E4141 sistem kawalan 1 unit7

517 views

Published on

0 Comments
1 Like
Statistics
Notes
  • Be the first to comment

No Downloads
Views
Total views
517
On SlideShare
0
From Embeds
0
Number of Embeds
5
Actions
Shares
0
Downloads
16
Comments
0
Likes
1
Embeds 0
No embeds

No notes for slide

E4141 sistem kawalan 1 unit7

  1. 1. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 1 OBJEKTI F Objektif Am : Memperkenalkan pelajar kepada transformasi Laplace dan mendapatkan rangkap pindah sistem Objektif Khusus      : Di akhir unit ini anda sepatutnya dapat: menjelaskan penggunaan transformasi Laplace mendefinisikan rangkap pindah mengaitkan hubungan transformasi Laplace dengan rangkap pindah menggunakan gambarajah blok bagi memperolehi rangkap pindah sistem menyelesaikan graf aliran isyarat bagi mendapatkan rangkap pindah sistem
  2. 2. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 2 INPUT 7.0 PENGENALAN Dalam unit ini, kita akan diperkenalkan dengan takrifan transformasi Laplace dan syarat yang perlu dipenuhi untuk kewujudan transformasi Laplace serta penggunaanya bagi mendapatkan rangkap pindah sesebuah sistem. 7.1 Konsep Transformasi Laplace Transformasi Laplace merupakan kaedah yang digunakan dengan meluas dalam kejuruteraan kawalan. Ini disebabkan oleh keupayaannya dalam meyelesaikan persamaan pembeza dengan mudah. Transformasi Laplace merupakan teknik penyelesaian yang menukarkan persamaan pembeza dalam domain-t (masa) kepada persamaan algebra dalam domain-s (pembolehubah kompleks). Kita takrifkan di mana f (t ) = fungsi dalam domain masa s = pembolehubah kompleks F (s ) =Transformasi Laplace f (t ) Contoh 7-1 Diberi Dapatkan transformasi Laplace F(s), di mana f(t)=At
  3. 3. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 3 Penyelesaian Kita ketahui kaedah kamilan bahagian demi bahagian; (1) Gantikan rangkap di atas ke dalam persamaan (1) Contoh 7-2 Dapatkan jelmaan Laplace bagi isyarat masukan rangkap langkah f (t ) = u (t ) u (t ) = 0 u (t ) = 1 ; t<0 ; t>0 Penyelesaian F ( s ) =∫ e −st dt [ f (t )] =∫ u (t )e −st dt ∞ ∞ 0 ∞ = ∫ 1e −st dt = 0 7.2 0 e −st s ∞ 0 = 1 s Teorem-teorem Transformasi Laplace Dalam menyelesaikan masalah yang melibatkan transformasi Laplace, kadangkala teorem-teorem berkaitan perlu digunakan. Setiap teorem ini mempunyai fungsinya yang tersendiri bergantung kepada aplikasi masing-masing.
