Successfully reported this slideshow.
We use your LinkedIn profile and activity data to personalize ads and to show you more relevant ads. You can change your ad preferences anytime.

3 fe2011 cb-tprob

299 views

Published on

  • Be the first to comment

  • Be the first to like this

3 fe2011 cb-tprob

  1. 1. FONAMENTS D’ELECTRÒNICATema 2.- CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  2. 2. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.- CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.1- El condensador ideal. (Classe 11)2.2- Propietats dels condensadors. (Classe 11)2.3.- Circuits RC. Fórmula del valor inicial i final. (Classe 11)2.4.- Anàlisi de circuits RC. (Classe 12)2.5.- Bobina (o inductor) ideal. (Classe 12)2.6.- Propietats de les bobines. (Classe 12)2.7.- Anàlisi de circuits RL. (Classe 13)2.8.- Transformador ideal. (Classe 13) FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  3. 3. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.1.- Concepte de condensador idealEl condensador ideal es un element de circuit que es representa amb el símbol dela figura i te la següent propietat: q vc = c c C con qc es la càrrega acumulada en l’interior del condensador i C una constantanomenada capacitat del condensador.La unitat de C es el Farad = Coulomb/VoltDerivant l’expressió anterior, i tenint en compte que el corrent que entra alcondensador es ic = dqc/dt, resulta una expressió alternativa pel condensador: dvc ic = C dt cPrincipi físic del condensador:Les càrregues s’acumulen en una placa. La càrrega cacumulada crea un camp elèctric entre plaques queexpulsa les càrregues de la segona placa. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  4. 4. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.2.- Propietats dels condensadors1.- Continuïtat de vc en el temps: vc(t+) = vc(t-)Si no fos així dvc/dt seria infinit, però ic no pot ser físicament infinit.2.- En règim permanent el condensador equival a un circuit obert, ja que al ser vc constant, laseva derivada es zero i ic = 0.3.- El condensador emmagatzema energia elèctrica en el seu interior en forma de camp elèctric.Ec = ½ C vc2Aquesta es l’energia que C absorbeix de la font, i es tambél’energia que dissipa RL quan se li connecta el condensadorcarregat a la tensió vc4.- Associació de condensadors:En paral·lel: Cp = C1 + C2En série: Cs-1= C1-1 + C2-1Noteu que es dual a la llei d’associació de resistències FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  5. 5. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.3.- Circuits RC. Fórmula del valor inicial i finalEls circuits RC s’analitzen aplicant les lleis de Kirchhoff i la llei del condensador en aquestelement. Surt una equació diferencial en vc.En circuits RC lineals amb un sol condensador sempre es icpot substituir el circuit que “veu” C pel seu equivalent de Rth + +Thévenin: vth vc C dv dvvth = Rth ·ic + vc ic = C c vth = Rth C c + vc - - dt dtAquesta equació diferencial es pot integrar directament:dvc vth − vc dvc dt −t = =− ln(vc − vth ) = +M vc − vth = e M e −t / CRthdt CRth vc − vth CRth CRthvc = vth + N ·e −t / CRth vc (∞) = vth vc (0) = vth + N vc (t ) = vc (∞) + [ vc (0) − vc (∞)]·e −t /τ τ = CRthEl valor inicial vc(0) es calcula per continuïtat de vc: vc(0)≡ vc(0+) = vc(0-). El valor final vc(∞)es calcula suposant que C es un circuit obert. Quan s’analitza un circuit després d’unacommutació produïda a t = to, el terme exponencial es exp[(t-to)/τ] enlloc de exp(t/τ). FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  6. 6. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.4.- Anàlisi de circuits RCPer a t = 0- (just abans de tancar l’interruptor): vc(0-) = 10 Vja que suposem règim permanent ⇒ C = circuit obertPer a t >=0 (10-vc)/10k = ic + (vc-20)/10k; ic = C·dvc/dtSubstituint i reordenant: C·dvc/dt + vc(2/10k) = 30/10kResolent per la fórmula dels valors inicial i final: vc 15vc(0) = vc(0+) = vc(0-) = 10 V 10vc(∞) = 10 + im·10k; im = (20-10)/20k; vc(∞) = 15 V t 3ττ = RthC; Rth = 10k||10k = 5k; τ = C·5k ic 1 mAvc(t) = 15 + (10-15)·exp(-t/τ) = 15 -5·exp(-t/τ)Per altra banda ic = C·dvc/dx = +(5/Rth)·exp(-t/τ) = t 3τ= 1·exp(-t/τ) mANoteu que quan t = 3τ s’arriba aproximadament al valor final FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  7. 7. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.5.- Concepte de bobina (o inductor) idealLa bobina ideal es un element de circuit que es representa amb el símbol dela figura i te la següent propietat:vL = L·diL/dton L es una constant anomenada coeficient d’autoinducció de la bobina.La unitat de L es el Henry = Volt·segon/AmperPrincipi físic de la bobina:El corrent que circula per les espires de la bobina crea un camp magnètic.La variació del flux d’aquest camp magnètic en cada espira origina unadiferencia de potencial en ella. La suma de les diferencies de potencial a lesdiverses espires origina la tensió vL en els terminals de la bobina FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  8. 8. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.6.- Propietats de les bobines1.- Continuïtat de iL en el temps: iL(t+) = iL(t-)2.- En règim permanent la bobina equival a un curtcircuit, ja que al fer-se i L constant la sevaderivada es fa zero, i així també ho fa vL.3.- La bobina emmagatzema energia elèctrica en el seu interior en forma de camp magnètic.EL = ½ L iL2EL es l’energia que la bobina absorbeix del circuit al activar-la amb un corrent iL, i esl’energia que lliura al circuit quan es desactiva.4.- Associació de bobinesEn paral·lel: Lp-1 = L1-1 + L2-1En série: Ls = L1 + L2Noteu que segueix les mateixes lleis que l’associació de resistències. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  9. 9. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS2.7.- Analisi de circuits RLEs un anàlisi dual al dels circuits RC. Cal canviar vc per iL, ic per vL.La resolució de l’equació diferencial porta a:iL(t) = iL(∞) + [iL(0)-iL(∞)]·exp(-t/τ) amb τ = L/RthExemple:Ia = iL + (vL-Va)/R; vL = L·diL/dt; (L/R)·diL/dt + iL = Ia + Va/RiL(0+) = iL(0-) = Va/R (ja que L equival a un curtcircuit per t = 0-) iL Va/R+IaiL(∞) = Ia + Va/R (ja que L equival a un curtcircuit en règim Va/Rpermanent) tτ = L/Rth; Rth = R 3τ vLiL(t) = Ia+Va/R + (Va/R-Ia-Va/R)·exp(-t/τ) = Va/R + Ia·(1-exp(-t/τ) RIaPer altra banda: vL(t) = L·diL/dt = LIa(-exp(-t/τ)(-1/τ) ==RIa·exp(-t/τ) t 3τNoteu que s’arriba al règim permanent després de 3τ FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  10. 10. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORS 2.8.- Concepte de transformador ideal Principi físic del transformador. Està constituït per dos enrotllaments sobre un nucli magnètic. Un d’ells s’anomena primari, amb N1 voltes, i l’altre secundari amb N2 voltes. El nucli magnètic confina el camp magnètic generat pels corrents a les espires. La variació del flux magnètic en una espira genera una diferència de potencial. Sumant les tensions de les espires d’un enrotllament s’obté la tensió en els terminals. v2 (t ) N 2 i2 (t ) −1 −1 = ≡n = = v1 (t ) N1 i1 (t ) N 2 / N1 n − i1 P = P + P2 = i1v1 + i2 v2 = i1v1 + ( 1 )( nv1 ) = 0Propietats del transformador ideal n1.- La relació entre tensions i entre corrents és funció del nombre d’espires. Noteu que lestensions i corrents han de ser variables en el temps per fer variar el flux magnètic2.- El transformador transmet energia, sense dissipar-la ni emmagatzemar-la. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  11. 11. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.1.