Un modello di ricerca operativa per le scommesse sportive

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Un modello di ricerca operativa per le scommesse sportive

  1. 1. Un modello di ricerca operativa per le scommesse sportive Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.itSupponiamo di dover giocare una certa somma di denaro (esempio s = 100 euro) sulla partitaMILAN- JUVE. Le quote SNAI sono quelle riportate nella tabella qui sotto: al risultato “1” +pagato k1 volte la puntata, il paraggio paga k 2 volte mentre il risultato “2” è pagato k 3 volte laposta. MILAN JUVE 1 X 2 Quote k1 k2 k3Come sviluppare un modello matematico che azzeri il rischio del gioco ? Va detto che in generaleun sistema sicuro può non esistere. Tuttavia ragioneremo in questo modo:s è la somma che siamo disposti a investire ne gioco e x1 , x 2 x3 sono gli importi che giocheremorispettivamente nei risultati 1, X, 2 (un risultato deve uscire per forza). Quindi s = x1 + x 2 + x3 . Sevincesse il MILAN (risultato 1) allora il nostro ricavo sarà r1 = k1 x1 − s , se ci fosse un pareggio(risultato X) allora il nostro ricavo sarà r2 = k 2 x 2 − s mentre se vincesse la JUVE (risultato 2)avremo ovviamente r3 = k 3 x3 − s . In tutti i tre i casi non vogliamo perdere il che equivale che inostri ricavi non dovranno mai essere negativi. Quindi il modello matematico sarà:  f .obiettivo : min( x1 + x 2 + x3 ) f .obiettivo : s = x1 + x 2 + x3 r = k x − s ≥ 0r = k x − s ≥ 0 1 1 11 1 1 r2 = k 2 x 2 − s ≥ 0 r2 = k 2 x 2 − s ≥ 0 o se voglio minimizzare S r = k x − s ≥ 0 r3 = k 3 x3 − s ≥ 03 3 3 s = x1 + x 2 + x3 < MAX , s > 0var iabili : x1 , x 2 x3 > 0  var iabili : x1 , x 2 x3 > 0 Oppure se voglio impostare una vincita con un importo minimo tenendo fissa la somma da giocare 1
  2. 2.  f .obiettivo : s = x1 + x 2 + x3r = k x − s ≥ min1 1 1 r2 = k 2 x 2 − s ≥ minr = k x − s ≥ min3 3 3var iabili : x1 , x 2 x3 > 0Un’altra interessante variante (dove minimizzo la somma da giocare e imposto una quota minima davincere) è: f .obiettivo : minimo( x1 + x 2 + x3 )r = k x − s ≥ min1 1 1r2 = k 2 x 2 − s ≥ minr3 = k 3 x3 − s ≥ minvar iabili : x , x x > 0 1 2 3s = x1 + x 2 + x3 < MAXs > 0Dove min è il valore minimo di guadagni che vogliamo comunque ottenere. Da notare che neimodelli abbiamo posto le quote X_i > 0 ma più ragionevolmente potevamo metterle comeX_i > importo_minimo_giocabile come pure possiamo considerare solo X_i interi.Fissate le quote e fissato l’importo complessivo che siamo disposti a giocare il problema èdeterminare i singoli importi da investire nei singoli risultati per in modo tale da non perdere maiqualsiasi risultato esca. Come abbiamo detto è un tipico problema di ricerca operativa che puòessere impostato e risolto con il risolutore di Microsoft Excel o di Open Office oppure usandoprogrammi più sofisticati non alla portata di tutti come il GAMS, il LINGO o il LINDO. Non èdetto però che il problema ammetta sempre soluzioni perché ciò dipende dall’importo che siamodisposti a giocare ma soprattutto dalle quote che vengono assegnate ai risultati delle singole partite.Un metodo combinatorio potrebbe essere quello di considerare le xi variabili intere positive (semplificazione del modello, programmazione lineare intera) e controllare tra tutte le combinazionipossibili quella che più si avvicina alla soluzione cercata. Una possibile variante più complessa alproblema è: 2
