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Aplicaciones del Álgebra Lineal

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Algunas aplicaciones del Álgebra Lineal

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Aplicaciones del Álgebra Lineal

  1. 1. Cifrado de imágenes y reparto de secretos en clase de Matemáticas Ángela Rojas Dpto. Matemáticas Universidad de Córdoba
  2. 2. Aplicaciones del Álgebra Lineal <ul><li>Criptografía </li></ul><ul><li>Códigos detectores y correctores de errores </li></ul><ul><li>Procesamiento de imágenes </li></ul>qANQR1DBwU4DxkriL8wrACgQB/4nWbELJMR/Rt8RkkLqkwZJ
  3. 3. Álgebra Lineal e imágenes digitales <ul><li>Las imágenes digitales son matrices de números entre 0 y 255 (8 bits). </li></ul>1 byte= 8 bits 00000000 0 00000000 1 ... 11111110 254 11111111 255
  4. 4. Álgebra Lineal e imágenes digitales <ul><li>Compresión de imágenes digitales </li></ul>65 KB 20 KB
  5. 5. Álgebra Lineal e imágenes digitales <ul><li>Esteganografía digital </li></ul>¿Qué oculta esta imagen? ¡¡ El primer capítulo del Quijote!!
  6. 6. Álgebra Lineal e imágenes digitales <ul><li>Cifrado de imágenes </li></ul>Imagen secreta Imagen cifrada
  7. 7. Álgebra Lineal e imágenes digitales <ul><li>Reparto de secretos (2, 2) </li></ul>Imagen secreta Participante 1 Participante 2
  8. 8. Cifrado matricial de un mensaje de texto Mensaje=“ATAQUE AHORA” A T A Q U E A H O R A 0 20 0 17 21 4 31 0 7 15 18 0 340 100 289 85 110 83 62 93 269 96 36 54 MATRIZ CLAVE Para poder descifrar necesitamos que la matriz clave sea inversible A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Q R S T U V W X Y Z . , ¿ ?   17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31
  9. 9. Cifrado matricial de texto con aritmética modular Mensaje=“ATAQ…” Mensaje cifrado=“TEBU…” 340 100 289 85 110 … Para poder descifrar necesitamos que la matriz clave sea inversible pero en aritmética módulo 32 340 100 289 85 110 … (módulo 32) 20 4 1 21…. T E B U…. A B C D E F G H I J K L M N Ñ O P 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 Q R S T U V W X Y Z . , ¿ ?   17 18 19 20 21 22 23 24 25 26 27 28 29 30 31 MATRIZ CLAVE
  10. 10. Cifrado de imágenes digitales: método matricial <ul><li>Escogemos una matriz clave K y los niveles de gris de dos en dos. </li></ul>MATRIZ CLAVE PROCESO DE CIFRADO
  11. 11. Cifrado de imágenes digitales: método matricial o método de Hill Clave no válida Clave válida HILL, L.S. (1929). Cryptography in an algebraic alphabet , The American Mathematical Monthly, Vol. 38, 135-154. La matriz clave debe ser inversible módulo 256 Imagen original Imagen cifrada
  12. 12. Cifrado de imágenes digitales: métodos matriciales HILL, L.S. Cryptography in an algebraic alphabet , The American Mathematical Monthly, (1929). ACHARYA, B. et al. Image encryption with advanced Hill Cipher algorithm , International Journal of Recent Trends in Engineering, (2009) Matrices autoinversibles: LIPING, S., ZHENG, Q. Scrambling Matrix Generation Algorithm for High Dimensional Image Scrambling Transformation , IEEE Conference on Industrial Electronics and Applications, (2008). Matrices triangulares
  13. 13. Reparto de un número secreto El esquema umbral de Shamir se basa en el uso de polinomios. Esquema (4,3): el dueño del secreto S generará un polinomio con coeficientes aleatorios salvo el término independiente que se hace coincidir con el número secreto S Calcula y se los da a los 6 participantes (uno a cada uno). Sólo cuando se junten al menos 3 de los 6 participantes se podrá recuperar el secreto, resolviendo el sistema lineal correspondiente. Por ejemplo: 2, 3 y 5 A. Shamir, “ How share a secret ” , Communications of the ACM, 22 (11), pp. 612-613, (1976).
  14. 14. Reparto de un número secreto <ul><li>Ejemplo esquema (6,3) y S =1234 </li></ul><ul><li>El dueño del secreto elige un polinomio: </li></ul>(1, 1494), (3, 2578), (4, 3402), (6, 5614), (8, 8578), (11, 14434) <ul><li>Se calcula el valor en 6 puntos: </li></ul><ul><li>Se juntan los participantes 2, 3 y 5, por ejemplo: </li></ul><ul><li>Resolviendo el sistema se obtiene el secreto S </li></ul>
  15. 15. Reparto de una imagen secreta El esquema umbral de Shamir se adapta fácilmente para una imagen. Esquema (4,3): Para cada nivel de gris g de la imagen Calcula El nivel de gris del píxel de la sombra del participante i se pone a Sombra 1 Sombra 2 Sombra 3 Sombra 4
  16. 16. Reparto de una imagen secreta: método matricial o de Hill El método de Hill permitía cifrar una imagen Esquema (2,2): le damos al participante 1 las columnas impares y al participante 2 las pares. Participante 1 Participante 2
  17. 17. Reparto de una imagen secreta: método matricial <ul><li>Esquema (2,2) </li></ul><ul><li>Descomponemos la matriz clave en la suma de dos matrices aleatorias de forma que </li></ul>Los dos participantes conocerán la matriz K y sus respectivas sombras. Cuando se junten podrán recuperar la imagen secreta <ul><li>El dueño del secreto calculará: </li></ul>A
  18. 18. Reparto de una imagen secreta Otros métodos de reparto de una imagen secreta propuestos como trabajos en la asignatura: <ul><li>C. C. Thien and J. C. Lin, “ Secret image sharing ”, Computer and Graphics, 26 (5), (2002). </li></ul><ul><li>Variación del método de Shamir </li></ul><ul><li>A. Mart í n del Rey, “ A matrix-based secret sharing schemes for images ” , Lectures and Notes in Computer Sciences, (2008). </li></ul><ul><li>Un método matricial muy sencillo con matrices de ceros y unos </li></ul><ul><li>CHANG, C.C. et al. “ A Sudoku-based secret image sharing scheme with reversibility ”, Journal of Communications, (2010). </li></ul><ul><li>Un curioso método de reparto de secretos usando un Sudoku </li></ul>

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