- Calculeu la càrrega emmagatzemada en elcondensador de 20 µF en el circuit de la figura, 10 V 10 µF 20 µF 30 µFsuposant que abans d’aplicar la tensió de 10 V elscondensadors estaven descarregats.Els condensadors en paral·lel de 20 µF i 30 µF equivalen a un condensador de 50 µF (se sumenles capacitats). Aquest condensador equivalent està en sèrie amb el de 10 µF, donant unacapacitat equivalent de 50/6 µF (producte dividit per suma com en les resistències en paral·lel).Aplicant la llei del condensador, la càrrega interna d’aquest condensador equivalent serà Q c =C·Vc = 50/6·10-6 x 10 = 500/6 µC. Aquesta es la càrrega que ha lliurat el generador de 10 V, perla qual cosa la càrrega interna del condensador de 10 µF serà també aquesta, es a dir 500/6µC. La tensió entre terminals d’aquest condensador serà Vc1 = Qc/C = 500/6·10-6/10·10-6 = 50/6V.La tensió entre terminals dels altres dos condensadors serà Vc2 = 10V - 50/6 V = 10/6 V. Lacàrrega interna del condensador de 20 µF serà Qc2 = 20 µF x Vc2 = 200/6 µC, i la delcondensador de 30 µF serà Qc3 = 30 µF x Vc2 = 300/6 µC. Cal notar que Qc2 + Qc3 = 500/6 µCque es la càrrega interna lliurada pel generador i emmagatzemada pel condensador de 10 µF. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  12. 12. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.2.- Calculeu l’energia interna d’un condensador de 100 µF carregat a 10 V.L’energia emmagatzemada per un condensador carregat a una tensió Vc es:Ec = (1/2)·C·Vc2. Aquesta es l’energia del camp elèctric creat en el seu interior.Per tant, l’energia del condensador serà: Ec = (1/2)·100·10-6·(10)2 = 5·10-3 Joules FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  13. 13. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.3.- En el circuit de la figura el condensador està inicialment descarregat. A l’instant t = 0l’interruptor passa a la posició 1. a) Trobeu l’expressió de Vc(t) i de Ic(t). b) Calculeu l’energiaque el condensador ha absorbit del circuit. A l’instant t0, quan R1 1 2ja podem suposar el condensador completament carregat,l’interruptor passa a la posició 2. c) Trobeu l’expressió de + Vg R2Vc(t) i de Ic(t). d) Calculeu l’energia que dissipa la resistència Vc Ic −R2 durant el procés de descàrrega del condensador.Quan t ≥ 0 i mentre l’interruptor està a la posició 1, l’expressió de Vc(t) es pot calcular aplicantla fórmula dels valors inicial i final suposant que aquest circuit dura un temps infinit.La propietat fonamental del condensador estableix que Vc(t) ha de ser una funció continua. Pertant Vc(0) = Vc(0-) on t = 0- es l’instant just abans del contacte de l’interruptor a la posició 1.Com que en aquesta situació el condensador estava descarregat, Vc(0-) = 0.Una vegada a la posició 1 el condensador s’anirà carregant fins arribar a un nou règimestacionari. En aquesta situació el condensador equival a un circuit obert, i per tant Ic = 0. Enconseqüència el valor final de Vc serà Vc(∞) = Vg.La constant de temps serà τ1 = CRth, que en aquest cas Rth = R1. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  14. 14. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSVc (t ) = Vc (∞) + [Vc (0) − Vc (∞)]e − (t −to ) /τ 1 = Vg − Vg e − t /τ 1 = Vg (1 − e − t /τ 1 ) dVc (t ) 1 V g −t / τEl corrent Ic(t) es calcula a partir de Vc(t): I c (t ) = C = C[−V g e −t / τ 1 ](− ) = + e 1 dt τ1 R1b) Lenergia que ha absorbit el condensador serà la integral des de t = 0 fins a t = ∞ de la energiaque absorbeix el condensador en un dt: dEab = Pab·dt = Vc·Ic·dt. Per tant, ∞ ∞ ∞ dV ∞ 1 t =∞ 1 0 ∫ 0 ∫ 0 0 ∫ Ec = dEab = Vc I c dt = Vc [C c ]dt = CVc dVc = CVc2 dt 2 t =0 = CV g2 2 ∫c) Suposarem que en t = t0 el condensador està carregat a Vg. Per tant, quan l’interruptor passi a laposició 2 farà circular un corrent per R2, que al procedir de la càrrega interna del condensadorprovocarà la seva disminució i amb ella la tensió entre els seus terminals, fins que finalment siguiVc = 0. La constant de temps serà τ2 = C·R2. Les expressions de Vc(t) i Ic(t) seran: Vc (t ) = Vc (∞) + [Vc (t 0 ) − Vc (∞)]e − (t −t0 ) /τ 2 = 0 + (V g − 0)e − (t −t0 ) /τ 2 = Vg e −(t −t0 ) /τ 2 dVc (t ) 1 V g − (t −t ) / τ I c (t ) = C = CV g [e −(t −t0 ) /τ 2 ](− ) = − e 0 2 dt τ2 R2d) L’energia que dissiparà R2 serà la integral des de t0 fins a ∞ de la energia que absorbeix R2 en undt. Noteu que resulta ser la mateixa energia que∞havia absorbit durant −el(tprocés∞de 1 ∞ ∞ ∞ V g2 V g2 e 2 −t0 ) /τ 2 càrrega. E R2 = ∫ t0 dE ab = ∫ t0 VR I R dt = ∫ t0 Vc [− I c ]dt = ∫ t0 R2 e − 2(t −t0 ) /τ 2 dt = R2 (−2 / τ 2 ) t0 = CV g2 2 FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  15. 15. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS4.- En el circuit de la figura es demana: a) Trobar l’expressió de Vc(t). b) Trobar l’expressió deIc(t). c) Representar Vc(t) i Ic(t). d) Calcular en quin instant el condensador presenta una tensióde 0 V entre els seus terminals. 1 kΩ Ic Ig 4 mA + + 2V Ig(t) Vc 10 µF t - −a) El canvi de Ig(t) en t = 0 equival a un interruptor. Per a t < 0 Ig = 0 i per t > 0 Ig = 4 mA. Pertrobar Vc(t) cal trobar Vc(0), Vc(∞) i τ i aplicar la fórmula dels valors inicial i final.Una propietat fonamental del condensador es que Vc(t) ha de ser una funció continua. Per tant,Vc(0+) = Vc(0-). Però en t = 0- el generador de corrent es zero i si suposem que el circuit està enrègim estacionari en aquesta situació, el corrent Ic serà = 0, i per tant, Vc(0-) = 2 V.Quan t → ∞ el circuit torna a estar en un nou règim estacionari i per tant Ic = 0. Aleshores elcorrent Ig = 4 mA circula per la malla formada pel generador de 2 V i la resistència de 1 k Ω.Per tant, la tensió Vc (∞) = 2 - Ig·1 kΩ = -2 V.La constant de temps del circuit serà τ = C·Rth, on Rth es la resistència de Thévenin que “veu”C. Anul·lant els generadors independents, Rth = 1 kΩ, i per tant τ = 10 ms. FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  16. 16. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSL’expressió de Vc(t), tenint en compte que la commutació es produeix en to = 0, serà: Vc (t ) = Vc (∞) + [Vc (0) − Vc (∞)]e − ( t −to ) /τ = − 2 + [2 − ( −2)]e − (t −0 ) /τ = − 2 + 4e − t /τb) El corrent que entra al condensador Ic(t) es calcula derivant Vc(t): dVc (t ) 4C −t /τ 4C −t /τ I c (t ) = C· = C·4·e −t /τ ·( −1 / τ ) = − e =− e = − 4·e −t /τ mA dt τ CRth Vc(t) Ic(t)c) 2V 3τ = 30µs 3τ = 30µs t t -2 V -4 mAd) Vc = 0 quan t = tr. Per tant, Vc(tr) = 0 = -2+4exp(-tr/τ). Operant: 2 = 4exp(-tr/τ);exp(tr/τ) = 4/2 = 2; tr/τ = ln(2); tr = τln(2) = 0,69·10 ms = 6,9 ms FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  17. 17. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS.5.- Trobeu IL(t) i VL(t) en el circuit de la figura. I1 = 5 mA; R1=1 kΩ; L = 2 mH.Com que els circuits RL son duals dels RC, calcularem IL(t) utilitzant la fórmula dels valorsinicial i final, i VL(t) la relació entre la tensió i el corrent a la bobina. IL(t) ha de ser una funciócontinua, per la qual cosa IL(0) = IL(0-) = 0, ja que l’interruptor està obert i L no està excitada.Quan tanquem l’interruptor i s’arriba a un nou règim transitòri la bobina equival a un curtcircuit. En aquesta condicions, IL(∞) = I1 = 5 mA.La constant de temps es τ = L/Rth = L/R1 = 2 µs.Per tant: IL(t) = IL(∞∞) + [IL(0)-IL(∞)]exp(-t/τ) = 5 – 5exp(-t/τ) = 5[1-exp(-t/τ)] mALa tensió en terminals de la bobina serà VL(t) = L(dIL/dt) = L[-5exp(-t/τ)]·(-1/τ)= 5exp(-t/τ) V FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas
  18. 18. CONDENSADORS, BOBINES I TRANSFORMADORSEXERCICIS I PROBLEMES RESOLTS6.- El primari d’un transformador es connecta a 220 V i el seu secundari lliura una tensió de 110V. Calculeu: a) Relació d’espires entre el primari i el secundari (Ns/Np). b) Si es connecta unaresistència de 100 Ω al secundari, ¿quina resistència es veurà des del primari?La llei de tensions del transformador estableix que Vs/Vp = Ns/Np. Per tant, Ns/Np = Vs/Vp =110/220 = 0,5La resistència equivalent des del primari serà Rp = Vp/IpLa llei de tensions del transformador estableix que Vp = Vs(Np/Ns) i la llei de correntsIp = -Is(Ns/Np). Per tant:Rp = Vp/Ip = -Vs/Is·(Np/Ns)2Però en el secundari Vs = -Is·Rs ja que el corrent entra al debanat del secundari pel terminalpositiu de Vs.Per tant, Rp = +Rs(Np/Ns)2 = Rs(1/0,5)2 = 4·Rs = 400 Ω FONAMENTS D’ELECTRÒNICA Lluís Prat Viñas

×