  3. 3.  f .obiettivo : z = max( x1k1 + x2 k 2 + x3 k 3 )z > 0s = x1 + x2 + x3r1 = k1 x1 − s ≥ 0r2 = k 2 x2 − s ≥ 0r3 = k 3 x3 − s ≥ 0s ≤ MAX , s ≥ 0variabili : x , x x ≥ 0 1 2 3Oppure f .obiettivo : z = max( x1 k1 + x 2 k 2 + x3 k 3 )z > 0s = x1 + x 2 + x3r1 = k1 x1 − s ≥ minr2 = k 2 x 2 − s ≥ minr3 = k 3 x3 − s ≥ mins ≤ MAX , s ≥ 0variabili : x , x x ≥ 0 1 2 3In questi ultimi due casi si può prendere anche in esame la possibilità di sostituire la funzioneobiettivo z = max( x1k1 + x2 k 2 + x3 k3 ) con z = max( x1k1 + x 2 k 2 + x3 k 3 − 3S )min è il valore minimo di guadagni che vogliamo comunque ottenere.Ovvero massimizzo la somma delle possibili vincite :è vero che può capitare solo un caso su tre mai vincoli del modello fanno sì che le soluzioni trovate avranno la caratteristica di far vincere poco onulla nei casi di maggiore probabilità (quelli che hanno un moltiplicatore dell’importo giocatobasso) ma potranno garantire guadagni più elevati del modello precedente nei casi in cui capitil’evento meno probabile. MAX è ovviamente il valore massimo che siamo disponibili a giocare (sipuò comunque impostare S = MAX). Il modello esclude la possibilità che tutta la somma giocata,per effetto della massimizzazione vada sul risultato meno probabile perché in questo modo non tuttii vincoli di positività verranno rispettati. 3
  4. 4. Per aumentare le quote e quindi gli importi della vincita possiamo considerare tutti i risultati duepartite la prima (1,X,2) con quote K_11 per 1, K_12 per X, K_13 per 2 mentre la seconda (1,X;2)con quote K_21 per 1, K_22 per X, K_23 per 2. Lo spazio degli eventi sarà costituito da ben 9possibilità con le quote che sono il prodotto delle quote dei singoli risultati delle singole partite. Laquote quindi sono più alte ma sono maggiori i risultati da considerare (ben 9) tuttavia possiamoapplicare gli algoritmi precedenti adattandoli ai 9 possibili risultati dello spazio campionario perverificare se si sono maggiori possibilità di guadagno. Un modello matematico per la schedina totocalcio Di Cristiano Armellini, cristiano.armellini@alice.itSupponiamo di dover giocare una del totocalcio in modo “intelligente” ovvero in modo damassimizzare le probabilità di vincita. Un modello potrebbe essere: 1 13− a −b 2 a 3 bmax P = ( 3 ) ( ) ( ) 3 3a = numero di doppieb = numero di tripev1 = costo delle doppiev = costo delle triple 2S = v1a + v2 b + vS = somma da giocarev = costo schedina senza doppie né tripleS < MAXMAX = valore massimo da investire0 < a < 13, a : integer0 < b < 13, b : integerS > 0 4
  5. 5. Ovvero stabilito l’importo massimo da giocare il sistema ci dice quante doppie, triple e singoledobbiamo inserire nel sistema per ottimizzare la probabilità di vincita (nel modello si puòcomunque impostare S=MAX). Se invece avessimo impostato il modello (vedi sotto) con lafunzione obiettivo pari alla somma da investire avremmo solo ottenuto quante doppie, triple,singole avremmo potuto giocare con un determinato importo. Ancora una volta suggeriamo diusare il risolutore delle equazioni o la funzione obiettivo di EXCEL , Open Office o LibreOffice maanche il GAMS, il LINGO o il LINDO come software perla programmazione lineare e non linearenell’ambito dei problemi (come questi) di ricerca operativa f .obiettivo : S = v1a + v2 b + va = numero di doppieb = numero di tripev1 = costo delle doppiev2 = costo delle tripleS = v1a + v2 b + vS = somma da giocarev = costo schedina senza doppie né tripleS < MAXMAX = valore massimo da investire0 < a < 13, a : integer0 < b < 13, b : integerS > 0In Excel: 5
  6. 6. In Open Office (o Libre Office)GnuNumeric 6
  7. 7. 7

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