  4. 4. RANGKAP PINDAH 7.2.1 E4141 / UNIT 7 / 4 Teorem Pembezaan Nyata Teorem Pembezaan Nyata diberikan oleh Contoh 7-3 Diberi Dapatkan transformasi Laplace F(s) bagi fungsi f(t) di atas. Penyelesaian Menggunakan Teorem Pembeza Nyata, dua unsur pertama memberikan: Manakala unsur terakhir diperolehi dari takrifan transformasi Laplace yang memberikan: Dari keputusan ini tranformasi Laplace bagi persamaan f(t) diberi oleh:
  5. 5. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 5 Menyelesaikan persamaan ini untuk F(s) akan memberikan jawapan seperti berikut: X ( s) = 7.2.2 F (s) [3s + 5](2) + [3](4) + 3s + 5 s + 7 3s 2 + 5s + 7 2 Teorem Pengamiran Nyata Teorem Pengamiran Nyata diberikan oleh Contoh 7-4 Diberi Dapatkan transformasi Laplace F(s) bagi fungsi f(t) di atas. (Panduan: Biarkan f (t ) = A(t ) ) Penyelesaian Untuk menyelesaikan maslah ini, kita perlu menggunakan teorem pengamiran nyata. Menggantikan F(s) dengan penyelesaian di dalam contoh 7-1, memberikan;
  6. 6. RANGKAP PINDAH 7.2.3 E4141 / UNIT 7 / 6 Songsangan Transformasi Laplace Sekiranya transformasi Laplace F(s) bagi f(t) diketahui, kita boleh menggunakan songsangan transformasi Laplace (dari Jadual 7-1) untuk mendapatkan f(t). Dalam proses ini tiga kes perlu dipertimbangkan. 7.2.3.1 Punca-punca Persamaan Nyata dan Berbeza Contoh 7-5 Diberi Dapatkan rangkap untuk x(t) menggunakan songsangan transformasi Laplace. Penyelesaian Mengunakan “kaedah cover-up” kita perolehi: Sekarang gantikan nilai-nilai yang diperolehi ke dalam persamaan:
  7. 7. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 7 Menggunakan Jadual 7-1, penyelesaian berikut akan diperolehi. 7.2.3.2 Punca-punca Persamaan Nyata dan Kompleks Contoh 7-6 Diberi Dapatkan rangkap untuk f(t) menggunakan songsangan transformasi Laplace. Penyelesaian Dapatkan punca-punca di bahagian pembawah persamaan. Oleh kerana, punca adalah nyata dan kompleks pendekatan melengkapkan kuasa perlu digunakan. Dari Jadual 7-1, kita ketahui;
  8. 8. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 8 Sekarang kita perlu mengubah bahagian pengatas sepertimana berikut; Persamaan di atas juga boleh ditulis sebagai: Menggunakan Jadual 7-1, penyelesaian berikut akan diperolehi. 7.2.3.3 Punca-punca Persamaan Nyata dan Sama Contoh 7-7 Diberi Dapatkan rangkap untuk f(t) menggunakan songsangan transformasi Laplace. Penyelesaian Mula-mula faktorkan bahagian pembawah (andaikan punca-adalah nyata), bagi membolehkan “kaedah cover-up” digunakan. Oleh kerana punca-punca adalah sama, “kaedah cover-up” dilakukan seperti berikut:
  9. 9. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 9 Dengan membezakan persamaan dan menggantikan s=-1: Gantikan nilai-nilai yang diperolehi dalam X(s) memberikan: Menggunakan Jadual 7-1, kita dapati:
  10. 10. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 10 Jadual 7-1 : Pasangan Transformasi Laplace AKTIVITI 7a
  11. 11. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 11 Uji kefahaman anda sebelum meneruskan ke input selanjutnya. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. SOALAN 1 Nyatakan kelebihan penggunaan transformasi Laplace dalam menyelesaikan persamaan kebezaan lelurus? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ SOALAN 2 Berikan takrifan bagi transformasi Laplace. __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ SOALAN 3 Nyatakan DUA teorem-teorem transformasi Laplace yang anda ketahui. _____________________________ _____________________________ SOALAN 4 Persamaan di bawah adalah satu fungsi dalam domain-s. Dapatkan rangkap untuk f(t) menggunakan songsangan transformasi Laplace. F (s) = 2 ( s +1)( s + 2) MAKLUMBALAS 7a
