(uso de la regla de Ruffini) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>2.Sustituimos la “x” del polinomio, por el número “a” (la “presunta” raíz). Si P(a)=0, concluimos que “a” es raíz. </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>(definición de raíz de un polinomio) </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>3. Igualamos P(x)=0 y resolvemos la ecuación </li></ul></ul></ul></ul><ul><ul><ul><ul><li>(especialmente cuando el polinomio es de segundo grado) </li></ul></ul></ul></ul>
  26. 26. Esquemáticamente, podemos escribir: P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a) es factor
  27. 27. P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a) es factor Si el resto de la división es cero,… P(x) x-a 0 C(x)
  28. 28. P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a) es factor Si el valor numérico del polinomio es cero… P(a) = 0
  29. 29. P(x) Posibles raíces: Divisores del término independiente: a, b, c… a es raíz b no es raíz (x – a) es factor Si “a” es una solución de la ecuación P(x) = 0
  30. 30. Los factores serán: (x-a), (x-b), (x-c), etc… Así que, cuando conozcamos todas las raíces del polinomio P(x), digamos a, b, c, etc…

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