La Integral:• En pocas palabras la Integral es laoperación inversa a la Derivada• Tiene muchas formas de trabajar yvariada...
Tipos:• Integral definida• Integral indefinida
Integral definida• Sirve para calcular el área de debajo deuna curva lineal en un intervalo
• Dada una función continua en un intervalo [a,b]se define la integral definida entre a y b de la función f como elárea S ...
• Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral def entre 0 y 10 es el área del rectangulo limita...
Integral Indefinida:• Dada una función F(x) tal que su derivada es F(x) = f(x), entoncesdecimos que F es la integral o pri...
Teorema fundamental del calculo• Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces• donde F es cualqui...
ResumiendoTeorema:-cuando c es una constante.
Propiedades de integración• donde k es una constante• donde a<c<b
Aplicaciones• A) Cálculo de Áreas• B) Cálculo de volúmenes
A)1.-Area de una región comprendida entre dos curvas• Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y• para todo ...
• Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representala curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) esla...
Pasos para hallar el área de una región comprendidapor una curva arriba y otra abajo:1) Dibuja las gráficas. Esto permite ...
A)2.-Región limitada por curva derecha y curvaizquierda• El proceso para calcular el área de una región limitada por unacu...
B).-Volúmenes de cuerpos de revolución• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una regiónplana alre...
B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotaciónes alrededor del eje x por el método de discos:• El volumen de un sól...
B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación esalrededor del eje y por el método de discos:• El volumen de un sól...
B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no tieneborde en el eje de rotación por el método de arandelas:• Si la región ...
B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el método de capas(cascarones cilíndricos)• Se conoce como el método de capas ...
• II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces:• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) laaltura de l...
Precursores:• Isaac Barrow, Isaac Newton y GottfriedLeibniz, fueron los que dieron forma alTeorema fundamental del calculo...
Teorema de Barrow• Dada una funcion f continua en el intervalo [a; b]y sea F(x) cualquier función primitiva de f, esdecir ...
• Francisco Fernández Robles 4ºC 2007
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Integral

  1. 1. La Integral:• En pocas palabras la Integral es laoperación inversa a la Derivada• Tiene muchas formas de trabajar yvariadas aplicaciones
  2. 2. Tipos:• Integral definida• Integral indefinida
  3. 3. Integral definida• Sirve para calcular el área de debajo deuna curva lineal en un intervalo
  4. 4. • Dada una función continua en un intervalo [a,b]se define la integral definida entre a y b de la función f como elárea S limitada por las rectas x=a, x=b, el eje de abscisas y lacurva definida por la representación gráfica de f. Se denota por:
  5. 5. • Por ejemplo, si f es la función constante f(x)=3, entonces la integral def entre 0 y 10 es el área del rectangulo limitado por las rectas x=0,x=10, y=0 y y=3. El área corresponde al producto de la anchura delrectángulo por su altura, por lo que aquí el valor de la integral es 30.• Si se tiene una primitiva (integral indefinida) de la función f:• entonces, y según la Regla de Barrow• Siempre y cuando ni la integral ni la función integrada no presentensingularidades en el intervalo de integración.• A esta relación entre la integral indefinida y la superficie bajo lafunción se le denominaTeorema fundamental del calculo integral• *tipos
  6. 6. Integral Indefinida:• Dada una función F(x) tal que su derivada es F(x) = f(x), entoncesdecimos que F es la integral o primitiva de f, definiendo así laintegración como la inversa de la derivación. Simbólicamente, sedenota por• Una función dada no tiene una única integral indefinida. Por ejemplo,para la función f(x) = x + 2, las siguientes funciones son todasprimitivas de la misma:• En general, si F(x) es una primitiva de f(x), entonces cualquier funciónde la forma F(x)+c, siendo c una constante cualquiera, es también unaprimitiva de f(x). *tipos
  7. 7. Teorema fundamental del calculo• Teorema: Si una función f es continua en el intervalo [a,b], entonces• donde F es cualquier función tal que F’(x) = f(x) para todo x en [a,b].La función f se llama el integrando y las constantes a y b son loslímites de integración. El proceso de hallar el valor de una integracióndefinida se llama evaluar el integral.*precursores
  8. 8. ResumiendoTeorema:-cuando c es una constante.