  12. 12. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 12 1. Dapat menyelesaikan persamaan pembeza dengan mudah 2 Transformasi Laplace bagi f (t ) ditakrifkan sebagai f (t ) = fungsi dalam domain masa s = pembolehubah kompleks F (s ) =Transformasi Laplace f (t ) 3. Teorem-teorem transformasi Laplace i. ii. iii. iv. Teorem pembezaan nyata Teorem pengamiran nyata Teorem nilai awal Teorem nilai akhir 4. F (s) = 2 ( s +1)( s + 2) 2 A B = + ( s + 1)( s + 2) s + 1 s + 2 2 s =−1 = 2 s+2 2 B= s =−2 = −2 s +1 2 2 F (s) = − s +1 s + 2 A= ∴ f (t ) = 2(e −t − e −2t ) (dari Jadual 7-1) INPUT
  13. 13. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 13 Dalam input ini, pelajar akan diperkenalkan dengan gambarajah blok yang boleh mewakili sesuatu sistem dan seterusnya kaedah bagi mendapatkan rangkap pindah. 7.3 Gambarajah Blok Gambarajah blok merupakan perwakilan bergambar fungsi yang dilakukan oleh setiap komponen dan aliran isyarat. Ianya hanya memaparkan hubungan fungsi masukan dan keluaran sistem. X(s) Rangkap pindah G(s) Y(s) Rajah 7.3: Gambarajah blok 7.4 Takrif Rangkap Pindah Rangkap pindah ditakrifkan sebagai: Rangkap pindah, Y (s) = X (s) Transformasi Laplace isyarat keluaran Transformasi Laplace isyarat masukan dengan andaian semua keadaan awal adalah sifar. 5.1 Rangkap Pindah Gelung Buka Dan Gelung Tutup Secara ringkasnya, rangkap pindah gelung buka dan rangkap pindah gelung tutup dapat kita perhatikan sebagaimana yang ditunjukkan di dalam Jadual 7-2 di bawah.
  14. 14. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 14 Jenis sistem Gambarajah Blok R(s) E(s) + B(s) Gelung buka C(s) G(s) H(s) Rangkap Pindah, C (s) R(s) C (s) R(s) = B(s) = G ( s) H ( s) E (s) Rajah 7.5 (a) Sistem gelung terbuka R(s) + B(s) E(s) - G(s) H(s) Gelung tutup Rajah 7.5 (b) Sistem gelung tertutup C(s) C ( s) =G ( s) E ( s) E ( s) = R( s ) −B( s ) = R ( s ) − H ( s )C ( s ) C ( s ) = G ( s )[ R ( s ) − H ( s )C ( s ) C ( s) G( s) ∴ = R( s) 1 +G ( s ) H ( s ) Jadual 7-2: Rangkap Pindah Gelung Buka Dan Gelung Tutup 7.6 Pengurangan Gambarajah Blok Pengurangan gambarajah blok merupakan antara teknik yang boleh kita gunakan untuk mendapatkan rangkap pindah. Blok-blok boleh disambungkan secara siri jika keluaran satu blok tidak memberi kesan terhadap blok sebelumnya. Manakala sebarang bilangan blok terlata boleh digabungkan kepada blok tunggal. Penggabungan blok-blok ini dapat dilihat dalam Jadual 7-3. Jenis Siri Selari Suap balik positif Rajah Blok Rajah Blok Setara
  15. 15. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 15 Suap balik negatif Jadual 7-3: Pengurangan Gambarajah Blok Jadual 7-4: Aturan Aljabar Gambarajah Blok Gambarajah blok yang lebih kompleks dan melibatkan banyak gelung suapbalik juga boleh dipermudahkan secara berperingkat dengan berpandukan aturan yang diberikan dalam Jadual 74. Contoh 7-8 Permudahkan rajah di bawah dengan menggunakan teknik pengurangan gambarajah blok. Seterusnya dapatkan rangkap pindah bagi sistem tersebut. H C(s) 1 G +- H R(s) ++ 2 Penyelesaian Mula-mula, alihkan titik cabang yang laluan yang melibatkan H 1 keluar gelung yang melibatkan H2 , seperti rajah (a). Kemudian hapuskan dua gelung tersebut menghasilkan rajah (b). Gabungan dua blok terlata menghasilkan rajah (c). H1 G (a) C(s) +- R(s) H2 (b) C(s) (c) ++ G G 1 + GH 2 C(s) G + H1 1 + GH 2 H 1+ 1 G R(s) R(s)
  16. 16. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 /16 AKTIVITI 7b
  17. 17. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 17 Uji kefahaman anda sebelum meneruskan ke input selanjutnya. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. SOALAN 1 Berikan definisi rangkap pindah __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ SOALAN 2 Apakah yang dimaksudkan dengan gambarajah blok? __________________________________________________________________ __________________________________________________________________ SOALAN 3 Berpandukan gambarajah 7.5(b), dapatkan rangkap pindah gelung buka dan rangkap pindah suapdepan. SOALAN 4 Berikan aljabar bagi y berdasarkan gambarajah di bawah. x1 x2 + + y Rajah 7.6: Aljabar rajah blok MAKLUMBALAS 7b
  18. 18. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 18 1. Rangkap pindah di definisikan sebagai nisbah jelmaan Laplace keluaran kepada jelmaan Laplace masukan 2. Gambarajah blok ialah suatu sistem yang merupakan perwakilan bergambar fungsi yang dilakukan oleh setiap komponen dan aliran isyarat. 3. Rangkap pindah gelung buka = Rangkap pindah suapdepan 4. = B(s) = G ( s) H ( s) E (s) C ( s) = G(s) E ( s) y = x x + x2 INPUT
  19. 19. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 19 Satu lagi teknik untuk mendapatkan rangkap pindah ialah menggunakan graf aliran isyarat. Kedua-dua teknik yang dibincangkan memberikan maklumat yang sama dan masing-masing tidak melebihi antara satu sama lain. 6.7 Graf Aliran Isyarat Sebagaimana rajah blok, graf aliran isyarat menunjukkan hubungan di antara masukan dan keluaran sistem. Rajah 7.7(a) menunjukkan bentuk termudah graf aliran isyarat bagi suatu sistem. X(s) G(s) Y(s) Rajah 7.7(a): Graf Aliran Isyarat Dalam graf aliran isyarat, pembolehubah diwakili oleh nod dan gandaan diwakili oleh cabang sehala. Hubungan pembolehubah sistem ialah: Y ( s ) =G ( s ) X ( s ) Anak panah pada cabang sehala menunjukkan arah aliran isyarat. Ia menyatakan persandaran Y(s) pada X(s) dan bukan sebaliknya. Oleh itu Y(s) ialah keluaran yang dihasilkan oleh masukan X(s) dan sistem G(s). X a b c d e Y g Rajah 7.7(b): Graf Dengan merujuk kepada Rajah aliran isyarat ditakrifkan seperti berikut. i. ii. iii. iv. v. vi. j i Aliran Isyarat 7.7(b), beberapa istilah utama dalam pewakilan graf Nod punca ialah nod yang hanya mempunyai cabang yang meninggalkannya. Nod X ialah contoh nod punca. Nod sink ialah nod yang hanya mempunyai cabang-cabang yang menuju ke arahnya. Nod Y ialah contoh nod sink. Gandaan laluan ialah hasil darab gandaan cabang terbabit. Laluan ke hadapan ialah gabungan cabang sehala dari punca ke sink tanpa mengulang sebarang nod. Contoh laluan ke hadapan ialah a,b,c,d,e dan a,b,g,d,e. Gelung ialah laluan yang bermula dan berakhir pada satu nod tanpa mengulang sebarang nod. Contoh-contoh gelung ialah bf, dh, j, bcdi dan bgdi. Gelung-gelung yang tidak bersentuh ialah gelung-gelung yang tidak berkongsi nod sepunya. Gelung fb tidak menyentuh gelung hd dan gelung j.