  9. 9. Propiedades de integración• donde k es una constante• donde a<c<b
  10. 10. Aplicaciones• A) Cálculo de Áreas• B) Cálculo de volúmenes
  11. 11. A)1.-Area de una región comprendida entre dos curvas• Si f y g son funciones continuas en el intervalo [a,b] y• para todo x en [a,b], entonces el área de la región limitada por y = f(x),y = g(x),x = a y x = b. es:
  12. 12. • Donde f(x) representa la curva de arriba y g(x) representala curva de abajo. En la ilustración a continuación, f(x) esla parábola que abre hacia abajo (observa que es la curvade arriba en la región limitada por ambas funciones) y g(x)es la parábola que abre hacia arriba (esta es la curva deabajo en la región limitada por ambas funciones).
  13. 13. Pasos para hallar el área de una región comprendidapor una curva arriba y otra abajo:1) Dibuja las gráficas. Esto permite visualizar qué curva estáarriba y cuál está abajo.• 2) Halla los límites de integración, los cuales se leen en el eje x.• 3) Halla:
  14. 14. A)2.-Región limitada por curva derecha y curvaizquierda• El proceso para calcular el área de una región limitada por unacurva a la derecha y otra a la izquierda es similar al anterior. Serecomienda dibujar las gráficas para visualizar qué curva está a laderecha y cuál a la izquierda. Los límites de integración se leen enel eje y, y se halla de la forma:• Donde en esta ocasión f(y) representa la curva de laderecha y g(y) la curva de la izquierda.*aplicaciones
  15. 15. B).-Volúmenes de cuerpos de revolución• Los sólidos de revolución son sólidos que se generan al girar una regiónplana alrededor de ejes. Por ejemplo: el cono es un sólido que resulta algirar un triángulo recto alrededor de uno de sus catetos, el cilindro surge algirar un rectángulo alrededor de uno de sus lados.• El volumen de un cono y de un cilindro se puede calcular por medio defórmulas geométricas. Pero existen otros sólidos de revolución como laparaboloide donde no se dispone de una fórmula para hallar su volumen.La paraboloide surge al girar una región parabólica alrededor de una recta.Cono paraboloide
  16. 16. B)1.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotaciónes alrededor del eje x por el método de discos:• El volumen de un sólido que se genera algirar la región entre la gráfica de unafunción continua y = f(x) y el eje x de x = aa x = b alrededor del eje x es:
  17. 17. B)2.-Volumen de un sólido de revolución cuya rotación esalrededor del eje y por el método de discos:• El volumen de un sólido que se genera algirar la región entre la gráfica de unafunción continua y el eje y de y = c a y =d alrededor del eje y es:
  18. 18. B)3.-Volumen de un sólido de revolución que no tieneborde en el eje de rotación por el método de arandelas:• Si la región que se gira para generar un sólido no tiene bordeen el eje de rotación, entonces el sólido tiene un agujero. Elvolumen se determina por:• donde R es el radio exterior y r es radio interior.
  19. 19. B)4.-Volumen de un sólido de revolución por el método de capas(cascarones cilíndricos)• Se conoce como el método de capas o cascarones cilíndricosporque utiliza capas cilíndricas. Un cascarón cilíndrico es unsólido acotado por dos cilindros circulares rectos concétricos.Para hallar el volumen de un sólido de revolución por el métodode capas se utilizan las siguientes fórmulas:• I.- Si el eje de rotación es horizontal, entonces:• Donde y representa el radio de la capa cilíndrica y g(y) la alturade la misma. El intervalo de integración se lee en el eje de y.
  20. 20. • II.-Si el eje de rotación es vertical, entonces:• Donde x representa el radio de la capa cilíndrica y f(x) laaltura de la misma. El intervalo de integración se lee en eleje de x*aplicaciones
  21. 21. Precursores:• Isaac Barrow, Isaac Newton y GottfriedLeibniz, fueron los que dieron forma alTeorema fundamental del calculo• Isaac Barrow formulo reglas sobre laintegral y se llamaron: reglas de Barrow
  22. 22. Teorema de Barrow• Dada una funcion f continua en el intervalo [a; b]y sea F(x) cualquier función primitiva de f, esdecir F = f» volver
  23. 23. • Francisco Fernández Robles 4ºC 2007

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