  20. 20. RANGKAP PINDAH 7.8 E4141 / UNIT 7 / 20 Graf aliran isyarat bagi sistem kawalan Beberapa graf aliran isyarat bagi sistem kawalan yang mudah ditunjukkan dalam Rajah 7.7(c). Untuk graf-graf sedemikian, rangkap pindah gelung tutup C(s)/R(s) [atau C(s)/N(s)] boleh diperolehi secara pemeriksaan. Bagi graf aliran isyarat yang lebih rumit, penggunaan formula gandaan Mason boleh membantu. Rajah 7.8: Gambarajah blok dan graf aliran 7.8.1 Formula Gandaan Mason Sistem Kawalan Formula gandaan Mason digunakan untuk mendapatkan rangkap pindah keseluruhan sistem. Ia amat sesuai digunakan bagisistem yang rumit. Rangkap pindah keseluruhan, P dinyatakan sebagai: Rajah 7.7(c): Graf Aliran Isyarat Mewakili Gambarajah Blok
  21. 21. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 21 P= Y (s) 1 = X (s) ∆ ∑P ∆ k k k= 1 di mana Pk = gandaan laluan atau kehantara laluan hadapan ke-k ∆ = penentu graf = 1 – (hasil jumlah semua gandaan gelung individu) + (jumlah hasil darab gandaan semua gabungan dua gelung tak bersentuh yang mungkin) – (jumlah hasil darab gandaan semua gabungan tiga gelung tak bersentuh yang mungkin) + ... = 1− ∑L a a + ∑Lb Lc + b,c ∑L d Le L f +... d , e, f ∑L = hasil jumlah semua gandaan gelung individu ∑L L = jumlah hasil darab gandaan semua gabungan dua a a b b,c gelung tak bersentuh yang mungkin ∑L L L d d ,e, f e f = jumlah hasil darab gandaan semua gabungan tiga gelung tak bersentuh yang mungkin ∆k = kofaktor penentu laluan ke depan ke-k graf dengan gelung menyentuh laluan ke depan ke-k dikeluarkan, iaitu, kofaktor ∆ k diperolehi daripada ∆ melalui pembuangan gelung yang menyenangkan laluan Pk. Contoh 7-9 Berpandukan gambarajah blok dan graf aliran isyarat sepadan dalam Rajah 7.7(d), dapatkan rangkap pindah gelung tertutup C ( s ) / R ( s ) dengan menggunakan formula gandaan Mason.
  22. 22. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 22 Rajah 7.7(d): Gambarajah Blok Dan Graf Aliran Isyarat Sepadan Penyelesaian Hanya terdapat satu laluan hadapan di antara C(s) dan R(s). Gandaan laluan hadapan ialah P = G1G2G3 1 Terdapat tiga gelung individu dalam graf aliran isyarat di atas. Gandaan gelung diberi oleh L1 = G1G2 H1 L2 = − 2G3 H 2 G L2 = − 1G2G3 G Oleh kerana kesemua gelung mempunyai cabang sepunya, penentu oleh ∆di beri ∆ = 1 − ( L1 + L2 + L3 ) =1 − G1G2 H 1 + G2G3 H 2 + G1G2 G3 Kofaktor ∆ diperolehi daripada ∆dengan mengeluarkan gelung yang 1 menyentuh laluan P1 . Oleh kerana P1 menyentuh kesemua gelung, maka ∆1 = 1
  23. 23. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 23 Dengan demikian, rangkap pindah gelung tertutup diberi oleh C ( s) P∆ =P = 1 1 R( s) ∆ = G1G2G3 1 − G1G2 H 1 + G2G3 H 2 + G1G2G3
  24. 24. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 24 AKTIVITI 7c Uji kefahaman anda sebelum meneruskan ke input selanjutnya. Sila semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. SOALAN 1 Apakah kaedah lain yang boleh digunakan untuk mendapatkan rangkap pindah sesuatu sistem selain graf aliran isyarat? _______________________________________ SOALAN 2 ________________ adalah gambarajah yang mewakili satu set persamaan aljabar lelurus serentak. SOALAN 3 Berdasarkan Jadual 7-5, padankan istilah-istilah berikut dengan definisi masing-masing. ISTILAH DEFINISI GELUNG A Nod yang hanya mempunyai cabangcabang yang menuju ke arahnya LALUAN HADAPAN B Laluan yang bermula dan berakhir pada satu nod tanpa mengulang sebarang nod NOD SINK C Gelung-gelung yang tidak berkongsi nod sepunya D Hasil darab gandaan cabang terbabit E Gabungan cabang sehala dari punca ke sink tanpa mengulang sebarang nod F Nod yang hanya mempunyai cabang yang meninggalkannya GANDAAN NOD PUNCA Contoh Jadual 7-5
  25. 25. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 25 MAKLUMBALAS 1. Pengurangan rajah blok 2. Graf aliran isyarat ... 3. ISTILAH GELUNG LALUAN HADAPAN NOD SINK GANDAAN NOD PUNCA DEFINISI B E A D (contoh) F
  26. 26. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 26 PENILAIAN KENDIRI ANDA telah menghampiri kejayaan. Sila cuba semua soalan dalam penilaian kendiri ini dan semak jawapan anda pada maklumbalas yang disediakan. Jika ada masalah yang timbul, sila berbincang dengan pensyarah anda. Selamat mencuba semoga BERJAYA!!!. 1. Pertimbangkan rangkap eksponen di bawah. f (t ) = 0 = Ae bagi t < 0 bagi t > 0 −αt di mana A dan α adalah pemalar. Dengan menggunakan definisi transformasi Laplace dapatkan rangkap eksponen tersebut. 2. Dapatkan transformasi Laplace bagi rangkap tanjakan f (t ) = u (t ) u (t ) = 0 ; t<0 u (t ) = At ; t>0 3. Dapatkan transformasi Laplace songsang untuk rangkap-rangkap F(s) di bawah ini. Gunakan Jadual 7-1 untuk membantu anda. 2 i. F ( s ) = ( s +1)( s + 2)( s + 3) ii. 4. 5. F (s) = s ( s +1)( s 2 + 4) 2 Nyatakan kebaikan perwakilan gambarajah blok bagi sesuatu sistem. Dapatkan rangkap pindah bagi gambarajah 7-1a dan 7-1b di bawah. i. R(s) G1 G2 G3 Gambarajah 7-1a C(s)
  27. 27. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 27 ii. G1 R(s) C(s) + + G2 Gambarajah 7-1b 6. Dengan menggunakan teknik pengurangan rajah blok dapatkan rangkap pindah C ( s) bagi R( s) gambarajah 7-2 di bawah. R(s) +- G1 G2 C(s) +H1 H2 H3 Gambarajah 7-2 7. Satu sistem kawalan diwakili oleh graf aliran isyarat dalam gambarajah 7-3 di bawah. Dapatkan rangkap pindah keseluruhan sistem C(s)/R(s) dengan menggunakan formula gandaan Mason. Gambarajah 7-3
  28. 28. RANGKAP PINDAH E4141 / UNIT 7 / 28 MAKLUMBALAS KENDIRI [ ] ∞ ∞ 1. L Ae −αt = ∫ Ae −αt e −st dt = A∫ e −(α +s ) t dt = 2. L[ At ] = ∫ Ate −st dt = At 0 = 3. 0 ∞ 0 −st e −s ∞ 0 ∞ −∫ 0 A s +α Ae −st dt −s A ∞ −st A ∫0 e dt = s 2 s i. f (t ) = e −t − e −2 t + e −3t ii. f (t ) = 1 [cos t − cos 2t ] 3 4. Kebaikan perwakilan gambarajah blok sistem terletak pada fakta bahawa adalah mudah membentuk gambarajah blok keseluruhan untuk seluruh sistem hanya dengan menyambungkan blok-blok komponen mengikut aliran isyarat dan adalah mungkin untuk menilai sumbangan setiap komponen terhadap prestasi sistem. 5. i. C (s) = G1G 2 G 3 R( s) ii. C (s) = G1 + G 2 R( s) 6. G1G 2 C (s) = R ( s ) (1 + G1 H 1 )(1 + G 2 H 2 ) + G1G 2 H 3 7. G1G2 G3G4 G5 + G1G4 G5 G6 + G1G2 G7 (1 + G4 H 1 ) C (s) = R ( s ) 1 + G4 H 1 + G2 G7 H 2 + G4 G5 G6 H 2 + G2 G3G4 G5 H 2 + G2 G4 G7 H 1 H 2

×